一种内置薄壁波纹圆筒空心楼盖力学分析测算方法

本发明涉及建筑测试领域，尤其是涉及一种内置薄壁波纹圆筒空心楼盖力学分析测算方法。

背景技术：

现浇混凝土空心楼盖是顺应节能减排、绿色环保潮流而兴起的一种新颖的技术体系。空心楼盖不仅满足了大空间、大跨度的建筑结构要求，而且满足抗震性能的要求，显得更加舒适，更加美观。现浇混凝土空心楼盖结构特点主要体现在自重较轻，楼层净高提升、跨度大，结构布置灵活等方面，因此越来越广泛地应用于实际工程中。然而空心楼盖受到填充体形状的影响，导致的楼盖受力性能改变，其力学性能较为复杂。

对于空心楼盖的刚度挠度等力学性能研究，李凤武先生针对薄壁箱体现浇混凝土空心楼盖进行研究，对影响楼盖内力与变形的因素进行了分析，提出了楼盖刚度和内力的简化计算方法，并且考虑了薄膜效应与已有的试验结果进行了对比分析，为薄壁箱体现浇混凝土空心楼盖提供了理论依据。

张先进先生对双向混凝土板进行了线荷载作用下的挠度分析，简化位移函数，分析正常使用状态下四边固支与四边简支条件下双向板的抗弯刚度的非线性特征，经过与ansys软件计算结果相比，导出了四边固支的抗弯刚度公式。

宗敏先生在已有的内置圆筒式空心楼盖的技术上，提出了新型大跨度双向空心楼盖，通过对有限元模型的分析，提出了该类楼板的弹性刚度计算公式和短期刚度的建议公式；2013年，汤磊等根据我国自定的相关规范与理论设计，结合了前人研究的新型港钢筋桁架双向板与现浇双向板对比的试验结果，对刚度计算的放大进行了修正，得到了新型叠合双向板刚度和挠度的计算方法。

纪海凤先生基于克希霍夫(kirchhoff)理论的正交各向异性板的小挠度弯曲方程，应用了莱维法分析得出影响等效刚度的五个参数，采用单一变量法结合赛代尔波纹管等效刚度公式求解出了了四边简支条件下受到均布荷载的波纹板与方波纹板的等效刚度计算公式。

杜巍先生针对现存空心楼盖的内置模盒损耗过高的缺点而采用薄壁波纹管作为一种新型的填充模盒放置于混凝土空心楼盖当中。对薄壁波纹管进行了横向受压与受弯试验，并与内置塑料管的空心楼盖进行了抗弯试验对比研究，实验表明，薄壁波纹管提高了楼盖的承载能力，同时也得出了一种新的承载力与刚度的计算公式。

周静海先生对含有再生混凝土的板做了四边简支条件下受到集中荷载板的性能试验，研究其力学性能，通过对板的挠度的研究，分析了再生混凝土板与基准混凝土板之间的挠度关系，提出了两种板之间的挠度计算公式的修正系数。

梁兴文先生等对双向板进行了静力加载试验，在均布荷载的作用下观察双向板楼盖中各个区域的隔板的挠度值，同时建立了双向板的挠度计算公式。但是时基于单向受弯构件挠度计算的原理，未考虑完全。

还有如cn201910720738.8，公开了一种预制组合式空腔楼盖空间受力的确定方法，包括步骤1、确定预制组合式空腔楼盖空间受力计算模型；步骤2、确定上、下表层板的平面刚度；预制组合式空腔楼盖的连接件视为剪力键，步骤3确定夹心层的基本位移和等代剪切刚度；步骤4、确定物理方程；步骤5、确定平衡方程；步骤6、以一个新的函数表示连续为夹层板的六阶偏微分方程，求解；全面考虑了预制组合式空腔楼盖的板中上、下表层板的厚度、剪力键最窄处宽度、板厚等对结构的受力性能影响，而且误差满足工程应用要求。

又如：cn201910720945.3《一种预制组合式空腔楼盖挠度和内力的确定方法》，包括以下步骤步骤一、建立预制组合式空腔楼盖计算模型，步骤二、确定三个边界条件条件，步骤三、确定三个广义位移，步骤四、确定挠度系数和转角系数，步骤五、计算内力m、q，该发明能够解决预制组合式空腔楼盖的简单或复杂的线性和非线性实际工程问题，全面考虑了预制组合式空腔楼盖的板中上、下表层板的厚度、剪力键最窄处宽度、板厚等几何构造参数对结构的受力性能的影响，以较小的计算代价得到较高的精度，对预制组合式空腔楼盖的生产、安全评定、组装应用具有较大工程应用价值。

最近，郑先超先生等对一种加入高强钢筋密肋梁楼盖进行了水平荷载承载力性能的试验研究，分析了楼盖的变形能力，验证了楼盖刚度面内刚度无限大的假定。刘航先生结合了线弹性理论以及材料力学中的等效变形，李坤先生推导出了半圆弧形波纹板和梯形波纹板的第二主向刚度的理论公式，并结合ansys有限元分析软件对其进行了验证。

综上，目前已有的楼盖理论研究中，内置波纹管楼盖为一种新型的楼盖方式，目前涉及的理论研究较少，还未有同时考虑钢筋混凝土板、加肋板以及波纹管的材料特性以及构造特性的刚度理论公式；所以，诸如针对各个不同类型的空心楼盖的结构内力计算的公式发展还不完整。

