复解析多项式的非线性ifs迭代函数系构造分形方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种计算机图形设计方法，特别是涉及一种复解析多项式构造非线性 IFS迭代函数系构造分形的方法。
【背景技术】
[0002] 分形（Fractal)自1975年由著名数学家B. B. mandelbrot提出以来日益受到各国 学者的重视，相关理论与应用在过去的几十年里取得了飞速的发展，在数学、物理学、材料 科学、地质勘探、疾病诊断、股价预测以及计算机和信息科学等许多领域中，都取得了重要 研究成果和广泛的应用。由于分形几何方法的引入，使一些原已死寂一般老的学科方向焕 发了新的生机，也使一些正蓬勃发展的新学科获得了巨大的推动力。分形与计算机科学的 结合，一方面使分形理论推动了计算机绘图方法的迅速发展，使计算机在信息压缩及模仿 自然现象中的各种奇妙现象发挥了重要的作用；另一方面，计算机的应用也大大地推动了 分形理论的发展，并且由于模拟分形成功而展现出的优美的分形图像，迅速地提高了分形 这门新兴科学的声望，扩大了她的影响。目前，用计算机绘制分形图像不仅使绘制分形的算 法理论及程序设计已成为一独立的研究方向，同时绘制的分形图也已经成为了一种抽象的 艺术形式。
[0003] IFS (Iterated function systems)是迭代函数系的英文缩写，是构造分形的一种 重要方法。一个IFS由若干个线性压缩仿射变换组成，数学上通过无限次的随机挑选IFS 中的一个线性压缩变换对初始点的反复迭代，可以生成严格的分形；实践中采用有限次的 随机迭代可以得到计算机显示器分辨率条件下的近似分形，可以理解成将整体形态变换到 局部的压缩迭代过程，这一过程可以一直进行下去，直到得到满意的结果。反复迭代IFS，有 奇怪吸引子出现，而奇怪吸引子一般都是分形。目前用的线性压缩迭代函数系在生成分形 方面、分形图像压缩方面以及自然景物模拟等多方面都有重要的应用。
[0004] 目前学术界对迭代函数系的研究已由经典的线性压缩迭代函数系开始向非线性 压缩迭代函数系发展，所研究的非线性压缩迭代函数系是对线性压缩迭代函数系的改造， 或是将在迭代函数系中加入数个非线性映射，使迭代函数系的组成函数同时包含线性映射 和非线性映射，并非完全由非线性压缩映射构成迭代函数系。
[0005] 非线性动力系统研究中的M(Mandelbrot)集是以分形几 何的创始人B. B. Mandelbrot的名字命名的，是复解析2次多项式 /〇) = z2 +C (z和^均为复数）在动力平面上能够构造出连通的Julia集分形图形的参数 组成的参数平面上的集合，这种集合本身是一个自相似的具有深刻内涵的分形。可以用在 M集中挑选不同的参数^所建立的复映射/(z) = Z2+c7去生成包含不同吸引周期轨道的各 种形状的充满Julia集分形图形图，这种图形是吸引周期轨道吸引域中的所有点组成的集 合。本发明提出了一种用复解析多项式映射/(幻=? 构造IFS迭代函数系的方法并生 成新型分形图形。
【发明内容】
[0006] 本发明的目的在于提供一种复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形的 方法，该方法提出了采用单参复解析压缩多项式映射/⑷= 2s+e (?之2 )构造非线性 IFS迭代函数系并用其构造分形的方法，编程简便、易于实现，其局部放大图更具艺术欣赏 价值。
[0007] 本发明的目的是通过以下技术方案实现的： 复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述方法包括以下过程：所用 的迭代映射都是单参数的复解析多项式映射/0) =，+c(m2 2 )，对于固定的n值，在参 数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域挑选参数，并做符合式（2)或式（3)规定的参 数挑选，做符合式（4)的2(n-l)个非线性压缩迭代映射的构造，构造出本发明提出的非线 性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。
[0008] 所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述该迭代函数系 中的每一个迭代映射在动力平面上有包含吸引不动点在内的有界吸引域，且非线性IFS中 的所有迭代映射有共同的吸引域区域。
[0009] 所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述该迭代函数系 中的每一个迭代映射在动力平面上的吸引不动点均在共同吸引域内，因此，提供的非线性 IFS迭代函数系在动力平面上的初始迭代点可取IFS中的任意一个迭代映射的不动点。
[0010] 所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述这个不动点由 平面原点在指定迭代映射的反复迭代下获得，并作为构造分形的初始迭代点。
[0011] 所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述通过随机挑选 IFS中的迭代映射，连续迭代初始迭代点，记录与初始迭代点的轨道相应的计算机屏幕像素 点被访问的次数，在达到指定迭代次数后，为像素着色，完成IFS迭代函数系的奇怪吸引子 或分形的构造。
