一种基于分层MMDD与MDD的多状态隔离效应建模方法与流程

一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法
技术领域
1.本发明属于隔离效应的系统建模领域，具体涉及一种基于分层mmdd和mdd的多状态系统隔离效应建模方法。


背景技术：

2.在工程实际中，很多部件或子系统之间是难以独立完成功能的，而是需要其他部件的配合来实现系统规定的功能，这就引起了一种现象：一个部件(相关部件)实现其规定功能需要依赖于其他部件(触发部件)的正常工作，这种部件之间的关系被称为功能相关。而触发部件的故障，会导致相关部件不可访问或故障，这时称相关部件被触发部件隔离。比如计算机系统中，显示器和键盘等外围设备可以通过i/o控制器访问主机。但当i/o控制器发生故障时，外围设备便不可访问主机了，即外围设备被隔离了。
3.当考虑功能相关时，造成相关部件不可靠的原因除了自身的退化和系统外的冲击外，还有可能是触发部件故障所带来的隔离效应，这会导致系统的可靠性比预期的偏低。另一方面，部件的某种故障模式可能会对其所在子系统或整个系统造成破坏性影响，这种故障模式被称为传播故障，这一过程为故障传播。例如，电容的爆炸可能会导致其临近部件的烧毁或焊点断裂。
4.若触发部件在相关部件发生传播故障之前发生故障时，相关部件便被触发部件隔绝在系统之外，从而导致相关部件的故障传播不会发生；从这一角度来看，系统的可靠度有可能会高于预期。可见，触发部件及其对相关部件的隔离效应对系统的故障行为和可靠性均有着重要影响。
5.然而在实际工程上，触发部件的故障可能并不会导致相关部件的完全隔离。如果触发部件故障后只是造成相关部件的不可访问，而相关部件还在正常工作时，那么相关部件仍然有可能通过改变环境应力而对邻近部件产生影响。也就是说相关部件只是被触发部件从功能层面上被隔离出系统，而在物理层面上，其对周围环境造成的影响并没有被隔离。例如，大功率器件的正常工作会引起周围温度的升高、使工作环境更加严酷。
6.例如，在电子产品中，正常工作的部件可以通过热传导、电磁辐射等方式影响周围环境。当部件故障后，其周围的环境应力便不再受其影响而发生变化，这种应力的变化会导致该部件附近的其他部件内部的故障机理发展过程产生变化。例如，功率管在正常工作时，会产生大量的热，引起其周围环境温度升高；当功率管故障后，其周围温度会有较大幅度的降低，这时，临近功率管的元器件内部的、受温度影响的故障机理的发展速率也会发生相应变化。
7.在机械系统中，部件会通过产生磨屑、漏液、离心扰动等方式影响周围的环境应力。例如，液压泵的活塞在工作时会产生较大的热量和微小磨屑，这会导致液压油变质、腐蚀性增强，进而降低其他活塞及液压管道的寿命；当活塞故障后，这种影响便不会在继续持续。另一个例子是变速箱齿轮。齿轮在工作时会产生磨屑，这些磨屑会通过恶化工作环境影响其他零件的工作精度、加快其他零件的磨损速度。但齿轮故障后，其便不会再产生磨削及
对其他零件继续造成影响。
8.目前，只有极少数学者研究过相关部件没有被隔离的情况，但是相关部件被隔离后的物理影响还没有被学者研究过。环境应力的变化也会导致部件的故障率随之发生变化，但是大多数学者的研究也仅仅停留在观察不同环境应力下部件的故障率的初始阶段，学者们并没有更加深入地研究环境应力是如何在故障物理层面上改变部件的退化过程。
9.与此同时，在工程实际应用的系统往往会有复杂的系统功能或系统结构，例如多状态系统和多阶段(任务)系统。系统往往会表现出多层次的性能水平：完好、可接受、退化、完全故障等，这样的系统被称为多状态系统。若考虑未被隔离的物理影响对复杂系统的可靠性的影响时，系统内部的故障机理退化过程可能会更加复杂、并表现出多种可能的发展情况。
