一种考虑缺货影响的企业库存决策和价格决策获取方法

1.本发明涉及一种考虑缺货影响的企业库存决策和价格决策获取方法。


背景技术：

2.在日常生活中，缺货是消费者会经常经历的一个事情。这是由于当商家面临不确定的市场时，准确预测需求并且提供准确的库存是非常困难的事情。缺货对消费者和商家都造成了很大的危害，根据非专利文献che et al.(2012)，杂货类商品的平均缺货率为7.9％，并且使得商家的销量损失4％。对于消费者来说，在面临缺货时，消费者可能会购买该商品的替代品，推迟购买该商品，又或者放弃购买直接离开。在信息获取日益便利的今天，消费者对缺货的接受度越来越低。因此对于商家来说，在制定自身的决策时，需要将消费者对缺货的反应考虑在内。这类问题的现有方法一般假设市场中只存在一个公司，或者只考虑商家的库存决策，而认为价格是外生的。这些假设的存在使得其方法不具有普遍性。
3.现有技术中采用的报童模型的方法，这些报童模型有的仅分析了单个公司的情况，而忽略了竞争市场；有的分析了竞争市场中的n个公司，但是仅仅考虑库存决策；有的虽然考虑了价格和库存决策，但是没有考虑缺货的影响，分析的内容和层次都不够全面。例如，非专利文献ieee transactions on systems,man,and cybernetics-part a:systems and humans,vol.34,no.4,july 2004，franky.chen等人《a newsvendor pricing game》中描述了储存和销售不同但是可替代产品的n个竞争公司，同时制定价格和库存战略时的决策问题。该方法通过数学证明首先说明均衡是存在的，其次通过使用对角优势理论说明均衡是唯一的。在对竞争情况进行分析之后，该方法将竞争情况与垄断情况进行了对比，通过数值实验说明垄断价格高于竞争价格，公司之间的竞争会导致更低的均衡价格以及更大的订购量。但其没有考虑缺货影响，没有将消费者对缺货的反应考虑在内。


技术实现要素：

4.(一)要解决的技术问题
5.现有技术在获取企业库存与价格决策时没有考虑缺货影响，没有将消费者对缺货的反应考虑在内。
6.(二)技术方案
7.为了解决上述问题，本发明提供了一种考虑缺货影响的企业库存决策和价格决策获取方法，所述方法包括：步骤1，获取与企业价格和库存量相关的参数，所述参数包括消费者选择企业i的概率、企业i的服务水平、企业i的名义效用；其中，所述企业i的名义效用用于表示企业i满足消费者欲望的程度，所述企业i的名义效用包括消费者对缺货的厌恶程度；步骤2，在垄断情况下，通过所述参数建立拥有n个企业的决策者所获得的的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第一最优价格和库存量；步骤3，在竞争情况下，通过所述参数建立企业i的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第二最优价格和库存量。
8.(三)有益效果
9.本发明至少具有以下有益效果：
10.1、通过使用变量替换的方法，将二元优化问题转化为两阶段的一元问题，从而得到了最优解，通过分析可以证明出纳什均衡的存在性，并且可以证明该报童模型中的博弈具有唯一的纳什均衡。
11.2、不仅对垄断市场的考虑缺货影响的报童模型有一定的参考，还考虑了竞争市场情况下，每个公司的决策同时受到其他公司决策影响的情况下，每个公司的策略选择。
12.3、对比分析了竞争情况和垄断情况的最优解的比较关系。可以推出竞争情况中，名义效用竞争情况下的单位价格小于数量竞争情况下的单位价格，两种竞争情况下的单位价格都小于垄断情况下的单位价格。
13.4、当价格是外生情况时，通过使用单调性等相关方法的证明，可以推出纳什均衡的存在性和唯一性。而且通过对服务水平的竞争以及数量竞争两种竞争情况比较来看，服务水平竞争情况下的最优满足率大于等于数量竞争情况下的最优满足率。
附图说明
14.图1是本发明实施例提供的考虑缺货影响的企业库存决策和价格决策获取方法流程图。
具体实施方式
15.为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。
16.首先，需要说明的是，本发明采用mnl模型来描述产品的市场份额，使用mnl模型来描述消费者的选择行为是一种常用的方法，其随机项是独立同分布的gumbel随机变量，基于概率理论，n个选择项的mnl模型可以表达为：
[0017][0018]
p
i,q
是出行者q对选择项i的概率，b是参数。mnl模型通过效用函数确定项的计算就可以获得个体对于不同选择项的选择概率。
[0019]
本发明实施例提供了一种考虑缺货影响的企业库存决策和价格决策获取方法，参见图1，所述法包括下列步骤1-3的内容：
[0020]
