一种含摩擦边界的板结构模态求解方法与流程

本发明涉及结构动力学建模与分析研究领域，特别涉及一种含摩擦边界的板结构模态求解方法。

背景技术：

本发明所阐述的含摩擦边界的薄板结构如附图1所示。为避免结构热膨胀变形，板结构右端滑移铰链在设计时预留间隙δ，以释放结构热应力。薄板中性面沿x轴向的两边为对称的曲线边界，曲线方程分别为f(x)＝c1x²+c2和f1(x)＝y0-c1x²-c2，其中c1、c2和y0为参数。

在高速飞行器、柔性航天器、卫星、空间站等航空航天结构工程中，板是基本而重要的元部件。在结构设计中，为避免结构受热膨胀变形，在板结构端部的滑移铰链设计中会预留间隙，从而形成了摩擦边界。含间隙的摩擦边界会改变板结构的刚度特性，引起结构模态函数的变化，从而导致板结构固有特性的变化。板结构固有特性的变化会影响结构的动力学响应，进而影响柔性航天器的姿态运动及姿态稳定度。鉴于航空航天工程结构中涉及的板大多为薄板，所以本专利以薄板为研究重点。因此对于此类含摩擦边界的薄板结构的固有特性的研究具有重要的现实意义。

当前在对薄板结构的动力学建模及模态求解的研究中，为了处理上的便利，通常都未考虑因铰链间隙而产生的摩擦边界条件，而实际上间隙摩擦边界对薄板结构的固有特性及动力学响应特性的影响不容忽视；目前在薄板结构的模态求解研究中，大都针对矩形、圆形、扇形等具有规则形状的板状结构，而对于具有复杂形状的板状结构的解析模态函数求解还较少有涉及；现有的薄板模态函数求解大都针对某种特定的边界条件，而对于更具工程普遍意义的一般边界条件研究较少。因此对于一般边界条件下含间隙摩擦边界的复杂形状薄板结构，目前的动力学建模和模态求解技术并不能很好地解决这一问题。

技术实现要素：

本发明的目的是：针对含摩擦边界的具有复杂形状的薄板结构，为了能够更精确地描述摩擦边界对薄板结构固有特性的影响，建立了一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函表达式。利用均匀分布弹簧来模拟一般的弹性边界条件，采用二维改进的fourier级数展开来描述薄板的横向位移和面内位移，根据rayleigh-ritz法得到含摩擦边界的薄板的特征方程，从而获得薄板的固有频率和特征向量，进而通过位移容许函数公式得到模态函数的解析表达式。为具有复杂形状的含摩擦边界的薄板结构动力学建模、分析及控制奠定技术基础。

为了实现以上目的，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特点是，包括以下步骤：

s1，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函；

s2，对薄板结构横向和面内边界条件进行模拟；

s3，构造薄板位移容许函数；

s4，求解含摩擦边界的薄板结构解析模态函数。

所述的步骤s1中针对含有摩擦边界的大变形薄板结构，其变形形式包括横向弯曲变形和纵向面内变形；含摩擦边界薄板的能量泛函包括总势能和动能，其中总势能包括弯曲形变产生的势能vp、中面应变产生的势能vε和摩擦边界上的摩擦力所做的功vf；

薄板弯曲形变产生的势能为：

其中，d＝eh³/12(1-υ²)为弯曲刚度，e和υ分别为杨氏模量和泊松比，a为板宽度，h为板厚；f(x)表示抛物线形式的光滑曲线函数，来描述连续薄板的边界曲线方程，即f(x)＝c1x²+c2，其中c1和c2为待求解参量；f1(x)＝y0-f(x)为板的另一条曲边方程，其中y0为参数；

薄板中面应变产生的势能为：

其中u，v，w为位移，ftx、fty和ftxy分别表示薄板中面内力，εx，εy，γxy为应变；

在薄板摩擦边界上，由铰链滑移导致的纵向面内摩擦力所做的功为：

其中px表示薄板摩擦边界上受到的摩擦力，悬臂薄板的动能t表示为：

其中ρ表示板的密度，h表示板的厚度。

所述的步骤s1中，在摩擦力所做功vf的表达式中，薄板摩擦边界上受到的摩擦力其中ft表示摩擦边界上铰链所受的装配预紧力，mt表示与铰链连接的集中质量，μ表示摩擦系数，表示摩擦边界上的面内速度，由px的表达式可知，装配预紧力ft、集中质量mt、铰链间隙值δ和摩擦系数μ均能对板结构的动力学固有特性造成影响；