技术实现要素：

为了解决现有技术存在的不足，结合经典的薄板小挠度理论，同时考虑板材材料和构造的各向异性，通过理论分析以及数值模拟，实验对比，对内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的刚度公式进行合理化的提出与验证，并基于该刚度理论公式，提供一种内置波纹圆筒空心楼盖挠度测算方法。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种内置薄壁波纹圆筒空心楼盖力学分析测算方法，该方法包括结合钢筋混凝土板、加肋板以及波纹管的材料特性和构造特性得到刚度公式，以及在两边简支两边固支的边界条件推算理论挠度公式。

刚度分析测算方法为：

s1、结合波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的结构特性，引入笛卡尔坐标系，建立空心楼盖坐标图；

s2、采用等效刚度的原则以及同时考虑正交异性以及材料异性，引入波纹简化系数，对弹性力学中加肋板以及波纹板刚度公式进行改进，将肋板部分视为肋条并入到翼缘当中，式(3.1)为加肋板的刚理论公式

式中，e为混凝土弹性模量，e′为肋条的弹性模量，a为肋条的间距，i’为肋条的截面惯性矩，μ为混凝土的泊松比，δ为板厚；

s3、内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的x向与y向可视为由多个等距的截面组成，各个轴上取其中一个单元截面进行分析；

s4、计算平行于管轴方向板的抗弯刚度；

s5、计算垂直于管轴方向板的抗弯刚度；

s6、计算空心楼盖截面刚度。

挠度分析测算方法为：

s7、基于上述刚度理论公式或采用其它刚度理论公式，将空心楼盖横向荷载作用下的变形问题简化成薄板的小挠度理论计算问题，采用单三角级数对薄板的曲面微分方程进行傅里叶级数展开，同时引入两对边简支两对边固支边界条件，得到微分方程解析解，得到理论挠度公式。

进一步，步骤s4中，计算平行于管轴方向板的抗弯刚度时，假定y向为平行于管轴向，选取的单元体截面分为钢筋混凝土上下翼缘板以及含有波纹薄壁圆筒的腹板部分，上下翼缘的尺寸为b，高度分别为h1与h3，翼缘部分为材料是钢筋混凝土的矩形波纹板，采用弹性力学中所给出的半经验公式，结合波纹简化系数得到y向翼缘的抗弯刚度dy1；腹板部分截面由一个矩形减去两个半圆组成，材料包含有钢筋混凝土以及波纹管，结合弹性力学的加肋板理念，将腹板部分视为肋条，最后在计算中并入到翼缘当中，同时需要考虑波纹形状的影响，经过简化得到腹板部分也就是肋条部分的y向抗弯刚度dy2；

内置波纹圆筒空心楼盖由钢筋混凝土和波纹管组成，造成空心楼盖的材料异性，由于波纹圆筒的布置方向不同导致空心楼盖为构造异性，因此引入一系列波纹简化系数对原有刚度进行修正，得到改进后的平行于管轴方向的抗弯刚度dy，计算公式如式：

dy＝dy1+dy2(3.2)；

式(3.2)中，

式中：dy1、dy2分别为平行于管轴向楼盖翼缘部分以及腹板部分的抗弯刚度；icy、isy分别为楼盖翼缘部分混凝土和钢筋的截面惯性矩；ec、es、eb分别为混凝土、钢筋、波纹管的弹性模量；ky1、ky2分别为钢筋混凝土板与混凝土板的折减系数以及为作为肋条的腹板部分并入板内的y向刚度折减系数，ky为波纹简化系数；b为波纹管的间距。

进一步，步骤4中，在计算dy1时，在计算y向钢筋混凝土板以及包含波纹管的腹板部分的的截面惯性矩时，考虑部件对自身形心轴的惯性矩以及对截面形心的移轴惯性矩，ky为波纹简化系数；d波、d分别为波纹管的波动直径和内置波纹圆筒的简化圆筒直径，h为波纹板的厚度，l及s为正弦曲线半波的弧长以及弧长，f为正弦曲线的高度；

在计算dy2时，ec/e＝μc/μ，引用ic/iy1＝dc/dy1的理念，且结合波纹板的刚度公式的理念，得到如下推论：

dyc＝eciyc；

式中：iyd、iyc分别为楼盖翼缘部分和钢筋混凝土矩形板的截面惯性矩；dyc腹板部分钢筋混凝土部分的抗弯刚度。

进一步，步骤s5中，计算垂直于管轴方向板的抗弯刚度时，假定x向为垂直于管轴向，垂直于管轴方向的刚度dx同样采取结合加肋板以及波纹板的理念，将选取的单元截面视为腹板和翼缘两部分组成，上下翼缘为两个尺寸为a，高度分别为h1与h3的含有波纹的矩形板，同样对翼缘部分采用钢筋混凝土矩形板的半经验的公式，得到翼缘部分在x向的抗弯刚度修正公式dx1；腹板部分由三个高为d的波纹矩形板组成，其中中间为宽c的薄壁波纹圆筒材质的矩形，将腹板视为构造与材料上呈正交异性的加肋波纹板，经过简化得到腹板部分在x向的抗弯刚度修正公式dx2；得到垂直于管轴方向的内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的刚度计算公式dx，计算公式为：

dx＝dx1+dx2(3.3)

式(3.3)中，

式中：dx1、dx2分别为垂直于管轴向楼盖翼缘部分以及腹板部分的抗弯刚度；icx、isx分别为垂直于管轴向楼盖翼缘部分混凝土和钢筋的截面惯性矩；kx1、kx2分别为垂直于管轴向钢筋混凝土板与混凝土板的折减系数以及为作为肋条的腹板部分并入板内的y向刚度折减系数，kx为波纹简化系数；

