一种基于非局部自相似模型的图像压缩感知重建方法与流程

本发明属于信号与图像处理领域，具体是一种基于非局部自相似模型的图像压缩感知重建方法。

背景技术：

随着社会的不断进步，信息及其获取方式成为人们日常生活中不可缺少的组成部分，图像丰富的信息含量使其成为人类获取信息的主要信息源。然而经过数字化处理的图像数据量十分庞大，给实际的存储、传输和理解带来了相当大的困难，同时由于硬件的限制和对提高传输效率的成本考虑，使通过很少的数据对目标的重要信息进行表示再传输、储存成为解决这些问题的关键。图像稀疏表示模型的建立是图像处理应用开展的基础，如何设计既简洁又高效的图像表示模型，降低实际应用中巨大的图像数据量带来的压力，是图像处理理论和实践研究中一个十分重要的课题。

同时传统的奈奎斯特(nyquist)采样定理要求信号的采样率不得低于信号带宽的2倍，这无疑给相应的硬件采集数据设备带来了更大的挑战。传统的信号压缩框架是分两步走：先采样再压缩。编码端先对信号进行采样，再对采样值进行正交变换(如小波变换，离散余弦变换等)并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输，解码端对接收的信号经解压缩，反变换后得到恢复信号。然而这种传统的压缩方法存在两个缺陷：1)由于受到nyquist采样定理的限制，信号的采样速率要高于信号带宽的2倍，这就使得硬件采样系统面临着很大压力；2)在压缩编码过程中，大量变换域中幅值小的系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。压缩感知(compressedsensing，cs)技术打破了只有在采样率高于信号带宽两倍以上才能完全恢复信号的处理框架，它指出能否精确恢复信号是由信号的结构和内容来决定的。由压缩感知理论可知，当图像在某个过完备字典下是稀疏的或可压缩的情况下，就可以由图像的观测值重构原始图像。如图1所示，一幅x∈r^n×n的图像采用观测矩阵φ∈r^m×n,m＜n进行随机投影，图像块xi∈rⁿ在随机观测矩阵φ下的观测值为yi＝φxi，ψ是字典，则压缩感知重构算法的具体步骤如下：

(1)利用稀疏编码优化算法求解稀疏系数

(2)图像块恢复，

(3)对图像块进行重新排列得到重构图像

求解上式所表示的优化问题属于非凸优化问题，可以通过一些贪婪算法，也可以也可通过求解范数最小的优化问题来求解：

通过观测值yi可以以极大的概率重建得到图像x。cs的理论表明如果一个信号能够在某个域中具有稀疏特性，那么该信号可以用少于nyquist采样定理的测量值给解码出来。因此，在cs重建问题中的一个关键就是如何需找到能够对信号进行稀疏表示的域，信号在这个域中表现得越稀疏，cs重建复原的结果越好。

因为当前存在的压缩感知重建算法中大都采用固定的基函数，也就是在确定的域中对信号进行分解，比如：dct域、小波域和梯度域，但这些域都忽略了自然信号的非平稳特性，缺乏自适应能力，从而不能够将图像分解得足够稀疏，也就使得cs重建的效果很差，限制了cs在图像方面的应用。同时在稀疏编码和字典的学习过程中，每一个块都是独立考虑，忽略了块与块之间的相关性，从而导致了稀疏编码不够准确。

技术实现要素：

本发明针对上面存在的问题以及图像自身的特点，利用图像的非局部相似特性，提出一种非局部正则化的自适应图像压缩感知重构算法。在该算法中，图像的非局部自相似模型被融入到正则项中，同时一种有效的自适应字典学习算法很好的刻画了图像基于块的局部稀疏特性，从而进一步的提高了重建图像的质量。

本专利发明的技术方案主要步骤为：

1.首先利用了图像的非局部自相似先验信息，构建了图像的非局部自相似模型，利用了最小二乘法通过最小化误差的平方，求解权值矩阵b，构建出了非局部正则项，将其融入到图像压缩感知重建算法中。

2.构建出了基于非局部自相似模型的图像压缩感知重建算法的数学模型。在该数学模型中，将图像的非局部自相似的先验信息通过数学的表达形式为将非局部正则项融合到了图像的压缩感知重算法中。

3.利用一种的高效的splitbregmaniteration(sbi)算法求解。通过变量分离，分解为了多个不同子问题求解过程，交替更新重构图像和稀疏编码系数，以此获得重构图像。

4.构建一种有效的自适应字典学习算法，利用每一次迭代更新后得到的近似原始图像的估计来提取训练样本，通过k-svd算法来交替迭代更新学习字典和稀疏编码稀疏，得到学习字典。

附图说明

图1图像压缩感知的观测过程

图2图像的非局部自相似模型

图3图像压缩感知重建流程图

具体的实施方式

1.构建图像的非局部自相似模型正则项。在图像处理的领域，自然图像信号展现的一个最重要的特性是非局部自相似性，即一个图像块在图像的其他位置有许多相似块，图像的结构信息具有冗余性，利用这一性质能够更好的刻画图像的纹理和细节，进而提高图像的重构效果。基于图像自身包含有重复结构模式特征建立的自然图像先验模型

如图2中所示：在图像块x0的邻域内存在着相似块：因此图像块x0可以用邻域内的相似块加权表示：

其中为权值，因此对于整个图像块而言：

其中j表示相似块的个数，令单个图像的块的权值矩阵为：相似图像块矩阵：则单个图像块的权值矩阵计算利用最小二乘法，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳匹配：