采用积分域离散方法对能量泛函进行数值积分，以vp为例进行阐述：

令分别沿x和y方向将柔性体积分域等分为g和g1份，则取积分点其中则

所述的步骤s2中，在薄板结构的四条横向边界上分别均匀地布置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：

kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上横向位移弹簧的刚度值，kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f(x)边上旋转约束弹簧的刚度值，当kx0、kxa、ky0、ky1、kx0、kxa、ky0、ky1均取无穷大时，表示薄板四边固支边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1、kx0、kxa、ky0、ky1均取0时，表示薄板四边自由边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1取无穷大，kx0、kxa、ky0、ky1取0时，表示薄板四边简支边界条件；

在薄板结构的四条面内边界上分别均匀地布置法向与切向线性约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：

kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上法向线性位移弹簧的刚度值，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上切向线性位移弹簧的刚度值，当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1、kpx0、kpxa、kpy0、kpy1均取无穷大时，表示薄板面内四边固支边界条件，当其均取0时，表示薄板面内四边自由边界条件；当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取无穷大，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取0或当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取0，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取无穷大时，表示薄板面内四边简支边界条件。

所述的步骤s3中，采用二维改进的fourier级数展开来描述板的横向位移w：

其中λm＝mπ/a，λn＝nπ/b，amn为fourier系数，clm和dln分别为辅助级数的系数，ω1为系统固有圆频率，ξla(x)和ξlb(y)分别为与x和y相关的辅助函数，表示为：

将式上式中的a和x分别用b和y进行替换可得到与y相关的辅助函数；采用二维改进的fourier级数展开来描述纵向位移u：

其中，

ω2为固有圆频率，

其中，λam＝mπ/a，λbn＝nπ/b，bmn表示fourier系数。

所述的步骤s4中利用rayleigh-ritz法推导含摩擦边界薄板的动力学特征方程，当采用均匀弹簧模拟薄板的边界条件后，含摩擦边界的薄板的总势能还包括边界弹簧所存储的弹性势能vk，其中弹性势能vk包括两部分：横向边界弹簧存储弹性势能vkw和面内边界弹簧存储的弹性势能vku，分别为

将步骤s3中采用的改进fourier级数描述板的横向位移w和纵向位移u带入到各个能量泛函表达式中，可得到薄板的拉格朗日函数为：

l＝vp+vε+vk+vf-t

根据rayleigh-ritz法，对未知傅里叶展开系数求极值可知：

则可以得到含摩擦边界的薄板的特征方程为：

其中，为系统刚度矩阵，为质量矩阵，ω为固有圆频率，x为包含所有未知系数的列向量，形式如下：

x＝[a00,…,a0n,a10,…,a1n,…,am0,…,amn,c10,…,c1m,c20,…,c2m,…,c40,…,c4m,

d10,…,d1m,d20,…,d2m,…,d40,…,d4m,b(-2)(-2),b(-2)(-1),b(-1)(-2),b(-1)(-1),b00,…,

其中m和n分别为w的级数展开中m和n的截断数，和分别为u的级数展开中m和n的截断数；a00,a01,…amn,c10,c12,…,c4m,d10,d11,…d4m分别为横向位移w的fourier级数展开式中的参数，分别为纵向位移u的fourier级数展开式中的参数。

对于第j阶系统固有频率wj(j＝1,…,nt),nt为截取的模态数，通过求解特征方程可得到含摩擦边界的薄板的固有频率wj对应的特征向量。然后通过位移容许函数公式可分别得到横向位移和纵向位移的第j阶模态函数表达式。

横向位移模态函数表达式:

纵向位移模态函数表达式:

则含摩擦边界薄板的第j阶模态函数为：

本发明与现有技术相比，具有以下优点：

(1)可以求解含间隙摩擦边界的薄板结构的解析模态函数，所得模态函数充分考虑了边界摩擦效应对薄板结构固有特性的影响；

(2)相比传统的板类结构解析模态函数求解方法，本发明采用改进的傅里叶级数法构造位移容许函数，可以处理任意边界条件下具有复杂形状的板结构，更加具有工程适用性；

(3)相比有限元等数值计算方法，本专利求解模态函数的方法计算效率更高；

(4)采用求得的近似解析模态函数，通过模态离散，可获得系统低维解析动力学模型，便于进行动力学分析及控制律设计；还可研究间隙大小、摩擦法向接触力、摩擦系数、装配预紧力、横截面几何特性、纵横耦合效应等对薄板固有振动特性的影响规律，为板类组合结构设计合理的摩擦边界提供有益参考。

