基于有向图论实现二维H∞滤波器FM‑II状态空间模型的方法与流程
本发明涉及滤波器技术，尤其涉及一种基于有向图论实现二维H∞滤波器FM-II状态空间模型的方法。
背景技术：
滤波在控制理论研究中起着非常重要的作用，它是重要的数据处理方法之一。这种方法是从带有观测噪声输出信号中恢复状态信号。目前应用最广泛的是H∞滤波，H∞滤波是将H∞范数应用到性能指标上，从可观测的信号来预估状态向量。不定系统的H∞滤波分析需要在LFR里构造一个多项式或不确定性参数。而通过FM模型，LFR不定模型问题在代数学上等价于一个nD系统的实现。因此，一个高效的nD实现对H∞滤波控制理论都有着重大贡献。
目前国内外已有多种方法实现多维有理传递函数的FM模型。这些方法大致可以分为三类：一类先得到局部FM实现再得到整体FM实现。将给定的传递函数矩阵分解为只含有一维单项式的和与积，对每一个因式构造线性分式LFR(Linear Fractional Represention)，应用LFR耦合计算额得到整体的LFR。第二类是直接整体FM实现。
技术实现要素：
本发明要解决的技术问题在于针对现有技术中的缺陷，提供一种基于有向图论实现二维H∞滤波器FM-II状态空间模型的方法。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：基于有向图论实现二维H∞滤波器FM-II状态空间模型的方法，包括以下步骤：
1)对不定系统的H∞滤波进行分析，构建二维H∞滤波的FM模型，所述二维H∞滤波的FM模型如下所示：
x(i,j)＝A1x(i-1,j)+A2x(i,j-1)+B1u(i-1,j)+B2u(i,j-1) (1)
y(i,j)＝Cx(i,j)+Du(i,j) (2)
其中x(i,j)表示状态向量，u(i,j)表示外部扰动输入，y(i,j)表示被控输出；A1,A2,B1,B2,C,D是实数矩阵，系统(1)和(2)的传递函数为
其中d(z1,z2)表示特征多项式，z1,z2表示延迟操作；Ir为r阶单位矩阵；
2)对于给定的二维离散系统G(z1,z2)，将特征多项式d(z1,z2)分解成一系列的单项式，则每一个单项式对应一个有向图循环；
3)组合所有单项式的有向图循环得到特征多项式d(z1,z2)循环，通过二维有向图弧集和顶点集得到状态矩阵A1,A2；
4)利用ψ矩阵法中：A1＝A10+DHT1C,A2＝A20+DHT2C,确定矩阵A10,A20，通过ψ＝C(I-A10z1-A20z2)-1，求出ψ矩阵；
5)对于传递函数分子n(z1,z2)＝ψ(B1z1+B2z2)，得到实现矩阵B1,B2。
按上述方案，步骤2)中表示特征多项式分解的单项式有向图循环具体做法是，将d(z1,z2)按如下公式分解：
对一个单项式di(z1,z2)构造单项式有向图循环,顶点集数M＝degdi(z1,z2),i＝1…p；其中degdi(z1,z2)为二维多项式d(z1,z2)中单项式次数的最大值。
按上述方案，步骤3)中组合单项式有向图循环di(z1,z2)得到特征多项式d(z1,z2)循环处理的具体过程如下：
一个有向图D由非空有限集V和S构成，其中V和S分别为有向图D的顶点集和弧集,顶点集V的每一个元素称为有向图D的顶点，S的每一个元素称为有向图D的弧；一个二维有向图D(2)＝(V,S)，其中V＝{v1,v2,...,vn}和S＝{ξ1,ξ2}分别表示有向图D的顶点集和弧集；有向图D(2)的阶是D中顶点的数目，有向图D(2)的规模是D(2)中弧的数目；若从顶点vi到vj存在(z1,z2)的弧，则对应的矩阵(A1,A2)的第j行，第i列不为0(为其对应弧所表示系数)，其中i,j＝1,...,n。
按上述方案，步骤3)中组合单项式有向图循环遵循以下原则：组合得到特 征多项式的有向图不会产生新的循环；所有的单项式有向图交于最后一个顶点；特征多项式有向图中最后一个顶点出去的弧的系数为特征多项式的系数。
本发明产生的有益效果是：其一利用二维有向图理论避免复杂求解ψ矩阵过程，并且通过n维有向图理论可以推广到n-D离散系统FM模型。其二利用了ψ矩阵实现了有向图整体实现传递函数，避免了复杂求解实现矩阵的过程。
附图说明
下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：
图1为本发明实施例的方法流程图；
图2为单项式d1(z1,z2),d2(z1,z2),d3(z1,z2),d4(z1,z2),d5(z1,z2)二维有向图；
图3为D(2)实现特征多项式d(z1,z2)不满足条件的示意图；
图4为D(2)实现特征多项式d(z1,z2)满足条件的示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
根据本发明实有向图理论与ψ矩阵法方法总体流程如图1。包括如下步骤：
步骤S1：二维H∞滤波器FM模型的传递函数
步骤S2：将特征多项式d(z1,z2)分解成一系列的单项式,对于每一个单项式对应一个有向图循环。
单项式的值：d1(z1,z2)＝a1z2，如图2(a)；d2(z1,z2)＝a2z2，如图2(b)；如图2(c)；如图2(d)；如图2(e)；对应5个有向图循环。顶点集数M＝degdi(z1,z2),i＝1…5，则Mi＝3。
步骤S3：组合单项式有向图循环根据以下条件：
1.组合得到特征多项式的有向图不会产生新的循环。
2.所有的单项式有向图交于最后一个顶点。
3.特征多项式有向图中最后一个顶点出去的弧的系数为特征多项式的系数。
根据单项式中顶点集数3，构造如图3特征多项式d(z1,z2)循环，由图3可知，所有单项式有向图循环交于顶点最后一个顶点v3则满足条件2。有向图循环个数仍然为5则满足条件1，没有产生新的循环(即不会有新的单项式产生)。特征多项式中各项系数ai不全都由最后一个顶点到其他顶点的弧系数确定(的系数由顶点v1到v2的弧系数确定)，不满足条件3。则将顶点集数M+1，构造如图4特征多项式d(z1,z2)循环。由图4可知，所有单项式有向图循环交于顶点 最后一个顶点v4则满足条件2。有向图循环个数仍然为5，没有产生新的循环则满足条件1。特征多项式中各项系数ai全都由最后一个顶点出去的弧系数确定，则满足条件3。
由此可以得到ψ矩阵法中状态矩阵A1,A2。
步骤S4：利用ψ矩阵法中:A1＝A10+DHT1C,A2＝A20+DHT2C，确定矩阵A10,A20，通过ψ＝C(I-A10z1-A20z2)-1求出ψ矩阵。由式(12)可知
由式(9)和C＝[0 0 0 1]可得
ψ＝[z1z2 z2 z1 1]且ψz1∪ψz2包含传递函数所有项，则该ψ满足条件，否则返回步骤S3重新组合单项式有向图。
步骤S5：利用n(z1,z2)＝ψ(B1z1+B2z2)，得到实现矩阵B1,B2。
则B1＝[0 b3 0 b1]T B2＝[b4 0 0 b2]T。
应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进 或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。
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