基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法与流程

本发明属于图像处理技术领域，特别是一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法。

背景技术：

随着模式识别、人工智能、遥感科学、计算机视觉等研究领域的不断深入，图像处理问题已经成为当前倍受关注的热点，它是图像分析和图像理解的前提和基础。图像处理主要包括图像去噪、图像增强、图像复原、图像分割、图像压缩、图像融合、图像超分辨率、图像特征提取等问题。在获取和传输过程中，由于传感器元器件的缺陷，传输信道受到干扰，环境的变化如光线和天气的影响，以及后续传输中的人为因素等，会造成信号受到噪声污染。虽然这些噪声的来源和形成因素不同，但它们都会导致原始图像细节模糊，从而进一步影响图像的后续处理，如图像特征提取、图像理解等。因此，对图像进行去噪成为了图像处理的重要步骤之一。

传统的图像去噪方法在去除图像噪声的同时，往往会模糊图像的细节，主要是因为图像的纹理细节和噪声区分不够准确，此外好的去噪方法一般需要复杂的运算消耗大量资源。为了能够达到很好的去噪效果同时又能够提高运算速度和降低资源消耗，就需要引入一些新颖的数学思想和算法，例如分数阶微积分，快速fourier变换等等，来研究新的图像去噪方法。

图像去噪对图像处理的其他分支也有影响。近年来一些人工智能领域的研究热点例如基于计算机视觉的无人驾驶、即时定位与地图构建、人脸识别、指纹识别等，都和图像去噪中使用的方法有一定的联系。因此，一个好的图像去噪方法往往具有启发性的影响，可以进一步推广到图像处理的其他领域。从这个角度考虑，深入研究图像去噪中一些根本性问题，提出新颖的图像去噪方法，对于促进图像处理的其它分支的发展，也具有重要意义。

偏微分方程应用到图像处理领域最早可以追溯到物理学中的热扩散现象，它描述一个区域内的温度如何随时间的变化，热传导方程用于图像去噪可以表述为随着时间的变化图像的噪声点逐渐趋近于平滑，即达到去噪效果。传统的热传导方程在去噪的同时会导致图像的边缘模糊纹理细节丢失。为了克服这一缺点，perona和malik在1990年提出了基于边缘扩散的各向异性扩散模型即著名的p-m扩散模型

该模型利用灰度图像梯度的模|▽u|作为检测图像边缘的工具，同时设计了基于变量|▽u|单调递减的扩散函数g(|▽u|)，对图像的不同区域进行不同程度的扩散。在图像的平坦区域，|▽u|的值一般较小，此时对应的g(|▽u|)较大，因此在平坦区域具有较强的去噪能力同时不影响纹理细节；在图像的边缘区域，|▽u|的值一般较大，此时对应的g(|▽u|)很小，因而在边缘区域去噪能力较弱，因此能够最大程度地保留原图像的纹理细节。但p-m扩散模型的解过度依赖于参数的设定和初始条件，参数设定不当或者特殊的初始条件会导致方程解的不稳定，另外p-m扩散模型在边缘检测时容易出现虚假边缘容易导致去噪处理后的图像存在阶梯效应。

针对求解的问题，yu-liyou等人分析了p-m扩散方程解的稳定性条件，同时给出了求解稳定的数值计算方法[3]。catte等人针对p-m扩散模型存在阶梯效应的问题，对该模型进行了一些改进，提出了正则化后的p-m方程。patrick等人提出了两种改进的四阶偏微分方程模型，重新设计了扩散函数并讨论了参数的影响，一定程度上提升了保留边缘的能力并抑制了阶梯效应，但该方法的去噪效果比较一般；现有技术还未解决在去除噪声的同时尽可能地保留原图像的纹理信息的图像去噪方法，本发明解决这样的问题。

技术实现要素：

为解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于分数阶偏微分方程的各向异性扩散的图像还原方法，本方法根据综合分数阶导数的非局部特性以及各向异性扩散模型的保边缘特性，在去除噪声的同时尽可能地保留原图像的纹理信息，极大地提升了图像还原效果。

为了实现上述目标，本发明采用如下的技术方案：

基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，包括如下步骤：

步骤一，输入一幅被噪声污染的图像u0(x,y)，图像大小为m×n，设定时间间隔δt＝0.25；

步骤二，将图像进行对称处理，处理后图像的大小为原图像的4倍，计算公式如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

u(x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

end

end；

步骤三，利用matlab商业数学软件自带的快速傅立叶变换函数对图像进行傅立叶变换，公式如下：

步骤四，获得图像的分数阶微分；

计算图像的分数阶微分的计算过程如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在频域上对图像的第i行或者第i列的微分算子；