附图说明

图1为含摩擦边界的复杂形状板结构示意图；

图2为含摩擦边界的板结构模态函数求解流程图；

图3为任意横向边界条件下的板结构模型示意图；

图4为任意纵向边界条件下的板结构模型示意图。

具体实施方式

以下结合附图，通过详细说明一个较佳的具体实施例，对本发明做进一步阐述。

图1所示为含摩擦边界的板结构示意图，鉴于航空航天工程结构中涉及的板大多为薄板，因此本专利以薄板为例进行研究。薄板四周的横向边界条件和纵向边界条件分别采用均匀布置的弹簧进行模拟。为避免结构热膨胀变形，板结构右端边界上的滑移铰链在设计时在x方向上预留间隙δ，以释放结构热应力。预留间隙δ足够大，使得铰链只会滑移或粘滞，而不会发生碰撞。ft表示摩擦边界上铰链所受的装配预紧力，mt表示与铰链连接的集中质量，μ表示摩擦系数。薄板沿x方向长度为a，沿y方向长度为b。f(x)表示抛物线形式的光滑曲线函数，来描述连续薄板的边界曲线方程，即f(x)＝c1x²+c2，其中c1和c2为曲线参数；f1(x)＝y0-f(x)表示薄板的另一条边界曲线方程，y0为参数。

如图2所示为本发明一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，主要实施步骤如下：

步骤s1，含摩擦边界的薄板结构能量泛函的建立

含摩擦边界薄板的能量泛函主要包括总势能和动能。其中总势能包括三部分，分别为：弯曲形变产生的势能vp、中面应变产生的势能vε和摩擦边界上的摩擦力所做的功vf。

根据薄板大变形理论，薄板的几何方程为

其中εx，εy，γxy为应变，u，v，w为位移。

薄板中面内力的表达式为

其中，σx，σy和τxy为应力，e和υ分别为杨氏模量和泊松比，h为板厚。

薄板弯曲形变产生的势能为：

其中，d＝eh³/12(1-υ²)为弯曲刚度。

薄板中面应变产生的势能为：

在薄板摩擦边界上，由铰链滑移导致的纵向面内摩擦力所做的功为：

其中px表示薄板摩擦边界上受到的摩擦力。薄板的动能t可表示为：

在摩擦力所做功vf的表达式中，薄板摩擦边界上受到的摩擦力其中ft表示摩擦边界上铰链所受的装配预紧力，mt表示与铰链连接的集中质量，μ表示摩擦系数，表示摩擦边界上的面内速度。由px的表达式可知，装配预紧力ft、集中质量mt、铰链间隙值δ、摩擦系数μ均能对结构的固有特性造成影响。其中ρ表示板的密度。

由于f(x)＝c1x²+c2表示抛物线形式的边界曲线方程，因能量泛函被积函数的复杂性，对于曲线边界，难以实现解析曲线积分且计算效率极低，此处采用积分域离散方法对能量泛函进行数值积分。以vp为例，令分别沿x和y方向将柔性体积分域等分为g和g1份，则取积分点为其中则

本专利给出了一种边界含间隙摩擦的板结构模态函数的解析求解方法，可以充分研究摩擦边界对板的模态函数的影响作用。通过积分域离散方法计算能量泛函中的二重积分，可以大大减小计算量，提高计算效率，并且可以推广到更加复杂的曲线形状边界情况。

步骤s2，薄板结构横向和面内边界条件的模拟

含有摩擦边界的薄板结构，由于面内摩擦力的作用，存在横向弯曲振动与面内振动的耦合现象。面内摩擦力会对横向弯曲振动产生影响。本专利在薄板结构的四条横向边界上分别均匀地布置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，如图3所示，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件。其中kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上横向位移弹簧的刚度值，kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上旋转约束的刚度值。当kx0、kxa、ky0、ky1、kx0、kxa、ky0、ky1均取无穷大时，表示薄板四边固支边界条件，当其均取0时，表示薄板四边自由边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1取无穷大，kx0、kxa、ky0、ky1取0时，表示薄板四边简支边界条件。