10.传统的可靠性分析方法是一种以大量试验数据或历史数据为分析对象，并结合数理统计的对系统或产品的可靠性进行评估的方法。但随着制造技术的更新换代和许多新材料、新器件的使用，一方面，许多历史数据存在可信性的问题；而另一方面，若进行大量现场试验以收集足够准确的可靠性数据，又会需要大规模的资金和时间的投入。为解决这些问题，故障物理方法应运而生。
11.故障物理(physics of failure，pof)，又称为可靠性物理，是从化学和物理的微观结构角度，来研究材料、零件(元器件)和结构的故障机理(failure mechanism，fm)，并分析其所在的工作和环境应力以及时间对产品退化或故障的影响。此方法认为部件的故障是环境应力、人为因素等外因，和产品的材料、结构、生产工艺等内因共同作用的结果。通过分析、总结故障机理的故障前时间和内因、外因的关系，对元器件的故障机理建立故障物理模型。因此，便可不需对元器件进行大量试验，只要确定某故障机理的应力环境、结构尺寸等参数，便可得到该故障机理的故障时间。
12.虽然故障物理为新研产品或历史数据较少的产品的可靠性设计提供了新的思路，但在实际生产和使用过程中，故障物理模型中的有关参数具有不确定性，这将使故障物理方法得到的故障时间与试验验证得到的结果会有较大的误差。
13.通过对故障物理方法和可靠性预计方法进行研究，zoran mati
é
等认为环境因素的不确定性、任务剖面的不确定性和制造过程中的不确定性等三方面不确定性是故障物理模型的参数不确定性的主要来源。为有效消除不确定性因素的影响，zoran mati
é
等认为需对故障机理的故障时刻进行概率化分析，并提出了概率故障物理(probabilistic physics of failure,ppof)的方法，从而获得了关于可靠性指标的概率值。
14.目前，为了在可靠性分析中考虑参数分散性，一般的方法是先对故障物理模型解析后再采取蒙特卡洛抽样的方法。例如，国际知名的故障物理研究机构，马里兰大学(university of maryland)的calce中心开发出了世界上第一款商用化的、基于概率故障物理的方法来评估板级产品寿命的软件—calcepwa。该软件考虑了尺寸的分散性，并将故障物理模型中的外形尺寸参数进行离散，再利用蒙特卡洛法得到故障机理的若干个寿命抽样值，最后再根据这些数据拟合成相应的寿命分布。
15.目前，虽然学者们只对较少的故障机理进行了研究，完整的体系和广为认可的物理模型还尚未形成。但是，该方法可由故障物理模型得到故障机理的寿命，而非进行大量试验，极大地节约了成本；同时又考虑了模型中参数的分散性对可靠性造成的影响，弥补了故
障物理方法的不足，从而使得对可靠度的定量分析更加切合现实情况，有广阔的应用前景。
16.关于多状态系统的研究中，绝大多数文献都认为部件性能的退化到不同的程度是导致部件出现多状态的原因，这是与现实相符合的。但在分析这种退化时，许多文献作出了部件状态转移概率已知的假设，即部件从一个状态转移到另一个状态的时间分布是已知；在这种假设下，部件在前一个状态的持续时间与后一状态的持续时间完全是统计独立的。然而，在实际工程中，部件的退化速度和退化过程是与其所经历的任务剖面息息相关的：如果部件的任务剖面不发生变化，部件的退化速度和退化过程应该是相关的、连续的，部件在不同状态的时间间隔也必然是有关的。目前，尚未有学者对部件的状态相关性与环境应力的关系展开研究。
17.因此，有关文献中定义了一种物理隔离效应的定义：在一个物理触发部件(记为p
t
)完全故障后，物理相关部件(记为pd)不再受到p
t
正常工作时、通过环境应力而产生的影响，称pd被从p
t
的物理影响中隔离开，这一现象被称为物理隔离效应(physical isolation effect，pi effect)。
18.值得注意的是，研究的物理隔离效应具有明确的物理触发和物理相关部件，即需要明确指出哪些pd是从哪一个p
