一种多维信号的稀疏模型、重建方法和字典训练方法
【专利摘要】本发明公开一种多维信号的稀疏模型，其能够保证不需要采用Kronecker乘积，从而保证在算法复杂度和存储空间上都有明显的改进。这种多维信号的稀疏模型，其为公式其中，张量表示成一个N维稀疏张量与一系列稀疏字典的张量乘积，In≤Mn，Dn定义为第n个方向的字典，K是稀疏度，用来刻画稀疏系数中的非零元素的个数。还提供了重建方法和字典训练方法。
【专利说明】
一种多维信号的稀疏模型、重建方法和字典训练方法
技术领域
[0001] 本发明属于稀疏表示的稀疏重建和字典训练的技术领域，具体地涉及一种多维信 号的稀疏模型、重建方法和字典训练方法。
【背景技术】
[0002] 稀疏表示作为近年来图像视频建模的有效方法，成功地应用于诸如图像去噪、超 分辨率重建、人脸识别等计算机视觉领域。传统的稀疏表示通常是将多维信号转化为一维 信号，该一维信号可以由一个字典中的几个基元线性组合表示。高阶信号（图像、视频等信 号)首先需要被转化为一维信号，利用一些处理向量的方法对其处理。传统稀疏表示模型的 研究包括模型的建立，稀疏重建，和字典训练方法。尽管一维稀疏表示模型有效，但是由于 在处理高维信号时，随之维度的增加，向量化后的一维信号是一个高维向量，在其进行处理 时，需要较大维度的观测矩阵，会引起维度灾难等问题，因此存在空间存储和算法复杂度的 压力。
[0003] 目前的一些研究表明，在对多维信号进行处理时，保持多维信号本身的空间结构 存在很多好处。针对二维图像信号，提出的二维稀疏表示模型充分利用图像内部的二维空 间结构和相关性，被成功地应用于图像去噪和图像超分辨率重建。其中二维字典训练问题 可以通过两阶段的块坐标松弛方法来实现。二维稀疏重建问题可以通过诸如2DSL0或2D-0ΜΡ等一维稀疏重建的拓展方法来解决，也可以利用克罗奈克积(Kronecker product)将其 转化为一维稀疏重建问题，通过一些常用的一维稀疏重建方法求解。二维稀疏表示模型的 采用可以大幅度地减少图像处理的时间复杂度和存储空间。但是由于需要利用一维稀疏重 建方法，将二维稀疏表示模型直接推广到多维稀疏表示模型是比较困难的。
[0004] 此外，张量结构也被引入到向量的稀疏表示中，用来逼近多维信号在每一个模式 (方向）的结构。由于有约束的Tucker模型和张量的Kronecker表达具有等价性，同时考虑到 多维稀疏特性和块稀疏特性等稀疏约束，张量可以由给定的不同方向的可分离Kronecker 字典表示。相应的Kronecker 0ΜΡ和N-way Block 0ΜΡ方法用来解决字典给定情况下的稀疏 重建问题，由于需要使用Kronecker乘积运算，这两种方法都相对比较复杂。另外，还有一类 利用张量结构的模型是基于张量分解的，如PARAFAC，基于Tucker模型的张量分解;或者是 张量低秩逼近，如LRTA，H0SVD，和Tensor-DL等。然而这些基于张量的方法都是对张量信号 本身进行分解或逼近，目前还没有统一的框架来刻画张量的稀疏表示模型，在算法复杂度 和存储空间上存在矛盾。
【发明内容】
[0005] 本发明的技术解决问题是:克服现有技术的不足，提供一种多维信号的稀疏模型， 其能够保证不需要采用Kronecker乘积，从而保证在算法复杂度和存储空间上都有明显的 改进。
[0006] 本发明的技术解决方案是:这种多维信号的稀疏模型，其为公式(1)
[0007] …χΛ為，|,|(y (1)
[0008] 其中，张量J表示成一个N维稀疏张量(3 e 与一系列稀疏字典 D" e 的张量乘积，KMn，Dn定义为第η个方向的字典，K是稀疏度，用来刻画稀疏系数 ?中的非零元素的个数。
