基于QAOA的量子最短路径方法

基于qaoa的量子最短路径方法
技术领域
1.本发明涉及量子计算技术领域，尤其涉及一种基于qaoa的量子最短路径方法。


背景技术：

2.现有技术中有许多经典的最短路径算法如dijkstra算法、flyod算法等，但这些算法只适用于经典计算机。现有技术中也有基于grover算法的量子最短路径算法，但该算法只适用于有向无环图(dag)。


技术实现要素：

3.针对现有的量子最短路径算法仅适用于有向无环图的问题，本发明提供一种基于qaoa的量子最短路径方法。
4.本发明提供的一种基于qaoa的量子最短路径方法，包括：
5.步骤1：根据给定有向图，形式化描述最短路径问题；
6.步骤2：将最短路径问题转化为最优化问题；
7.步骤3：根据最优化问题构造哈密顿量表达式；
8.步骤4：根据哈密顿量表达式构造参数化量子线路；
9.步骤5：对参数空间进行搜索，得到最优结果和最优参数。
10.进一步地，步骤1具体包括：
11.步骤1.1：针对一个有向图g，定义其顶点数为n，边数为m，顶点i到顶点j的权重为w
ij
，节点集合为v，边集合为e，权重集合为w；
12.步骤1.2：定义源点的约束条件为：最短路径必然从源点出发，中途不再经过源点，该约束条件的表达式为：
[0013][0014]
其中s代表源点，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0015]
步骤1.3：定义终点的约束条件为：最短路径必然到达终点，中途不再经过源点，该约束条件的表达式为：
[0016][0017]
其中d代表终点，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0018]
步骤1.4：定义中间点k的约束条件为：只可能有一条以节点k为源点的边连通，且只可能有一条以节点k为终点的边连通，该约束条件的表达式为：
[0019][0020]
其中k≠s，d，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0021]
步骤1.5：将w
ij
作为代价，定义最短路径的目标函数为：
[0022]
c＝∑
i，j w
ij
x
ij
ꢀꢀ
(4)。
[0023]
进一步地，步骤2具体包括：
[0024]
将源点的约束条件、终点的约束条件和中间点的约束条件附加到最短路径的目标
函数中，得到最优化函数：
[0025][0026]
其中，m表示惩罚系数。
[0027]
进一步地，步骤3具体包括：
[0028]
步骤3.1：定义量子比特串|z》＝q0q1q2...q
m-1
；
[0029]
步骤3.2：将有向图g的边按一定顺序进行排序，然后将量子比特标号与边序号进行一一对应，表示为：
[0030]ql
＝v
l
＝x
ij
ꢀꢀ
(6)
[0031]
其中，l∈[0，m-1]，l为整数，v
l
＝x
ij
∈e；
[0032]
(步骤3.3：将最优化函数中所有x
ij
替换成量子比特q
l
得到：
[0033][0034]
其中，succ(x)函数表示节点x的所有后继节点的集合，pred(x)表示节点x的所有前驱节点的集合，(x，succ(x))表示以节点x为起点的所有边的集合，(pred(x)，x)表示以节点x为终点的所有边的集合；
[0035]
步骤3.4：对公式(7)进行降次处理，并去除常数项，得到公式(8)：
[0036][0037]
其中c
l
是整数，且随m的改变而改变；
[0038]
步骤3.5：将公式(8)对应到哈密顿量上得到公式(11)所示的哈密顿量表达式：
[0039][0040]
其中，是量子比特q
l
的数学表示形式，表示两个量子比特qi、qj的纠缠。
[0041]
进一步地，步骤4具体包括：
[0042]
将哈密顿量表达式中的单项pauli算子对应一个rz门，该rz门的参数为当前项的参数c
l