t
的物理影响中隔离开的。所以，在没有明确p
t
和pd，及p
t
的物理影响之前，是不能准确地描述物理隔离效应的。另一方面，即使一个部件被物理隔离、且在其寿命范围内不会受到其他部件的物理影响，但是该部件也不会完全与外界的物理环境隔离，仍然会受到任务剖面的环境应力的影响。
19.在实践中，系统中的所有部件都会对整个环境产生各自的物理影响，并受到其他部件的物理影响，这是个十分复杂的物理影响耦合现象。为了简化物理隔离效应的研究难度，本发明作出以下假设：
20.(1)系统中的部件是不可修复的二元状态部件。任何零件、元器件或产品都不能从故障或不可用状态中恢复，并且部件的状态只有可靠或故障两种状态。
21.(2)物理触发部件对周围环境的影响只在其故障时发生变化，在其它任何时候都保持恒定。此外，环境应力完成变化的时间与部件和整个系统的寿命相比可以忽略不计，因此认为这种变化是瞬间发生的。
22.(3)一个部件不能既是物理触发部件，又是物理相关部件。
23.(4)故障机理在恒定应力水平下的发展速度是不变的，故障机理造成的损伤是线性累加的。
24.通过对现有技术进行检索和查新，国内外尚没有学者提出一种多状态系统隔离效应的可靠性建模方法。


技术实现要素：

25.本发明的目的在于提供一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法，在考虑隔离效应的情况下，为多状态系统的可靠性分析提供一种基于多状态多值决策图(multi-state multi-valued decision diagram，mmdd)模型和多值决策图(multi-valued decision diagram，mdd)模型的分层建模方法。其中，多状态多值决策图模型(mmdd)用于系统层建模，多值决策图(mdd)模型用于部件层建模，另外，本发明分析了物理隔离效应对多状态部件内部故障机理的退化过程的影响，并推导出相关的状态概率函数。
26.本发明的技术方案如下：一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法，包括以下步骤：
27.步骤一：建立系统结构mmdd模型
28.在分析系统功能结构的基础上，确定功能相关关系，分析部件对环境的影响，确定部件状态与系统状态的关系，建立多状态故障树(multi-state fault tree，mft)模型，最终生成系统各状态的mmdd模型；
29.步骤二：建立部件mdd模型
30.识别所有部件的主要故障机理，确定机理类型其相关关系，得到机理寿命分布类型和分布参数，确定对应部件状态的损伤阈值，最终建立各部件的mdd模型；
31.步骤三：建立系统最终的mmdd模型。
32.所述的步骤一具体包括以下步骤：
33.(1)分析系统功能结构并明确系统的各种状态；
34.(2)根据所分析的系统功能结构，确定系统功能相关关系fdep；
35.(3)分析系统中各部件对环境的影响；
36.(4)选取程度最大或者风险最高的环境影响，确定出系统需要考虑的物理隔离效应；
37.(5)在已知系统功能结构、各部件相关关系以及部件的环境影响的情况下，确定所有部件的状态与系统状态的关系；
38.(6)分别建立系统各状态的多状态故障树；
39.(7)将mft模型转化为mmdd模型，从而分别生成系统各状态的mmdd模型。
40.所述的步骤一中所涉及的确定所有部件的状态与系统状态的关系包括：确定系统所包含的子系统；确定子系统的各种状态与子系统部件状态的关系；确定整个系统的各种状态与子系统状态之间的逻辑关系。
41.所述的步骤一中所涉及的将mft模型转化为mmdd模型的方法为：逐个分析逻辑门所连接部件的全部状态组合情况，并逐个分析部件状态组合对系统状态的影响。
42.所述的步骤二具体包括以下步骤：