[0012] 本发明的优点与效果是： a..经典的IFS迭代函数系由2个以上的线性压缩仿射变换构成，本发明构造的IFS迭 代函数系由2个以上的非线性压缩的单参复解析多项式映射构成。由于所选参数可以建立 一个在动力平面上有1周期吸引轨道的迭代映射，IFS迭代函数系中的每个迭代映射都有 在其吸引域内是压缩变换的特性，因而本发明构造的是非线性压缩迭代函数系。由于压缩 的IFS有奇怪吸引子，因此，本发明构造的非线性IFS也有自己的奇怪吸引子。
[0013] b.本发明构造的IFS迭代函数系采用的复多项式迭代函数是国际上复解析动力 系统图形化研究的最基本的迭代映射，本发明的IFS中的每一个映射在动力平面上都有其 相应的充满Julia集分形，但由于是具有1周期吸引轨道的迭代映射，相应的充满Julia集 图形具有封闭曲线特性，其艺术欣赏价值不高(如图2和图3所示，其中的巧点是由q参数 建立的迭代映射的1周期吸引轨道或称为吸引不动点)，但是用这样的压缩映射构造出来的 IFS迭代函数系在各迭代映射的共同吸引域中迭代出来的奇怪吸引子是复杂的分形图案， 有艺术的欣赏价值，如图5所示。
[0014] c.由于同一 M集中不同位置的参数对应动力平面上的不同吸引域，不同M集中的 参数也对应不同的吸引域区域，因此，应用本发明提出的方法可以挖掘出单参复多项式解 析映射中的无尽的奇怪吸引子和分形结构，可以建立由复解析多项式构造的新型分形图形 图库。
[0015] d.按照本发明提供的非线性压缩IFS的构造方法构造分形，编程简便，易于实现。
[0016] e.本发明算法生成的图形具有Am对称特性，其局部放大图更具艺术欣赏价值。
[0017] f.本发明生成的图形或图形的一部分可以用于游戏开发、家装设计、图形制作、月艮 装设计、纺织印染、陶瓷设计、壁纸设计等各种需要新颖图案的应用领域。本发明构造的IFS 迭代函数系可用于非线性科学的其他复杂现象的模拟研究，例如材料的空隙特性、非线性 的信息压缩等领域。
【附图说明】
[0018] 图1为由复解析映射/(z) = z"+ e构造的广义M集：
【主权项】
1. 复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于， 所述方法包括以下过程：所用的迭代映射都是单参数的复解析多项式映射
，对于固定的n值，在参数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域 挑选参数，并做符合式（2)或式（3)规定的参数挑选，做符合式（4)的2 (n-1)个非线性压 缩迭代映射的构造，构造出本发明提出的非线性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。
2. 根据权利要求1所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特 征在于，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上有包含吸引不动点在内的有 界吸引域，且非线性IFS中的所有迭代映射有共同的吸引域区域。
3. 根据权利要求1所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特 征在于，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上的吸引不动点均在共同吸引 域内，因此，提供的非线性IFS迭代函数系在动力平面上的初始迭代点可取IFS中的任意一 个迭代映射的不动点。
4. 根据权利要求3所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特 征在于，所述这个不动点由平面原点在指定迭代映射的反复迭代下获得。
5. 根据权利要求3所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其 特征在于，所述通过随机挑选IFS中的迭代映射，连续迭代初始迭代点，记录与初始迭代点 的轨道相应的计算机屏幕像素点被访问的次数，在达到指定迭代次数后，为像素着色，完成 IFS迭代映射的奇怪吸引子或分形的构造。
【专利摘要】复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，涉及一种计算机图形设计方法，该方法基于单参数的复解析多项式映射 ()，在相应的参数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域挑选参数c，依据M集的对称特性，构造出2(n-1)个与c有Dn-1对称特性的参数，由2(n-1)个参数建立2(n-1)个复解析多项式映射，组成一种复解析多项式的非线性IFS迭代函数系，并迭代构造出奇怪吸引子或分形图形。本方法生成的图形可用在游戏开发、家装设计、图形制作、服装设计、纺织印染、陶瓷设计、壁纸设计等需要新颖艺术图形设计的应用领域，所构造的IFS可用于材料的孔隙模拟及其他非线性科学中复杂现象的模拟。
【IPC分类】G06F17-15
【公开号】CN104572581
【申请号】CN201510051282
【发明人】陈宁, 冯冬冬
【申请人】沈阳建筑大学
【公开日】2015年4月29日
【申请日】2015年2月2日