一种带有乘性噪声和时滞的随机系统跟踪控制器设计方法与流程

本发明涉及一种带有乘性噪声和时滞的随机系统的跟踪控制器设计方法，它针对用带有观测输出的离散线性系统描述的带有乘性噪声和输入时滞的随机系统，利用增广系统理论进行模型变换，基于新的极大值原理、riccati方程以及李雅普诺夫稳定理论等，在有限时域情况下和无限时域情况下分别给出了最优跟踪控制存在的充分必要条件，并提出了与状态和参考轨迹都相关的最优跟踪控制器的设计方法。属于自动控制技术领域。

背景技术：

在无线网络、机械工程以及航天制造等实际系统中，充满了各种各样的随机因素。比如无人机在飞行过程中遇到的风雨干扰，生物生长过程中遇到的各种自然灾害，金融领域中的股票价格波动等等。另外时滞现象也是普遍存在于通讯、化工、金融等领域。这些随机因素以及时滞的发生都会破坏系统的稳定性，严重时甚至会导致系统崩溃，因此对带有乘性噪声和时滞的随机系统最优控制的研究成了一个很重要的课题，具有重要的应用背景和意义。

近年来一部分对带有乘性噪声的随机系统最优控制或带有时滞的确定性系统的研究取得了一定的成果，其中包括利用动态规划导出hjb方程将无限维的时滞系统简化为有限维的情形，从而得到最优控制器；利用极大值原理或是线性矩阵不等式得到最优反馈控制器等等。但是对于同时带有乘性噪声和时滞的随机系统最优控制的研究却很少有人涉及，对带有乘性噪声和时滞的随机系统最优跟踪控制的研究更是少之又少。

众所周知，输出反馈控制已广泛应用于理论分析以及工程实践中。在该技术背景下，本发明给出了一种带有乘性噪声和时滞的随机系统跟踪控制器的设计方法。对因受到突发性环境扰动、设备故障等原因而发生改变的带有乘性噪声和输入时滞的随机系统，使用增广矩阵法建立与参考轨迹相关的增广系统模型，在有限时域情况下，基于新的极大值原理、微分riccati方程以及李雅普诺夫理论，设计了一个与状态和参考轨迹都相关的最优跟踪控制器，另外在无限时域的情况下，根据李雅普诺夫稳定理论和代数riccati方程，提出了可以使系统稳定的最优跟踪控制器，从而保证了系统的稳定性，并提供了良好的跟踪性能。

技术实现要素：

发明目的：针对因受到突发性环境扰动、设备故障等原因而发生改变的带有乘性噪声和输入时滞的随机系统，利用离散线性系统模型进行描述并求解其最优跟踪控制。由于需要对该系统和参考轨迹分别求解使得求解过程变得异常复杂，基于增广矩阵原理建立增广系统模型，同时考虑到有限时域和无限时域两种情况，根据随机系统极大值原理、riccati方程以及李雅普诺夫稳定理论提出了具有良好跟踪性且能使系统稳定的控制器设计方法，进而构造了最优跟踪控制器，并保证了带有乘性噪声和时滞的随机系统的稳定性和良好的跟踪性能。

技术方案：本发明是一种基于离散线性系统模型最优跟踪控制器设计方法，该方法具体步骤如下。

第一步对带有乘性噪声和时滞的随机系统用离散线性模型进行描述。

考虑如下带有乘性噪声和时滞的随机系统

（1）

（2）

其中，，分别是系统状态向量，观测输出和控制输入。，，，和都是给定的适当维数的矩阵。是零均值且方差为的标量白噪声，是输入时滞。初始状态，都是已知的。

在有限时域的情况下我们考虑的性能泛函为：

（3）

其中都是正半定矩阵。为跟踪误差，为参考轨迹方程。将参考轨迹定义为如下形式：

（4）

为了方便起见，定义，，。

第二步利用增广系统原理将系统动态方程与参考轨迹相结合形成新的增广系统。

基于离散线性系统模型和参考轨迹方程，令定义如下增广系统：

（5）

其中

，。

跟踪误差可被写为：

（6）

其中。

另外，性能泛函也可以被重新写为：

（7）

其中

，

。

第三步有限时域情况下最优跟踪控制器的设计。

在有限时域的情况下，我们的目标是寻找一个阶可测量的控制，使得系统输出方程（2）以一种最优的方式跟踪参考轨迹，并且使性能泛函（3）最小。

根据不同于传统控制理论的极大值原理，有如下方程成立：

（8）

（9）

（10）

定义如下形式的一组微分riccati方程：

（11）

（12）

（13）

（15）

（16）

根据状态向量和参考轨迹的维数，把，，写成分块矩阵的形式：

，

那么riccati方程可以重新写为：

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

本步骤基于新的极大值原理、riccati方程以及李雅普诺夫理论，设计最优跟踪控制器使系统输出跟踪给定的参考轨迹，且使跟踪误差尽可能小。

为了解决此问题，本步骤将以定理的形式给出最优控制存在的充分必要条件以及最优跟踪控制的解析解：对于，当且仅当上述riccati方程满足时，该跟踪问题才有唯一解，且在这种情况下，最优控制器为