在薄板结构的四条面内边界上分别均匀地布置法向与切向线性约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件，如图4所示。kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上法向线性位移弹簧的刚度值，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上切向线性位移弹簧的刚度值。当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1、kpx0、kpxa、kpy0、kpy1均取无穷大时，表示薄板面内四边固支边界条件，当其均取0时，表示薄板面内四边自由边界条件；当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取无穷大，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取0或当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取0，kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取无穷大时，表示薄板面内四边简支边界条件。

采用均匀弹簧来模拟薄板结构横向和面内边界条件的方法，可以通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件，这对于处理具有复杂边界条件、且需要求解近似解析模态的曲边形状薄板类结构具有极大的优势。

步骤s3，薄板位移容许函数的构造

采用二维改进的fourier级数展开来描述板的横向位移w

其中λm＝mπ/a，λn＝nπ/b，amn为fourier系数，clm和dln分别为辅助级数的系数，ω1为系统固有圆频率。ξla(x)和ξlb(y)分别为与x和y相关的辅助函数，可表示为：

将式上式中的a和x分别用b和y进行替换可得到与y相关的辅助函数。通过辅助级数的引入，解决了振动位移导数在边界处不连续的问题。此位移函数可以同时满足位移边界条件和力的边界条件，能够适用于任意的弹性边界条件，同时能改善级数的收敛性。

采用二维改进的fourier级数展开来描述纵向位移u：

其中，

ω2为固有圆频率。

其中，λam＝mπ/a，λbn＝nπ/b，bmn表示fourier系数。

在实际应用中，可以根据含摩擦边界的曲边板结构的具体边界条件确定均匀弹簧的刚度值，能够克服模拟复杂边界条件的难题。

利用改进的傅里叶级数构造位移容许函数，能够解决振动位移导数在边界处不连续的难题，为利用rayleigh-ritz法求解含摩擦边界薄板的解析模态函数奠定坚实的基础。

步骤s4，含摩擦边界的板结构解析模态函数求解

利用rayleigh-ritz法推导含摩擦边界薄板的动力学特征方程。当采用均匀弹簧模拟薄板的边界条件后，含摩擦边界的薄板的总势能还包括边界弹簧所存储的弹性势能vk。弹性势能vk包括两部分：横向边界弹簧存储的弹性势能vkw和面内边界弹簧存储的弹性势能vku，分别为：

vk＝vkw+vku(15)

将步骤s3中采用改进fourier级数描述的板的横向位移w和纵向位移u代入到各个能量泛函表达式中，可得到薄板的拉格朗日函数为：

l＝vp+vε+vk+vf-t(16)

当能量泛函表达式采用改进的fourier级数表示后，对于曲线形状方程f(x)，将面临难以实现解析曲线积分和积分计算效率低下的难题。然后利用步骤(1)中介绍的积分域离散方法对能量泛函进行数值积分，这样可以大大减小积分计算量，提高计算效率，并且可以推广应用到更复杂的曲线形状边界情况。

根据rayleigh-ritz法，对未知傅里叶展开系数求极值可知：

则可以得到含摩擦边界的薄板的特征方程为：

其中，为系统刚度矩阵，为质量矩阵，ω为固有圆频率，x为包含所有未知系数的列向量，形式如下：

其中m和n分别为w的级数展开中m和n的截断数，和分别为u的级数展开中m和n的截断数；a00,a01,…amn,c10,c12,…,c4m,d10,d11,…d4m分别为横向位移w的fourier级数展开式中的参数，分别为纵向位移u的fourier级数展开式中的参数。

对于第j阶系统固有频率wj(j＝1,…,nt),nt为截取的模态数，通过求解特征方程(18)可得到含摩擦边界的薄板的固有频率wj对应的特征向量，如式(19)形式。然后通过位移容许函数公式(10)和(12)可分别得到横向位移和纵向位移的第j阶模态函数表达式：

横向位移模态函数表达式:

纵向位移模态函数表达式:

则含摩擦边界薄板的第j阶模态函数为：

利用rayleigh-ritz法求得了含摩擦边界板结构的解析模态函数，所得模态函数充分考虑了边界摩擦效应对板结构固有特性的影响。相比有限元等数值计算方法，本专利求解模态函数的方法计算效率更高。采用求得的近似解析模态函数，通过模态离散，可获得系统低维解析动力学模型，便于进行动力学分析及控制律设计，且可用于分析边界摩擦效应对系统固有特性及动力学特性的影响。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。