与β的乘积；将哈密顿量表达式中的双项相乘的pauli算子对应一个cnot-rz-cnot门结构；
[0043]
依据哈密顿量表达式构造线路完毕后，再对所有量子比特都施加一个rx门，该rx门的参数为γ，至此，线路构造完毕；其中，β和γ是qaoa线路的参数，β的取值范围为[0，π]，γ的取值范围是[0，2π]。
[0044]
进一步地，步骤5具体包括：
[0045]
步骤5.1：定义哈密顿量期望值
[0046][0047]
其中，p(z)为测量结果为z的概率；
[0048]
步骤5.2：采用网格搜索方式进行参数优化，具体为：
[0049]
步骤5.2.1：将参数空间分为若干个大小均等的网格，每次取网格中的一组参数，带入线路中运行；
[0050]
步骤5.2.2：线路以某一组参数运行一定次数后，得到状态与频率的分布；以频率为概率，按照公式(13)计算得到一个哈密顿量期望值；
[0051]
步骤5.2.3：对所有参数空间的所有网格进行搜索，得到哈密顿量期望值最小值和取得所述哈密顿量期望值最小值的一组参数
[0052]
本发明的有益效果：
[0053]
本发明提出的基于qaoa的量子最短路径算法，充分利用量子计算机的能力求解图最短路径问题，从而探索量子计算机的计算潜力，最大发挥量子计算机的作用；并且，本发明方法适用于一般类型的有向图的求解，而不必考虑是否有环。图的最短路径算法在许多领域被广泛应用，如计算机网络中的路由问题、地图导航问题等均能够被转化为图的最短路径的问题，因此都能够应用本发明算法进行求解。
附图说明
[0054]
图1为本发明实施例提供的基于qaoa的量子最短路径方法的流程示意图；
[0055]
图2为本发明实施例提供的单项pauli算子对应的门结构示意图；
[0056]
图3为本发明实施例提供的双项pauli算子对应的门结构示意图；
[0057]
图4为本发明实施例提供的完整的qaoa线路的结构示意图；
[0058]
图5为本发明实施例提供的基于哈密顿量表达式构造得到的参数化量子线路的结构示意图；
[0059]
图6为本发明实施例提供的参数空间示意图。
具体实施方式
[0060]
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0061]
实施例1
[0062]
如图1所示，本发明实施例提供一种基于qaoa的量子最短路径方法，包括以下步骤：
[0063]
s101：根据给定有向图，形式化描述最短路径问题；
[0064]
s102：将最短路径问题转化为最优化问题；
[0065]
s103：根据最优化问题构造哈密顿量表达式；
[0066]
s104：根据哈密顿量表达式构造参数化量子线路；
[0067]
s105：对参数空间进行搜索，得到最优结果和最优参数。
[0068]
本发明实施例提供的基于qaoa的量子最短路径方法，适用于一般类型的有向图的求解，而不必考虑该有向图是否有环。
[0069]
实施例2
[0070]
基于qaoa的最短路径方法是一个点到点的最短路径问题。具体而言，最短路径问题的形式化描述包括图的形式化描述和约束条件、目标函数的定义。
[0071]
在该方法中，约束条件分为三类：对于图中源点的约束、对于图中终点的约束和对图中非源非终的中间点的约束。由此可知，约束条件一共有n个，与各节点一一对应。下面进行具体介绍。
[0072]
在上述实施例1的基础上，上述的步骤s101具体包括以下子步骤：
[0073]
s1011：针对一个有向图g，定义其顶点数为n，边数为m，顶点i到顶点j的权重为w
ij
，节点集合为v，边集合为e，权重集合为w；
[0074]
s1012：对于源点，首先有一个基本事实：最短路径必然从源点出发，中途不再经过源点。也就是说，以源点为起点的边中有且只有一条连通，且不存在以源点为终点的边连通。因此，本实施例中，定义源点的约束条件为：最短路径必然从源点出发，中途不再经过源点，该约束条件的表达式为：
[0075][0076]
