一种基于d-最优内表设计的田口试验设计方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种基于D-最优内表设计（即最以大化试验点行列式（Determinant) 为准则的设计方法）的田口试验设计方法，不仅可以有效解决传统田口设计难以处理的设 计区域不规则的情况，而且可有效缓解田口设计采用直积表形式导致试验设计次数剧增的 问题，适用于产品设计、生产制造、质量控制以及工艺优化等相关技术领域。
【背景技术】
[0002] -个合理的试验设计方案可以在有限的时间、成本等资源条件下，充分揭示各个 影响因子对目标响应的影响，在有限的试验次数下获得最优的目标响应结果，为提高产品 质量寻求最优的工艺参数组合等。
[0003] 为了提高产品性能的稳定性，田口玄一博士提出了田口设计方法，采用内表、外表 直积的形式，在内表中安排可控因子的各个水平，在外表中安排噪声因子进行试验，而所谓 直积法，是指对内表中可控因子的每个搭配，使用外表的误差因子模拟各种干扰，计算该搭 配的抗干扰能力，即信噪比（SN比），从而通过对内表设计各种方案的比较，利用SN比寻找 最佳的可控因子搭配。
[0004] 广义上说，所有的试验设计本身都是资源受限的设计，试验设计的目的就是在尽 量节约资源的情况下，获取尽量多的系统或者过程的信息，优化设计和工艺。在传统的田口 设计中，内表、外表均使用正交设计进行，通过方差分析进行数据分析，其设计区域要求是 规则的超立方体，一般不考虑因子之间存在约束而导致设计区域不规则的情况。在实际工 程中，由于影响因子之间经常是不独立的、存在一定的相互作用，从而产生设计区域不规则 的情况，这时，使用正交设计进行内表设计，需切割或填补试验区域进行反复的折衷、对比， 不仅设计过程复杂，而且由于降维过多，导致设计效率较低。同时，田口设计的直积表形式， 使得在噪声因子较多的情况下，试验次数剧增，经常超出试验资源允许的范围，导致企业难 以承受；另外，由于传统的田口内外表设计使用正交设计进行，而正交设计是基于设计表的 设计，导致田口设计试验次数不能根据实际需求灵活调整，容易造成资源不能充分利用或 资源不足的情况。因此，研究在影响因子存在约束的情况下，合理地选择试验点，从而科学 地收集和分析数据，获得更优的参数组合，优化设计和工艺，具有重要的理论意义和迫切的 现实需求。
[0005] 为此，本发明给出了一种基于D-最优内表设计的田口试验设计方法。
【发明内容】
[0006] (1)本发明的目的：本发明针对传统的田口设计在有限的试验次数内，难以灵活 高效解决试验区域不规则时的试验设计问题，提供一种基于D-最优内表设计的田口试验 设计方法，以筛选出更具有代表性的试验点，从而进行精确、高效、灵活的试验方案设计。
[0007] D-最优设计是一种基于数学模型的设计方法，可以根据模型参数个数，在给定的 设计区域内，给出满足一定条件范围内任意试验次数的最优设计；本发明在田口设计的框 架下，利用D-最优设计进行内表设计，可以在因子间存在约束的情况下，给出更加灵活、高 效的试验设计方案，建立更加贴近产品加工或生产过程实际的数学模型，进行更准确的数 据分析和预测，从而确定最佳的因子水平组合。
[0008] (2)技术方案：
[0009] 本发明给出了一种基于D-最优内表设计的田口试验设计方法。
[0010] 田口设计运用内表和外表相结合的方法进行稳健设计，并使用信噪比（SN)作为 质量评价指标，以寻求最稳定的参数组合。
[0011] 传统的田口设计，内表采用正交设计安排可控因子的试验，外表采用正交设计安 排噪声因子的试验，使用信噪比（SN)度量指标波动的大小。由于正交设计的局限性，当设 计区域不规则时，传统的田口设计方法无法给出高效的设计方案。另外，正交试验次数是由 设计方法确定的，而非试验精度，在田口设计直积表的作用下，正交设计"整齐可比"的性质 使得试验次数剧增，并且调整非常不灵活。然而，在信噪比计算过程中，并不要求试验方案 中各误差因素"整齐可比"，因此，可以放松"整齐可比"的要求，探索更为有效的试验设计方 法。