进一步，步骤5中，在计算垂直于管轴方向的截面惯性矩时，考虑部件对自身形心轴的惯性矩以及对截面形心的移轴惯性矩；

式中：ixd、ixc分别为楼盖翼缘部分和钢筋混凝土矩形板的截面惯性矩；dxc腹板部分钢筋混凝土部分的抗弯刚度；d波、d分别为波纹管的波动直径和内置波纹圆筒的简化圆筒直径，h为波纹板的厚度，l及s为正弦曲线半波的弧长以及弧长，f为正弦曲线的高度；

进一步，步骤s6中，计算空心楼盖截面刚度时，要考虑材料的正交异性还要考虑构造的正交异性，在构造异性中同时也需要考虑结构的抗扭性能，在对空心楼盖刚度进行修正时，采用ec/e＝μc/μ的原理，修正过后的内置薄壁波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的刚度计算公式为式：

h＝μd0+2dxy+2dk(3.4)

式(3.4)中，

式中：h为考虑了扭矩的空心楼盖的抗弯刚度，d0为翼缘部分的刚度，dxy为腹板部分的刚度，dk为考虑了扭矩的部分刚度；jx2、jy2为肋条截面抗扭系数；gc、gxy分别为混凝土的抗剪模量与空心楼盖的抗剪模量；ex、ey分别为楼盖x向与y向的弹性模量；μ1、μ2为空心楼盖x向、y向的泊松比；k31、k32为翼缘和腹板部分的折减系数，kxy为波纹简化系数；

在计算d0、dxy、dk时，所用到的参数推导公式为：

kxy＝kxky；

进一步，步骤s7中，假设矩形薄板具有两个简支边x＝0及x＝a，其余两边y＝±b为固定边，边界条件的情况如下：在边界x为等于0以及边长为a边界上位移为零，弯矩为零，在y＝±b的边界上位移为0，转角为0，如式(4.1)：

按照莱维法将挠度按照单三角级数来进行展开，展开式如式(4.2)：

其中ym是关于y的任意函数，m为正整数，级数表达式(4.2)满足x＝0以及x＝a两边的边界条件，同时将弹性曲面微分方程中的均布荷载q采用单三角级数的形式，进行傅里叶级数展开得到式(4.3)：

将挠度ω与均布荷载q的按照傅里叶级数展开的表达式带入到曲面微分方程中，得到式(4.4)：

式中：d1、d2分别薄板的抗弯刚度，d3为考虑了扭矩的主刚度；

式(4.4)是一个四阶的微分方程，在此为了计算简便，将解的形式化简成的形式来计算，同时由于空心楼盖的各个刚度情况的不同，将其按照解的三种形式进行分别的计算与化简分析，其中解f(y)包含了特解与通解。

进一步，在两对边固支的情况下，因使其弹性主向与边界平行，薄板在坐标上是x轴对称的，方程式的解则是关于y的偶函数，因此上述三类不同刚度情况下的微分方程的解中的奇数项可不计，再将解按照双曲函数的形式进行化简得到f(y)三种经过简化过后的方程式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)，其中a、b、c、d都为常数；

(1)当d3²＞d1d2，根据高等数学高阶方程解的形式方程具有四个互不相等的实根，此时方程的解f1(y)为式(4.5)：

此时方程含有±r1，±r2，(r1＞0，r2＞0)四个不相等实数根，其中

(2)当d3²＝d1d2，方程具有两两互等的实根，此时方程的解f2(y)为式(4.6)

此时方程含有±r(r＞0)两两相等的实数根，其中实数根的表达式为

(3)当d3²＜d1d2，方程具有两对复根，此时方程的解f3(y)为式(4.7)：

此时方程含有r1±ir2，r2±ir1(r1＞0，r2＞0)两对复根，其中

在两对边固支的情况下，因使其弹性主向与边界平行，薄板在坐标上是x轴对称的，方程式的解则是关于y的偶函数，因此上述三类不同刚度情况下的微分方程的解中的奇数项可不计，再将解按照双曲函数的形式进行化简，将式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)写成简便的形式，其中a、b、c、d都为常数。

将边界条件带入到微分方程的解中，在两对边固支的情况下边上的挠度ω为0，转角为0，将式(4.1)进行代入化简后的式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)中进行计算化简求出三种刚度情况下的常数系数值，并将求出来的结果分别带入到挠度的展开式中，得到薄板在两对边固定边界下的挠度计算公式；

(1)当d3²＞d1d2，代入边界条件，求出常数系数a、b的值并将其带入到挠度当中，此时挠度的计算公式为式(4.8)；

其中，

(2)当d3²＝d1d2，此时挠度的计算公式为式(4.9)：

其中，±r(r＞0)，

(3)当d3²＜d1d2，得出a,b带入到式(2.10)中，此时的挠度理论公式为式(4.10)：

其中，

上述三种情况下的挠度计算公式是在m＝1.3.5..情况下的可适用的，当m＝2.4.6..时，此时a、b等于0。

在实际案例中进行内置波纹管空心楼盖的力学性能研究中，挠度公式中的d1,d2,d3进行计算时引进本发明提出的内置波纹管空心楼盖的刚度计算公式，d1按照垂直于管轴方向的抗弯刚度计算公式dx，d2按照平行于管轴方向的抗弯刚度计算公式dy，d3按照涉及到扭矩的楼盖截面刚度计算公式h进行计算。

本发明引入弹性力学中加肋板的理念，研究内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的刚度问题，对已有的正交材料异性板及材料异性板的刚度理论公式进行改进，综合考虑了材料和构造的各向异性，提出一种适用于内置薄壁波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的刚度理论公式，并进行试验验证及有限元数值模拟对比，结果表明本发明提出的刚度理论公式更加贴近试验结果以及有限元数值结果，适用范围更广，精度提高；