步骤1，获取与企业价格和库存量相关的参数，所述参数包括消费者选择企业i的概率、企业i的服务水平、企业i的名义效用；其中，所述企业i的名义效用用于表示企业i满足消费者欲望的程度，所述企业i的名义效用包括消费者对缺货的厌恶程度。
[0021]
具体地，本实施例考虑一个拥有n个企业的决策者，用来表示。假设消费者是同质的，他们对企业i单位产品的估值为v
i
。用c
i
表示企业i购买单位产品的成本，用y
i
和p
i
分别表示决策者对企业i产品的订购量和单位售价。假设消费者市场是随机的，用ε表示，ε的概率密度函数和概率分布函数分别为f(x)和f(x)，均值为μ。由于需求是随机的，但是订购量是有限的，理性的消费者会在做出购买决策前将企业的服务水平考虑在内，
因此用r
i
表示为企业i的服务水平。由此，消费者购买企业i的产品所获得的效用可以表示如下：
[0022]
r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)+ξ
i
[0023]
其中，θlog(r
i
)表示消费者对缺货的厌恶程度，这里使用对数形式的原因是：1)当r
i
＝0时，θlog(r
i
)趋于负无穷，说明，当公司的服务水平趋于0时，消费者购买商品的效用会趋于负无穷，这种情况下消费者就不会选择购买商品。2)当r
i
＝1时，消费者购买该商品的效用完全由商品价格以及消费者对该商品的估值决定。θ为一个介于0到1的常数，表示消费者对缺货现象的厌恶程度。ξ
i
为独立同分布的gumbel随机变量。
[0024]
为了描述消费者的选择行为，本实施例使用mnl模型来描述。这里我们假设ξ
i
是独立同分布的gumbel随机变量。gumbel随机变量指的是均值为0标准差为即pr(ξ
i
≤x)＝exp(-exp(-x/μ+γ))，是欧拉常数。对于一个给定的产品集消费者选择产品i的概率d
i
为
[0025][0026]
其中，θlog(r
i
)表示消费者对缺货的厌恶程度，θ为介于0到1之间的常数，v
i
为消费者对企业i单位产品的估值，p
i
为企业i产品的单位售价，r
i
表示企业i的服务水平，v
j
为消费者对企业j单位产品的估值，p
j
为企业j产品的单位售价，r
j
表示企业j的服务水平。
[0027]
在消费者购买企业i单位产品条件下，企业i的服务水平r
i
通过下式表示：
[0028][0029]
其中，g(z)＝(1/μ)e[min{z,ε}]，且g(z)对变量z是递增的并且是拟凹的。e[min{y
i
,d
i
ε}]是期望销量，μd
i
是期望需求，ε为消费者市场的随机变量。由此得到，y
i
＝d
i
g-1
(r
i
)，g-1
(
·
)是g(
·
)的反函数，并且是递增的。这一变化不仅简化了数学分析，并且为后续的分析提供了基础。
[0030]
企业i的名义效用通过下式表示：m
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)
[0031]
其中，θlog(r
i
)表示消费者对缺货的厌恶程度，θ为介于0到1之间的常数，v
i
为消费者对企业i单位产品的估值，y
i
为决策者对企业i产品的订购量，p
i
为企业i产品的单位售价，r
i
表示企业i的服务水平。
[0032]
步骤2，在垄断情况下，通过所述参数建立拥有n个企业的决策者所获得的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第一最优价格和库存量。
[0033]
在假设存在价格决策和库存决策的情况下，在垄断情况下，拥有n个企业的决策者所获得的期望利润函数π为：
[0034][0035]
其中，h
i
(r
i
)＝μp
i
r
i-c
i
g-1
(r
i
)。m
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)，m
i
表示企业i的名义效用，则决策者所获得的期望利润函数可以简化为以r
i
和m
i
表示的形式：
[0036][0037]
其中，企业i的名义效用m
i
表示为：m
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)；π为拥有n个企业的决策者的期望利润，r
i
为企业i的服务水平，v
i
为消费者对企业i单位产品的估值，c
i
为企业i购买单位产品的成本，μ为随机项ε的均值，m
j
为企业j产品的名义效用，θlog(r
i
)表示消费者对企业i产品缺货的厌恶程度，y
i
为决策者对企业i产品的订购量，d
i
为消费者选择企业i的概率；θ为介于0到1之间的常数。
[0038]
将该拥有n个企业的决策者的期望利润π对r
i
求偏导，可得：
[0039][0040]
可以得到最优解与m
i
的取值无关。因此，μ
·
(r
i
v
i
+θlog(r
i
))-c
i
g-1
(r
i
)是一个常数，这里用m
i
