新型强化混沌系统的构造方法与流程

本发明具体涉及一种新型强化混沌系统的构造方法。

背景技术：

近年来，随着信息安全的问题日益凸显，混沌及其在信息安全中的应用逐渐成为了研究热点。混沌系统具有初值敏感性、类噪声性和遍历性等特点，使其在密码学应用中具有特有的优势。此外，混沌序列通过简单迭代即可生成，能满足信息的实时加密的要求。

低维离散混沌映射因其具有实现简单，迭代开销小等优点而被广泛地应用于密码学。然而，随着计算机和云计算的发展，许多低维混沌映射因其具有较少的系统参数和变量，且结构简单，在应用于密码学时，其加密的初始条件、参数和运动轨迹可能被混沌信号评估技术所预测，从而存在安全隐患。相比较而言，高维离散混沌映射(尤其是超混沌映射)具有较多的系统参数和变量，复杂的系统结构，所以其应用系统具有更高的安全性。因此，高维混沌映射是密码学应用中的潜在理想模型。

为了提高低维混沌映射的性能，人们提出了许多构造强化混沌系统的方法，如调制、耦合、级联、维数拓展等，并已证明了其有效性。但是基于这些单一的方法，仍难以保障混沌应用系统的安全性。如级联混沌能增加系统的复杂性，但是无法克服密钥空间较小的不足。同理，维数拓展能够提高系统的密钥空间，但不能保证生成混沌序列的复杂度高，即随机性更好。如何设计一个能全面提高离散混沌系统性能的复合方法具有重要的现实意义和研究价值。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种能够提高系统的密钥空间和系统的混沌性能的新型强化混沌系统的构造方法。

本发明提供的这种新型强化混沌系统的构造方法，包括如下步骤：

s1.任意选取两个一维混沌映射f(·)和g(·)；

s2.利用混沌映射f(·)调制混沌系统g(·)的输出值，并将调制结果建立闭环耦合模型，得到构造的最终的高维离散混沌映射系统，即强化混沌系统。

步骤s2所述的利用混沌映射f(·)调制混沌系统g(·)的输出值，并将调制结果建立闭环耦合模型，具体为采用如下公式进行调制和建立闭环耦合模型：

式中x＝[x1,x2,...,xn]^t为混沌系统的状态变量；a、b、c、d、e为耦合参数，用于调整系统工作于混沌态，a、b、c、d、e的取值规则为a、c、e∈(0,+∞)，且b、d∈(-∞,+∞)。

本发明提供的这种新型强化混沌系统的构造方法，通过闭环调制耦合的方式将两个一维混沌映射进行调制，并引入多个系统参数，不仅拓展了维数，状态变量的个数也增多，从而增大了系统的密钥空间；而且通过动力学特性分析表明，本发明方法可以提高系统的混沌性能，甚至可以由两个普通混沌系统产生具有两个正的lyapunov指数的超混沌系统；此外，复杂度分析表明，本发明方法能提高产生混沌序列的复杂度；最后，本发明方法适用性强，灵活性高。通过选用不同的一维混沌映射或者切换g(·)为反馈控制函数，可以构造出许多不同的混沌映射系统，甚至是超混沌系统。此外，系统维数n可设置为任意大于1的整数，因此还可以得到任意维数的混沌系统，能满足目前的各种实际应用需求。

附图说明

图1为本发明方法的闭环调制耦合方法的原理框图。

图2为si-cmcm系统的吸引子相图。

图3为si-cmcm系统的lyapunov指数谱。

图4为si-cmcm、sine映射和icmic映射的排列熵复杂度。

图5为sc-cmcm系统的吸引子相图。

图6为sc-cmcm系统的lyapunov指数谱。

图7为sc-cmcm和sine映射的排列熵复杂度。

具体实施方式

如图1所示为本发明方法的闭环调制耦合方法的原理框图。本发明提供的这种新型强化混沌系统的构造方法，包括如下步骤：

s1.任意选取两个一维混沌映射f(·)和g(·)；

s2.利用混沌映射f(·)调制混沌系统g(·)的输出值，并将调制结果建立闭环耦合模型，得到构造的最终的离散混沌映射系统；具体为采用如下公式进行调制和建立闭环耦合模型：