本发明基于该刚度理论公式，将空心楼盖横向荷载作用下的变形问题简化成薄板的小挠度理论计算问题，采用单三角级数对薄板的曲面微分方程进行傅里叶级数展开，同时引入四边简支以及两对边简支两对边固支边界条件，得到微分方程解析解，从而分析内置薄壁波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的挠度问题，给出具体理论计算公式；

本发明提出的两边简支两边固定条件下的挠度公式运用到实际工程中，并进行有限元分析以及实例结果对比，结果显示提出的挠度公式的数值结果比前人的挠度公式误差较小，精度有所提高；

本发明内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的两种边界条件下的挠度理论公式进行简化，挠度理论公式进行有限元验证，误差在允许范围之内，简化后的挠度公式参数更少，使用更简便，提出的挠度公式为在实际工程中的应用奠定了基础。

本发明创造性分析：

一是现有的内置波纹管空心楼盖的研究中，仅有单独涉及到构造异性或者是材料异性的刚度理论公式，并没有同时考虑材料异性以及构造异性的挠度公式。所以，本发明的创造性主要体现在：结合材料异性以及构造异性的特性，综合考虑材料异性板以及构造异性板的刚度公式，引入钢筋混凝土板的半经验公式、加肋板刚度公式以及波纹板概念，将三者与内置波纹管空心楼盖之间在材料异性刚度公式方面进行系数转换，求得带有波纹板刚度公式的转换系数，引入系数，从而得到更加精确的内置波纹管空心楼盖的刚度公式，并且得到合理验证，是对现有的刚度公式进行理论创新，丰富完善了现有的计算方式。

二是目前空腔楼盖有很多人研究过，但是在楼盖中内置波纹管，目前仅南大的吕辉和杜巍做过四边简支条件下的一系列研究，还没有人做过其他条件下的理论研究，针对内置波纹管空心楼盖的两对边简支两对边固支的挠度理论研究还没有，因此在此基础上，采用形式较为简便的单三角级数的形式进行傅里叶级数的展开，引入边界条件得到了此种空心楼盖的挠度理论公式，将是对挠度理论的突破和丰富。

本发明的有益效果为：对内置薄壁波纹圆筒的现浇混凝土空心楼盖进行刚度理论公式的推导与公式的简化；在两对边简支两对边固定条件下的挠度公式的推导，得到了两对边简支两对边固支的挠度公式下的挠度公式，最后将公式带入到计算实例当中，分析各个空心楼盖的性能，使波纹圆筒空心楼盖的理论研究更加细致化，精准化，研究其整体的受力性能，为以后更深层次的理论研究以及实际工程的应用奠定了理论基础。

附图说明

图1为本发明空心楼盖坐标图；

图2为本发明选用加肋板形式的示意图；

图3为本发明平行于管轴向计算截面的示意图；

图4为本发明垂直于管轴向计算截面的示意图；

图5为本发明平行于管轴向的配筋布置图；

图6为本发明垂直于管轴向的配筋布置图；

图7为本发明混凝土板荷载-应变曲线图；

图8为本发明板中薄壁波纹圆筒荷载-应变曲线图；

图9为本发明波纹圆筒试件荷载-位移曲线图；

图10为本发明薄板坐标示意图；

图11为本发明空心楼盖管向分布示意图；

图12为本发明空心楼盖对比参考点分布图；

图13为本发明平行于管轴向时，对边简支对边固支条件下各点荷载-位移曲线；

图14为本发明垂直于管轴向时，对边简支对边固支条件下各点荷载-位移曲线。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例对本发明技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

一、内置波纹圆筒空心楼盖刚度测算方法，结合薄壁波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的结构特性，引入笛卡尔坐标系，建立空心楼盖坐标图如图1所示，oz为垂直于oxy坐标平面上方，假定y向为平行于管轴方向，x向为垂直于管轴向。

将腹板部分视为肋条并入到翼缘当中，图2为选用加肋板形式的示意图，，式(3.1)为加肋板的刚度理论公式

式中，e为混凝土弹性模量，e′为肋条的弹性模量，a为肋条的间距，i’为肋条的截面惯性矩，μ为混凝土的泊松比，δ为板厚。

内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的x向与y向可视为由多个等距的截面组成，各个轴上取其中一个单元截面进行分析。假定y向为平行于管轴向截面，如图3所示，x向为垂直于管轴向的截面，如图4所示。空心楼盖厚度为h，薄壁波纹圆筒直径为d与上板面的距离为h1，距下板面h3。板的每个方向的截面形式总体可简化为工字型截面，具体公式分析如下：

(1)平行于管轴方向板的抗弯刚度

计算平行于管轴方向板的抗弯刚度时，假定y向为平行于管轴向，dy为平行管轴方向空心楼盖的截面刚度，计算截面如图3所示。选取的单元体截面分为钢筋混凝土上下翼缘板以及含有波纹薄壁圆筒的腹板部分。上下翼缘的尺寸为b，高度分别为h1与h3，翼缘部分为材料是钢筋混凝土的矩形波纹板，可采用弹性力学中所给出的半经验公式，结合波纹简化系数得到y向翼缘的抗弯刚度dy1；腹板部分截面由一个矩形减去两个半圆组成，材料包含有钢筋混凝土以及波纹管，结合弹性力学的加肋板理念，将腹板部分视为肋条，最后在计算中并入到翼缘当中，同时需要考虑波纹形状的影响，经过简化得到腹板部分也就是肋条部分的y向抗弯刚度dy2；结合空心楼盖的材料异性以及构造异性，得到修正后的平行于管轴方向的抗弯刚度dy，计算公式如式(3.2)。

dy＝dy1+dy2(3.2)；

式(3.2)中，

式中：dy1、dy2分别为平行于管轴向楼盖翼缘部分以及腹板部分的抗弯刚度；icy、isy分别为楼盖翼缘部分混凝土和钢筋的截面惯性矩；ec、es、eb分别为混凝土、钢筋、波纹管的弹性模量；ky1、ky2分别为钢筋混凝土板与混凝土板的折减系数以及为作为肋条的腹板部分并入板内的y向刚度折减系数，ky为波纹简化系数；b为波纹管的间距。