[0009] 还提供了一种多维信号的稀疏模型的重建方法，该方法为基于张量的迭代收缩阈 值方法ΤΙSTA，针对公式(3)和(2)得到公式（10)、（ 11)
当 g(?) = |?|| 丨； （10) 当 （11)
[0012] 其中，St( ·)是软阈值算子，定义为sign( · )max(| · |-τ，〇)，而相应地，Ητ( ·)是 硬阈值算子，定义为max(| · ，取彡^好吵)满足公式(7)
[0013] -Vf((B)=X Xl Df χ2 〇2 · χ v Drv -? x, DfD: x2 D^D, · x,v DJVD V (7)
[0014] 不论是约束是|K还是丨|?[，将上述算子记做公式(12)
(12)c
[0016]还提供了重建方法的字典训练方法，字典训练模型为公式(13)
(13)
[0018] 其中J = (?..·.#') e ~￥是张量样本集I中所有训练样本的稀疏系数集 合，λ是用来平衡保真度和稀疏度的，其中{DJ:为待训练的可分离的字典。
[0019] 本发明旨在利用张量对多维信号建立一种新的稀疏表示模型，即张量稀疏表示模 型，同时提出其相应的多维稀疏重建和多维字典训练方法。提出的张量稀疏表示模型能够 通过字典学习得到一系列自适应的可分离字典，来更好地刻画多维信号内部每个方向的结 构。本发明提出的基于最近邻方法的多维稀疏重建算法能够更进一步地降低算法复杂度。 本发明通过三维多光谱图像的去噪验证了提出的张量稀疏表示模型能够大幅度地降低算 法复杂度和存储空间，但是却可以获得和最先进的稀疏表不模型相当的去噪性能。因此，张 量稀疏表示模型是一种更好地刻画多维信号的稀疏表达能力的方式。
【附图说明】
[0020] 图1示出了根据本发明的基于张量的迭代收缩阈值方法的流程图；
[0021] 图2示出了根据本发明的基于张量的多维字典训练方法的流程图。
[0022]图3示出了根据本发明的多光谱图像去噪的流程图。
【具体实施方式】
[0023] 这种多维信号的稀疏模型，其为公式(1)
[0024] jT = @x1D1x2D：r.-xiVD 7V，|g||〇SJr (1)
[0025] 其中，张量X表示成一个N维稀疏张量(g e见~1〃…#'与一系列稀疏字典 D" e妒夂的张量乘积，KMn，D^义为第η个方向的字典，K是稀疏度，用来刻画稀疏系数 ?中的非零元素的个数。
[0026] 优选地，给定稀疏字典0" ，相应的稀疏模型为公式(2)
(2)
[0028] 其中，λ是用来平衡保真度和稀疏度的。
[0029] 优选地，通过松弛转化为h约束的凸规划问题，相应的稀疏模型为公式(3)
(3)c
[0031]还提供了一种多维信号的稀疏模型的重建方法，该方法为基于张量的迭代收缩阈 值方法TISTA (如图1所示），针对公式(3)和(2)得到公式(10)、（ 11)
；m=INL ； (?ο) 止丨咖ΗΜο。 （11)
[0034] 其中，Si( ·)是软阈值算子，定义为sign( · )max( | · | _τ，〇)，而相应地，Ητ( ·)是 硬阈值算子，定义为max(| · ，％彡l;V/(?)满足公式(7)
[0035] - V/(<B) = X χ? Df x2 D【…xjV Drv - <S X! DfDi x2 D【D2 …xjV D;DAt (7)
[0036] 不论是约束是|?||e还是1^24，将上述算子记做公式（12)
(12)
[0038] 优选地，通过考虑Q = +4(各.,-％.2)，来加速上述迭代收敛过程，即实质上是 采用如下公式
[0040]还提供了重建方法的字典训练方法(如图2所示），字典训练模型为公式(13)
(Π)
[0042]其中是张量样本集I中所有训练样本的稀疏系数集 合，λ是用来平衡保真度和稀疏度的，其中{DJ:为待训练的可分离的字典。
