一种精确求解复数格逐次最小量问题的方法及系统的制作方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及通信技术领域，尤其涉及一种精确求解复数格逐次最小量问题的方法 及系统。
【背景技术】
[0002] 格（lattice)理论是几何数论中的经典研究领域。近年来，格理论在多输入多 输出（Multiple-Input Multiple-〇utput，MIMO)无线通信系统中得到了广泛的应用， 例如用球解码（Sphere Decoding, SD)算法来实现极大似然接收，用格基规约（Lattice basis Reduction, LR)算法来提高线性接收机和连续干扰消除（Successive Interference Cancellation, SIC)接收机的接收性能，等等。最近针对MM0系统，有学者提出了一种 新型的迫整（Integer-Forcing，IF)线性接收机，并且证明了这种接收机可以获得比现有 其他的线性接收机、甚至是SIC接收机都好的接收性能。在迫整线性接收机的实施过程 中，需要根据当前的信道状况和系统状态来选择系数矩阵，并且现有研究已经证明，当以 最大化系统可达传输速率为目标时，最优的系数矩阵需要通过解决最短独立向量组问题 (shortest independent vectors problem, SIVP)或逐次最小量问题（successive minima problem, SMP)来获得。
[0003] 传统上针对格的研究都是在实数域上开展的，但随着格理论在无线通信系统中得 到了越来越多的应用，格理论被逐步扩展到了复数域，因为针对复数格构造的相关算法在 应用中能够有更高的计算效率。
[0004] 一 .格理论的相关背景知识：
[0005] i. 1 实数格：
[0006] 一个m维实数域(Kw)上的格（简称为实数格）是一组在IT上线性独立的基向 量{gl，...，gj的全体整数系数线性组合的集合，记为：
[0007]
CD
[0008] 我们把矩阵G g2…gm]叫做这个格的一个基或者一个生成矩阵。￡(G：)的 任意一个格向量都能够用一个线性方程唯一表示：v = Gu，其中，…,Ww]T ￡芯《是v 的系数向量，上标（?)T表示转置。如果得到G的QR分解：G = QR，其中Q是一个正交矩阵， R是一个对角元素为正的上三角阵，我们和￡(R)是等价的，因为前者可以认为是 后者通过在空间中旋转得到的。
[0009] 逐次最小量（successiveminima):格￡(G)的第k(l<k<m)个逐次最小量入k 定义为以原点为球心，包含k个线性独立的格向量的最小闭球的半径，即：
[0010]
(2)
[0011] 其中瓦,(0,/?)代表的是政w上以原点为球心，以r为半径的闭球，span( ?)代表的 是由括号中包含的向量所张成的线性空间。
[0012] 逐次最小量问题（SMP):给定一个m维格SMP要求寻找一组线性独立的向 量{Vi, v2, . . .，vm}使得 | | vk| | = Ak，1 彡 k 彡 m。I I vk| I 表示的是 长度。
[0013] 最短独立向量组问题（SIVP):给定一个m维格￡(G) , SIVP要求寻找一组线性独 立的向量Iv；!，V2，…，Vm}使得I I Vk| I彡人m，1彡k彡m。
[0014] 对于任意一个格这两个问题的精确解都一定存在。并且从二者的定义中 可以看出SMP的精确解一定也是SIVP的精确解。
[0015] 1.2 复数格：
[0016] m维复数域,(CT)上的格（简称为复数格）的定义与实数格的定义在形式上一致， 区别仅在于复数格的基向量{ gl，...，gj是在CT上线性独立的一组向量，并且格向量的系 数是高斯整数，即式（1)中2/6即],可/]全{? +况|?￡忑，&￡艺}，：?: = ^^1。同样的， 如果得到生成矩阵G的QR分解：G = QR，其中Q是一个酉矩阵，R是一个对角元素为正实数、 其他元素为任意复数的上三角阵，<(G)和￡(R)也是等价的。复数格的逐次最小量、SMP 和SIVP的定义可以从实数格的定义直接延伸得到，区别仅在于要在CT而非服《上进行考 虑，例如"线性独立"指的是在C m上线性独立、"维度"指的是CT的一个维度。对于任意的 复数格，它的SMP和SIVP的精确解也一定存在，且SMP的精确解一定也是SIVP的精确解。