在计算dy1时，需要注意的是在计算y向钢筋混凝土板以及包含波纹管的腹板部分的截面惯性矩时，要同时考虑部件对自身形心轴的惯性矩以及对截面形心的移轴惯性矩，d波、d分别为波纹管的波动直径和内置波纹圆筒的简化圆筒直径，h为波纹板的厚度，l及s为正弦曲线半波的弧长以及弧长，f为正弦曲线的高度。

在计算dy2时，ec/e＝μc/μ，引用ic/iy1＝dc/dy1，且结合波纹板的刚度公式的理念，得到如下推论

dyc＝eciyc

式中：iyd、iyc分别为楼盖翼缘部分和钢筋混凝土矩形板的截面惯性矩；dyc腹板部分钢筋混凝土部分的抗弯刚度。

(2)垂直于管轴方向板的抗弯刚度

计算平行于管轴方向板的抗弯刚度时，假定y向为平行于管轴向，垂直于管轴方向的刚度dx同样采取结合加肋板以及波纹板的理念，将选取的单元截面视为腹板和翼缘两部分组成，计算截面如图4所示，上下翼缘为两个尺寸为a，高度分别为h1与h3的含有波纹的矩形板，同样对翼缘部分采用钢筋混凝土矩形板的半经验的公式，得到翼缘部分在x向的抗弯刚度修正公式dx1。腹板部分由三个高为d的波纹矩形板组成，其中中间为宽c的薄壁波纹圆筒材质的矩形，将腹板视为构造与材料上呈正交异性的加肋波纹板，经过简化得到腹板部分在x向的抗弯刚度修正公式dx2。结合上部分的研究，得到垂直于管轴方向的内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的刚度计算公式dx，计算公式为式(3.3)；

dx＝dx1+dx2(3.3)

式(3.3)中，

式中：dx1、dx2分别为垂直于管轴向楼盖翼缘部分以及腹板部分的抗弯刚度；icx、isx分别为垂直于管轴向楼盖翼缘部分混凝土和钢筋的截面惯性矩；kx1、kx2分别为垂直于管轴向钢筋混凝土板与混凝土板的折减系数以及为作为肋条的腹板部分并入板内的y向刚度折减系数，kx为波纹简化系数。

相同于平行于管轴方向截面，在计算垂直于管轴方向的截面惯性矩时，也需要同时考虑部件对自身形心轴的惯性矩以及对截面形心的移轴惯性矩。

式中：ixd、ixc分别为楼盖翼缘部分和钢筋混凝土矩形板的截面惯性矩；dxc腹板部分钢筋混凝土部分的抗弯刚度；d波、d分别为波纹管的波动直径和内置波纹圆筒的简化圆筒直径，h为波纹板的厚度，l及s为正弦曲线半波的弧长以及弧长，f为正弦曲线的高度；

(3)空心楼盖截面刚度

在计算空心楼盖的截面刚度时，不仅要考虑材料的正交异性还要考虑构造的正交异性，在构造异性中同时也需要考虑结构的抗扭性能。在对空心楼盖刚度进行修正时，采用ec/e＝μc/μ的原理，内置薄壁波纹圆筒现浇混凝土空心楼盖的刚度计算公式为式(3.4)

h＝μd0+2dxy+2dk(3.4)

式(3.4)中，

式中：h为考虑了扭矩的空心楼盖的抗弯刚度，d0为翼缘部分的刚度，dxy为腹板部分的刚度，dk为考虑了扭矩的部分刚度；jx2、jy2为肋条截面抗扭系数；gc、gxy分别为混凝土的抗剪模量与空心楼盖的抗剪模量；ex、ey分别为楼盖x向与y向的弹性模量；μ1、μ2为空心楼盖x向、y向的泊松比；k31、k32为翼缘和腹板部分的折减系数，kxy为波纹简化系数；

在计算d0、dxy、dk时，所用到的参数推导公式为：

kxy＝kxky；

刚度公式理论结果如下：

为了便于与试验结果以及有限元结果的对比，本发明以杜巍在南昌大学完成的现浇砼空心无梁楼盖的受弯试验为基础，将推导出的内置波纹圆筒空心楼盖的刚度理论公式带入到试验的实例当中，得到刚度公式的理论解。

空心楼盖计算实例：

试验共设计了6块现浇砼空心楼盖设计，其中三块为内置塑料管(抽芯)空心楼盖试件，三块为内置薄壁波纹圆筒空心楼盖试件，本发明选取三件内置波纹圆筒的空心楼盖作为计算实例。楼盖的试验尺寸为1500mm×700mm×400mm，内置构件圆筒直径为250mm，距板边50mm，距板顶与板底均为75mm，试件的各方向配筋布置图如图5，图6所示。

理论刚度公式的计算

将计算实例带入到本发明所提出的刚度计算公式当中，按照式(3.2)、式(3.3)、式(3.4)的主刚度dx、dy、和h可写成如下形式，得出主刚度的数值分别为1.93×10¹⁴n·mm²、9.4×10¹³n·mm²、2.2×10¹⁴n·mm²。

