一种基于安装角的扭形叶片动力学建模方法与流程

本发明属于机械动力学技术领域，是涉及到叶片的动力学建模方法，特别是涉及到一种考虑叶片离心刚化、旋转软化和科氏力影响的带安装角的扭形叶片动力学建模方法。

背景技术：

目前，现有的含安装角的扭形叶片建模方法主要有以下几种方法：

1.基于商用有限元分析软件

将cad三维模型导入商用有限元分析软件或者直接在有限元软件中建立三维模型，选择合适的单元及合适的材料参数，对三维模型进行网格划分，建立有限元模型，设置合适的约束并选择合适的求解方法对叶片的动力学特性进行分析。但利用现有的商用有限元分析软件对含有安装角的扭形叶片进行动力学特性分析时，建模过程复杂且繁重，并且不同的建模方式和单元类型得到的动力学特性也会有较大差距。

2.基于悬臂梁的建模方法

将叶片简化成悬臂梁模型，基于能量法进行动力学建模。然而现有的悬臂梁模型只能考虑叶片截面质心沿径向、横向和摆动方向的振动，无法考虑叶片沿宽度方向的振动。

目前基于板壳振动理论，采用悬臂预扭板对旋转叶片进行动力学建模的技术处于空白状态。

技术实现要素：

针对现有技术的不足，本发明提出一种基于悬臂板的含安装角的预扭叶片动力学建模方法，以达到在保证叶片主要振动模态的前提下，考虑叶片离心刚化、旋转软化和科氏力影响，采用galerkin截断的方法得到叶片的动力学方程。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案，一种含安装角的扭形叶片动力学建模方法，包括如下步骤：

步骤1：构建含安装角的扭形叶片动力学建模所需的三维坐标系，包括：整体坐标系oxyz，旋转坐标系o′x′y′z′，局部坐标系oxyz。

步骤2：对叶片的结构参数和材料参数进行测定，其中包括叶片长度l，叶片宽度b，叶片厚度h，轮盘半径rd，安装角β0，叶尖处扭转角β1，叶片弹性模量e，泊松比μ，叶片密度ρ。

步骤3：求解叶片任意截面的扭转角：

式中，β(x)为叶片任意截面的扭转角，为叶片在单位长度上的扭角变化系数，其中β'为叶尖相对于叶根处的扭转角变化量。

步骤4：通过叶片上任意一点q在整体坐标系oxyz中的位移向量依据动能计算公式得到叶片的动能：

式中，rq为叶片上任意一点q在整体坐标系下的位移向量；θ是叶片绕旋转轴转动的角位移；u、v、w分别为叶片在局部坐标系oxyz中径向、横向和摆动方向的位移；符号(·)表示对时间的1阶偏导；符号(')表示对x的1阶偏导。

步骤5：基于板壳振动理论，考虑扭转角的影响，得出旋转预扭板的应变势能：

式中，εz＝w′z；

步骤6：得出叶片旋转产生的离心势能：

式中，fc1和fc2为叶片径向及摆动方向的离心力，表达式如下：

步骤7：得出作用在叶片上的外力所做的功：

式中，fe为叶片单位面积上的气动均布载荷(pa)；fn为叶尖处的法向碰摩力；ft为叶尖处的切向碰摩力。

步骤8：根据hamilton变分原理其中u＝ub+uc，得到旋转叶片系统的动力学方程：

步骤9：以δu、δv和δw作为独立变量进行变分，分别得到u、v和w3个方向的运动微分方程：

步骤10：采用galerkin方法，引入正则坐标对步骤9中式(9)-(11)中的旋转板的径向位移u，横向位移v以及摆动位移w进行离散化处理，获得叶片的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵。具体如下：

式中，m和n分别为x和z方向的模态截断数，

cosh(αm)cos(αm)＝-1

cosh(ψm)cos(ψm)＝1

步骤11：引入瑞利阻尼，得到旋转悬臂板的运动微分方程：

式中，m、g、d和k分别为叶片的质量矩阵、科氏力矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，其中k＝ke+ks+kc+kacc，ke、ks、kc和kacc分别为叶片的结构刚度矩阵、旋转软化矩阵、离心刚化矩阵和加速度导致的刚度矩阵。q和f分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量。瑞利阻尼d是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，d＝αm+βk，其中α和β由下式求得：

式中，fn1、fn2分别为叶片的第一阶和第二阶固有频率(hz)，ξ1和ξ2为阻尼比。

步骤12：设置外激励向量为零，确定含安装角的扭形叶片在不同安装角、不同扭角、不同转速下的固有频率。

本发明为一种含安装角的扭形叶片动力学建模方法，节省了叶片动力学实验所需要的成本费用；本发明只需修改叶片的结构尺寸和材料参数后即可得到不同叶片系统的动力学模型，操作简便；本发明考虑了真实叶片中的安装角和扭角的影响，叶片几何构型更接近真实叶片；本发明考虑了叶片在旋转过程中离心刚化、旋转软化以及科氏力的影响，其动力学特性更能反应叶片的真实工作状态；与借助传统的商用有限元软件来分析叶片的动力学特性相比，本发明具有更高的计算效率；此外，还能获得叶片较高阶次频率，同时，还能进行叶片系统的碰摩响应分析，从而实现为含叶片的系统结构的提供设计优化，以提升系统性能和安全性。