式中x＝[x1,x2,...,xn]^t为混沌系统的状态变量；a、b、c、d、e为耦合参数，用于调整系统工作于混沌态，a、b、c、d、e的取值规则为a、c、e∈(0,+∞)和b、d∈(-∞,+∞)；其中d为一个延时单元。

以下通过若干实例和对系统的动力学特性进行相应的分析(包括吸引子相图、lyapunov指数谱、分岔图以及复杂度)，从而证明本发明方法的有效性。

图2所示为si-cmcm系统的吸引子相图：(a)(μ,λ,ω)＝(2,π,0.5)，(b)(μ,λ,ω)＝(2,π,1)，(c)(μ,λ,ω)＝(2,π,3)，(d)(μ,λ,ω)＝(2,π,5)，(e)(μ,λ,ω)＝(2.5,π,5)，(f)(μ,λ,ω)＝(3,π,5)。

图3所示为si-cmcm系统在不同参数时的lyapunov指数谱：(a)(λ,ω)＝(π,5)，(b)(μ,ω)＝(1,5)，(c)(μ,λ)＝(1,π)，以及分岔图：(d)(λ,ω)＝(π,5)，(e)(μ,ω)＝(1,5)，(f)(μ,λ)＝(1,π)。

图4所示为si-cmcm、sine映射和icmic映射的排列熵复杂度。

图5所示为sc-cmcm系统在不同参数时的吸引子相图：(a)(μ,λ,k)＝(1,π,8)，(b)(μ,λ,k)＝(1,2π,8)，(c)(μ,λ,k)＝(0.5,2π,8)，(d)(μ,λ,k)＝(1,π,100)，(e)(μ,λ,k)＝(1,2π,100)，(f)(μ,λ,k)＝(0.5,2π,100)。

图6所示为sc-cmcm系统取不同参数时的lyapunov指数谱：(a)(λ,k)＝(2π,100)，(b)(μ,k)＝(1,100)，(c)(μ,λ)＝(1,2π)，以及分岔图：(d)(λ,k)＝(2π,100)，(e)(μ,k)＝(1,100)，(f)(μ,λ)＝(1,2π)。

图7为sc-cmcm和sine映射的排列熵复杂度。

实例一，si-cmcm混沌映射：

步骤1：选取f(·)为sine映射，g(·)为无限折叠迭代混沌映射(iterativechaoticmapwithinfinitecollapse,icmic)，它们的系统方程分别为

x(n+1)＝μ1sin(λx(n+1))，

x(n+1)＝μ2sin(ω/x(n))，

其中μ1、μ2、λ、ω为系统参数，且μ1、μ2、λ、ω∈(0,+∞)。

步骤2：取耦合参数(a,b,c,d,e)＝(1,0,1,0,1)，并将两个混沌映射相调制，得到sineicmic调制映射(sineicmicmodulationmap，simm)的系统方程为

x(n+1)＝μsin(λx(n))sin(ω/x(n))。

注意，耦合参数的选取需根据这两个一维混沌映射的状态变量，以及部分系统参数的取值范围来初步确定，并在仿真实验中进行调整，使系统工作于混沌态。

步骤3：取系统维数n＝2，并将simm系统的维数拓展到二维，且形成闭环耦合，得到sineicmic闭环调制耦合映射(sineicmicclose-loopmodulationcouplingmap,si-cmcm)的系统方程为

其中x(n)、y(n)为系统的状态变量，μ、λ、ω为系统参数，且μ、λ、ω∈(0,+∞)。当取参数(μ,λ,ω)＝(1,π,5)时，si-cmcm混沌系统有两个正的lyapunov指数(4.1708,2.9349)。显然，系统处于超混沌态，具有更复杂的动力学行为。

