一种基于互补松弛约束模型的配电网故障区段定位方法与流程

本发明涉及配电网故障定位的技术领域，尤其涉及一种基于互补松弛约束模型的配电网故障区段定位方法。

背景技术：

配电网故障定位作为智能配电网建设的重要技术分支，对于提升配电网运行的安全可靠性和自动化水平具有重要作用。学术界长期致力于以电气量时变特征为基础的配电网故障定位原理的研究，但因配电网结构及运行特征的复杂性，导致故障测距效果不理想。实践表明，首先利用馈线故障区段辨识技术确定故障发生区段，以便缩减故障测距范围，能够显著提高故障测距精度。目前，基于故障电流信息的馈线故障区段辨识技术因原理简单和实现便捷而成为该领域的研究热点。

研究快速高容错性馈线故障区段辨识技术对于提升配电网运行安全可靠性具有重要作用。至今，基于故障电流信息的馈线故障区段辨识方法主要包括直接辨识的矩阵方法、人工智能辨识方法和间接辨识的最优化方法。其中，直接辨识的矩阵方法具有建模方法直观、故障区段定位效率高等优势，但存在容错性较低和通用性不强的显著缺陷；人工智能辨识方法主要有粗糙集理论、人工神经网络、专家系统、数据挖掘方法等，该类方法故障区段辨识时对新的故障类型适应能力弱。间接辨识的最优化技术主要依据报警信息与故障状态的最佳逼近，基于故障诊断最小集理论，进行故障辨识模型最优化建模，与直接辨识矩阵技术和人工智能辨识技术相比，因其在通用性和容错性方法有显著优势，一直是该领域的研究热点。

从2000年起，研究人员聚焦于基于逻辑建模的故障区段定位群体智能优化技术的研究，利用群体智能优化算法实现配电网故障的定位和隔离。该类方法虽然具有故障辨识过程无需梯度信息、故障模型通用性和容错性强、对多区域多重故障有强适应性等显著优势，但其面临以下难题：(1)基于逻辑建模描述故障区段与设备间的耦合特性，将导致故障定位模型建模过程复杂，难于契合大规模复杂配电网的故障区段定位；(2)模型受限于逻辑关系运算，需采用群体智能算法决策求解，因算法具有随机性，导致故障定位效率低，故障辨识结果不稳定，会导致故障误判现象发生。

基于代数建模的故障区段定位最优化技术，因可跳出逻辑建模理论，能采用数值稳定性好的常规数学规划实现馈线故障区段的准确辨识，已逐渐成为配电网故障定位间接辨识最优化技术的新发展方向。文献[1]---申请号为201610324035.x的中国发明专利基于代数关系描述和互补理论的配电网故障定位方法和文献[2]---[何瑞江,胡志坚,李燕,等.含分布式电源配电网故障区段定位的线性整数规划方法[j].电网技术,2018,42(11):3684-3692.]提出配电网故障区段线性整数规划方法，其具有数值稳定好、对单一故障具有高容错性的优点，但因采用线性整数规划决策求解，应用于大规模配电网时故障辨识效率不高，且不适应于多重馈线区段发生故障的情景。文献[3]---申请号为201610345826.0的中国发明专利基于故障辅助因子的配电网高容错性在线故障定位方法，构建了基于故障辅助因子建模和牛顿-拉夫逊法求解的馈线故障区段定位新方法，具有容错性好、数值稳定性强、故障辨识效率高的优势，但其不具备多重故障辨识的强适应性。文献[4]---申请号为201610345826.0的中国发明专利基于故障辅助因子的配电网高容错性在线故障定位方法，建立了配电网故障区段定位的互补约束模型，可直接在连续空间实现馈线故障区段的辨识，为基于代数建模的配电网故障定位方法提供了新的技术方案，但其存在数值稳定性不好、无多重故障辨识能力等缺陷。文献[5]---[郭壮志，陈涛，黄全振，等.配电网故障定位的层级模型与预测校正算法[j].电力自动化设备，2018，38(7)：93-100.]以文献[4]为基础采用互补理论和分层解耦策略，提出配电网故障定位层级优化模型及预测校正算法，不仅数值稳定性好，且对单一故障和多重故障具有强适应性，但其分层解耦建模过程复杂，难以适应配电网拓扑的动态变化，模型通用性不强。