[0012] 本发明采用D-最优设计进行内表设计，采用基于经验分布函数等分位点的 均匀设计进行外表设计。由一般性等价定理，对于有P个参数的线性模型，存在由 个试验点组成的D-最优设计ξ '即D-最优设计可用在一定范围 内，给出任意设计区域、任意试验次数的内表试验设计方案，且随着试验因子个数的增加， D-最优设计所需要的最小试验次数将远远小于其他设计。在满足试验精度的前提下，使用 D-最优设计进行内表设计，并结合均匀设计进行外表设计，不仅可以有效解决传统田口设 计难以处理的因子间存在约束的情况，而且可以在较少的试验次数下，给出高效的试验设 计方案。
[0013] 基于上述理论和思路，本发明一种基于D-最优内表设计的田口试验设计方法，具 体实施步骤如下：
[0014] 步骤一：根据试验目的、条件以及工程经验，给出试验基本试验信息，包括试验响 应（即所关注的质量特性）、影响因子（包括可控因子和噪声因子）及其取值范围，各因子 之间的约束关系、以及试验资源允许的试验总次数n tota1。
[0015] 步骤二：根据噪声因子的个数以及拟采用的水平个数m，选择合适的均匀设计表， 并以此确定外表试验次数n° utCT。选择方法简介如下：
[0016] 假设有噪声因子1个，拟采用水平数m，则从均匀设计表库中选择均匀表
同时外表试验次数确定为n°utCT= ω。
[0017] 步骤三：确定响应与因子之间的关系模型以及内表试验次数ninnCT。
[0018] 该步骤中响应与因子之间的关系模型具体确定方法如下：
[0019] 基于步骤一中的试验基本信息，采用数学模型的形式表达出响应与因子之间的 关系模型，记为y = Χβ + ε。其中
为已知的ninnCTXp维参数 模型矩阵；f(Xi)为关于Χι的已知函数，反应全部可控因子及其之间的约束关系；β = (β。，P1, β2，...，βρ) tS P个待估参数，反应各个因子与响应之间的影响关系。
[0020] 内表试验次数ninnCT的确定方法如下：
[0021] 由一般性等价定理，对于有p个参数的线性模型，存在由nYp彡p(p+l)/2) 个试验点组成的D-最优设计ξ '所以，根据总试验次数ntotal与外表试验次数n °utCT，不难 给出D-最优内表试验次数范围[Pjin(Pbl)Z^ntotaVdU
[0022] 因此，根据实际试验条件，选择任意ninnCTe [hmin^p+D/^n^VrT^]即可。
[0023] 步骤四：在设计区域内，采用D-最优设计方法给出给定试验次数ninnCT的内表设计 方案，完成内表设计，其具体设计方法如下：
[0024] 首先，将各因子取值范围规范至[_1，1]区间范围内，根据实际因子间的约束关 系，确定设计区域；然后，在该设计区域内，选择满足给定次数的设计ξ，使得信息矩阵
)行列式最大，至此完成D-最优内表设计。进一步，使用G-最优效 率衡量该设计的优良性。G-最优效率的定义为：
[0026] 这里，G-最优效率值Geff越接近于1，表示设计ξ越好。
[0027] 步骤五：采用基于经验分布函数等分位点方法，针对内表中每个外表试验点，确定 噪声因子水平，完成外表设计。
[0028] 该步骤中噪声因子水平的确定方法如下：
[0029] 记Χ[1]为变量X的基于经验分布函数第i等分位点，其定义如下：
[0031] 其中，F(X)为随机变量X的分布函数，m为噪声因子水平数；argF( ·)表示函数 F(·)的反函数。换言之，上式表示，当
，所对应的随机变量X的值记为X[1]， X[1]即 为因子X的第i个水平值。
[0032]