附图说明

图1为本发明含安装角的扭形叶片动力学建模的流程图；

图2为含安装角的旋转预扭悬臂板示意图；

图3-a-1为15°安装角一阶动频对比；

图3-a-2为15°安装角二阶动频对比；

图3-a-3为15°安装角三阶动频对比；

图3-b-1为30°安装角一阶动频对比；

图3-b-2为30°安装角二阶动频对比；

图3-b-3为30°安装角三阶动频对比；

图3-c-1为45°安装角一阶动频对比；

图3-c-2为45°安装角二阶动频对比；

图3-c-3为45°安装角三阶动频对比；

图4-a-1为0°扭转角一阶动频对比；

图4-a-2为0°扭转角二阶动频对比；

图4-a-3为0°扭转角三阶动频对比；

图4-b-1为5°扭转角一阶动频对比；

图4-b-2为5°扭转角二阶动频对比；

图4-b-3为5°扭转角三阶动频对比；

图4-c-1为10°扭转角一阶动频对比；

图4-c-2为10°扭转角二阶动频对比；

图4-c-3为10°扭转角三阶动频对比；

图中：解析板ansys实休——ansys壳

具体实施方式

下面结合附图对本发明一种实施例做进一步说明。

本发明实施例中旋转预扭悬臂板示意图如图2所示，含安装角的扭形叶片的动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤1：获取叶片系统的结构参数和材料参数，本发明假定叶片是各向同性的线弹性材料，本构关系满足hooke定律，旋转叶片的相关参数如表1所示：

表1旋转叶片参数

步骤2：考虑板的预扭角影响，确定叶片产生变形后任意一点q在整体坐标系下的位移向量和速度向量：

步骤3：依据动能计算式得到叶片的动能：

步骤4:基于板壳振动理论，考虑扭转角的影响，得到旋转板的应变势能：

式中，εz＝w′z；

步骤5：确定叶片旋转产生的离心势能：

式中，fc1和fc2为叶片径向及摆动方向的离心力，表达式如下：

步骤6：得出作用在叶片上的外力所做的功：

式中，fe为叶片单位面积上的气动均布载荷(pa)；fn为叶尖处的法向碰摩力；ft为叶尖处的切向碰摩力。

步骤7：根据hamilton变分原理其中u＝ub+uc，得到旋转叶片系统的动力学方程：

步骤8：以δu、δv和δw作为独立变量进行变分，分别得到u、v和w3个方向的运动微分方程：

步骤9：采用galerkin方法，引入正则坐标对上述步骤中式(23)-(25)中的旋转板的径向位移u，横向位移v以及摆动位移w进行离散化处理，获得叶片的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵。具体如下：

式中，m和n分别为x和z方向的模态截断数，

cosh(αm)cos(αm)＝-1

cosh(ψm)cos(ψm)＝1

步骤10：引入瑞利阻尼，得到旋转悬臂板的运动微分方程：

式中，m、g、d和k分别为叶片的质量矩阵、科氏力矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，其中k＝ke+ks+kc+kacc，ke、ks、kc和kacc分别为叶片的结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵和加速度导致的刚度矩阵。q和f分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量。m、g和k的具体表达式如下：

m为叶片质量矩阵：

其中各个元素的表达式为：

g为叶片科氏力矩阵：

其中各个元素的表达式为：

ke为叶片结构刚度矩阵：

其中各个元素的表达式为：

kc为叶片离心刚化矩阵：

其中各个元素的表达式为：

ks为叶片旋转软化矩阵：

其中各个元素的表达式为：

kacc为叶片加速度导致的刚度矩阵：

其中各个元素的表达式为：

瑞利阻尼d是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，d＝αm+βk，其中α和β可由下式求得：

式中，fn1、fn2分别为叶片的第一阶和第二阶固有频率(hz)，ξ1和ξ2为阻尼比。

步骤11：计算特征方程系数行列式的特征值λ，取其虚部的绝对值除以2π，并进行从小到大排序，获得一组固有频率ωk，其中，k表示叶片模态的第k阶，k＝1,2,…。

步骤12：通过有限元模型验证本发明的有效性，图3为不同安装角下动频结果对比，表2-4为相对误差。图4为不同扭转角下动频结果对比，表5-7为相对误差。

表2叶片固有频率对比及相对误差(β0＝15°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

表3叶片固有频率对比及相对误差(β0＝30°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

表4叶片固有频率对比及相对误差(β0＝45°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

表5叶片固有频率对比及相对误差(β'＝0°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

表6叶片固有频率对比及相对误差(β'＝5°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

表7叶片固有频率对比及相对误差(β'＝10°)

注：误差1：解析板—ansys实体；误差2：ansys壳—ansys实体；

通过本实施例的结果可以获得以下结论：

(1)固有频率随转速的增加而增加，转速对1阶和2阶弯曲动频影响较大，对1阶扭转影响相对较小；

(2)安装角不影响叶片的静频，但对叶片的1阶弯曲动频影响相对较大，叶片动频随着安装角的增加而增加；

(3)扭转角既影响叶片静频又影响叶片动频，对叶片1阶扭转动频影响较为明显；

(4)解析模型与ansys模型前3阶动频吻合较好，从而验证本发明所建立的动力学模型的正确性。