其中s代表源点，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0077]
s1013：对于终点，类似于源点，同样有一个基本事实：最短路径必然到达终点，中途不会经过源点。也就是说，以终点为起点的边都不连通，以终点为终点的边有且只有一条连通。因此，本实施例中，定义终点的约束条件为：最短路径必然到达终点，中途不再经过源点，该约束条件的表达式为：
[0078][0079]
其中d代表终点，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0080]
s1014：对于非源非终的中间点k，同样有一个基本事实：只可能有一条以节点k为源点的边连通，且只可能有一条以节点k为终点的边连通。简单来说，就是“一条边进，一条边出”。当然，也可能没有进也没有出。于是有k的所有“进边”连通性x
ik
之和等于所有“出边”连通性x
ik
之和。因此，本实施例中，定义中间点k的约束条件为：只可能有一条以节点k为源点的边连通，且只可能有一条以节点k为终点的边连通，该约束条件的表达式为：
[0081][0082]
其中k≠s，d，x
ij
∈{0，1}，(i，j)∈e；
[0083]
s1015：本发明方法的最终目标是求得一条路径，这条路径应满足两个条件：一是能从源点到达终点，二是从源点到终点的代价最小。为此，本实施例中，将w
ij
作为代价，定义最短路径的目标函数为：
[0084]
c＝∑
i，j w
ij
x
ij
ꢀꢀ
(4)。
[0085]
该目标函数的基本思想是，将所有边的连通性与权重的乘积累加。在所有满足约束条件的情况中，目标函数值最小自然就意味着代价最小或者说路程最短。
[0086]
qaoa能够处理的问题为组合优化问题，因此采用qaoa求解图的最短路径首先需要将最短路径问题转化为组合优化问题。组合优化问题的目标是从组合问题的可行解空间中
求出最优解，此类问题主要由约束条件和目标函数组成。本实施例已在上文中对约束条件和目标函数做了精确定义，建立好了优化设计的数学模型(如公式(1)至公式(4))，为了将其转化为最优化问题，本实施例采用的方法是，将约束条件附加到目标函数中，生成一个最优化函数。具体介绍如下。
[0087]
在上述实施例1的基础上，上述的步骤s102具体包括：
[0088]
将源点的约束条件、终点的约束条件和中间点的约束条件附加到最短路径的目标函数中，得到最优化函数：
[0089][0090]
其中，m表示惩罚系数。
[0091]
具体地，原先的目标是在满足约束条件的情况下使公式(4)中的目标函数取值最小。而最优化问题的目标则是：采用某种方法使得最优化函数取得最小值。为此，本实施例中将约束条件整理成相减的形式，并取平方使之为正。如此只有当满足所有约束条件时最优化函数中惩罚系数括号中的项才能取到0，最优化函数的取值才能比较小，由此也可看出惩罚系数名称的含义。将多个约束条件相加，并整体乘以一个惩罚系数m，m越大表示约束条件的效力越强，通常取一个正整数。只有当满足所有约束条件且目标函数取得最小值时，最优化函数才能取得最小值。
[0092]
哈密顿量通常采用pauli字符串的形式来表示。为将最优化函数转化为哈密顿量表达式，在上述实施例1的基础上，上述的步骤s103具体包括以下子步骤：
[0093]
s1031：定义量子比特串|z》＝q0q1q2...q
m-1
；
[0094]
s1032：量子比特数等于图的边数，将有向图g的边按一定顺序进行排序，然后将量子比特标号与边序号进行一一对应，表示为：
[0095]ql
＝v
l
＝x
ij
ꢀꢀ
(6)
[0096]
其中，l∈[0，m-1]，l为整数，v
l
＝x
ij
∈e；
[0097]
s1033：将最优化函数中所有x
ij
替换成量子比特q
l
得到：
[0098][0099]
