基于ICVEFG法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法

基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法
技术领域
1.本发明涉及计算机辅助工程中仿真计算技术领域，具体涉及一种基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法。


背景技术：

2.复合材料是由两种或两种以上不同物理化学性质特性的材料按一定方式组合而成。这种组合后的新材料通常不仅具备各组分材料的优点，各组分材料之间还能互补，获得单一材料所不具备的某些特性。因此，可以合理的选择材料组分，根据需求设计出目标复合材料。这类材料具有质量轻、强度高、耐高温、抗疲劳和耐磨损等特点，已经在航空航天、海洋工程、机械制造以及土木工程等领域中发挥着不可替代的作用。由于复合材料是由不同材料组合而成，属于各向异性材料，某些纤维增强复合材料甚至属于正交各向异性材料。然而，制作这类材料的工艺尚不成熟，构件在成形过程中产生微观裂纹，在使用过程中，受到荷载及边界条件的影响，微观裂纹将持续发展。通常，高比强度的材料几乎不具有塑性和韧性，一旦开裂将迅速破坏。应力强度因子是线弹性断裂力学中的一个重要参数。当应力强度因子超过材料本身的断裂韧度时，裂纹开始扩展。而在航空航天等领域中，裂纹的出现及其扩展直接危害到了构件的使用寿命。因此，为避免脆性破坏，对含裂纹构件的断裂行为进行研究，计算含裂纹构件的应力强度因子十分重要。
3.对于一些简单断裂问题，解析方法是最为有效的方法。irwin和sih等人通过复变函数法获得了各向同性和各向异性材料裂纹尖端附近的应力场与位移场。但理论研究只能处理某一简单的特例。对于求解复杂的断裂问题，数值方法是一个更好的选择。
4.常用的分析断裂问题的数值方法有扩展有限元法(xfem)和扩展等几何分析(xiga)等。xfem和xiga可以看做对有限元法的改进。xfem利用单位分割的概念来考虑裂纹的不连续性，使得裂纹独立于网格。与有限元法相比，xfem可以表征任意形式的裂纹，且在裂纹扩展时，无需重新划分网格。xiga通过对fem的基函数进行改进，削弱了fem中单元对几何形状的影响。常采用的基函数有非均匀有理b样条(nurbs)函数、t样条函数等。目前，这两类方法已经被用来分析各向同性及各向异性固体的应力强度因子(sif)计算和裂纹扩展的模拟等。尽管这些方法在研究断裂问题中取得了巨大的成功，但这些方法仍然存在不少缺陷，不是网格的质量对计算结果影响大，单元间连续性低，就是计算效率太低。
5.采用无网格法对断裂问题进行分析是解决这些问题的有效手段之一。无网格法通过节点来表示问题域，离散过程中摆脱了单元的束缚。基于这一特点，无网格法已经被广泛应用于分析断裂问题。ventura等人提出了一种新矢量水平集法，这种方法被用来分析裂纹扩展问题。与其它方法相比，这种方法更容易模拟分支裂纹和交叉裂纹。聂峰华等人对efg法(无单元伽辽金法)中的权函数进行修正，同样使分支裂纹更容易被处理。liew等人用不相连的内聚段表示裂纹，并且研究了均质各向同性体中的裂纹扩展路径。顾元通等人开发了一种富集径向基点插值法研究了裂纹尖端的应力场和应力强度因子。但这些研究都是针对各向同性材料的断裂问题，对于各向异性材料的断裂问题无网格方法的研究较少。
ghorashi和mohammadi等人对efg法中的基函数进行修正，采用正交各向异性富集函数作为扩展基函数，并分析了正交各向异性材料裂纹尖端的应力强度因子，在他们的研究中，过多的节点被用来离散问题域。同样，这一问题也被fallah和nikraftar用无网格有限体积法研究。此外，正交各向异性富集efg法还被用来分析功能梯度材料的断裂问题。然而，这些方法都可以看作是efg法的衍生方法，保留了efg法计算形函数时，需要使用较多的节点来避免矩阵奇异的缺点。