步骤4：进一步分析系统的动力学特性，包括吸引子相图、lyapunov指数谱、分岔图以及复杂度。

si-cmcm系统的吸引子相图如图2所示。由图2(a)-(d)可知，当取参数(μ,λ)＝(2,π)时，随参数ω的增大，吸引子分布的区域也增大，且分布更加均匀。因此，随着参数ω的增大，混沌性能得到提升。由图2(d)-(f)可知，系统状态变量x(n)、y(n)∈[-μ,μ]，且以两条相差t/2相位的正弦曲线构成边界线。因此，吸引子的运动区域为

混沌系统的动力学行为常用lyapunov指数谱和分岔图来评估。当取参数(λ,ω)＝(π,5)时，si-cmcm系统随参数μ变化的lyapunov指数谱和分岔图如图3(a)、(d)所示。可见，当μ∈[0.68,5]时，系统在μ∈[0.705,0.725]∪[2.765,2.802]∪[3.515,3.635]处存在三个窄的周期窗口，其他区域则处于混沌态或者超混沌态(μ∈[0.735,2.76])。当取参数(μ,ω)＝(1,5)时，si-cmcm系统随参数λ变化的lyapunov指数谱和分岔图如图3(b)、(e)所示。可见，当λ∈[2,10]时，系统有两个正的lyapunov指数，说明系统处于超混沌态。当取参数(μ,λ)＝(1,π)时，si-cmcm系统随参数ω变化的lyapunov指数谱和分岔图如图3(c)、(f)所示。可见，当ω∈[1.165,15]时，除在ω∈[3.175,3.25]处存在一个窄周期窗口外，其它区域呈超混沌态。此外，随着参数ω的增大，系统的lyapunov指数总体呈增大的趋势，系统混沌性能不断提高，这与之前的分析一致。

在密码学应用中，混沌系统生成时间序列的随机性越好，密码系统的安全性也就越高。而序列的随机性可以通过复杂度算法来衡量，其中排列熵(permutationentropy,pe)算法因实现简单而被广泛地使用。在本实验中，选用排列熵算法来计算si-cmcm(λ＝π,ω＝5)、sine映射(λ＝π)和icmic映射(ω＝π)的复杂度，并设定嵌入维数p＝5，时间延迟τ＝1。计算结果如图4所示。可见，si-cmcm系统的排列熵复杂度接近于理想值1，且远高于它的两个原始系统，这进一步说明了该构造方法能够提高混沌系统的复杂度。

实例二，sc-cmcm混沌映射：

chebyshev映射的系统方程为

x(n+1)＝cos(kcos^-1(x(n)))，

其中x(n)为系统的状态变量，k为系统参数，且k∈(0,+∞)。

当选取f(·)为sine映射，g(·)为chebyshev映射，耦合参数(a,b,c,d,e)＝(1,0,1,0,1)，以及维数n＝2时，用类似的方法，可以得到sinechebyshev闭环调制耦合映射(sinechebyshevclose-loopmodulationcouplingmap,sc-cmcm)的系统方程为

其中x(n)、y(n)为系统的状态变量，μ、λ、k为系统参数。当取参数(μ,λ,k)＝(1,2π,100)时，2d-scmm系统的lyapunov指数为(3.8315,2.9098)，呈超混沌态。

sc-cmcm系统的吸引子相图如图5所示。可见，其吸引子由一些类正弦腔构成。如图5(a)、(b)所示，当参数μ、k固定时，参数λ每增大一倍，腔体个数也增多一倍。如图5(b)、(c)所示，当参数λ、k固定时，参数μ1每增大一倍，腔体个数也增多一倍。可得到这些类正弦的边界曲线的周期t＝2π/λ，系统的状态变量x(n)、y(n)∈[-μ,μ]，从而腔体的个数n＝2μ/(t/2)＝2μλ/π。此外，比较图5(a)-(c)与(d)-(f)可知，当参数μ,λ固定时，随着参数k的增大，吸引子的密度线减少，分布更加均匀，且吸引子相图由中心对称趋于轴对称，边界曲线也更趋近于正弦曲线。