[0017] 二.迫整线性接收机：
[0018] 2.1系统描述：
[0019] 考虑一个配备有\根发射天线、I根接收天线的MM0系统的基带模型，并假设 它经历准静态、非频率选择性的衰落信道，我们可以用一个复矩阵来表示信 道，并把这个MM0系统看成一个复线性系统。在发射端，所有的发射天线都采用同样一 个格码（lattice code)码簿C(￡)C=M"，C〇C)的码字都是实数格￡中的向量。在第 1 (1彡1彡nt)根发射天线处，格码的编码器把两个独立的信息向量Sf和S;分别映射成一个 C(￡)中的两个个码字? xf和< ,它们共同构成复数基带信号七二xf十fxf e C"，并通过 n次信道使用将其发射出去。此外通过对C(i：)的缩放使得每个发射信号都满足功率限制 E{| |Xl| |2} =nP。假设信道在单个码字的发射过程中保持不变，那么经过n次信道使用，接 收端接收到的复数基带信号可以表示为：
[0020] Yc= HCXC+ZC (3)
[0021] 其中Xc全[XlX2…Xyf 是发射信号矩阵，2：。€([^ ><",是加性高斯白噪 声矩阵，假设氏和心的每个元素都是均值为0、方差为1的循环对称复高斯变量。
[0022] 2. 2针对等效实系统的迫整线性接收：
[0023] 由于传统上对格的研究都是在实数域开展的，因此现有文献中一般都采用将式 (3)转换成等效实数系统的方法在实数域上进行迫整线性接收。令Nt= 2Xnt，队=2Xnp 式⑶所示的复线性系统可以等效为一个N'Nt的实线性系统：
[0024]
轉
[0025] 简单表示成
[0026] Y = HX+Z (5)
[0027] 这个等效实系统的发射信号矩阵Xe〃，信道矩阵H￡接收信号矩 阵YeM夂x";显然与复数系统（3)相比，这些矩阵的维度都增大了一倍。
[0028] 迫整线性接收机需根据当前的系统状态选择一个可逆的整数矩阵Ae和 一个映射矩阵BIF eRM#'。由于X的行向量都是实数格的格向量，由格的定义可知，AX 的行向量一定还是￡的格向量。迫整线性接收机的目标就是并行地从映射矩阵的输出BifY 的每一行中恢复AX的行所给出的格向量。而由于A是可逆的，只要AX能够正确恢复，就能 够从中得到原始发射信号X。使得MIM0系统获得最高传输速率的最优系数矩阵A和最优映 射矩阵B IF需要通过下述步骤得到：
[0029] ?通过cholesky分解得S
其中L e R〃'X<V'是一个下三 角阵；
[0030] ?把LT看成一个生成矩阵，找到格1 )上SIVP或者SMP的精确解，用这个精确 解（Nt个线性独立的格向量）的整数系数构成最优系数矩阵A ;
[0031] ?选择最优的映射矩阵：
[0032]
(€)
[0033] 因此，为了使得迫整线性接收能够获得最佳的接收性能，我们需要精确求解实数 格￡(LT)的 SIVP 或者 SMP。
[0034] 2. 3针对复数系统的迫整线性接收：
[0035] 如果我们直接在复数域上设计迫整线性接收机，那么就需根据当前的系统状态选 择一个可逆的高斯整数矩阵Ac e 和一个复数映射矩阵BlfX e 此时AeXc的 行向量的实部和虚部都是￡的向量。迫整线性接收机并行地从&^\的每一行中恢复ACX C 的行所给出的向量，再从中恢复原始发射信号Xe。此时使得MM0系统获得最高传输速率的 最优系数矩阵Ae和最优映射矩阵8 IF，e需要通过下述步骤得到：
[0036] ?通过cholesky分解得到
其中是一个 下三角阵，（?）H表示的是共辄转置；
[0037] ?把：L|看成生成矩阵，找到复数格￡(1$)的SIVP或者SMP的精确解，用这个精确 解（nt个线性独立的格向量）的高斯整数系数构成最优系数矩阵A
[0038] ?选择最优的映射矩阵：
[0039]
(7)
[0040]因此，如果能够精确求解复数格￡(1$)的SMP，也就能够使得迫整线性接收获得 最佳的接收性能。本发明的目标就是构造一个能够精确求解复数格SMP的算法。
[0041] SMP是格理论的基本问题，目前的求解SMP的方法可以划分为两类，一类是近似求 解的方法，另一类是精确求解的方法。
[0042] 近似求解方法：SMP的近似求解方法主要是指格基规约算法。对