[0043]优选地，稀疏重建问题是解决在给定字典{D"}二下，训练样本集的 / = (jr1,，，· H ^ 的稀疏系数J，其目标函数为
(14)
[0045] 该问题通过基于张量的迭代收缩阈值方法TISTA进行求解。
[0046] 优选地，当更新字典Dn时，通过^ = :7 6 R x2 D2 Dn-丨xn+1 D"+1…~D#计算 得到J以实现f = J x" D,,，然后按第n模式方式展开J得到為^，从而使得/r"> ? D"為,,，最后Dn 通过解决公式(15)的二次约束二次规划问题来求解：
[0047] D" = argmin * |D"(:,r)|J = 1, 1 <r<Mn (15) D".... '
[0048] 其中，為w分别为AΛ按n-模式方向展开的矩阵，该问题通过Lagrange对偶方法 求解，最终=+ ，其中Λ是对偶变量组成的对偶矩阵。
[0049] 本发明旨在利用张量对多维信号建立一种新的稀疏表示模型，即张量稀疏表示模 型，同时提出其相应的多维稀疏重建和多维字典训练方法。提出的张量稀疏表示模型能够 通过字典学习得到一系列自适应的可分离字典，来更好地刻画多维信号内部每个方向的结 构。本发明提出的基于最近邻方法的多维稀疏重建算法能够更进一步地降低算法复杂度。 本发明通过三维多光谱图像的去噪验证了提出的张量稀疏表示模型能够大幅度地降低算 法复杂度和存储空间，但是却可以获得和最先进的稀疏表不模型相当的去噪性能。因此，张 量稀疏表示模型是一种更好地刻画多维信号的稀疏表达能力的方式。
[0050] 下面更详细地说明本方法的实施例。
[0051] 传统的稀疏表示模型是基于向量形式的数据进行建模和表达的。它将一维信号向 量化，得到的向量形式的一维信号可以表达为一个大的字典下少量基元的线性组合。一维 稀疏表示模型尽管简单，但是它忽略了多维信号的内部结构和破坏了其相关性。将多维信 号转化为一维信号会生成高维信号，对于处理高维信号而言，会大大增加存储需求和计算 资源。因此，本发明旨在利用张量对多维信号建立一种新的稀疏表示模型，即张量稀疏表示 模型，同时提出其相应的多维稀疏重建和多维字典训练方法。提出的张量稀疏表示模型能 够通过字典学习得到一系列自适应的可分离字典，来更好地刻画多维信号内部每个方向的 结构。本发明提出的基于最近邻方法的多维稀疏重建算法能够更进一步地降低算法复杂 度。本发明通过三维多光谱图像的去噪验证了提出的张量稀疏表示模型能够大幅度地降低 算法复杂度和存储空间，但是却可以获得和最先进的稀疏表不模型相当的去噪效果。因此， 张量稀疏表示模型是一种更好地刻画多维信号的稀疏表达能力的方式。
[0052] 为了便于下文中公式和符号的方便理解，这里先给出些符号公式的解释。Ν阶 张量记作;r e货…χΛ- 〇Ν阶张量尤的1〇, li，1F范数分别定义如下：
元素。通过固定其他方向的索引，而遍历某一个方向（第η个方向）的索引，可以得到按第η模 式方向展开的η模式向量。张量X按第η模式展开得到矩阵X# e ，定义为将所 有的η模式向量按列排列为一个矩阵。张量X与矩阵?的按η模式的乘积定义为 Xx" U，可以得到一个Ν阶张量Ye妒?夂~，它的每一个元素为 唂，…乂 ^▲,4+1,-4)可以通过公式1^义(^2,"4况(_/",~)得到。两个相同大小的张量的 内积定义为它们中每一个元素对应位置相乘的和，记作 〈〇? = Σ,:Σ,，.·Σ,' 邓;，/2，…心)0?，/2,…(v) s符号像表示克洛内克积(Kronecker乘积）。 对张量X向量化可以得到向量X。
[0053] 具体地，给定一个N维信号表示为张量为了能够刻画其结构以及表 达其不同维度的相关性，提出基于张量的稀疏重建模型如下