来表示。则公司的期望利润函数可写为：
[0041][0042]
根据前述假设，
[0043][0044]
可以得出m
i
关于d
i
的表达式，即
[0045][0046]
因此，拥有n个企业的决策者的期望利润函数可改写为：
[0047][0048]
对改写后的利润函数求二阶导数，即
[0049][0050]
所以，存在唯一的最优解。综上，垄断情况下，公司最优解所满足的条件如下：
[0051][0052][0053]
在垄断情况下，最优策略(即第一最优价格和库存量)满足：
[0054][0055]
得到：
[0056][0057]
其中，m
i
＝μ
·
(r
i
v
i
+θlog(r
i
))-c
i
g-1
(r
i
)，为垄断情况下企业i的名义效用，r
i
为企业i的服务水平，v
i
为消费者对企业i单位产品的估值，c
i
为企业i购买单位产品的成本，μ为随机项ε的均值，θlog(r
i
)表示消费者对企业i缺货的厌恶程度，y
i
为决策者对企业i产品的订购量，d
i
为消费者选择企业i的概率。
[0058]
步骤3，在竞争情况下，通过所述参数建立企业i的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第二最优价格和库存量。
[0059]
在一种可行的方式中，当市场为竞争市场时，n个公司的竞争包括两个方面，一种是竞争情况为服务水平和名义效用的竞争，另一种是竞争情况为服务水平和订购数量的竞争，由此，该步骤3中包括两个方面：
[0060]
一个方面为：所述竞争情况为服务水平和名义效用的竞争时，通过所述参数建立企业i的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第二最优价格和库存量。
[0061]
企业i的期望利润函数可以写为：
[0062][0063]
其中，m
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)。同样求π
i
对r
i
的偏导，可以得到：
[0064][0065]
同垄断情况相同，在竞争市场中，最优解与m
i
无关，因此，令m
i
＝μ
·
(r
i
v
i
+θlog(r
i
))-c
i
g-1
(r
i
)，公司i的期望利润函数表示为：
[0066][0067]
因为该博弈是超模博弈，则该博弈至少存在一个纳什均衡，并且该纳什均衡满足如下条件：
[0068][0069]
该期望利润函数的相关导数如下：
[0070][0071][0072][0073]
然后，可以得到以下条件：
[0074][0075][0076]
可以得到，对于任意i＝1,2,
…
n，有
[0077][0078]
又因为对于任意i≠j。则上式意味着
[0079][0080]
根据对角优势理论，该博弈存在唯一的纳什均衡。
[0081]
此时，最优策略(即所述第二最优价格和库存量)满足：
[0082][0083]
得到：
[0084][0085]
其中，μ为随机项ε的均值，m
i
＝μ
·
(r
i
v
i
+θlog(r
i
))-c
i
g-1
(r
i
)，为竞争情况为服务水平和名义效用的竞争时企业i的名义效用，为竞争情况为服务水平与名义效用的竞争时企业j的名义效用，r
i
为企业i的服务水平，v
i
为消费者对企业i单位产品的估值，c
i
为企业i购买单位产品的成本，θlog(r
i
)表示消费者对企业i产品缺货的厌恶程度，y
i
为决策者对企业i产品的订购量，d
i
为消费者选择企业i产品的概率；θ为介于0到1之间的常数。
[0086]
第二方面为：所述竞争情况为服务水平和订购数量的竞争时，通过所述参数建立企业i的期望利润函数，获取使该期望利润函数值最大的第二最优价格和库存量。
[0087]
同服务水平与名义效用竞争相同，最优解与m
i
无关，且m
i
相等都满足m
i
＝μ
·
(r
i
v
i
+θlog(r
i
))-c
i
g-1
(r
i
)。并且令
[0088][0089]
则企业i的期望利润函数可以写为：
[0090][0091]
为简便计算，令然后求π
i
(q
i
,q-i
)对q
i
的一阶偏导，可得
[0092][0093]
可以知道，对于任意给定的q，对q
i
是递减的。令表示如下条件：
[0094][0095]
因为对q是递减的，因此可以推出对q是递减的。又因为，有单调性可知，具有唯一解，因此一阶条件具有唯一解，证明服务水平和数量竞争情况下，该博弈具有唯一的纳什均衡。
[0096]
此时，最优策略(即第二最优价格和库存量)满足：
[0097][0098]
得到：
[0099][0100]
另外，本发明实施例还可以比较上述两个方面(即两种情况下)得到的第二最优价格和库存量，分析两种情况下最优解的区别。
[0101]
需要说明的是，垄断和竞争情况下得最优服务水平相同，则两种情况下的m
i