上式为一个严格的二次函数最小化问题，令函数的梯度为零，可以得到公式的封闭解，表示如下：

特别的，矩阵(x^tx+γi)^-1为对称正定矩阵，上式可以用共轭梯度下降算法求解。因此对于整个图像而言，有权值矩阵b：

故e为误差项，所以图像非局部自相似的数学模型为：

2.基于图像块的稀疏表示

在本方法中图像的的稀疏表示的基本单位是图像块(patch)，其数学化表示为，令x∈rⁿ和其大小为的原始图像块和大小为的图像块，其中共有n个图像小块，即k＝1,2,...,n。即有以下公式：

xk＝akx(9)

其中表示从原始图像x中提取出第k个图像块的矩阵操作算子。本专利中用到的图像块均是彼此相互重叠的，因此这种基于重叠图像块的稀疏表示是具有高冗余的，但是这种重叠图像块在稀疏表示中能都大大的降低图像的块效应，以提高图像的重建质量。根据公式(9)，利用相互重叠的图像块恢复原始图像为如下公式：

对于给定一个字典即稀疏基每一块xk在稀疏基d下的稀疏编码为αk，即αk中大部分元素为零或者接近为零，使得xk≈dαk。原图像x可以由一组稀疏表示系数{αk}来近似的表示。同公式(10)一样，通过稀疏表示系数{αk}来恢复原始图像x可以表示为：

其中α表示所有的αk集合，即代表原始图像x基于图像块的稀疏编码。

3.非局部正则化的自适应图像压缩感知重建框架。在压缩感知重建算法中，传统的压缩感知重建算法利用了图像的稀疏表示模型，但图像先验信息并未得到充分利用，以至于图像重构效果细节和纹理效果不佳。将非局部正则项融入压缩感知算法中，得到如下数学模型：

其中x＝dα，d为字典，对公式(12)利用高效的sbi算法求解，sbi算法如下：

目标函数为：

下面将给出如何利用sbi算法框架进行求解(12)：

定义和其中即令w＝x,x＝dα，通过对sbi算法的分析，结合本文的目标函数将公式(12)转换成了以下五个目标式子的交替迭代更新优化问题。

b^(t+1)＝b^(t)-(x^(t+1)-w^(t+1))(16)

c^(t+1)＝c^(t)-(x^(t+1)-dα^(t+1))(17)

综上分析，非局部正则化的自适应图像压缩感知重建求解算法，转换成了求解x，w，α的三个子问题的求解过程。

4.当给定的α稀疏编码系数和w，对于公式(13)求解的子问题，公式(13)是一个严格的二次函数，其最小化问题求解算法为。对公式(13)求导。即有：

d＝h^ty-h^thx+μ1(x-w-b)+μ2(x-dα-c)(18)

令公式的(18)等于零就得到：

就图像压缩感知重建而言，采用的是随机投影h，没有任何的的特殊结构，为了避免求解矩阵的逆，带来的较高的计算复杂度，因此采用最速梯度下降算法求解公式(19)：

其中d为公式(18)的梯度方向，γ为步长，因此压缩感知重图像通过迭代下式求解：

5.对于给定的对于给定的x，利用公式(14)，求解w的子问题可以表述为：

对上式(22)进行求导为：

d＝(η(i-b)^t(i-b)-μ1i)w-(x-b)(23)

令其导数等于零：

对上式可用共轭梯度下降算法快速求解。

6.对于给定的x，利用公式(15)，求解α的子问题可以表述为：

由于对于α的定义，很难直接利用公式求解α，令r＝dα，d＝x-c因此公式可变换为：

为了得到公式(26)的稀疏编码稀疏，假设d为原始图像r的一个近似图像，其中图像误差为e＝r-d，因此假设e中的每一个元素都服从方法为δ²，均值为0的独立同分布。在这样的一个假设下，利用概率论大数定理，有以下结论：基于图像块的稀疏编码，可以由以下公式(27)得到

其中因此基于图像块的稀疏编码求解问题可转为以下公式(28)：

针对公式(28)，可以通过正交匹配追踪算法(orthogonalmatchingpursuit,omp)算法求解。

其中δ为误差控制，通过批量处理重叠图像块，最终得到整个图像的稀疏表示系数。

7.自适应学习字典

为了使图像有一个较好的稀疏表示，其稀疏基或字典的求解变得极为重要了。如何能够找到一个最佳的域使图像具有一个最佳的稀疏表示。很多的算法提出了从给定的一组训练样本中，获得一个性能优异的学习字典。即通过优化以下公式：

为了获得字典d，公式(25)是一个大规模的优化问题，为了获得可行的解，算法mod，k-svd提出了来交替优化字典d和稀疏编码系数a。

通常在字典学习的过程中，为了获得一个自适应的学习的字典，通常训练样本来自于当前的待处理图像的原始图像。但是在图像压缩感知中，无法得到原始图像。在这种情况下，可以利用每一次迭代更新后得到的近似原始图像中提取训练样本，交替的更新来或得图像x和学习字典d。在公式(21)中，就把d看作是原始图像r的一个良好的近似估计。因此可以在近似图像d中提取训练样本图像块来训练字典，本方法中利用k-svd算法来自适应的更新学习字典。