[0054] X = ^ ?χ % D,. · ^?x；# %, |?|：e < K (1)
[0055] 这里，张量；f表示成一个N维稀疏张量e m-' 与一系列稀疏字典D" e 的张量乘积，Ιη$Μη，0"定义为第η个方向的字典，Κ是稀疏度，用来刻画稀疏系数中的非零 元素的个数。
[0056] 针对张量的稀疏表示模型，以下从两方面稀疏重建问题和字典训练问题的来介绍 本发明所提出的求解方法。
[0057] 给定稀疏字典D" e妒％，相应的稀疏重建模型为，
(2)
[0059]其中，λ是用来平衡保真度和稀疏度的。此外，这个1〇约束的非凸优化问题，可以通 过松弛转化为h约束的凸规划问题，定义如下：
(3)
[0061] 本发明提出了一种基于张量的迭代收缩阈值方法（Tensor-based Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm,TISTA)的方法来解决上述稀疏重建问题，主要是通 过迭代收缩方法来实现。
[0062] 具体如下，上述问题可记作：
[0063] min / (?) + lg{(B) (4)
[0064] 其中/(?)表示数据拟合项
，而g(?)表示稀疏约束 项，即18|0或141。上述非光滑的最优化问题可以通过迭代收缩方法来进行求解，八甸写做 是f在附近的?M进行线性化逼近，同时考虑最近邻正则项和非光滑正则项，则气可以通过 如下最优化问题来更新：
[0066] 这里Lk>0是一个Lipschitz常数，而好(别是定义在张量场的梯度。上述问题可以 转化为： (6)
[0068] 导出.
在张量场的梯度vy'(釣满足
[0069] -▽/(<3) = Xx1Df x2I>P.-x_vD【-(SXiDfDjXj D【D2"-xjVD^Dv。 （7)
[0070] 接下来我们讨论Lk>0的求解。假设f是一个C1， 1的光滑凸函数。对于任意的#，f是 连续可导的，且具有Lipschitz常数的连续梯度，L(f)满足，
[0071] ||V/(?)-V/(C)||<L(/)||(8-c||. (8)
[0072]这里的| | · | |表示定义在张量上的F范数，L(f)是f的Lipschitz常数，通过推导， 可以得到，
[0073] ||y/(?) - vf(〇l < !〇[0, ||2 ||Df Da||2 · · ·Id^d,, ||21|? - c||y. (9)
[0074] 因此，梯度▽/的最小Lipschitz常数是= 1。因此在具体过程中， 4=%r〇D〖D?|2，取多1。最后，在给定不同的稀疏度约束尽⑷下，本发明给出了不同的 稀疏重建解法。针对问题(3)和(2 )，可以得到如下解
当 (?ο) 当 g(?) HHL。 (11)
[0077]其中，Si( ·)是软阈值算子，定义为sign( · )max( | · |-τ，〇)，而相应地，Ητ( ·)是 硬阈值算子，定义为max( | · |_τ，0)。最后，不论是约束是Η,还是|<4,可以将上述算子记做
(12)
[0079] 此外，可以通过考虑CV +4(?w 而不是％^，来加速上述迭代收敛过程， 其中lk>〇是一个合适的步长
，这里的
，这种外插的方式类似于 在FISTA算法中的加速方法。表1总结了本发明提出来的TISTA算法。
[0080] 表 1
[0082] 下面介绍本发明提出来的多维字典训练问题的方法。
[0083] 相应地，对于给定一个张量的训练样本集合/二认1,^2，….^5；^识，包括S 个张量X7,本发明提出的基于张量的字典训练模型如下：
(13)