其中，succ(x)函数表示节点x的所有后继节点的集合，pred(x)表示节点x的所有前驱节点的集合，(x，succ(x))表示以节点x为起点的所有边的集合，(pred(x)，x)表示以节点x为终点的所有边的集合；
[0100]
s1034：对公式(7)进行降次处理，并去除常数项(常数项不影响线路构造和后续分析)，得到以下公式(8)：
[0101]
[0102]
其中c
l
是整数，且随m的改变而改变；可以看出，表达式(8)中只包含单量子比特的项和双量子比特乘积的项。
[0103]
s1035：为由哈密顿量构造量子线路以在量子计算机上执行，需要先将哈密顿量表示为pauli字符串的线性组合的形式。pauli字符串的通常定义为：
[0104][0105]
其中m是量子比特个数，是单位运算符。
[0106]
以pauli字符串表示的哈密顿量的定义为：
[0107][0108]
其中m＝2m，c
l
是复数系数；
[0109]
上文已提及，对于图的最短路径问题，其最优化函数表达式(式(8))中只包含单量子比特的项和双量子比特乘积的项。由此，对应到哈密顿量上得到哈密顿量表达式(11)：
[0110][0111]
其中，是量子比特q
l
的数学表示形式，本质是矩阵的符号化表示，表示两个量子比特qi、qj的纠缠。
[0112]
根据表达式(11)的哈密顿量构造得到qaoa基本线路，式(12)的哈密顿量中的每一个项对应一个门结构，上述步骤s104具体包括以下内容：
[0113]
单项pauli算子对应一个rz门，该rz门的参数为当前项的参数c
l
与β的乘积；如图2所示。
[0114]
将哈密顿量表达式中的双项相乘的pauli算子对应一个cnot-rz-cnot门结构。如图3所示。
[0115]
依据哈密顿量表达式构造线路完毕后，再对所有量子比特都施加一个rx门，该rx门的参数为γ，至此，线路构造完毕；其中，β和γ是qaoa线路的参数，β的取值范围为[0，π]，γ的取值范围是[0，2π]。
[0116]
具体地，如图4所示，完整的qaoa线路由初始态制备、若干qaoa基本线路和量子测量构成。量子线路从全0的初始状态开始，先经过对所有量子比特的h门，构造全叠加态|s》：
[0117][0118]
全叠加态|s》是qaoa算法的起点，之后跟一系列qaoa基本线路，最后进行测量。
[0119]
其中qaoa基本线路重复的次数被称为qaoa线路的步数。每一个qaoa基本线路中的门都一样，只是对于不同的基本线路，其中的参数取值可能不一样。
[0120]
基于qaoa的最短路径方法的基本线路的结构如图5所示。首先所有量子比特经过
一个rz门，再经过一系列cnot-rz-cnot门，最后所有量子比特再都经过一个rx门。
[0121]
本实施例中，参数优化是基于哈密顿量期望值进行的，也即最优化函数期望值。作为一种可实施方式，上述步骤s105具体包括以下子步骤：
[0122]
s1051：定义哈密顿量期望值的计算方式如下：
[0123][0124]
其中，p(z)为测量结果为z的概率；
[0125]
s1052：采用网格搜索方式进行参数优化，具体为：
[0126]
步骤a1：将参数空间分为若干个大小均等的网格(如图6所示)，每次取网格中的一组参数，带入线路中运行；
[0127]
步骤a2：线路以某一组参数运行一定次数后，得到状态与频率的分布；以频率为概率，按照公式(13)计算得到一个哈密顿量期望值；
[0128]
步骤a3：对所有参数空间的所有网格进行搜索，得到哈密顿量期望值最小值和取得所述哈密顿量期望值最小值的一组参数该组参数即为最优参数。
[0129]
本发明实施例中，将图的最短路径问题转化为最优化问题，再构造适用于最短路径问题的哈密顿量表达式，根据此哈密顿量构造参数化量子线路，最后采用了网格搜索的参数优化方式，通过搜索获取最优化参数以此得到最优化结果
[0130]
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。