四方八股编织钢丝绳弯曲状态下数学模型构建方法与流程

本发明涉及一种编织钢丝绳数学模型建模方法，更具体的，涉及一种针对四方八股编织钢丝绳绳股及绳丝中心线的数学建模方法。

技术背景

按成型工艺的不同，钢丝绳主要分为捻制型钢丝绳和编织型钢丝绳。捻制型钢丝绳是由钢丝以一定的捻角螺旋缠绕形成绳股，再由绳股螺旋捻制形成一层或多层而成。单层捻制钢丝绳因其螺旋捻制工艺和结构上的限定，当受到外部载荷作用时容易发生扭转，不但降低工作效率还会带来工作过程的危险发生。而多层捻制类钢丝绳，当内外层股捻向相反时，具有自转性小，甚至不旋转的特点。但是多层较单层捻制钢丝绳的内部承载大，内外层股易相对滑动，容易发生磨损和内部断丝，使得它常存在安全隐患。而编织钢丝绳则较好的避开了这些缺点。

编织钢丝绳由一组左向捻和一组右向捻的单股钢丝绳具有规律地对半交叉编织而成，其左右旋捻股的扭矩在绳的轴心处相互抵消，使编织钢丝绳具有较高的防扭特性。又因编织钢丝绳相对于捻制类钢丝绳有防扭、强度高、柔韧性好等特点而广泛引用于电网建设、起重机械、矿山施工等对钢丝绳不旋转特性要求较高的场合。但随着编织钢丝绳被大量且反复弯曲、拉伸、扭转，以及它和各种设备、机具之间的摩擦、载荷冲击、过载，使用不当造成的扭绞等，使钢丝绳疲劳失效、锻炼等现象时有发生，因此它的安全性得到了高度的重视。

编织钢丝绳在实际工况中存在多种工作形式，按照其工作时的工作状态来分大致分为平直与弯曲两种工作状态。目前，国内外学者对捻制类钢丝绳成型原理，数学模型的构建进行了较为深入的研究，但对编织钢丝绳的研究较少，大都从编织钢丝绳的种类、性能、结构特点以及加工使用中存在的问题、断裂原因分析等表象层面进行了初步研究。因此为了进一步加深对编织钢丝绳在使用过程中的力学模型建立，受力分析，曲率、挠率探究等，数学模型的建立就显得尤为重要。本文以绕过牵引卷筒的编织钢丝绳为例进行分析，探讨其在弯曲状态下的数学模型，为钢丝绳的力学建模，受力分析，失效机理分析等提供理论依据。

技术实现要素：

本发明针对以上现状，提出了四方八股编织钢丝绳绳股与绳丝中心线的数学建模方法，该方法在明确绳股与绳丝在空间坐标系中缠绕的位置关系基础上，利用微分几何知识及坐标变换原理，构建在弯曲状态下的钢丝绳绳股及绳丝中心线的数学模型。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案中，四方八股编织钢丝绳绳股及绳丝中心线的数学模型建模方法包括下列步骤：1）明确编织钢丝绳中绳股与绳丝的缠绕关系；2）在明确绳股与绳丝在空间直角坐标系中的位置关系后，利用微分几何学相关知识，构建绳股中心线的数学模型；3）利用坐标变换原理，构建在弯曲状态下的钢丝绳绳丝中心线的数学模型。

优选地，步骤1）中：根据钢丝绳编织成形原理，将绳股中心线由平直状态到弯曲状态的转变在全局坐标系中表示出来，并以弯曲状态的绳股中心线所在位置建立局部坐标系，明确全局坐标系与局部坐标系之间的关系。

优选地，步骤2）中：构建编织钢丝绳弯曲状态下绳股中心线数学模型，在已经建立的坐标系中，建立钢丝绳中心线在弯曲状态下的空间曲线方程，并得出在该中心线上任意点处的切向量、法向量及从法向量的表达式；从而得出绳股中心线上一点所在的局部坐标系到全局坐标系的一个转换矩阵；并可根据改点的局部坐标系下的空间曲线方程得出在全局坐标系下的空间曲线方程式。

优选地，步骤3）中：在钢丝绳平直状态下绳股中心线数学模型的基础上，利用坐标变换原理，得出钢丝中心线曲线方程由局部坐标系到全局坐标系的转换矩阵，由平直状态的钢丝绳绳股中心线数学模型与转换矩阵从而得出编织钢丝绳在弯曲状态下的绳丝中心线的数学模型。

