一种平面结构设计方法与流程

本发明涉及一种结构设计技术，特别涉及一种平面结构设计方法。

背景技术：

机械设计是机械工业中最重要的环节，就是在各种限定的条件下(如材料，加工，理论知识和计算手段等)下设计出最好的机械，即做出优化设计。过去，设计的优化主要依靠设计者的知识，经验和远见。随着机械工程理论发展和计算机设计软件的应用，使机械设计更加高效，精准。之后等几何理论的发展，使得机械设计优化更加的简单。等几何分析的优点在于，将一个复杂难以表达的模型轻松的表达出来。现在流行的等几何分析建模方法主要有两种：裁剪法和分片法。裁剪法的缺点在于，虽然可以根据参数空间对模型进行修改，再映射到物理空间，但是处理边界问题时，就显得非常的复杂，对于接下来的分析优化，有着一定的难度。分片法是最近比较流行的方法，优点在于，可以将复杂的模型分解成简单的几片，表达出来之后，再进行拼接计算。现在分片法的技术问题在于，如何提高连续性，另在等几何分析里，优化的目标函数研究也是至关重要的，模型的集中应力的优化也必不可少。

技术实现要素：

本发明是针对现在优化设计存在的问题，提出了一种平面结构设计方法，几何分析优化更简洁合理，并解决现在分片法中的连续性问题。

本发明的技术方案为：一种平面结构设计方法，具体包括如下步骤：

1)观察需要设计的模型，分解模型，将模型分解成常规可以表达的单片，再通过需要考虑的应力分布输入单片初始控制点以生成单片的初始模型，再通过程序使单片的控制点一一编号，将相邻的两片拼接为一片，在拼接完成的两片里，插入连续性控制点，再通过改变边界和内部曲线的节点矢量，表现出在图形上显示等参线是圆滑的；

2)利用环环相扣的超参单元对传统等参单元进行替换，在参数空间计算形函数r对一个控制点坐标的xy两个方向的导数，通过雅克比矩阵的转换，求解出单元应力应变矩阵b，再通过单元应力应变矩阵b求解出单元刚度矩阵k，最后根据公式u＝k/f求解出单元中各个控制点的位移，u为控制点坐标列阵；k为单元刚度矩阵；f为载荷列阵；

3)将等效应力作为目标函数，优化等效应力：采用形状尺寸优化，建立目标函数的解和控制点位置坐标的关系，将根据需要优化的控制点作为初始控制点，进行优化，得到优化后的控制点坐标；

4)将步骤3)求得的优化后的控制点坐标输入，计算出控制点对应模型的等效应力，判断此等效应力是否是等效应力函数的极小值，如果不是，则返回步骤3)对控制点进行重新优化计算，反复进行迭代计算，直到得到等效应力函数的极小值，也就是最优控制点坐标，退出循坏，进行下一步；

5)对模型进行细化处理，模型划分的更多的单元；

6)根据最优控制点坐标求解出每个单元的等效应力，按照数值对应相应的颜色，再将其填充到模型里对应的细分后的每个单元位置，进行模型应力的显示。

所述步骤3)中优化目标为结构的等效应力最小，约束是结构的面积小于等于给定值，优化方程如下：

minc(|αi|)＝f^tu

s.t.v≤v^*

[αi]min≤[αi]≤[αi]max

k/u＝f

其中，c为优化目标等效应力；[αi]为优化设计变量序列，在此为优化形状边界控制点坐标；v为优化迭代中模型体积；v*为模型体积上限值；[αi]min、[αi]max分别为设计变量的下限值和上限值,f＝k/u为离散控制方程；k为单元刚度矩阵；u为控制点坐标列阵；f为载荷列阵。

本发明的有益效果在于：本发明平面结构设计方法，将整个等几何分析优化，分成了几个6步，使得程序更加的简洁有逻辑,为以后程序的丰富打好了基础；在建模步骤里，解决了分片拼接的连续性问题，使得模型无论是位移还是应力的变化，都呈现平稳过渡；在优化步骤里，运用了一种新的方法求解等效应力和等效应力对设计变量的导数；将灵敏度方法作为一个桥梁，把等效应力对设计变量的导数和控制点的位移连接在了一起。

附图说明

图1为本发明平面结构的设计方法流程图；

图2为本发明方法实施例中需要进行设计的模型图；

图3为本发明图2中模型的分片图；

图4为本发明图3中两片之间的拼接和连续性处理图；

图5为本发明模型全部拼接后的等参线图；

图6为模型的等效应力图；

图7为本发明模型优化后的等效应力图。

具体实施方式

如图1所示平面结构的设计方法流程图，具体步骤如下：

步骤s1：观察需要设计的模型，分解模型，将模型分解成常规可以表达的单片，如图2所示需要进行设计的模型图，如图3所示模型的分片图，再通过需要考虑的应力分布输入单片初始控制点以生成单片的初始模型，再通过程序使单片的控制点一一编号，将相邻的两片拼接为一片，在拼接完成的两片里，插入连续性控制点，再通过改变边界和内部曲线的节点矢量，达到c1连续。c1连续是指模型内部的nurbs基函数可以进行二次求导，表现出在图形上显示等参线是圆滑的，不会出现尖点的情况。

图4是图3中的patch1和patch2两片之间的拼接和连续性处理图，进行拼接的时候，先将他们内部的控制点进行清除，拼接完成后再在他们的内部进行插入控制点，这里插入要求，在内部边界上不能存在公共控制点，因为nurbs在公共控制点上会有尖点，c1不连续。