为了验证刚度的正确性，将通过挠度来表现，将得到的刚度理论解带入到前人研究的通用的挠度计算公式当中，选取四边简支条件下集中荷载的情况下的挠度计算公式，如式(2.24)。

经过计算，在荷载值为50kn、75kn、100kn的情况下的板内最大挠度值为0.645mm、1.225mm、1.823mm。

内置波纹圆筒空心板刚度抗弯静载试验结果：

同样的，采用杜巍在南昌大学完成的现浇砼空心无梁楼盖的受弯试验为基础，通过与数值模拟以及公式理论结果的对比，验证本发明提出的内置波纹圆筒空心楼盖的刚度公式的合理性。

试件制作：

将试件放置模板中绑扎固定好，绑扎钢筋笼，钢筋均采用hrb400，板顶配筋为c8@200，板底平行于管轴方向为c8@200，垂直于管轴方向配筋为7c8。待试件固定好后浇筑混凝土，在浇筑混凝土时为了防止底部混凝土分布不均匀则使用振动棒进行振捣。

在试件制作的过程需要注意波纹圆筒底部要求布置水泥垫块且垫块厚度大于底板厚度设计的30mm，同时为了防止波纹圆筒的上浮要用钢丝对波纹圆筒进行固定。

试验装置和加载方案：

试验在南昌大学采用yj-iid型结构力学组合试验装置进行试验。加载时采用跨中集中加载的方式试验采用300kn的液压加载油缸。具体加载方式如下：

1、在正式加载前要进行预加载，所加荷载一般为2-3次数且一次为计算荷载的十分之一并小于开裂荷载。

2、正式加载时采用分级加载方式，每级增加10kn，同时在施加每一次荷载后维持荷载10分钟。

3、施加荷载时的挠度远大于上一级荷载时应停止加载，试件破坏。

试验结果与分析：

1、混凝土应变荷载曲线

将三个波纹管的应变曲线分别拟合成一个波纹圆筒曲线，空心楼盖试件的跨中混凝土板截面的荷载应变结果拟合的曲线如图7，图中y轴为加载的荷载值，x轴为混凝土顶板的跨中应变值。

从混凝土板跨中荷载应变图中可以看出，波纹圆筒空心楼盖的受力阶段分为弹性阶段、弹塑性阶段以及荷载下降阶段三个阶段。跨中混凝土板的应变随着荷载的增加呈线性递增的比例增加，混凝土开裂后，跨中混凝土板的应变增长速率变快。

2、波纹管应变荷载分析

薄壁波纹圆筒的跨中截面波纹顶部的应变荷载发展曲线如图8所示，从试验结果可以看出在混凝土开裂前波纹圆筒的应变不增加，混凝土开裂后波纹圆筒逐渐进入工作，随着荷载的增大波纹圆筒的应变值增长速率变快，当楼盖达到极限承载力时，波纹圆筒的应变值达到顶峰，随后波动很小，由此可以看出，波纹管可以很好的协同混凝土以及钢筋承担楼盖内的荷载。

3、挠度荷载曲线

试验结果如荷载-挠度曲线图9所示，从中可以看出波纹圆筒楼盖的荷载挠度曲线可分为弹性阶段、弹塑性阶段和荷载下降阶段三个阶段：

(1)弹性阶段：从试验开始荷载为0开始至混凝土开裂，构件的挠度随着荷载的增加成线性递增的趋势。

(2)弹塑性阶段：混凝土开裂后，受拉区的混凝土逐渐推出工作，板内的波纹圆筒与钢筋共同承担拉应力，挠度的增长速度逐渐加快。

(3)荷载下降阶段：此阶段内，当荷载增大达到了界限承载能力后，荷载维持一段时间保持不变，挠度急速增大，曲线趋于平缓。

表3.1为不同荷载作用下的跨中挠度值，表中可以看出内置波纹圆筒的空心楼盖的板内挠度值均比内置塑料管的空心楼盖要小，平均值相比分别为0.949，0.955，0.945在此试验作者对前文提出的刚度公式进行修正，修正后的公式式(3.5)：

式中：es——钢筋弹性模量；

a——钢筋截面面积；

h0——空心楼盖截面有效高度；

ψ——裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数，ψ＝1.1-0.65ftk/ρteσsk，当ψ≤0.2时；ψ＝0.2；当ψ＞1时,取ψ＝1；对直接承受重复荷载的构件，ψ＝1；

ρte——按有效受拉混凝土的截面面积计算配筋率，ρte＝as/ate；

ate——有效受拉混凝土的截面面积，ate＝0.5bh+(b-bf)hf；

σsk——按荷载效应的标准组合计算的钢筋应力，σsk＝mk/ηh0as；

η——裂缝截面处的内力臂系数，η＝0.87；

αe——钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值，αe＝es/ec；

ρ——钢筋配筋率，ρ＝as/(b-bf)h0；

γ'f——受压翼缘截面面积与腹板有效截面面积比值，γ'f＝(b-b'f)h'f/bh0，当h'f≥0.2h0时，h'f＝0.2h0。

表3.1不同荷载下板中最大挠度值

为了验证内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的刚度公式的准确性，将其带入到材料力学中的正常使用阶段的挠度公式值中进行计算，如式(3.6)所示。

其中，其中，f为集中力，l为板的长度，ei为刚度。

通过表3.2的对比结果可以看出，波纹圆筒空心楼盖的跨中挠度的修正值与试验值的比值分别文0.944、0.885、0.881，结果与试验值吻合，公式适用于空心楼盖，同时可以看出波纹圆筒为空心楼盖的抗弯刚度提供了5％的刚度贡献。

