一种确定累积法建模最小阶次的方法
【专利摘要】本发明公开了一种确定累积法建模最小阶次的方法，包括设累积回归模型为：式中为模型参数估计值；取K＝N+2，根据样本数据构建K阶累积和及累积广义均值；根据K阶累积和，结合最小二乘原理，构建K(>N+1)阶累积方程组，并转化成矩阵形式；利用最小二乘原理，将累积正规方程中的系数作为数据源输入最小二乘法求解，并得出此时模型的残余标准差；基于F分部检验，对K＝N+2时的模型残余标准差进行单侧检验，相较于K＝N+1时的残余标准差是否有显著减小。本发明可以在提高建模精度的同时，减小算法的复杂度，有效解决了累积法建模中累积阶次K的选取问题。
【专利说明】
一种确定累积法建模最小阶次的方法
技术领域
[0001 ]本发明涉及一种确定累积法建模最小阶次的方法。
【背景技术】
[0002] 累积法最早是意大利数学家马尔奇西在1778年提出，与传统的最小二乘法相比， 累积法具有简单、直观，不直接处理模型的误差项等特点，其建立的模型可以保证平均误差 为零，绝对误差最小，并且建模精度、建模效率相比较传统的最小二乘法有所改善，近年来 在工程投资预算、建筑材料参数估计、弹道测量数据处理等方面得到了广泛应用。但该方法 在应用中也存在以下两个主要问题：（1)普通累积法采用K = N+1的累积阶次，其建模精度比 最小二乘法没有显著改善；（2)随着累积阶次K的增加，建模精度虽有提高，但计算量增加、 求估计复杂、建模效率下降。
[0003] 如发明专利（201410310180.3)公开了一种基于黄金分割及累积回归的机床热误 差建模方法和测试系统，其利用黄金分割法寻找出最佳布点区域，并在主轴热敏区域上布 置多个温度传感器、主轴端部一个位移传感器，利用累积法将采集的温度和位移信号拟合， 所建模型效率和精度均优于最小二乘法。
[0004] 但是，上述文献中只是对累积法的简单应用，为避免计算量增加和求估计复杂，累 积阶次K选取K = N+1，未考虑累积阶次K>N+1时的情况，对此本发明提出了一种确定累积法 建模最小阶次的方法。
【发明内容】
[0005] 本发明的目的在于提供一种在提高建模精度的同时，减小算法的复杂度的确定累 积法建模最小阶次的方法。
[0006] 本发明的技术解决方案是：
[0007] -种确定累积法建模最小阶次的方法，包括如下步骤：
[0008] 1)设累积回归模型为：$二A+A，式中(m)为模型参数 估计值，（Xji，Xjr_X jn)，j = 1，2·，为η个样本观察值，$ ,j=l, 2.. .m为预测值；
[0009] 2)取K>N+1，根据样本数据构建K阶累积
累积广义均值
[0012] 3)根据K阶累积和，结合最小二乘原理，构建K(>N+1)阶累积方程组，，使方程数大 于未知量数：
[0014] 4)根据累积广义均值将累积方程组转化成矩阵形式：
[0016] 5)利用取小 一乘原理，设 A (、）= .，C (.?)=~，...Z 将累积正规 方程中的系数作为数据源输入最小二乘法求解，并得出最小二乘正规方程：
[0018] 6)按矩阵形式求解，则正规方程解的矩阵表达式为：
[0021]将下式带入求解，实现建模与参数估计，并求解出模型残余标准差：
[0023] 7)基于F分部检验，选择α = 〇. 05的显著性水平作为评判标准，对Κ>Ν+1时的模型残 余标准差进行单侧检验。相较于Κ = Ν+1时的残余标准差是否有显著减小。若没有，则增加累 积阶次Κ直至残余标准差有显著减小，此时的Κ即为建模的最小阶次。
[0024]本发明可以在提高建模精度的同时，减小算法的复杂度，有效解决了累积法建模 中累积阶次K的选取问题。
【附图说明】
[0025] 下面结合附图对本发明作进一步详细说明：
[0026] 图1是一种确定累积法建模最小阶次的方法的工作流程图；
[0027] 图2是数控机床主轴热误差测试系统的结构框图；
[0028]图3是热误差测试结果折线图。
[0029] 图4是Κ = 4时热误差累积法建模结果示意图。
[0030] 图5是Κ = 8时热误差累积法建模结果示意图。
【具体实施方式】
[0031] 为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面结合【具体实施方式】并参 照附图，对本发明进一步详细说明。应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发 明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本 发明的概念。
[0032] -种确定累积法建模最小阶次的方法，包括如下步骤：
[0033] 1)设累积回归模型为：f = A+++...+Λ&,式中(m)为模型参数 估计值，(Xji，Xjr_Xjn)，j = 1，2···πι为η个样本观察值，2.. .m为预测值；
[0034] 2)取K>N+1，根据样本数据构建K阶累积
累积广义均值
[0037] 3)根据Κ阶累积和，结合最小二乘原理，构建Κ(>Ν+1)阶累积方程组，，使方程数大 于未知量数：
