一种基于广义Galerkin的高阶轨迹灵敏度计算方法与流程

本发明涉及电力系统技术领域，尤其涉及电力系统稳定分析和控制领域，提出了一种基于广义galerkin的高阶轨迹灵敏度计算方法。

背景技术：

电力系统是一个复杂的非线性时变系统。电力系统中存在大量的的非线性元件，在对这些非线性元件进行控制时，会使系统状态经历复杂的变化过程；同时，继电保护装置、有载调压变压器等元件的动作还会引起离散事件的发生，使系统的状态变量发生跳变。因此，在对电力系统进行分析时，需要对深刻理解影响电力系统动态过程的各种参数对系统动态响应的影响。而轨迹灵敏度作为电力系统安全分析中的有效工具，是通过研究系统的动态响应对某些参数或初始条件甚至系统模型的灵敏度来定量分析这些因素对动态品质的影响。根据系统状态对各控制参数的灵敏度指标，可以改善系统的安全性能，提高系统稳定裕度或者经济性指标。因此灵敏度方法在电力系统诸多领域中得到了广泛的应用。

然而，传统的轨迹灵敏度是系统状态关于控制参数的线性化展开，它只保留了泰勒展开的一阶项，而忽略了高阶项的影响，这使得在控制参数的变化较大的情况下，相应的状态响应变化量严重偏离实际值，大大降低了计算结果的准确度。因此，需要引入高阶轨迹灵敏度来弥补精度上的不足，高阶轨迹灵敏度是在传统轨迹灵敏度的基础上保留泰勒展开高阶项，也就是说，对高阶轨迹灵敏度的求解从另一个角度就可以阐述为对待研究变量保留高阶项的展开式的求解。按照定义，高次项的信息涉及状态变量对控制参数的高阶偏导数，计算过程较为繁琐，因此，提出一种基于广义galerkin方法的高阶轨迹灵敏度快速计算方法。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题是：提供一种基于广义galerkin的高阶轨迹灵敏度计算方法。

为解决上述技术问题，本发明方案包括如下步骤：

1.建立电力系统的数学模型。

包括发电机，励磁机及其调节系统，原动机及其调速系统，负荷，电力网络等。上述各类模型中分为详细和简单的若干种，在实际计算中，可根据计算内容和要求不同选用适当的模型。

这样，电力系统的动态过程就可以用这样一组微分-代数方程来描述：

式中，x＝[x1,x2,...,xn]^t为状态变量列向量，与发电机转子运动、电压自动调整(automaticvoltageregulation，avr)、励磁系统等相关；y＝[y1,y2,...yr]^t为由节点电压幅值和相角代数变量构成的列向量；u＝[u1,u2,...,us]^t为控制参数列向量。

2.构造关于控制参数的多项式基函数，并将系统的状态变量x＝[x1,x2,...,xn]^t和代数变量y＝[y1,y2,...yr]^t用这组多项式基函数来表示，这组含待求解系数的多项式基函数的线性组合就是我们所需要的计及高阶项信息的展开式。

对于s个控制参数u＝[u1,u2,...,us]^t，如果将高阶轨迹灵敏度的阶数设定为n，那么对于每一个控制参数ui,i＝1,2,...,s，可以构造一组最大阶数为n的多项式基函数(幂级数)：

考虑s个控制参数时，总体的多项式基函数即为每个控制参数基函数的张量积：

式中，为该组总体多项式基函数的个数。

这样，系统的状态变量和代数变量就可以表示为含待定系数的上述多项式基函数的线性组合，也就是系统状态变量和代数变量关于控制变量的n阶泰勒展开式：

式中，x^*和y^*表示状态变量x和代数变量y的近似值，和为待求解高阶展开式的系数，即相应变量对于控制参数的j阶轨迹灵敏度。

3.将含有待定系数的n阶展开式代入表示电力系统动态过程的微分-代数方程组中，选定一组特殊的测试基函数对替代后的微分-代数方程进行投影计算，消去变量u，获得仅含有待求系数和的微分-代数方程。

首先，将x^*和y^*的表达式代入原系统微分-代数方程组，得：

由于内积投影运算可以表示为：

所以将这组替代后的微分-代数方程与选定的特殊测试基函数做内积投影运算：

式中，为满足如下性质的一组特殊测试基函数:

1)当1≤k≤n-1时，

2)当k＝n时，

∫uⁱγkdu＝1,i≥0

通过与这组测试基函数进行内积投影运算，这样做的好处是：在每次内积投影运算中只需要求解与原方程阶数一致的(n+r)阶微分-代数方程以求得(n+r)个相应的系数，然后以这些求得的系数作为已知量代入下一次的内积投影方程中，也就是说，与具有上述性质的γk做内积投影运算可以实现含待定系数方程组之间的解耦，使用回代的思想依次求解待定高阶轨迹灵敏度，避免了直接对原来的(n+r)×nb阶的高维数、相互耦合的微分-代数方程组的复杂求解过程，从而加快了对轨迹灵敏度和求解速度。