本发明的优点在于：1）本发明在明确绳股与绳丝在空间坐标系中位置关系后，借助微分几何学相关知识与坐标变换原理，构建在弯曲状态下的钢丝绳绳股与绳丝中心线的数学模型，为更深层次的建立编织钢丝绳在弯曲状态下的几何模型以及力学特性分析奠定基础；2）本发明提出的四方八股编织钢丝绳绳股与绳丝中心线数学模型的构建方法，对编织钢丝绳的力学建模、受力分析、失效机理分析等具有重要的工程价值及理论意义。

附图说明

图1是本发明的优选实施方式的数学模型流程图；

图2是本发明的绕圆弧弯曲的编织钢丝绳缠绕成形原理图：a点为圆弧上一点，b点为绳股中心线上一点，c点为绳丝中心线上一点；

图3是本发明的ys8×19四方八股编织钢丝绳绳股分布图；其中，编号1、2、3、4的绳股右旋编织，而编号1^，、2^，、3^，、4^，的绳股左旋编织。

具体实施方式

本发明提出的四方八股编织钢丝绳绳股及绳丝中心线的数学模型构建方法，主要过程如图1所示，具体包括下步骤：

1）在空间直角坐标系中建立编织钢丝绳在弯曲状态下绳股中心线与绳丝中心线的缠绕关系；

具体地，根据编织钢丝绳标准中截面绳股位置的分布规律，以编织钢丝绳在绕过圆弧弯曲的状态为基础进行分析，在全局坐标系中构建绳股中心线与绳丝中心线，并分别以绳股中心线和绳丝中心线所在的位置建立局部坐标系，如图2所示a点为圆弧上一点，b点为绳股中心线上一点，c点为绳丝中心线上一点，以a、b、c三点为例进行数学模型的构建。

2）利用微分几何学相关知识，构建绳股中心线的数学模型；

具体的，根据编织钢丝绳弯曲状态缠绕成形原理图，列出钢丝绳中心线的空间曲线方程，如下

（1）

式中：rl为圆弧半径，θl为圆弧的旋转角度。

以钢丝绳中心线上点a为例进行分析，由微分学知识，点a沿着切线方向的单位向量t1如下

（2）

同理，点a沿着法线方向的单位向量n1如下

（3）。

点a沿着从法线方向的单位向量b1如下

（4）。

由坐标转换原理，绳股中心线上一点b所在的局部坐标系t1-n1-b1转换到总体坐标系xyz的转换矩阵如下

（5）。

以绳股右向编织为例分析，绳股中心线上一点b在局部坐标系t1-n1-b1中的向量表达式如下

（6）

式中：θ为椭圆离心角，θ0为绳股的初始离心角，a为椭圆长半轴，b为椭圆短半轴。

绳股中心线上点b在总体坐标系xyz中的向量表达式如下

（7）。

弯曲状态下绳股中心线向量方程表达式如下

（8）。

3）利用坐标变换原理，构建在弯曲状态下钢丝绳绳丝中心线的数学模型；

由平直状态的钢丝绳绳股中心线方程曲线，利用坐标变换原理，得出由局部坐标系到全局坐标系下的转换矩阵，与平直状态下绳股中心线方程结合，得出在弯曲状态下钢丝绳绳丝中心线的数学模型。

以绳股在绳中右向编织为例，平直状态下绳股中心线的空间螺旋线参数方程如下

（9）。

得绳股中心线上点b的切向量、法向量及从法向量的参数表达式如下

（10）

（11）

（12）。

得股内钢丝所在的局部坐标系t2-n2-b2转换到局部坐标系t1-n1-b1的转换矩阵如下

（14）。

侧线钢丝中心线上点c在局部坐系t2-n2-b2中的向量如下

（15）。

当绳股右向编织，股内钢丝左旋缠绕时，钢丝中心线上点c在总体坐标系xyz中的向量下

（16）。

得绳股右向编织钢丝左旋缠绕时，编织钢丝绳弯曲状态下钢丝的空间螺旋线参数方程如下

得绳股右向编织钢丝左旋缠绕时，编织钢丝绳弯曲状态下钢丝的空间螺旋线参数方程如下

（17）

式（8）与式（17）为四方八股编织钢丝绳弯曲状态下数学模型。

本领域的技术人员容易理解的是，在不冲突的前提下，上述各优选方案可以自由地组合、叠加。

应当理解，上述的实施方式仅是示例性的，而非限制性的，在不偏离本发明的基本原理的情况下，本领域的技术人员可以针对上述细节做出的各种明显的或同等的修改或替换，都将包含于本发明的权利要求范围内。