技术实现要素：

针对现有定位方法对单一故障和多重故障适应性不强，模型通用性不强，计算复杂度高的技术问题，本发明提出一种基于互补松弛约束模型的配电网故障区段定位方法，具有多重故障能力，能够准确地定位出其短路故障位置，且在故障定位效率、可靠性和定位能力等方面具有优越性。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种基于互补松弛约束模型的配电网故障区段定位方法，其步骤如下：

步骤一：构建配电网中馈线所属独立区域集，基于功率流特性和因果关联分析构建因果区域集；基于馈线故障电流并联叠加特性建立可动态追踪开关函数所确定报警值的独立区域集的电流越限报警集的数学解析模型；

步骤二：利用开关函数建模方法，建立开关函数与步骤一确定的独立区域集的电流越限报警集的逼近关系模型；

步骤三：依据故障诊断最小集理论，根据步骤二的逼近关系模型确定故障区段定位目标函数；以馈线状态的0/1整数取值约束条件，构成代数建模的配电网故障区段定位非线性整数规划模型；基于等价变换和互补理论，将配电网故障区段定位非线性整数规划模型转化为连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型；

步骤四、在步骤三得到的连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型的互补约束的数学模型中引入松弛因子，建立配电网故障区段定位的互补松弛约束模型；

步骤五、当配电网发生故障时，将松弛因子看作常量，采用比例缩减方法逐步减小松弛因子的值，通过交互式优化算法求解步骤三中引入松弛因子的互补约束松弛约束模型，定位出馈线故障区段。

所述步骤一中构建独立区域集和因果区域集的方法为：定义独立区域集：以耦合节点为标志，则耦合节点与相邻电源间支路构成独立区域；耦合节点和相邻耦合节点间支路构成独立区域；耦合节点与支路末端节点间支路构成独立区域；依据独立区域集的定义，将配电网中的n个馈线划分为n1个独立区域集z1,...,zi1...,zn1，其中，zi1为第i1个独立区域集，i1＝1,···,n1；

根据因果设备建模理念，当配电网独立区域集zi1出现报警信息时，存在报警信息的独立区域集作为独立区域集zi1的因果区域集；其中：zi1>zj表示独立区域集zj紧邻独立区域集zi1且功率流由zi1流向zj；(zi1)||(zj)表示zi1与zj为同一因果区域集中并列的子因果区域集，i,j＝1,···,n1。

所述步骤一中电流越限报警集的数学解析模型的构建方法为：

基于馈线的独立区域集及其因果区域集间的耦合关系，构建独立区域的电流报警集的数学解析模型：由因果区域集及独立区域集间的功率流作用关系，依据并列因果区域集故障报警信息的并联叠加特性，得到各独立区域集电流报警值izi间的关系，且每个独立区域集电流报警值izi等于其因果区域集内各并列子因果区域集中最末端独立区域集报警值之和；

当馈线发生故障时，其对应监控点上传的报警值应和所属独立区域集的报警值相等，基于故障电流并联叠加特性，根据独立区域的电流报警集和实际报警值i＝[i1i2i3i4i5i6i7i8i9]间的适应性，建立电流越限报警集的数学解析模型。

所述步骤二的实现方法为：基于辨识故障时最期望状态为依据馈线状态确定开关函数报警值ii(x)和电流越限报警集之间的偏差为0的理念，以因果设备故障状态信息确定的开关函数值和电流越限报警信息间差值的二次方描述其逼近关系bi(x)，其数学模型为：为馈线故障状态集，x(1)～x(n)分别为馈线1～n的馈线状态信息，数学解析模型ii(x)为自动化开关开关i所有因果馈线设备待确定馈线状态信息x(i)的代数和，n为配电网中自动化开关的总数，n为馈线的总数。

所述步骤三中连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型的构建方法为：依据故障诊断最小集理论，基于残差和最小化来衡量开关函数值和电流越限报警信息间总体逼近程度，得到故障区段定位目标函数f(x)为：

