一种基于曲率单调变化的三次均匀B样条曲线设计方法与流程

本发明涉及一种基于曲率单调变化的三次均匀b样条曲线的设计方法，属于计算机辅助几何设计(cagd)与计算机图形学领域。

背景技术：

曲线的曲率能够反映曲线在一点处的弯曲程度，是曲线的固有属性。由于曲率具有仿射不变性，目前其在模式识别领域应用广泛。曲线的光顺性对于曲线的外形及性质具有重要影响，而曲线的曲率分布则是评价曲线光顺性的重要指标，通常认为具有较少曲率单调变化段的曲线具有较好的光顺性。在工业设计中，对于产品外形的光顺性要求较高，因此设计曲率单调变化的曲线段具有较高的应用前景。

b样条曲线是cagd领域最为通用的一种曲线，其优良的几何性质使其成为几何建模的首要选择。目前，对于三次均匀b样条曲线光顺性的研究，主要集中在如何在给定b样条曲线的基础上，对其进行光顺性优化，然而无法保证曲率的单调变化，对于如何设计曲率单调变化的三次均匀b样条，目前仍没有相关技术与方法。

技术实现要素：

针对相关技术中的上述技术问题，本发明提出一种基于曲率单调变化的三次均匀b样条曲线设计方法，改善现有技术的上述缺陷。通过对曲率单调变化的b样条曲线的设计，可以将其应用于计算机辅助设计、轨道交通过渡路径设计、艺术曲线设计等领域。

为实现上述技术目的，本发明的技术方案包括以下步骤：

步骤s1：给定三次均匀b样条曲线的中间控制边矢量v1；

步骤s2：给定所述三次均匀b样条曲线的缩放因子s、旋转角度θ以及旋转轴t；

步骤s3：根据所述三次均匀b样条曲线的中间控制边矢量v1、缩放因子s、旋转角度θ和旋转轴t，分别计算得到所述三次均匀b样条曲线初始控制边矢量v0和结尾控制边矢量v2；

步骤s4：根据所述三次均匀b样条曲线对应的三条控制边矢量v0,v1,v2，计算得到所述三次均匀b样条曲线的控制顶点与曲线表达式。

其中，在步骤s1中，中间控制边矢量v1可选取任意的非零矢量，即||v1||>0且方向任意，其中，符号“||||”表示矢量的模。

在步骤s2中，选取的旋转轴t应不与中间控制边矢量v1平行，即t≠αv1，其中α为任意实数。

进一步地，在步骤s2中，选取的缩放因子s为不等于1的正实数，且s和旋转角度θ应满足以下关系：

s*cosθ≥1(s>1)或s≤cosθ(0<s<1)

其中，当s>1时，三次均匀b样条曲线p(t)的曲率(t∈[0,1])单调下降；当s<1时，曲率κ(t)单调增加。其中，p(t)为所述三次均匀b样条曲线，p'(t)是其对应的一阶导矢，p”(t)是其二阶导矢，||||表示矢量的模。

进一步地，在步骤s3中，所求三次均匀b样条曲线的初始控制边矢量v0和结尾控制边矢量v2的具体表达式分别为：

v2＝2srθv1-v1(2)

其中，rθ为绕旋转轴t逆时针旋转θ角的旋转矩阵，r-θ为绕旋转轴t逆时针旋转-θ角的旋转矩阵，s是不等于1的正实数，v1是任意给定的非零中间控制边矢量。

进一步地，在步骤s4中，所述三次均匀b样条的控制边矢量vi(i＝0,1,2)与其控制顶点bi(i＝0,1,2,3)之间满足bibi+1＝vi(i＝0,1,2)，由此可计算得到所述三次均匀b样条的全部控制顶点。

进一步地，可得所述三次均匀b样条曲线p(t)的表达式为：

其中，ni,3(t)(i＝0,1,2,3)为三次均匀b样条曲线的基函数。

本发明的有益效果：区别于现有技术，本发明通过给定三次均匀b样条的初始条件，控制其缩放因子和旋转角度，克服了传统方法中难以保证三次均匀b样条曲线的曲率单调变化的缺陷，实现了曲率单调变化的三次均匀b样条曲线的设计方法。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是根据本发明实施例的曲率单调变化的三次均匀b样条曲线的设计方法流程图；

图2是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀b样条曲线的设计示意图；

图3是根据本发明实施例的曲率单调下降的三次均匀b样条曲线的二维曲率图；

图4是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀b样条曲线的设计示意图；

图5是根据本发明实施例的曲率单调上升的三次均匀b样条曲线的二维曲率图；

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例一：

设计曲率单调下降的三次均匀b样条曲线，结果如图2和图3所示。

(1)给定初始矢量v1＝(1,0,0)，且有v1＝b1b2；

(2)给定b样条曲线的缩放因子s＝2、旋转角度θ＝π/4以及旋转轴t＝(0,1,0)，因为符合s*cosθ≥1(s>1)的条件；

(3)由公式(1)、(2)可得且有v0＝b0b1和v2＝b2b3，可得b0和b3的坐标；

(4)将b0、b1、b2和b3代入公式(3)，得到曲线的表达式p(t)并绘制曲线(图2)以及对应的曲率图(图3)。

实施例二：

设计曲率单调上升的三次均匀b样条曲线，结果如图4和图5所示。

(1)给定初始矢量v1＝(1,0,0)，且有v1＝b1b2；

(2)给定b样条曲线的缩放因子s＝0.5、旋转角度θ＝π/6以及旋转轴t＝(0,0,1)，因为符合s≤cosθ(s<1)的条件；

(3)根据公式(1)求得

(4)将b0、b1、b2和b3代入公式(3)，得到曲线的表达式p(t)并绘制曲线(图4)以及对应的曲率图(图5)。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。