6.使用一维基函数逼近二维试函数的复变量无网格法是解决这一问题的有效方法。与传统无网格方法相比，复变量无网格方法由于基函数项数更少，具有精度高，稳定性好等特点。目前，已经提出了很多种复变量无网格方法，如，改进的复变量无单元伽辽金法(improved complex variable element-free galerkin，icvefg)，复变量准凸重构核粒子法(complex variable reproducing kernel particle method，cvrkpm)，复变量无网格边界元法(complex variable boundary element-free method，cvbem)。icvefg的误差泛函具有明确的数学物理意义，是非常有效的复变量无网格法，应用前景十分广阔。目前icvefg方法主要用于分析热传导、弹性静力学和大变形问题。通常这些研究的对象都是各向同性材料，对各向异性材料的研究非常少，更不用说使用这种方法来研究各向异性材料的断裂问题。


技术实现要素：

7.本发明的目的就是针对上述技术的不足，提供一种基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法，解决了其它数值方法分析正交各向异性材料断裂问题中使用节点数目多、计算效率低和计算精度差的问题。
8.为实现上述目的，本发明所涉及的基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法，包括如下步骤：
9.a)基于icvefg方法对模型进行前处理：输入正交各向异性材料的材料参数，生成计算模型，在所述计算模型中，布置节点，并确定边界节点的坐标，导入计算模型所受的荷载，生成问题域中的背景积分网格，布置该背景积分网格中的高斯点，建立高斯点的坐标、权重和雅可比；
10.b)建立材料坐标系下的柔度矩阵，并通过转换矩阵转换为整体坐标系下的柔度矩阵，并计算正交各向异性材料的弹性常数矩阵；
11.c)建立裂纹模型，并使用可视性准则处理位移不连续性；
12.d)取得系统方程并求解，输出所有节点的应力与位移向量；
13.e)计算相互作用积分，并提取应力强度因子。
14.优选地，所述步骤a)中，所述材料参数包括主泊松比、主弹性模量、次弹性模量、剪切模量、材料主轴角度β及尺寸。
15.优选地，所述步骤b)中，包括如下步骤：
16.b1)利用输入的所述材料参数建立材料坐标系下的柔度矩阵c1：
[0017][0018]
式中，e1为主弹性模量，e2为次弹性模量，v
12
为主泊松比，g
12
为剪切模量；
[0019]
b2)材料坐标系与整体坐标系之间的夹角为材料主轴角度β，将材料坐标系下的柔度矩阵c1转换为整体坐标系下的柔度矩阵c＝t
t
c1t，式中，t为转换矩阵：
[0020][0021]
b3)计算正交各向异性材料的弹性常数矩阵d＝c-1
。
[0022]
优选地，所述步骤c)中，包括如下步骤：
[0023]
c1)获取裂纹段起止位置的坐标，输入计算模型；
[0024]
c2)遍历问题域中所有的节点，判断节点是否在裂纹段上，若节点在裂纹段上则删除在裂纹段上的节点；
[0025]
c3)遍历问题域中所有高斯点，判断高斯点是否在裂纹段上，若高斯点在裂纹段上，则删除在裂纹段上的高斯点，取得裂纹模型；
[0026]
c4)若节点与高斯点的连线与裂纹段相交，则采用可视性准则对icvefg法中的权函数进行修正，以处理位移不连续性；
[0027]
优选地，所述步骤d)中，包括如下步骤：
[0028]
d1)遍历所有高斯点、节点，计算相应形函数φ，以及每个节点的荷载，并组装成荷载向量与刚度矩阵k；
[0029]
d2)采用罚函数法处理本质边界条件：遍历所有边界节点，计算边界节点的icvefg方法的形函数φ，结合罚因子α计算出每个边界节点的惩罚刚度矩阵k