[0085] 其中= 是张量样本集I中所有训练样本的稀疏系数集 合，λ是用来平衡保真度和稀疏度的，其中彳为待训练的可分离的字典。
[0086] 该问题可以通过两阶段一一稀疏重建和字典更新的分块松弛方法来迭代求解，直 到达到预设的迭代终止条件为止才停止循环，例如目标函数的相对误差小于预设的误差。 表2总结了基于张量的字典训练方法：
[0087] 具体地，稀疏重建问题是解决在给定字典{1>,,匕下，训练样本集的 ΚΧ1,_的稀疏系数J，其目标函数为
(14)
[0089] 该问题可以直接通过上述本发明提出的TISTA的稀疏重建算法进行求解，而不是 通过Kronecker product将其转化为一维稀疏重建问题来求解。此外，我们这里的目标函数 更加灵活，可以同时求解整个训练样本集I的稀疏系数，也可以先将I分段，然后分段求解训 练样本集中的稀疏系数，也可以并行计算其稀疏系数。因此，这种稀疏重建算法更加地灵 活。
[0090]表 2
[0092] 字典更新过程主要是在利用求解得到的稀疏系数来更新字典丨0"}二。更新字典 的最优化过程相类似，不失一般性，以更新字典D n为例来介绍本发明的字典训练方 法。
[0093] 由于在张量稀疏模型中η - m 〇 d e积（η模式乘积）的可交换性，基于本发明 提出的张量稀疏表示模型，每一个样本满足f D" .，其中 尤=珥x2 D2…χ,μ Dw χ"τ1 D,,+1 -x、D v，因此很容易通过按第n模式方向展开f得到 ，而不是通过利用克罗内克积Kronecker积的方式实现(根据张量运算，第n-mode展开的 矩阵满足 ' =(D v …? ? D"-_r _ _ ? D, f& %(D"…Φ Ι)βΜ Φ I)B…D】/ ):。 因此，当更新字典Dn时，首先通过·/? = ,Χι $ 〇2 · .DA_1 D.jj+l…气、，DAf计算得到J 以实现/ = D"，然后按第η模式方式展开得到，从而使得/?Β) = ，最后Dn可以通 过解决如下的二次约束二次规划问题来求解：
[0094] 〇" = argmin l(n) - ?ηβιι〇 ', sL |D;i(:,r)|f = 1, 1 < /· < Mn (15) p. "
[0095] 其中1~，_為《;分别为Λ·^按n-模式方向展开的矩阵。该问题可以通过Lagrange对偶 方法求解，最终其中Λ是对偶变量组成的对偶矩阵。这种求 解為^避免了使用Kronecker积，可以更加有效地降低更新字典的算法复杂度。
[0096] 为了说明本发明的有效性，本发明将提出的张量稀疏模型，以及其相应的稀疏重 建方法和字典训练方法应用于多光谱图像去噪问题。
[0097] 具体地，利用哥伦比亚大学的多光谱图像数据集进行测试。该图像数据集有32个 真实场景，每一个场景的空间分辨率是512X512,频谱为31个谱带，谱带范围是从400nm到 700nm。对多光谱图像添加不同的均方误差（〇 = 5,10，20,30,50)的高斯噪声后得到噪声图 像，然后对噪声图像做去噪处理。本发明提出的基于张量稀疏模型的方法中，三个方向的字 典Di，D2，D3的大小都是5 X 10，同时利用冗余离散余弦字典（Overcomplete Dictionary Learning，ODCT)进行字典的初始化，针对某一副噪声图像，从该图像中随机采样40，000块 大小为5X5X5的立方体(cubes)，然后通过本发明提出来的多维字典训练方法训练得到字 典，通过训练得到的字典，对噪声多光谱图像采样得到的所有立方体块，利用本发明提出的 多维稀疏重建方法进行稀疏系数的求解，从而重建去噪的MSI图像块，最终实现多光谱图像 的去噪。其中，对应不同的均方误差σ = 5，10，20，30，50，相应地控制稀疏度约束的参数λ = 9,20,45,70，160〇