[0039] 4)根据累积广义均值将累积方程组转化成矩阵形式：
[0041 ] 5)利用最小二乘原理，设UiOi,, ?：店卜~；f(n = )',,将累积正规 方程中的系数作为数据源输入最小二乘法求解，并得出最小二乘正规方程：
[0043] 6)按矩阵形式求解，则正规方程解的矩阵表达式为：
[0046]将下式带入求解，实现建模与参数估计，并求解出模型残余标准差：
[0048] 7)基于F分部检验，选择α = 〇. 05的显著性水平作为评判标准，对K>N+1时的模型残 余标准差进行单侧检验。相较于K = N+1时的残余标准差是否有显著减小。若没有，则增加累 积阶次K直至残余标准差有显著减小，此时的K即为建模的最小阶次。
[0049] 具体例：
[0050]选取一台VMC1060数控机床为被测对象，测试系统如图1所示，其中，分布的温度传 感器测量机床主轴热敏区域内温度信息，而激光位移传感器测量主轴轴向的变形;上位机 对温度传感器及激光位移传感器同步发送命令，并将接收的温度、热位移信息实时显示存 储。测试时，每隔3min采集一次各测点温度X和热位移y，共采集43组数据。测试结果如图2所 不。
[0051 ]确定累积法建模最小累积阶次之前，需要确定初始累积阶次K和热误差样本容量 m，由于本热误差实验选取两个热敏测点进行测试，即热误差方程的自变量为温度X1和温度 χ2，且各含有43组数据，因此有：
[0053]根据累积法性质矩阵X(k)与X具有相同的秩，得ran(X(k))=ranX = 3,所以首先取K = 4(>2+l)，m = 43。然后，对热误差样本的k阶累积和进行计算以构建出累积矩阵：
[0055] 因此，可构建热误差正规方程Y(k)=X(k)i3,在LabVIEW中的运行结果如图4所示。 [0056]由程序计算结果得K = 4(>2+1)时，回归模型下的残余标准差〇22,与K = 3( = 2+l) 时，普通累积法的残余标准差σι2比较，并进行F检验，得F = 0.851>F0.95(43，43) =0.591，可 知K = 4时累积法的模型精度有所提高，但并未达到α = 〇. 05的显著性水平。
[0057] 增大累积阶次，使Κ = 5(>2+1)并进行回归建模，经过程序运行可知，Κ = 5时累积法 的模型精度有所提高，但仍未达到α = 〇.05的显著性水平。
[0058] 故继续增大累积阶次。直至Κ = 8(>2+1)时，从图5可以看出，热误差累积法模型为y =0 · 00790x1-0 · 00469x2+0 ·00173。经过F检验可知F = 0 · 589〈F0 · 95(43，43) =0 · 591，即其残 余标准差的减小已经达到了 α = 〇.05的显著性水平，得到的建模结果如图5所示。
[0059] 因此可确定累积法建模最小累积阶次Κ = 8(>2+1)。在此累积阶次下，建模精度相 较于K = 3(=2+l)时的累积法模型精度有显著提高，同时保证算法不会过于复杂。
[0060] 应当理解的是，本发明的上述【具体实施方式】仅仅用于示例性说明或解释本发明的 原理，而不构成对本发明的限制。因此，在不偏离本发明的精神和范围的情况下所做的任何 修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。此外，本发明所附权利要求旨 在涵盖落入所附权利要求范围和边界、或者这种范围和边界的等同形式内的全部变化和修 改例。
【主权项】
1. 一种确定累积法建模最小阶次的方法，其特征是:包括下列步骤： 步骤1，设累积回归模型为4 = Λ+Λ L+Λ心+…+Λ A,式中(A，A…/)为模型参数 估计值，（Xji,Xj2"_Xjn), j = 1,2···ηι为η个样本观察值，,j= 1,2...m为预测值； 步骤2，取K>N+1，根据样本数据构建K阶累积和1?及累积广义均值范幻：步骤3,根据K阶累积和，结合最小二乘原理，构建K(>N+1)阶累积方程组，使方程数大于 未知量数：步骤4,根据累积广义均值将累积方程组转化成矩阵形式：步骤5,利用最小二乘原理，将累积正规方程中的系数作为数据源输入进行最小二乘法 求解，步骤6，基于F分部检验，对K>N+1时的模型残余标准差进行检验，相较于K = N+1时的残 余标准差是否有显著减小。若没有，则增加阶次K直至残余标准差有显著减小，此时的K即为 建模的最小阶次。2. 根据权利要求1所述的一种确定累积法建模最小阶次的方法，其特征是：步骤2中的 累积阶次K的最初取值为K = N+2。3. 根据权利要求2所述的一种确定累积法建模最小阶次的方法，其特征是：步骤6中采 用单侧检验对K>N+1时的模型残余标准差进行检验，并选择α = 0.05的显著性水平作为评判 标准。
【文档编号】G06F17/50GK105868473SQ201610188144
【公开日】2016年8月17日
【申请日】2016年3月29日
【发明人】袁江, 周成, 周成一, 高传耀, 邱自学, 邵建新
【申请人】南通大学, 南通第五机床有限公司