α
与局部惩罚力向量f
α
，并与刚度矩阵k、力向量f叠加，组装成系统方程：
[0030]
[k+k
α
]u＝f+f
α
[0031]
式中，u是节点位移参数向量，
[0032]
k＝∫
ωbt
dbdω
[0033][0034]kα
＝α∫
γu
φ
t
sφdγu[0035][0036]
式中，b为应变矩阵，d为弹性常数矩阵，b为体力向量，为表面力向量，ω为问题域，φ为形函数，φ(z)＝p
t
(z)a-1
(z)b(z)，z＝x+iy,(x,y)为节点坐标，p
t
(z)为基函数向量，p为由支持域中节点的基函数向量p
t
(z)组成的矩阵，为p的共轭形式，w(z)为权函数矩阵，γ
t
为荷载边界，α为罚因子，γu为位移边界，
当需要施加位移边界条件时，si的值为1，否则为0；
[0037]
d3)对系统方程进行求解，计算每个节点的节点位移参数u
*
；
[0038]
d4)遍历所有节点，计算节点的应力与位移，节点的位移由其支持域内节点的节点位移参数拟合：
[0039][0040]
式中re表示实部，im表示虚部，其中，
[0041][0042]
任意节点的应力σ由位移求导并与弹性常数矩阵d相乘求得，σ(z)＝dbu，u为节点位移向量；
[0043]
d5)输出所有节点的应力与位移向量。
[0044]
优选地，所述步骤e)中，包括如下步骤：
[0045]
e1)输入相互作用积分区域的尺寸，生成相互作用积分区域中的背景积分网格，布置该背景积分网格中的高斯点，确定高斯点的坐标、权重和雅可比；
[0046]
e2)判定高斯点是否在裂纹上，若在裂纹上，则删除该高斯点；
[0047]
e3)遍历所有高斯点，计算高斯点的形函数及其导数；
[0048]
e4)计算高斯点的应变ε(z)＝bu，应力σ(z)＝dε(z)，由于相互作用积分是在裂尖坐标系下进行，而求得的高斯点的应变与应力是整体坐标系下的值，将整体坐标系下的应力与应变转化为裂尖局部坐标系下的应力与应变；
[0049]
e5)计算相互作用积分的值：
[0050][0051]
a表示m积分区域的面积，q表示权函数，在积分边界上q＝0，中心点的q＝1，上角标aux表示辅助场的状态，辅助场裂纹尖端的应力与位移的解析解，w
(1,2)
为相互作用应变能，
[0052]
e6)求解特征方程：由相容方程与平衡方程推导而来的四阶控制偏微分方程的特征方程形式为：
[0053][0054]
其中，c
ij
为柔度矩阵c中的元素，将获得的两个虚部大于0的根记为r1和r2；
[0055]
e7)根据相互作用积分计算出应力强度因子的值，
[0056][0057]
式中，m
(1)
和m
(2)
表示由不同辅助场获得的相互作用积分值，利用混合模式应力强度因子与相互作
用积分的关系，从相互作用积分中分离出i型应力强度因子ki与ii型应力强度因子k
ii
，即可输出基于icvefg方法的正交各向异性材料含裂纹构件的i型应力强度因子ki与ii型应力强度因子k
ii
。
[0058]
本发明与现有技术相比，具有以下优点：
[0059]
1、解决了其他方法计算效率低，依赖网格离散问题域导致计算稳定性差等问题；
[0060]
2、与其它无网格方法相比，无网格icvefg方法相关参数的收敛速度更快；
[0061]
3、与其它数值方法相比，无网格icvefg方法计算的结果与参考结果吻合更好，计算精度更高，且使用的节点数目更少，能够有效且高速的完成计算，具有良好的应用前景；
[0062]
4、通过修改正交各向异性材料的材料参数及材料方向主轴，能够灵活简便的分析不同正交各向异性材料的断裂问题，因此能够很好的分析实际工程中正交各向异性材料的断裂问题，具有良好的实际工程意义。
附图说明
[0063]
图1为本发明基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法的流程示意图；