[0098]为了验证以上多光谱图像的每一个谱带的图像的去噪效果，主要是通过峰值信噪 比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)度量，单位为分贝（dB)。其计算公式如下：
_
[0100]两幅大小为m*n的图像的均方误差MSE的定义如下：
(17)
[0102] 其中I，J分别表示原始不含噪声的图像和利用稀疏编码方法重建图像，而I(x，y)， J(x，y)为对应于位置(x，y)处的像素值，则均方误差越小，则PSNR越高，则该方法的去噪效 果越尚。
[0103] 客观质量的评判标准为结构相似度量:它是一种基于结构失真图像质量的评价方 法，该方法将亮度和对比度从图像结构信息中分离，并结合结构信息对图像质量进行评价. 定义了 SS頂：
[0104] SSIM(i,j) = [L(i,j)]a· [CCi.j)]^· [S(i,j)]Y (18)
[0105] 其中：
(19) (20) (21)
[0109]其中L表示亮度（Lightness),用均值（μL，μ」）作为亮度的估计，C表示对比度 (Contrast)，用标准差(〇1，巧)作为对比度的估计，而相应的协方差(?作为结构相似程度的 度量。而α，β，γ是用来调整亮度，对比度和结构信息的权重，为了防止分母出现零或接近〇， (22) 而产生不稳定现象，而引入了λι，λ2，λ3。当α = β= γ =1，λ3 = λ2/2时，公式简化为
[0111] 由于SSM的较好的特性:对称性，有界性，唯一性。使得它很好的反映了图像的客 观质量。尤其是由于观察值在某一瞬间对某个局部区域的细节更关注些，所以图像的整体 统计特征不能反映图像的特点。因此SSIM结合PSNR更能反映图像的质量。一般PSNR较大时 SS頂的区分度较小，即PSNR高，SS頂也高，而在PSNR较小时，SS頂就具有较好的区分度。因此 这里主要是通过PSNR和SS頂来评价超分辨图像的结果。
[0112] 表3给出了多光谱图像在不同的均方误差情况下的平均峰值信噪比(PSNR)和结构 相似度量(SS頂）。本发明主要和4个方法进行了比较，包括PARAFAC，Bw-KSVD，3DK-SVD和基 于低秩张量逼近的方法LRTA。由表3可以看出本文的方法优于其他三种方法(？六1^?4(：，8^-KSVD，3DK-SVD)，与LRTA的结果相当。
[0113] 表3
[0115] 这里需要指出的是，在进行上述实验过程中，与基于稀疏表示的方法(Bw-KSVD， 3DK-SVD)相比，本发明的字典大小是最小的。本发明的字典大小为3X5X10,其中每个方向 的字典大小为5 X 10，而Bw-KSVD方法的字典大小分别为64 X 128 X 31，其中31副多光谱图像 的每一谱带都需要一个64 X 128大小的字典。3DK-SVD方法所需要的字典大小是448 X 500， 其中每一个测试的基本图像块单位为一个8 X 8 X 7的大小。因此Bw-KSVD方法和3DK-SVD方 法所需字典是本发明方法字典的1693，1493倍。
[0116]此外，为了说明本发明的算法复杂度低，我们同时给出了本发明中TISTA算法和传 统的一维稀疏重建方法--FISTA算法的复杂度比较。具体地，我们从一些局部的多光谱图 像(Cube Size大小分别为：12 X 12 X 31，16 X 16 X 31，32 X 32 X 31)中采样一些5 X 5 X 5的立 体块Cubes，Cubes的个数分别为1758,3888,21168。然后设置三个方向的字典01，0 2,03的大 小都是5 X 10,且都为冗余离散余弦字典(Overcomplete Dictionary Learning，0DCT)。