当取参数(λ,k)＝(2π,100)时，sc-cmcm系统随参数μ变化的lyapunov指数谱和分岔图如图6(a)、(d)所示。可见，当μ>0.288时，系统只有一个正的lyapunov指数，呈混沌态；当μ>0.356时，系统具有两个正的lyapunov指数，呈超混沌态。当取参数(μ,k)＝(1,100)时，sc-cmcm系统随参数λ变化的lyapunov指数谱和分岔图如图6(b)、(e)所示。可见，当λ>1.76时，系统出现混沌现象，且当λ>2.28时，系统进入超混沌态。当取参数(μ,λ)＝(1,2π)时，sc-cmcm系统随参数k变化的lyapunov指数谱和分岔图如图6(c)、(f)所示。可见，在k等于奇数的某个较小的邻域内，将出现周期窗口，而其他区域则呈超混沌态。因此，在实际应用中，应该取k值为偶数，以保证系统状态不是周期态。

当取参数(λ,k)＝(2π,100)时，sc-cmcm与sine映射随参数μ(μ1)变化的排列熵复杂度如图7所示。可见，sc-cmcm系统的排列熵复杂度接近于理想值1，且远大于sine映射的复杂度。因此，该系统能产生高复杂度的伪随机序列。

上述实例仅为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对其实施方式的限定，对于所属领域的技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出以下几种不同形式的变化。

(1)可以选用不同的一维混沌映射作为原始混沌系统。目前已经采用sine、logistic、icmic、cubic、chebyshev等一维离散混沌映射两两组合构造出了多个新的混沌映射系统。

(2)切换反馈控制函数为g(·)。例如，对于si-cmcm系统，切换icmic映射为反馈控制函数后得到icmicsine闭环调制耦合映射(icmicsineclose-loopmodulationcouplingmap,is-cmcm)的系统方程为

(3)选用不同的系统维数n值。例如，对于si-cmcm系统，选用系统维数n＝3时，可以得到其三维表达式为

其中x(n)、y(n)、z(n)为系统的状态变量。

(4)基于两个简单的一维离散混沌映射，采用闭环调制耦合方法，构造出高维离散混沌系统。为了进一步提高系统的复杂性与多样性，可建立基于多个一维混沌映射的闭环调制耦合模型。已知两个一维混沌映射簇：f＝[f1,f2,...,fn],g＝[g1,g2,...,gn],分别用f簇中的系统调制g簇中的系统，并形成一个闭环耦合，便得到多系统闭环调制耦合模型，其表达式为

整个系统的维数为第i行表示系统簇i，且总共有m个系统簇。在系统簇i中，分别采用fi映射调制gi映射，并将结果扩展为ni维，且在各个等式之间建立耦合，使得状态变量xj+1与xj相关联。之后建立簇间耦合，使得系统簇i+1的第1个状态变量与第i簇的最后一个状态变量相关联，i＝1,2,...,m-1，而第1簇的第1个状态变量与第m簇的最后个状态变量相关联，从而形成闭环耦合。若取m＝n1＝n2＝2，即系统维数为n1+n2＝4，函数f1(x)为sine映射，g1(x)为无限折叠迭代混沌映射(iterativechaoticmapwithinfinitecollapse,icmic)，f2(x)为sine映射，g2(x)为logistic映射(其系统方程为x(n+1)＝μx(n)(1-x(n)))，即可得到多系统闭环调制耦合映射i(multi-systemclose-loopmodulationcouplemap-i,mmcm-i)的系统方程为

其中x(n)、y(n)、z(n)、w(n)为系统的状态变量，μ、λ、c、α、β为系统参数。

表1还列出了一些基于典型一维离散混沌映射及通过闭环调制耦合方法设计出的新型高维离散混沌映射的状态变量个数、参数个数、pe复杂度及工作状态。可见，利用闭环调制耦合方法设计出的新系统具有更高的复杂度，更大的参数空间及更复杂的超混沌行为。从而验证了该设计方法的有效性。

表1不同混沌映射的状态变量和工作状态