43.(1)在所限定的各种状态的工作环境和功能条件下，对部件进行故障模式、机理及影响分析，识别所有部件的主要故障机理；
44.(2)根据各元器件在限定工作环境和功能条件下所承受的应力以及自身的结构以及材料特点，确定机理类型及相关关系；
45.(3)根据概率故障物理方法，得到故障机理的寿命分布类型及分布参数；
46.(4)确定对应部件状态的损伤阈值；
47.(5)分别建立各部件的mdd模型。
48.所述的故障机理相关关系包括竞争，加速/抑制，损伤累加/参数联合。
49.所述的确定对应部件状态损伤阈值的方法为：根据设计人员对部件功能状态设置的阈值，并结合相关物理公式、历史数据或专家经验，确定各个故障机理对应的状态阈值，并以“完全故障”状态为单位1作归一化。
50.所述的步骤三具体包括以下步骤：
51.(1)用物理触发部件的mdd模型替换物理相关部件中的节点p
t
；
52.(2)用部件mdd模型分别替代系统状态mmdd模型中代表部件的节点，从而获得最终的系统状态mmdd模型；
53.(3)计算系统状态概率的解析解。
54.所述的步骤三中涉及的计算系统状态概率的解析解是指通过分析物理隔离效应对故障机理退化到各个状态阈值的可能性，推导相应的状态概率函数，遍历mmdd模型找到所有导致系统表现相应状态的故障机理状态组合，从而计算系统状态概率的解析解。
55.本发明的有益效果在于：(1)本发明分析了物理隔离效应对故障机理退化到不同状态的进程的影响，并推导了相应的状态概率函数。在目前的研究中，学者认为部件的传播故障被功能隔离后，部件便被完全从系统中隔离、不会再对系统产生任何影响，这是与工程实际所不符的。因为部件被隔离但还未故障时，其对其他系统部件仍有热辐射、电磁干扰等物理影响，这种影响在多状态系统中可能会表现出更多的故障行为，这没有被研究过。本发明讨论了物理隔离效应对故障机理退化到不同状态的进程的影响，并推导了相应的状态概率函数；根据概率故障物理的方法，得到各机理的寿命分布，有效避免了传统的基于数理统计的方法难以获取考虑隔离效应的元器件及故障机理的寿命数据的问题。
56.(2)本发明给出了考虑隔离效应的多状态系统可靠性建模方法。当分析含功能相关的多状态系统的可靠性时，考虑到触发部件对相关部件的隔离效应，现有的建模方法都不能很好的兼容这种新变化，本发明提出了一种考虑隔离效应的可靠性建模方法，采用分层建模方法，通过建立系统结构mmdd模型以及部件mdd模型，有效解决了考虑隔离效应的多状态系统可靠性建模问题，该建模方法可有效降低系统状态概率的布尔运算难度。
附图说明
57.图1是本发明一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法的具体流程图；
58.图2是本发明中范例表现为状态s1时的mft模型图；
59.图3是图2中的逻辑或门
①
建立的mmdd模型图；
60.图4是图2中的功能相关关系门建立的mmdd模型图；
61.图5是图2中的逻辑与门
②
建立的mmdd模型图；
62.图6是图2所代表的系统状态s1的mmdd模型；
63.图7是针对呈竞争关系的故障机理建模的mft模型示意图；
64.图8是针对呈竞争关系的故障机理建模的mdd模型示意图；
65.图9是针对呈损伤累加关系的故障机理建模的mft模型示意图；
66.图10是针对呈损伤累加关系的故障机理建模的mdd模型示意图；
67.图11是针对呈加速/抑制关系的故障机理建模的mft模型示意图；
68.图12是针对呈加速/抑制关系的故障机理建模的mdd模型示意图；
69.图13是考虑物理隔离效应的故障机理损伤累加的过程。
具体实施方式
70.下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。
71.本发明提供一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法，包括以下步骤：