表3.2试验结果与公式修正结果最大挠度值对比

表3.3是将试验结果以及文献解和本发明推导的刚度公式结果进行对比，对比得到：文献中刚度公式得到的理论解相对于试验解的平均误差为9.72％，本发明推导的刚度理论结果的误差为4.49％，精度得到了提高。

表3.3各个解最大挠度值对比

上述主要对内置薄壁波纹圆筒的现浇混凝土空心楼盖进行刚度理论公式的推导与公式的简化，使波纹圆筒空心楼盖的理论研究更加细致化，精准化，研究其整体的受力性能，为以后更深层次的理论研究以及实际工程的应用奠定了基础。

挠度测算方法是基于上述刚度理论公式，将空心楼盖横向荷载作用下的变形问题简化成薄板的小挠度理论计算问题，采用单三角级数对薄板的曲面微分方程进行傅里叶级数展开，同时引入两对边简支两对边固支边界条件，得到微分方程解析解，，得到理论挠度公式。

二、对边简支对边固支条件下空心楼盖挠度理论：

假定弹性主向与边界平行，坐标系如图10所示，设定图10所示的矩形薄板具有两个简支边x＝0及x＝a，其余两边y＝±b为固定边，边界条件的情况如下，在边界x为等于0以及边长为a边界上位移为零，弯矩为零，在y＝±b的边界上位移为0，转角为0，如式(4.1)。

以往的研究按照重三角级数展开的挠度微分方程解较为复杂，在两对边简支以及两对边固支的情况下选用单三角级数进行傅里叶级数的展开，因此在此按照莱维法将挠度按照单三角级数来进行展开，展开式如式(4.2)：

其中ym是关于y的任意函数，m为正整数，可以看出级数表达式(4.2)等满足x＝0以及x＝a两边的边界条件，同时将弹性曲面微分方程中的均布荷载q采用单三角级数的形式，进行傅里叶级数展开得到式(4.3)：

将挠度ω与均布荷载q的按照傅里叶级数展开的表达式带入到曲面微分方程中，得到式(4.4)：

式中：d1、d2分别薄板的抗弯刚度，d3为考虑了扭矩的主刚度；

式(4.4)是一个四阶的微分方程，在此为了计算简便，将解的形式化简成的形式来计算，同时由于空心楼盖的各个刚度情况的不同，将其按照解的三种形式进行分别的计算与化简分析，其中解f(y)包含了特解与通解；

(1)当d3²＞d1d2，根据高等数学高阶方程解的形式方程具有四个互不相等的实根，此时方程的解f1(y)为式(4.5)：

此时方程含有±r1，±r2，(r1＞0，r2＞0)四个不相等实数根，其中

(2)当d3²＝d1d2，方程具有两两互等的实根，此时方程的解f2(y)为式(4.6)

此时方程含有±r(r＞0)两两相等的实数根，其中实数根的表达式为

(3)当d3²＜d1d2，方程具有两对复根，此时方程的解f3(y)为式(4.7)：

此时方程含有r1±ir2，r2±ir1(r1＞0，r2＞0)两对复根，其中

在两对边固支的情况下，因使其弹性主向与边界平行，薄板在坐标上是x轴对称的，方程式的解则是关于y的偶函数，因此上述三类不同刚度情况下的微分方程的解中的奇数项可不计，再将解按照双曲函数的形式进行化简，将式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)写成简便的形式，其中a、b、c、d都为常数。

将边界条件带入到微分方程的解中，在两对边固支的情况下边上的挠度ω为0，转角为0，将式(4.1)进行代入化简后的式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)中进行计算化简求出三种刚度情况下的常数系数值，并将求出来的结果分别带入到挠度的展开式中，得到薄板在两对边固定边界下的挠度计算公式。

(1)当d3²＞d1d2，代入边界条件，求出常数系数a、b的值并将其带入到挠度当中，此时挠度的计算公式为式(4.8)。

其中，

(2)当d3²＝d1d2，此时挠度的计算公式为式(4.9)：

其中，±r(r＞0)，

(3)当d3²＜d1d2，得出a,b带入到式(2.10)中，此时的挠度理论公式为式(4.10)。

其中，

上述三种情况下的挠度计算公式是在m＝1.3.5..情况下的可适用的，当m＝2.4.6..时，此时a、b等于0。

在实际案例中进行内置波纹管空心楼盖的力学性能研究中，挠度公式中的d1,d2,d3进行计算时引进本发明提出的内置波纹管空心楼盖的刚度计算公式，分别按照垂直于管轴方向的抗弯刚度计算公式dx，平行于管轴方向的抗弯刚度计算公式dy，以及涉及到扭矩的楼盖截面刚度计算公式h进行计算。

为了进行公式适用性的可行性研究，理论公式带入到实际案例当中，为了方便与前人研究的理论挠度公式对比，具体如下：

理论模型的建立：

内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的尺寸为6450mm×6450mm×400mm。空心楼盖平行于管轴方向布置18个薄壁波纹圆筒，垂直于管轴方向布置布置4个薄壁波纹圆筒；平行于管轴方向的波纹圆筒直径为250mm，间距为100mm；垂直于管轴方向的波纹圆筒间距为100mm，波纹圆筒长度为1500mm。波纹圆筒为一肋，每个波纹圆筒平行于管轴方向顶部与底部配置4c8，垂直于管轴方向板顶与板底配置c5@200的钢筋；波纹圆筒距板顶与板底75mm，距板边50mm。管向分布图如图11所示。