同 时设置迭代次数num=50，A=l。由于TISTA算法可以单独考虑每一个样本的重建(single)， 也可以成批地考虑(Batch)或者是所有的样本(All) -起考虑。表4所示给出了求解每个集 合的稀疏重建问题在不同情况下所需要的时间（秒，seconds )，另外也给出了传统的FI STA 方法的稀疏重建问题所需的时间。通过表4可以看出本发明提出的TISTA方法比FISTA所用 的时间要少很多。因此本发明的方法在算法复杂度上有明显地提升。
[0117]表4
[0118]
[0119] 这里首先介绍给在给定一个张量信号I和一系列的各个方向的字典屮上^时，如 何求解张量信号Z的在给定控制稀疏度约束的参数λ的条件下的稀疏系数的问题。
[0120] 1.输入一个张量信号1，和一系列的各个方向的字典{!>"} f=1
[0121] 2.初始化，设置待估计的稀疏系数为Q =? ，迭代步长。=1。本发明 中这里是随机初始化稀疏系数〇 = % e 。
[0122] 3 ·计算Lipschitz常数4 = ，这里我们将％设置为！。
[0123] 4.计算f在最近邻点〇^的梯度。
[0124] - V/XC,_,) = X X, Df x21)^ · · · Xw - C^, x, Df D, x21)^D2 · · · XjV ?ΤΝ?Ν
[0125] 5 ·利用Proximal算子求解稀疏系数死..，即
^ ^具体逝，当稀"疏约束为/,范数约束的话，
当稀疏约束为/e范数约束的话，
其中，红)是软阈值算子，定义为礙》(·)η^Χ(|·|-r,0),而相应地，尽(·）
[0129] 是硬阈值算子，定义为max( | · |_τ，〇)。
[0130] 6 ·计算迭代步长
[0131 ] 7 ·更新最近邻稀疏系数=? + &(%, -%2)。
[0132] 8.判断是否达到迭代次数，未达到迭代次数回到第三步，已达到则直接输出当前 的稀疏系数
[0133] 再介绍当得到一组张量信号组成的训练样本集后，在给定稀疏约束的条件下，训 练得到该训练样本的多维稀疏字典{D,,}:。具体如下：
[0134] 1.构造训练样本集/ = w'其中S为样本个数，每个样本 f大小为^"一',在这个具体的多光谱图像中，具体的样本妒大小为5 X 5 X 5的立方体， 从多光谱图像得到的所有的立方体中，随机选择40，000，作为训练样本。
[0135] 2.初始化各个方向的字典丨D"丨;了=1。针对多光谱图像，我们的字典为Di，D 2，D3，采用 冗余离散余弦字典(Overcomplete Dictionary Learning,0DCT)进行字典的初始化。
[0136] 3.多维稀疏求解阶段，根据当前给定的多维字典，求解所有样本的稀疏系数。具体 地，利用本发明提出的基于张量的迭代收缩阈值方法求解如下稀疏重建问题。
[0138] 4.多维字典更新阶段。依次更新字典{D,,}；^。具体地，针对Dn的更新，首先计算 ^ = jx! D1 x2 D2D"+1…Ι>Λ;，然后将^按第n个模式展开得到相应的矩阵&， 则具体地，可以通过如下方程更新字典D n。
[0139] D" =argmin|/w -Τ)ηΛ,η^ρ.,$.?. ||Dfl(:,r)：| =1, 1< r <M"
[0140] 其他方向的字典{D"}二的更新过程类似。
[0141] 5.判断是否达到迭代终止条件，如1)迭代条件为迭代次数是否达到上限num，2)迭 代条件为噪声误差是否达到指定值。
[0142] 6.输出训练得到的字典{DJ二。
[0143] 基于张量稀疏表示模型的多维信号去噪的实施例