72.步骤一：建立系统结构mmdd模型
73.在分析系统功能结构的基础上，确定功能相关关系，分析部件对环境的影响，确定部件状态与系统状态的关系，建立多状态故障树模型(mft)，最终生成系统各状态的mmdd模型；
74.具体包括以下步骤：
75.(1)分析系统功能结构并明确系统的各种状态；
76.(2)根据所分析的系统功能结构，确定系统功能相关关系fdep；
77.(3)分析系统中各部件对环境的影响；
78.(4)选取程度最大或者风险最高的环境影响，确定出系统需要考虑的物理隔离效应；
79.(5)在已知系统功能结构、各部件相关关系以及部件的环境影响的情况下，确定所有部件的状态与系统状态的关系；
80.(6)分别建立系统各状态的多状态故障树(multi-state fault tree，mft模型)；
81.(7)将mft模型转化为mmdd模型，从而分别生成系统各状态的mmdd模型。
82.步骤一中所涉及的确定所有部件的状态与系统状态的关系包括：确定系统所包含的子系统；确定子系统的各种状态与子系统部件状态的关系；确定整个系统的各种状态与子系统状态之间的逻辑关系；
83.步骤一中所涉及的将mft模型转化为mmdd模型的方法为：逐个分析逻辑门所连接部件的全部状态组合情况，并逐个分析部件状态组合对系统状态的影响。
84.步骤二：建立部件mdd模型
85.识别所有部件的主要故障机理，确定机理类型其相关关系，得到机理寿命分布类型和分布参数，确定对应部件状态的损伤阈值，最终建立各部件的mdd模型；
86.步骤二具体包括以下步骤：
87.(1)在所限定的各种状态的工作环境和功能条件下，对部件进行故障模式、机理及影响分析(fmmea)，识别所有部件的主要故障机理；
88.(2)根据各元器件在限定工作环境和功能条件下所承受的应力以及自身的结构以及材料特点，确定机理类型及相关关系；
89.(3)根据概率故障物理方法，得到故障机理的寿命分布类型及分布参数；
90.(4)确定对应部件状态的损伤阈值；
91.(5)分别建立各部件的mdd模型；
92.所述故障机理相关关系包括竞争，加速/抑制，损伤累加/参数联合。
93.确定对应部件状态损伤阈值的方法为：根据设计人员对部件功能状态设置的阈值，并结合相关物理公式、历史数据或专家经验，确定各个故障机理对应的状态阈值，并以“完全故障”状态为单位1作归一化。
94.步骤三：建立系统最终的mmdd模型
95.结合步骤一、步骤二中建立的系统结构mmdd模型以及部件mdd模型，建立系统最终的mmdd模型；
96.具体包括以下步骤：
97.(1)用物理触发部件(p
t
)的mdd模型替换物理相关部件(pd)中的节点p
t
；
98.(2)用部件mdd模型分别替代系统状态mmdd模型中代表部件的节点，从而获得最终
的系统状态mmdd模型；
99.(3)计算系统状态概率的解析解；
100.步骤三中涉及的计算系统状态概率的解析解是指通过分析物理隔离效应对故障机理退化到各个状态阈值的可能性，推导相应的状态概率函数，遍历mmdd模型找到所有导致系统表现相应状态的故障机理状态组合，从而计算系统状态概率的解析解。
101.本方法提供的一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法。在多状态系统中，部件退化到不同的状态会导致系统表现出不同的状态。因此，在对多状态系统进行可靠性建模时，按照系统层、部件层分别对系统和部件表现为不同状态进行描述。此方法中，利用mmdd模型完成系统结构建模，利用mdd模型完成部件状态建模。
102.图1为本发明一种基于分层mmdd与mdd的多状态隔离效应建模方法的具体流程图，下面将结合图1对此建模方法的具体工作步骤做进一步描述。