（22）

其中

（23）

（24）

此外，最优的性能泛函为：

（25）

且伴随向量与状态，参考轨迹的关系为：

（26）

第四步无限时域情况下最优跟踪控制器的设计。

在无限时域情况下，给出跟踪控制器的设计方法并给出系统稳定的充分必要条件。该情形下我们考虑的性能泛函为：

，（27）

其中，与上文的定义相同。与都是正半定矩阵，且都是完全能观的。

我们的目标是寻找一个阶可测量的控制，使得系统观测方程（2）以一种最优的方式跟踪参考轨迹，并且使性能泛函（27）最小，保证系统稳定。

定义如下代数riccati方程

（28）

（29）

（30）

（31）

（32）

应用与步骤三相同的方法将，写成分块矩阵的形式：

（33）

（34）

那么riccati方程可以重新写为

（35）

（36）

（37）

（38）

（39）

本步骤基于riccati方程以及李雅普诺夫稳定理论（如果系统是均方稳定的，则），设计最优跟踪控制器使系统输出跟踪给定的参考轨迹，使跟踪误差尽可能小且保证系统稳定。

为了解决此问题，本步骤将以定理的形式给出最优输出反馈跟踪控制：当且仅当上述riccati方程仅有一个解并且满足时，系统是渐进稳定的，此时的最优跟踪控制为：

（40）

第五步控制器性能检验。

这一步将检验控制器的设计是否满足要求，即检验该控制器是否能保证系统稳定并提供良好的跟踪性能，应用仿真工具matlab来完成本步骤的检验。

第六步设计结束。

整个设计过程重点考虑了带有乘性噪声和时滞的随机系统跟踪控制问题。首先在第一步对带有乘性噪声和时滞的随机系统应用离散线性系统模型进行描述；第二步利用增广矩阵知识将系统模型与参考轨迹相结合构建了一个增广系统；第三步设计了有限时域情况下的最优跟踪控制器；第四步设计了无限时域情况下最优跟踪控制器，以达到使系统稳定和具有良好跟踪性能的目的；经过上述步骤后，设计结束。

本发明是一种带有乘性噪声和时滞的随机系统的跟踪控制器设计方法，用于实现此类系统稳定性和跟踪性的多目标控制。该方法的优点如下：其一，用离散线性系统模型对带有乘性噪声和时滞的随机系统进行描述并构建一个新的增广系统，简化了计算的难度；其二，所设计的最优跟踪控制器形式简单、结构固定，且能够保证系统稳定并提供良好的跟踪性能；其三，整个问题的解决仅需要求解两组riccati方程，比其他方法（如求解耦合方程组）更简单易行。

附图说明

图1为本观测输出跟踪效果图；

图2为的轨线；

图3为最优跟踪控制的轨迹。

具体实施方式

下面结合具体仿真实例，进一步阐述本发明。本发明的设计目标是设计最优跟踪控制器，且能保证系统的稳定性以及具有良好的跟踪性能。具体实施过程中，都是借助仿真工具matlab来实现。

第一步设置系统参数。

，，，，，，，，，，，，，初始状态为，，。

第二步根据递推算法求解控制器增益并设计跟踪控制器。

第三步系统稳定性以及跟踪性能检验。

这一步将检验系统稳定性和跟踪性是否满足设计要求，借助matlab绘图工具来实现。由图1-3我们可以看出，所设计的控制器能够较快的使系统达到稳定，且使系统的观测输出能够跟踪到给定的参考轨迹，跟踪误差较小。从而说明本方法是有效的。

第四步设计结束。

整个设计过程重点考虑了带有带有乘性噪声和时滞的随机系统的稳定性和跟踪控制。围绕这两点，首先在第一步对带有乘性噪声和时滞的随机系统应用离散线性系统模型进行描述；第二步利用增广矩阵知识将系统模型与参考轨迹相结合构建了一个增广系统；第三步设计了有限时域情况下最优跟踪控制器；第四步设计了无限时域情况下最优跟踪控制器，以达到使系统稳定和具有良好跟踪性能的目的；经过上述步骤后，设计结束。