4.因为原微分-代数方程组的投影方程仍为微分-代数方程组，所以可以用数值积分方法求解高阶轨迹灵敏度和

计算高阶轨迹灵敏度的初值，使用隐式梯形法对投影方程进行数值积分即可求解各个时刻的高阶轨迹灵敏度。

待定系数的初值由下式给出：

给定仿真步长，采用梯形积分公式进行数值积分，即可求得各个时刻的高阶轨迹灵敏度和

本发明的有益成果在于：通过提出基于广义galerkin的高阶轨迹灵敏度计算方法，计及高阶信息，提高了进行电力系统安全分析和控制时的精度，能够更全面地反映系统动态过程中的状态响应受某些控制参数或初始条件的影响程度，同时，本发明在计算高阶轨迹灵敏度时使用了广义galerkin方法，通过选择特定的测试基函数实现了投影方程间的解耦，兼顾了快速计算的要求。该方法可适用于电力系统的各种复杂动态过程，可全面考虑系统在运行时的各种情况，适用范围广，并且求解速度快，可为电力系统的安全稳定分析及控制提供科学合理的分析方案。

附图说明

图1为基于广义galerkin的高阶轨迹灵敏度计算方法的流程图。

图2为实施例3机9节点系统单线结构图。

图3是本发明实施例中发电机1和发电机2的转子之间相对角度时域仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等同形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本实施例以一个9节点电力系统网络为例。该系统有3台发电机，3个负荷以及9条支路。支路数据和发电机参数分别列于表1和表2，正常运行情况下的系统潮流如表3所示，系统频率为60hz。

表1支路数据

表2发电机数据

表3正常运行情况下的系统潮流

1.建立电力系统的数学模型。

同步发电机的模型为暂态电势eq′恒定模型，忽略调速器的影响，不考虑励磁电压变化和转子阻尼绕组的作用。它是一组微分-代数方程组:

转子运动方程：

定子绕组电压平衡方程

电力网络方程：

yu＝i

以上方程中各参数的含义为：

ω——发电机的角速度(标幺值)；

ωs——同步转轴角速度，当以同步转速为基准时，ωs的标幺值为1；

fj——f＝1/tj，其中tj为发电机惯性时间常数；

δ——发电机电动势相量与同步转轴的夹角；

pm——发电机的机械功率；

pe——发电机的电磁功率；

ud、uq——发电机端部纵轴和横轴电压；

ra——发电机定子回路电阻；

eq′——发电机暂态电抗后横轴的电动势；

xd′——发电机纵轴暂态电抗；

id、iq——发电机纵轴和横轴电流；

xq——发电机横轴同步电抗；

y——系统节点复数导纳矩阵(yii＝gii+jbii,yij＝yji＝gij+jbij)；

i——节点注入电流源向量

2.构造关于控制参数的多项式基函数，并将系统的状态变量和代数变量用这组多项式基函数来表示，多项式基函数的系数为相应的高阶轨迹灵敏度。

选定发电机1的惯性时间常数fj1作为控制参数，研究参数fj1对系统中的状态变量和代数变量的影响。

为了在后续的投影计算中，避免三角函数的出现，用中间变量e、f替代原来δ，其中，e、f满足如下关系：

那么发电机的转子运动方程变为：

设定高阶轨迹灵敏度的阶数为6，用参数fj1多项式的线性组合来表示状态变量，如e、f的展开式可写为如下形式：(其他状态变量和代数变量的展开式与之类似)

式中和分别为状态变量e和f对参数fj1的i阶轨迹灵敏度。

3.将含有待定高阶轨迹灵敏度和的6阶展开式e^*和f^*代入转子运动方程中，选定一组特殊的测试基函数对替代后的微分方程进行投影计算，消去参数，获得仅含有待求高阶轨迹灵敏度和的微分方程。

将含未知高阶轨迹灵敏度的展开式代入转子运动方程可得：(代数方程的替换与之类似)

选择特定的测试基函数，然后对这组微分-代数方程进行内积投影运算，得到一组只含有待求解高阶轨迹灵敏度的微分-代数方程：

4.用数值积分方法求解高阶轨迹灵敏度

给定仿真步长为0.02s，仿真时间2s，采用梯形积分公式进行数值积分，即可求出系统变量高阶展开式的各项系数在各个时刻的值。

高阶展开式的系数确定以后，就能求出状态变量在参数取不同的初值时的状态轨迹，发电机1和发电机2的转子之间相对角度时域仿真结果如图3所示。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。