103.步骤一：建立系统结构mmdd结构模型
104.具体包括以下步骤：
105.(1)分析系统功能结构并明确系统的各种状态；
106.(2)根据所分析的系统功能结构，确定系统功能相关关系fdep；
107.(3)分析系统中各部件对环境的影响；
108.(4)选取程度最大或者风险最高的环境影响，确定出系统需要考虑的物理隔离效应；
109.(5)在已知系统功能结构、各部件相关关系以及部件的环境影响的情况下，确定所有部件的状态与系统状态的关系；
110.(6)分别建立系统各状态的多状态故障树(multi-state fault tree，mft模型)；
111.(7)将mft模型转化为mmdd模型，从而分别生成系统各状态的mmdd模型；
112.步骤一中所涉及的确定所有部件的状态与系统状态的关系包括：确定系统所包含的子系统；确定子系统的各种状态与子系统部件状态的关系；确定整个系统的各种状态与子系统状态之间的逻辑关系；
113.步骤一中所涉及的将mft模型转化为mmdd模型的方法为：逐个分析逻辑门所连接部件的全部状态组合情况，并逐个分析部件状态组合对系统状态的影响。下面以图2所示的范例mft模型来进行说明将mft模型转化为mmdd模型的方法。
114.图2中，描述三个部件a、b、c的状态与系统表现为状态s1的逻辑关系。其中，xi(x＝a,b,c，i＝0,1)表示部件x为状态si。
115.对于逻辑或门，应逐个分析逻辑或门所连接部件的全部状态组合情况，对部件状态按照逻辑或进行运算。图2范例fmt模型中的逻辑或门
①
对应的mmdd模型如图3所示。
116.对于功能相关门，应逐个分析功能相关门所连接部件的全部状态组合情况，但无法将其等同与逻辑获取关系，只能根据系统实际情况进行确定。经分析，确定部件a处于状态s1、部件t处于s0或s1时，系统处于s1；并且a处于状态s0、部件t处于s1，系统处于s1。则图2中的功能相关门对应的mmdd模型如图4所示。
117.对于逻辑与门，应逐个分析逻辑与门所连接部件的全部状态组合情况，对部件状态按照逻辑与进行运算。图2范例fmt模型中的逻辑或门
②
对应的mmdd模型如图5所示。
118.图2所代表的系统状态s1的mmdd模型如图6所示。
119.步骤二具体包括以下步骤：
120.(1)在所限定的各种状态的工作环境和功能条件下，对部件进行故障模式、机理及影响分析(fmmea)，识别所有部件的主要故障机理；
121.(2)根据各元器件在限定工作环境和功能条件下所承受的应力以及自身的结构以及材料特点，确定机理类型及相关关系；
122.(3)根据概率故障物理方法，得到故障机理的寿命分布类型及分布参数；
123.(4)确定对应部件状态的损伤阈值；
124.(5)分别建立各部件的mdd模型；
125.步骤二中所涉及的故障机理类型包括e类机理、o类机理、c类机理，各类机理的具体描述如表1所示。
126.表1三种基本故障机理类型
[0127][0128]
步骤二中所涉及的故障机理相关关系包括竞争，加速/抑制，损伤累加/参数联合。故障机理相关关系具体描述如表2所示。
[0129]
表2本发明中考虑的故障机理相关关系
[0130]
[0131][0132]
步骤二中所涉及的确定对应部件状态损伤阈值的方法为：根据设计人员对部件功能状态设置的阈值，并结合相关物理公式、历史数据或专家经验，确定各个故障机理对应的状态阈值，并以“完全故障”状态为单位1作归一化。
[0133]
步骤二中所涉及的建立mdd模型的具体方法为：结合对部件主要故障机理及其相关关系的分析，可先建立部件的故障机理树模型，故障机理树模型更直观的表现故障机理相关关系，在此基础上建立部件mdd模型。
[0134]
建立部件mdd模型，具体方法包括：
[0135]
(a)对于竞争关系：假设部件t有两个故障机理m
t1
和m
t2