步骤s2：利用环环相扣的超参单元对传统等参单元进行替换，在参数空间计算形函数r对一个控制点坐标的xy两个方向的导数，通过雅克比矩阵(多变数向量函数的最佳线性逼近)的转换，求解出单元应力应变矩阵b，再通过单元应力应变矩阵b求解出单元刚度矩阵k，k＝∫ω(b)^tdbdω，ω表示单元；d是弹性矩阵，属于常数矩阵；然后通过标准方法组装求解出总刚度矩阵，最后根据公式u＝k/f(u为控制点坐标列阵；k为单元刚度矩阵；f为载荷列阵)求解出单元中各个控制点的位移；如图5所示为模型全部拼接后的等参线图。

步骤s3：等效应力可以清晰描述出一种结果在整个模型中的变化，从而使分析人员可以快速的确定模型中的最危险区域。因此将等效应力作为目标函数，优化等效应力。将根据需要优化的控制点作为初始控制点，带入相应公式，求出等效应力函数的解。由于本发明采用的优化是形状尺寸优化，所以需要建立目标函数的解和控制点位置坐标的关系。也就是将等效应力的导数和控制点坐标建立联系(将(4)式里的设计变量，换成了控制点坐标)。将求得的参数(参数为等效应力对控制点坐标的导数)输入到mma程序中进行优化计算，得到优化后的控制点坐标。

步骤s4：将步骤s3求得的控制点坐标输入到判断语句中，判断语句根据计算，计算出控制点对应的模型的等效应力，判断这时的等效应力是否为等效应力函数的极小值，如果不是，则返回步骤s3对控制点进行重新优化计算，反复进行迭代计算，直到得到等效应力函数的极小值，也就是最优解。退出循坏，进行下一步。

步骤s5：细化对模型的质量有着重要的作用，细化次数越多，模型划分的单元就越多，求得的解就越逼近理论解。但是相应的，计算量会大大增加。所以对模型进行细化处理时，要选择合适的细化数，这里h细化和p细化(等几何分析中两种处理有限元单元的方法)可供选择，为接下来的显示做基础。

步骤s6：根据公式求解出每个单元的等效应力，按照数值对应相应的颜色，再将其填充到模型里对应的每个单元的位置，进行模型应力的显示。

本发明的优化目标为结构的等效应力最小，约束是结构的面积小于等于给定值。优化方程如下：

minc(|αi|)＝f^tu

s.t.v≤v^*

[αi]min≤[αi]≤[αi]max

k/u＝f

其中，c为优化目标等效应力；[αi]为优化设计变量序列，在文中为优化形状边界控制点坐标；v为优化迭代中模型体积；v*为模型体积上限值；[αi]min、[αi]max分别为设计变量的下限值和上限值,f＝k/u为离散控制方程；k为单元刚度矩阵；u为控制点坐标列阵；f为载荷列阵。

在本实施例中，指定点应力分量在等几何分析里的表达：

σ＝[σxxσyyσxy]＝dbu

σ表示应力分布矩阵，分为三个方向的应力分量，σxx表示x方向的应变分量，σyy表示y方向的应变分量，σxy表示xy方向的应变分量，d是弹性矩阵，属于常数矩阵，b控制点坐标是应力应变矩阵，u是控制点的坐标列阵。

指定点应力分量对设计变量(控制点坐标)的导数：

是应力σ对设计变量αi的导数，是应力应变矩阵b对设计变量αi的导数，是刚度矩阵k对设计变量αi的导数。

等效应力公式：

σvon表示等效应力；

令

是自定义的一个矩阵，是为了与应力σ建立联系。

则

等效应力对设计变量的导数为：

又因：

其中

其中r1，r2，…，rne代表一个单元的ne个形函数；表示第一个r形函数对物理域的坐标x求导。

为了将等效应力对设计变量导数和控制点坐标建立联系，将(5)带入到(4)式，可以得到dbu对设计变量的求导。再将u＝k/f式带入，就可求得刚度矩阵k对设计变量求导。

式中表示单元刚度矩阵对设计变量的导数；ω表示一个求解域上的单元；|j|为雅克比矩阵。

接下来就是求解和

单元控制点坐标序表示为

p表示单元的控制点坐标矩阵；xne，yne分别代表第ne个控制点的x坐标和y坐标。

物理单元坐标到参数空间坐标映射对应的雅克比矩阵为

ζ为参数域的x坐标；η为参数域的y坐标。

参数空间单元坐标到父空间坐标映射对应的雅克比矩阵为

在等几何分析中母单元到物理单元映射的雅克比行列式为

|j|＝|j1||j2|

j,j1,j2在等几何分析里是用来对坐标进行转换的矩阵，j表示从物理空间到父空间的坐标变换。j1表示从物理空间到参数空间的坐标变换，j2表示从参数空间到父空间的坐标变换。

为了描述方便，定义两个矩阵

设一单元的形函数向量序列为

r＝[r1...rs...rne]^t

则有该单元几何场的插值形式为

x(ζ,η)＝[x(ζ,η)y(ζ,η)]^t＝p^tr

将上式两边同时对(ζ,η)求导

等号右边为

由式(10)和(11)可得

j1＝p^tm(12)

γ、m与j1之间有下式关系

接着需要计算

式中tr(z)表示矩阵z的迹，即为z对角线元素之和。

接下里需要计算

由式(12)和(13)两边同时对设计变量求导得式(15)和(16)

将式(16)代入式(15)得(17)

其中，

通过(18)求得后，将矩阵中元素进行互换位置即可得到

在本文中模型所加载荷是独立于设计变量，故

由式和代入(6)即可求得单元刚度矩阵对设计变量导数。

求得单元刚度矩阵对设计变量敏度后，通过与单元刚度矩阵同样的组装原理，得到总体刚度矩阵对各个设计变量的敏度矩阵。进而求得优化方程中目标和约束方程对设计变量的导数。

图6是优化前的等效应力，图7是优化后的等效应力。观察他们的最大等效应力，用来对比优化的效果。