[0064]
图2为本实施例中使用的模型示意图；
[0065]
图3为本实施例中离散问题域的节点布置图；
[0066]
图4为本实施例中材料坐标系与整体坐标系的示意图；
[0067]
图5为本实施例中计算得到的在材料弹性主轴方向不同时的i型正则应力强度因子；
[0068]
图6为本实施例中计算得到的实例在材料弹性主轴方向不同时的ii型正则应力强度因子。
具体实施方式
[0069]
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的详细说明。
[0070]
如图1所示，一种基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法，包括如下步骤：
[0071]
a)基于icvefg方法对模型进行前处理：输入正交各向异性材料的材料参数，生成计算模型，所述材料参数包括主泊松比、主弹性模量、次弹性模量、剪切模量、材料主轴角度β及尺寸，本实例中对象为包含裂纹的无限大单向受拉平板，结构几何模型及边界条件如图2所示，模型长为l，宽为w，裂纹长度为a，相互作用积分区域为边长为b的方形区域，材料主轴方向角度β取0
°
、30
°
、45
°
、60
°
和90
°
，如图3所示，在所述计算模型中，布置离散问题域的节点，并确定边界节点的坐标，导入计算模型所受的荷载，生成问题域中的背景积分网格，布置该背景积分网格中的高斯点，建立高斯点的坐标、权重和雅可比；
[0072]
b)建立材料坐标系下的柔度矩阵，并通过转换矩阵转换为整体坐标系下的柔度矩阵，并计算正交各向异性材料的弹性常数矩阵：
[0073]
b1)利用输入的所述材料参数建立材料坐标系下的柔度矩阵c1：
[0074][0075]
式中，e1为主弹性模量，e2为次弹性模量，v
12
为主泊松比，g
12
为剪切模量；
[0076]
b2)如图4所示，材料坐标系与整体坐标系之间的夹角为材料主轴角度β，将材料坐标系下的柔度矩阵c1转换为整体坐标系下的柔度矩阵c＝t
t
c1t，式中，t为转换矩阵：
[0077][0078]
b3)计算正交各向异性材料的弹性常数矩阵d＝c-1
；
[0079]
c)建立裂纹模型，并使用可视性准则处理位移不连续性：
[0080]
c1)获取裂纹段起止位置的坐标，输入计算模型；
[0081]
c2)遍历问题域中所有的节点，判断节点是否在裂纹段上，若节点在裂纹段上则删除在裂纹段上的节点；
[0082]
c3)遍历问题域中所有高斯点，判断高斯点是否在裂纹段上，若高斯点在裂纹段上，则删除在裂纹段上的高斯点，取得裂纹模型；
[0083]
c4)若节点与高斯点的连线与裂纹段相交，则采用可视性准则对icvefg法中的权函数进行修正，以处理位移不连续性；
[0084]
d)取得系统方程并求解，输出所有节点的应力与位移向量；
[0085]
d1)遍历所有高斯点、节点，计算相应形函数φ，以及每个节点的荷载，并组装成荷载向量与刚度矩阵k；
[0086]
d2)采用罚函数法处理本质边界条件：遍历所有边界节点，计算边界节点的icvefg方法的形函数φ，结合罚因子α计算出每个边界节点的惩罚刚度矩阵k
α
与局部惩罚力向量f
α
，并与刚度矩阵k、力向量f叠加，组装成系统方程：
[0087]
[k+k
α
]u＝f+f
α
[0088]
式中，u是节点位移参数向量，
[0089]
k＝∫
ωbt
dbdω
[0090][0091]kα
＝α∫
γu
φ
t
sφdγu[0092][0093]
式中，b为应变矩阵，d为弹性常数矩阵，b为体力向量，为表面力向量，ω为问题域，φ为形函数，φ(z)＝p
t
(z)a-1
(z)b(z)，z＝x+iy,(x,y)为节点坐标，p
t
(z)为基函数向量，p为由支持域中节点的基函数向量p
t
(z)组成的矩阵，为p的共轭形式，w(z)为权函数矩阵，γ
t