，它们之间呈竞争关系，则其故障机理树模型如图7所示，其mdd模型如图8所示。
[0136]
(b)对于促进/抑制关系：物理隔离效应是一种特殊的加速/抑制关系，下面通过对物理隔离效应建模来演示加速/抑制关系的建模方法。假设部件a与部件c存在物理隔离效应，其中部件a为物理触发部件，物理相关部件c主要受故障机理mc1的影响，则其故障机理树如图9所示。bdd模型如图10所示。其中mc表示物理隔离效应未发生时故障机理mc的状态情况，m
c*
表示物理隔离效应已经发生时故障机理mc的状态情况。
[0137]
(c)对于损伤累积或参数联合关系：可将成损伤累积或参数联合关系的故障机理看作一个故障机理，进行分析。假设部件b有两个故障机理m
b1
和m
b2
，二者呈损伤累加关系，其fmt模型如图11所示，将其视作一个故障机理组合(m
b12
)，则其mdd模型如图12所示。
[0138]
步骤三：建立系统最终的mmdd模型：
[0139]
具体包括以下步骤：
[0140]
(1)用物理触发部件(p
t
)的mdd模型替换物理相关部件(pd)中的节点p
t
；
[0141]
(2)用部件mdd模型分别替代系统状态mmdd模型中代表部件的节点，从而获得最终的系统状态mmdd模型；
[0142]
(3)计算系统状态概率的解析解；
[0143]
步骤三中涉及的计算系统状态概率的解析解是指通过分析物理隔离效应对故障机理退化到各个状态阈值的可能性，推导相应的状态概率函数，遍历mmdd模型找到所有导致系统表现相应状态的故障机理状态组合，从而计算系统状态概率的解析解。
[0144]
故障机理处于某一状态的实际概率向量为：
[0145][0146]
其中，p
i-j
(0≤i,j≤n)表示在故障机理处于状态si、物理触发部件才发生故障的前提条件下，故障机理在任意时刻处于状态sj的概率。p
i-j
的计算方法如下：
[0147]
现假设某一部件a表现出(n+1)个状态，s0、s1、s2、
…
、sn。其中，s0表示部件可靠，sn表示部件完全故障，其余状态为不同的退化状态，并且按照s0→
s1→…→
sn的顺序逐渐退化。a的每个状态都对应着故障机理ma的唯一一个损伤阈值，分别为y0、y1、y2、
…
、yn；也可称故障机理ma有着(n+1)个状态。由于部件多状态出现的顺序是固定，则故障机理的损伤阈值应满足y0《y1《y2《
…
《yn。将损伤阈值作归一化处理，得α0《α1《α2《
…
《αn。显然可靠状态对应的损伤阈值为α0＝0，完全故障的阈值αn＝1。令物理隔离部件发生故障的时刻为t
t
，故障机理ma在物理隔离效应发生前的环境条件下达到完全故障的寿命为ta，即在物理隔离效应发生前，此故障机理的发展速率为1/ta；在物理隔离效应发生后的环境条件下达到完全故障的寿命为t'a。则故障机理的损伤累积表达式为：
[0148][0149]
故障机理ma的损伤累加过程如图13所示。图13中t
m1
,
…
,t
mn
分别为故障机理在物理隔离效应发生前的应力条件下发展时，达到各故障阈值的时刻；t'
m1
,
…
,t'
mn
分别物理隔离效应发生后，故障机理表现为各个状态的实际时刻。物理触发部件的完全故障时刻t
t
为连续随机变量时，令物理触发部件的故障概率密度函数为f
t
。
[0150]
令物理隔离效应发生在故障机理表现为状态si(0≤i《n)时。在任意时刻t≤t
t
故障机理达到阈值αj(j≤i)的概率为：
[0151][0152]
在任意时刻t》t
t
，故障机理造成的损伤达到阈值αj(i《j≤n)的概率为：
[0153][0154]
所以，故障机理正好处于状态αj(0≤j《n)的概率为：
[0155][0156]
其中，当j＝0时，显然，f
i-0
(t)＝1，则p
i-0
(t)＝1-f
i-1
(t)；当j＝n时，p
i-n
(t)＝f
i-n
(t)。