步骤五，获得图像分数阶梯度的模，计算过程如下：

将步骤四中频域上分数阶微分进行傅立叶反变换，得到空间域上的图像的分数阶微分，并将参数α换为扩散函数的参数β，

根据梯度的模的计算公式得到分数阶梯度的模：

步骤六，根据步骤五中求得的分数阶梯度的模计算扩散函数：

g(x)＝1/(1+x²)，

步骤七，计算微分算子的共轭算子，计算过程如下：

p^*(m1)＝conj((1-exp(-j2πm1/n))^α)，

输出一次迭代求解的结果：

其中：

步骤九，将步骤八中所得结果进行傅立叶反变换，

步骤十，将uⁿ⁺¹还原到原图像大小，计算过程如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

end

end；

步骤十一，利用下式计算所得结果与原图像进行峰值信噪比计算，判断是否满足终止条件；

其中f为无噪声图像，u为一次迭代还原后的图像，若符合终止条件：δpsnr≤ε，其中，δpsnr表示两次迭代结果的峰值信噪比的变化绝对值，ε取0.01，则执行步骤十三；若δpsnr＞ε，则执行步骤十二；

步骤十二，重新迭代求解，将上一次的迭代结果作为下一次迭代的输入，继续执行步骤四至步骤十一；

步骤十三，输出还原后的结果则为最优的去噪图像。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，步骤一，输入一幅被噪声污染的图像u0(x,y)，图像大小为m×n，设定时间间隔δt≤0.25。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，步骤四，获得图像的分数阶微分；

计算图像的分数阶微分的计算过程如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在频域上对图像的第i行或者第i列的微分算子；

图像中，某一点对x方向的一阶偏导数可以写成差分形式：

相应的，根据分数阶导数的定义，某一点对x方向的α阶导数可以表示为：

对上式两边同时进行傅立叶变换可得该点对x方向和y方向的α阶导数的傅立叶变换，公式如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明采用的软件是matlab。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明需要的最低配置的处理器为：i3-2100处理器。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明采用的处理器为：intel(r)core(tm)i5-6500cpu@3.20ghz处理器。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明需要的最低内存是1gbram。

前述的基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明采用的内存为16gbram。

本发明的有益之处在于：

第一，本发明根据分数阶导数的非局部性质，在检测边缘时能够减弱噪声的干扰，结合偏微分方程得到一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，能够在去噪的同时尽可能地保留原图像的纹理细节。

第二，在求解的过程中采用了快速fourier变换的方法，避免了复杂的分数阶导数展开运算的同时加快了求解速度。

第三，本发明将扩散函数的变量单独设定了分数阶导数，对于不同的图像变化微分阶数可以获得较好的去噪效果，并且收敛速度也较快，所需的迭代次数较少。

附图说明

图1是本发明的一种实施例的流程图；

图2(a)是无噪声的lena图像；

图2(b)是添加标准差δ＝25高斯白噪声后的lena图像；

图2(c)使用本发明在实验中得到的去除噪声后的lena图像；

图3(a)是无噪声的barbara图像；

图3(b)是添加标准差δ＝25高斯白噪声后的barbara图像；

图3(c)使用本发明在实验中得到的去除噪声后的barbara图像；

图4(a)是无噪声的boat图像；

图4(b)是添加标准差δ＝25高斯白噪声后的boat图像；

图4(c)使用本发明在实验中得到的去除噪声后的boat图像。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作具体的介绍。

基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，包括如下步骤：

步骤一，输入一幅被噪声污染的图像u0(x,y)，图像大小为m×n，设定时间间隔δt≤0.25；需要说明的是，若时间间隔大于0.25会使得去噪不稳定，所以优选δt≤0.25；作为一种实施例，如图2所示，图像大小为512*512像素；

步骤二，将图像进行对称处理，处理后图像的大小为原图像的4倍；图像边界区域的点在求导的时候会由于边界区域的有界而产生较大的偏差，将待处理的噪声图像翻转对称为1024*1024像素；计算公式如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

u(x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

end

end；

步骤三，利用matlab商业数学软件自带的快速傅立叶变换函数对图像进行傅立叶变换，公式如下：

步骤四，获得图像的分数阶微分；由于数字图像为离散信号，其微分只能用差分来近似，图像中，某一点对x的一阶偏导数可以写成差分形式；

计算图像的分数阶微分的计算过程如下：

由分数阶导数的表达式可以发现，分数阶导数的展开形式比较复杂，因此本发明采用快速fourier变换的方法来避免繁琐的展开计算，对上式两边同时进行fourier变换可得该点对x方向和y方向的α阶导数的fourier变换：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在频域上对图像的第i行或者第i列的微分算子；