[0144] 1.利用含噪的多光谱图像构造待求解的多维信号，每个多维信号大小为5X5X5， 共采样N±夬，得到待重建的多光谱图像块的集合In。
[0145] 2.利用上述基于张量稀疏表示模型的多维字典训练方法训练得到的字典 针对待重建的多光谱图像块的集合，利用基于张量的迭代收缩阈值方法求解稀疏系数。
[0146] 3.根据稀疏系数和字典饵"}匕，可以重建多光谱图像块，得到重建图像块集合 Ire〇
[0147] 4.利用上述N个多光谱图像块重建去噪多光谱图像。
[0148] 根据采样过程中的采样方式以及相应图像块的重叠方式，将目前得到的N个重建 图像块重新恢复回原始图像大小，对应于有重叠的地方，则采用取平均值的操作。
[0149] 以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依 据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明 技术方案的保护范围。
【主权项】
1. 一种多维信号的稀疏模型，其特征在于:其为公式(1)(1) 其中，张量X表示成一个N维稀疏张量盛巨诉与一系列稀疏字典D,, e如X"'的张 量乘积，In《Mn，Dn定义为第η个方向的字典，K是稀疏度，用来刻画稀疏系数?中的非零元素 的个数。2. 根据权利要求1所述的多维信号的稀疏模型，其特征在于： 给定稀疏字典D,，e臾^"W。，相应的稀疏模型为公式(2)俾 其中，λ是用来平衡保真度和稀疏度的。3. 根据权利要求2所述的多维信号的稀疏模型，其特征在于:通过松弛转化为h约束的 凸规划问题，相应的稀疏模型为公式(3)口)。4. 一种根据权利要求3所述的多维信号的稀疏模型的重建方法，其特征在于:该方法为 基于张量的迭代收缩阔值方法TISTA，针对公式(3)和(2)得到公式(10)、（11)其中，St( ·)是软阔值算子，定义为si即（·）max(| · |-τ，〇)，而相应地，Ητ( ·)是硬阔 值算子，定义为max( I · |-τ，〇);4 =%-fXU|D乐"1。用(則满足公式(7)不论是约束是|间|。还是14,将上述算子记做公式(12)(1巧。5. 根据权利要求4所述的重建方法，其特征在于:通过考虑CV=哉_1 + 4脚_1 -如），来加 速上述迭代收敛过程，其中Ck>〇是一个合适的步长6. -种根据权利要求5所述的重建方法的字典训练方法，其特征在于:字典训练模型为 公式(13)其中：7 =(巧1，於，····护）e斯"|'心'"八是张量样本集/中所有训练样本的稀疏系数集合，λ 是用来平衡保真度和稀疏度的，其中为待训练的可分离的字典。7. 根据权利要求6所述的字典训练方法，其特征在于： 稀疏重建问题是解决在给定字典化祐下，训练样本集的 / =(义1，户，…、K诉'?心"、的稀疏系数J，其目标函数为(14) 该问题通过基于张量的迭代收缩阔值方法TISTA进行求解。8. 根据权利要求7所述的字典训练方法，其特征在于： 当更新字典Dn时，通过朱= .7Χι X; …D,，_i X。,., …Xw Dw计算得到名^实现 ^ = ^x。D,:，然后按第η模式方向展开;?得到凡>，从而使得S D"^,，最后Dn通过解决公 式(15)的二次约束二次规划问题来求解：(15) 其中Λ,ρΛ,,,分别为?义按η-模式方向展开的矩阵，该问题通过Lagrange对偶方法求解， 最终D;=(A。,可;,+Α)-?α<,，,·^?〇)τ'，其中A是对偶变量组成的对偶矩阵。
【文档编号】G06T5/00GK106097278SQ201610474921
【公开日】2016年11月9日
【申请日】2016年6月24日
【发明人】齐娜, 施云惠, 尹宝才, 丁文鹏
【申请人】北京工业大学