也相同。
[0102]
使用反证法分析根据服务水平和名义效用的竞争和服务水平和订购数量的竞争得到的最优解的比较关系。因为：
[0103][0104]
因此服务水平和名义效用的竞争满足以下条件：
[0105][0106]
假设则可进一步得到：
[0107][0108]
条件是矛盾的，因此可以说明即在竞争情况下，服务水平和名义效用的竞争的最优解大于服务水平和订购数量的竞争的最优解。
[0109]
然后，本发明实施例提供的方法还包括：将所述第一最优价格和库存量与所述第二最优价格和库存量进行对比，获取二者对企业的影响。
[0110]
使用反证法分析竞争情况为服务水平和订购数量的竞争时和垄断情况的最优解
的比较关系。因为：
[0111][0112]
因此，各公司数量的竞争满足以下条件：
[0113][0114]
这里假设则可进一步得到：
[0115][0116]
条件是矛盾的，因此可以说明即竞争情况为服务水平和订购数量的最优解大于垄断情况下的最优解。
[0117]
综上，可以得到三种情况下最优解的比较关系为有前述假设可知：m
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)，分析可得，垄断情况、名义效用竞争情况以及数量竞争情况下，公司最优服务水平均相同。则，根据m
i
的大小关系可以得到三种情况下价格的比较关系为即竞争情况为服务水平和名义效用的竞争时的最优价格小于竞争情况为服务水平和订购数量的竞争时的最优价格，而两种竞争情况下的最优价格都小于垄断情况下的最优价格。
[0118]
也就是说，此时，可以将第一最优价格和库存量与所述第二最优价格和库存量进行对比，得到两种不同竞争环境下最优解的比较关系。从而得到二者对企业的影响，即公司之间的竞争会导致更低的均衡价格以及更大的订购量。
[0119]
另外，上文所述均为基于价格是内生的情况，即价格不为预设值的情况，下面将继续对价格是外生的情况进行分析：
[0120]
当价格是外生的情况下，即在价格为预设值情况下，获取使期望利润最大的第二最优价格和库存量。对于给定价格来说，当市场为竞争市场时，市场中的每个公司都会加入博弈。每个公司销售不同但可替代的产品时，每个公司需要决策服务水平和库存水平，以下分析服务水平的竞争情况。
[0121]
对于服务水平的竞争来说，企业i的期望利润可以表示如下：
[0122][0123]
首先，因为该博弈是超模博弈，则该博弈至少存在一个纳什均衡，并且该均衡解满足以下式子：
[0124][0125]
令x
i
＝r
i
(v
i-p
i
)+θlog(r
i
)，则企业i的利润函数可以表示为：
[0126][0127]
这里h
i
(r
i
)＝μp
i
r
i-c
i
g-1
(r
i
)，并且是是的反函数。接下来，写出的对数形式：
[0128][0129]
这里下面写出利润函数对数形式的导数：
[0130][0131][0132]
然后，可以得到以下条件：
[0133][0134]
因为对于任意k≠i，因此，可以得到
[0135][0136]
根据对角优势理论可知，具有唯一的纳什均衡，且满足如下条件，
[0137][0138]
而则纳什均衡是以下条件的唯一解
[0139][0140]
根据上述假设，可以得到：
[0141][0142]
因此，可以得到在给定价格情况下，竞争市场中纳什均衡是存在并且唯一的。
[0143]
下面考虑在竞争市场中，各公司间的数量竞争问题。令
[0144][0145]
则，
[0146][0147]
则企业i的期望利润可以写成：
[0148][0149]
因为对q
i
递增，是递增的凸函数，h
i
(r
i
)是最大值点为的凹函数，则对于纳什均衡可以得到：
[0150][0151]
为简便计算，令则一阶条件可以写为：
[0152][0153]
因为并且当时，h
i
(r
i
)对r
i
递减。并且对于任意给定的q，
对q
i
递减，令φ
i
(q)表示如下条件：
[0154][0155]
因为对q递减，可以推出φ
i
(q)对q递减。又因为有单调性可知，有唯一解，因此一阶条件具有唯一解，可以推出纳什均衡唯一。
[0156]
使用反证法分析服务水平竞争和数量竞争的最优策略。
[0157]
在服务水平竞争情况下，最优策略满足：
[0158][0159]
可得：
[0160][0161]
在数量竞争情况下，最优策略满足：
[0162][0163]
经化简可得：
[0164][0165]
又因为：
[0166][0167]
则服务水平的竞争满足以下条件：
[0168][0169]
假设则可进一步得到：
[0170][0171]
条件是矛盾的，因此可以说明，即服务水平竞争情况下的最优满足率大于等于数量竞争情况下的最优满足率。
[0172]
以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。