图像中，某一点对x方向的一阶偏导数可以写成差分形式：

相应的，根据分数阶导数的定义，某一点对x方向的α阶导数可以表示为：

对上式两边同时进行傅立叶变换可得该点对x方向和y方向的α阶导数的傅立叶变换，公式如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α；

步骤五，获得图像分数阶梯度的模，计算过程如下：

将步骤四中频域上分数阶微分进行傅立叶反变换，得到空间域上的图像的分数阶微分，并将参数α换为扩散函数的参数β，

根据梯度的模的计算公式得到分数阶梯度的模：

步骤六，根据步骤五中求得的分数阶梯度的模计算扩散函数：

g(x)＝1/(1+x²)，

步骤七，计算微分算子的共轭算子，计算过程如下：

p^*(m1)＝conj((1-exp(-j2πm1/n))^α)，

输出一次迭代求解的结果：

其中：

步骤九，将步骤八中所得结果进行傅立叶反变换，步骤十，将uⁿ⁺¹还原到原图像大小，计算过程如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

end

end；

步骤十一，利用下式计算所得结果与原图像进行峰值信噪比计算，判断是否满足终止条件；

其中f为无噪声图像，u为一次迭代还原后的图像，若符合终止条件：δpsnr≤ε，其中，δpsnr表示两次迭代结果的峰值信噪比的变化绝对值，ε取0.01，则执行步骤十三；若δpsnr＞ε，则执行步骤十二；

步骤十二，重新迭代求解，将上一次的迭代结果作为下一次迭代的输入，继续执行步骤四至步骤十一；

步骤十三，输出还原后的结果则为最优的去噪图像。

本发明采用的软件是matlab；本发明需要的最低配置的处理器为：i3-2100处理器；本发明需要的最低内存是1gbram。

本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明；

1.实验条件：

本发明的实验仿真环境为：

软件：matlabr2015a

处理器：intel(r)core(tm)i5-6500cpu@3.20ghz

内存：16gbram

本发明的实验所用到的图像来源于标准图像库。

2.实验内容：

本发明的实验具体分为三个实验。

实验一：利用本发明对含有标准差δ＝25的噪声的lena图像进行去噪，结果如图2所示。

实验二：利用本发明对含有标准差δ＝25的噪声的barbara图像进行去噪，结果如图3所示。

实验三：利用本发明对含有标准差δ＝25的噪声的boat图像进行去噪，结果如图4所示。

实验中，使用峰值信噪比psnr评价指标来评价去噪结果的优劣，其psnr定义为：

其中，f表示原始无噪声图像，u表示去噪后的图像，图像大小为nxn。

在添加δ＝15,20,25不同噪声的情况下，将本发明与现有的基于偏微分方程的方法进行对比，结果如表1所示：

表1添加不同噪声时本方法与其他方法去噪效果对比结果

3.实验结果分析

从表1的实验数据可以发现，本发明与其他方法相比，psnr有了明显的提升，主要原因是扩散函数g(x)在去噪过程中起了极为重要的最用，检测边缘区分图像的纹理区域和平坦区域，传统方法中用|▽u|作为边缘检测算子，但由于受噪声的影响会产生很多虚假边缘，而分数阶导数的非局部性可以减弱噪声的影响，即|d^βu|比|▽u|在噪声干扰的情况下具有更好的边缘检测准确度。另外，分数阶微分的非局部性也有效地抑制了阶梯效应，去噪之后图像的视觉效果也有所提升。

本发明提供一种基于分数阶偏微分方程的各向异性扩散的图像还原方法，本发明根据分数阶导数的非局部性质，在检测边缘时能够减弱噪声的干扰，结合偏微分方程得到一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，能够在去噪的同时尽可能地保留原图像的纹理细节。在求解的过程中采用了快速fourier变换的方法，避免了复杂的分数阶导数展开运算的同时加快了求解速度。本发明将扩散函数的变量单独设定了分数阶导数，对于不同的图像变化微分阶数可以获得较好的去噪效果，并且收敛速度也较快，所需的迭代次数较少。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，上述实施例不以任何形式限制本发明，凡采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。