为了便于观察板内的挠度走向规律，将板的平行于管轴方向以及垂直于管轴方向分别取五个点作为参考点，平行于管轴方向的参考点为a1、a2、a3、a4、a5，垂直于管轴方向的点为b1、b2、b3、b4、b5，其中点a3与b3为板内中心点，也为同一点，如图12所示。

由推导出的两边简支两边固支边界条件下的挠度公式可以看出，内置薄壁波纹圆筒空心楼盖的挠度与楼盖的各主向刚度以及扭转刚度有关，通过测试可以得到各个刚度d1，d2，d3分别为6.11×10¹⁴n·mm²、7.81×10¹⁴n·mm²、7.43×10¹⁴n·mm²。其中d3²的值为5.52×10²⁹n·mm²，d1×d2的值为4.772×10²⁹n·mm²，d3²＞d1d2，因此选用第一种刚度情况下的挠度公式进行两边简支两边固支的挠度公式的计算，计算时为了方便比较以及分析。对比荷载均选取5kn/m²、10kn/m2、15kn/m²、20kn/m²均布荷载。

对边简支两对边固定理论结果：

将刚度理论值带入到两对边简支两对边固支的挠度理论计算公式(4.8)当中，得到的楼盖内各个参考点的结果，如表4.1以及表4.2，其中表4.1为平行管轴向的位移结果，表4.2为垂直于管轴向的位移结果。

表4.1平行于管轴向各点位移结果

表4.2垂直于管轴向各点位移结果

通过分析表4.1、4.2可以看出，板内最大挠度位于板中心处，位移分别为0.183mm、0367mm、0.549mm、0.733mm，同时可以看出，平行于管轴向的挠度略大于垂直于管轴向的挠度。根据表4.1以及表4.2得到楼盖内平行于管轴向以及垂直于管轴向的位移变化规律以及各点的变化趋势图，如图13，图14。

从图13，图14中可以看出，矩形板在两对边简支以及两对边固支的情况下，受力是呈现双向受弯状态，板内中心出为最大挠度处，在不同荷载的作用下，板内挠度越靠近边处的挠度越加减小，受到边界的影响，板边的挠度为；各点的位移也随着荷载的增加而增加，位移变化速率也荷载的不断加大而变大。

进一步表4.3为两边简支两边固支条件各点在5kn/m²、10kn/m²、15kn/m²、20kn/m²均布荷载作用下平行于管轴方向与垂直于管轴方向的位移差，以及整体的平均相对差。在计算时，以平行于管轴向的位移结果作为对比值。由相对差的结果可以看出，平行于管轴向的位移大于垂直于管轴向的位移，最大的相对差值达到6.25％，最小为3.9％，平均相对差达到4.97％。

表4.3不同轴向挠度对比差

从表4.4以及4.5可以看出，在5kn/m²、10kn/mm²、15kn/m²、20kn/m²均布荷载的作用下，板内最大挠度分别为0.197mm、0.395mm、0.592mm、0.789mm；整体数据来看平行于管轴向的挠度大于垂直于管轴向的挠度。从不同荷载作用下的板内挠度的趋势图6，图7可以看出，内置薄壁波纹圆筒空心楼盖呈现双向受弯状态，板内最大位移位于板中心点位置；各个向的受力均对称；由于实例的空心楼盖为矩形，则其受力特征呈现环状趋势，越趋于板中心处的受力越大，趋于板边的受力逐渐减小，符合板的受力特征；各点的位移都随着荷载的增加而增加，同时，随着荷载的增加，板内各点的增加速率就在逐渐加大。

分析差值原因，在两对边简支以及两对边固支的情况下，轴向计算刚度的差异是其中一个主要的原因，垂直于管轴向的刚度大于平行于管轴向的刚度，在楼盖的承担力的方面起到了很好的作用；边界条件的不同也是引起位移差的主要原因，在进行理论推导时，假定平行于管轴向为固定支座，因此在理论计算时，同样的模型在不同边界的情况下，固支边的挠度要小于简支边的挠度，相对差也较四边简支情况下减小。

本发明进行了内置薄壁波纹圆筒空心楼盖在两对边简支两对边固定条件下的挠度公式的推导，得到了两对边简支两对边固支的挠度公式(4.8)、式(4.9)以及式(4.10)，最后将公式带入到计算实例当中，分析各个空心楼盖的性能。

本发明以经典的薄板理论为依据，将薄板的微分方程以单三角级数的形式进行傅里叶级数的展开，带入边界条件得到了两对边简支两对边固支情况下的挠度理论计算公式。

为了进一步验证挠度理论公式的适用性以及准确性，将两对边简支两对边固定条件下的挠度公式分别进行实例计算，分析其受力特点，得到挠度结果，为后文的有限元的对比验证做基础。

分析计算实例的受力情况，可见楼盖呈现双向受弯状态。从平行于管轴向预计垂直于管轴向分析楼盖的挠度情况，可见平行于管轴向以及垂直于管轴向在对距板中相等位置的位移结果相似，平行于管轴向的位移略大于垂直于管轴向的位移结果，在两对边简支两对边固支的边界下平行于管轴向的挠度结果与垂直于管轴向的平均差值均不大于5％。

本发明进行了内置薄壁波纹圆筒空心楼盖在两对边简支两对边固定条件下的挠度公式的推导，得到了两对边简支两对边固支的挠度公式最后将公式带入到计算实例当中，分析各个空心楼盖的性能，使波纹圆筒空心楼盖的理论研究更加细致化，精准化，研究其整体的受力性能，为以后更深层次的理论研究以及实际工程的应用奠定了基础。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。