为荷载边界，α为罚因子，γu为位移边界，
当需要施加位移边界条件时，si的值为1，否则为0；
[0094]
d3)对系统方程进行求解，计算每个节点的节点位移参数u
*
；
[0095]
d4)遍历所有节点，计算节点的应力与位移，节点的位移由其支持域内节点的节点位移参数拟合：
[0096][0097]
式中re表示实部，im表示虚部，其中，
[0098][0099]
任意节点的应力σ由位移求导并与弹性常数矩阵d相乘求得，σ(z)＝dbu，u为节点位移向量；
[0100]
d5)输出所有节点的应力与位移向量；
[0101]
e)计算相互作用积分，并提取应力强度因子：
[0102]
e1)输入相互作用积分区域的尺寸，生成相互作用积分区域中的背景积分网格，布置该背景积分网格中的高斯点，确定高斯点的坐标、权重和雅可比；
[0103]
e2)判定高斯点是否在裂纹上，若在裂纹上，则删除该高斯点；
[0104]
e3)遍历所有高斯点，计算高斯点的形函数及其导数；
[0105]
e4)计算高斯点的应变ε(z)＝bu，应力σ(z)＝dε(z)，由于相互作用积分是在裂尖坐标系下进行，而求得的高斯点的应变与应力是整体坐标系下的值，将整体坐标系下的应力与应变转化为裂尖局部坐标系下的应力与应变；
[0106]
e5)计算相互作用积分的值：
[0107][0108]
a表示m积分区域的面积，q表示权函数，在积分边界上q＝0，中心点的q＝1，上角标aux表示辅助场的状态，辅助场裂纹尖端的应力与位移的解析解，w
(1,2)
为相互作用应变能，
[0109]
e6)求解特征方程：由相容方程与平衡方程推导而来的四阶控制偏微分方程的特征方程形式为：
[0110]c11r4-2c
13
r3+(2c
12
+c
33
)r
2-2c
23
r+c
22
＝0，
[0111]
其中，c
ij
为柔度矩阵c中的元素，将获得的两个虚部大于0的根记为r1和r2；
[0112]
e7)根据相互作用积分计算出应力强度因子的值，
[0113][0114]
式中，m
(1)
和m
(2)
表示由不同辅助场获得的相互作用积分值，利用混合模式应力强度因子与相互作
用积分的关系，从相互作用积分中分离出i型应力强度因子ki与ii型应力强度因子k
ii
，即可输出基于icvefg方法的正交各向异性材料含裂纹构件的i型应力强度因子ki与ii型应力强度因子k
ii
。
[0115]
图3给出了基于icvefg方法和efg方法分析正交各向异性材料断裂问题的节点的布置图，表1给出了基于icvefg方法和efg方法分析正交各向异性材料断裂问题使用的节点和积分网格的数量。从图3和表1可以知，与其它无网格方法相比，本方法使用的节点数目与积分网格数目更少，因此本方法在分析正交各向异性材料断裂问题时能有更高的效率。
[0116]
表1无网格方法计算参数取值
[0117][0118]
图5和图6给出了基于icvefg方法计算得到的不同材料主轴方向下的i型应力强度因子ki和ii型应力强度因子k
ii
的值，以及与其它数值方法的对比。从中可以看出，基于icvefg方法计算得到的应力强度因子的值完全在其它数值方法计算得到的结果的范围内，因此，icvefg方法在分析正交各向异性断裂问题时可以获得较高的精度。
[0119]
本发明基于icvefg法计算正交各向异性材料应力强度因子的方法，解决了其他方法计算效率低，依赖网格离散问题域导致计算稳定性差等问题；与其它无网格方法相比，无网格icvefg方法相关参数的收敛速度更快；与其它数值方法相比，无网格icvefg方法计算的结果与参考结果吻合更好，计算精度更高，且使用的节点数目更少，能够有效且高速的完成计算，具有良好的应用前景；另外，通过修改正交各向异性材料的材料参数及材料方向主轴，能够灵活简便的分析不同正交各向异性材料的断裂问题，因此能够很好的分析实际工程中正交各向异性材料的断裂问题，具有良好的实际工程意义。