馈线状态的0/1整数取值为约束，构成代数建模的配电网故障区段定位非线性整数规划模型为：

其中，bi(x)为逼近关系，x＝[x(1)···x(n)]为馈线故障状态集，x(k)分别为馈线k的馈线状态信息，k＝1,2,…,n，n为自动化开关的总数，n为馈线的总数，r为n维的实数域；

依据馈线故障状态的互斥性，利用互补理论将0/1整数约束条件等价转化为连续空间中的非线性约束，互补约束非线性数学模型为：

将互补约束非线性数学模型替换非线性整数规划模型中0/1整数约束条件，得到连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型为：

所述步骤四中配电网故障区段定位的互补松弛约束模型的建立方法为：

利用互补约束的正则松弛化方法对连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型进行松弛：引入松弛因子t后，互补松弛约束模型为：

将互补松弛约束模型替换连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型中的互补约束非线性数学模型，得到满足常规非线性规划约束规格且隐含互补约束的配电网故障区段定位互补松弛约束模型：

所述步骤五中互补松弛约束模型中，满足0≤x≤1和t≥0时，约束条件(x+t)(1-x+t)≥t²始终被满足，为了松弛约束，而约束条件x(1-x)≤t²的约束特性和松弛因子t值大小紧密相关：

由0≤x≤1可知，x≥0和1-x≥0成立，利用不等式定理可知：且x与1-x相等时等式成立，此时集合x的值为0.5，x(1-x)的值为0.25；当t≥0.5时，x(1-x)≤t²可始终被满足，为松约束；当t＜0.5时，x(1-x)≤t²为紧约束，可行域不再是0≤x≤1的连续域，将会被压缩，松弛因子t越小其可行域越小；当t＝0时，可行域被压缩到最小，只有馈线故障状态集x的值为0或1时，约束x(1-x)≤t²才成立；

当满足0≤x≤1和t＜0.5的条件时，由(x+t)(1-x+t)≥t²可得到：

或

可行域被压缩为：

或

当t＜0.5时，可行域是以连续域0≤x≤1的中点0.5为临界点，以压缩量率同时进行左右等量压缩的。

当t≥0.5时，配电网故障区段定位互补松弛约束模型转化为0≤x≤1连续域内的优化问题，此时令最优解为以空间压缩后最优解是否为可行解两种情况：

a.当空间压缩后最优解仍为可行解，其是连续域内的全局最优解，因此，此时最优解保持不变；

b.当空间压缩后最优解为非可行解，此时，以最优解为初始点在压缩后的可行域中进行寻优，最优解与可行空间的距离分别为：

若则距离d1＜d2，若则d1＞d2，且上述关系和松弛因子t的值无关；

当d1＜d2则依据二次凸函数的对称结构，只有沿d1的方向寻优才会使满足约束条件的目标函数值下降；同理，若则d1＞d2，只有沿d2的方向寻优才会使目标函数下降；

已知当前最优解沿上述下降方向寻优，找到新的最优解缩小松弛因子t的值，以最优解为初始点在可行域中的唯一下降方向重复进行寻优，直到松弛因子t的值为0时，即可找到满足约束条件最优解。

当配电网发生故障时，配电网故障区段定位互补松弛约束模型的求解步骤为：

(1)根据步骤一建立电流越限报警集

(2)初始化松弛因子t、缩减因子η，随机产生0≤x(k)≤1馈线故障状态并组成初始解集x，设置算法允许误差ξ；

(3)利用非线性规划对配电网故障区段定位互补松弛约束模型进行决策求解，得到当前松弛因子t时的互补松弛优化模型最优解x^*；

(4)若t＞ξ，则t＝ξt，x＝x^*转入步骤(3)，若t≤ξ，算法收敛，从而辨识出馈线故障区段。

与现有技术相比，本发明的有益效果：

(1)基于故障电流信号并联叠加特性和逼近关系理论提出的配电网故障区段定位互补松弛约束模型，无需采用复杂的分层解耦技术，即可应用于配电网馈线单一和多重故障的区段定位，且具有较强的容错性能。

(2)基于模型等价转换思想和松弛因子压缩策略的交互式优化方法，不仅能在连续空间进行决策求解，且可保证寻优过程中引导最优目标函数值可靠稳定的收敛于互补优化问题的最优点，从而准确地定位出馈线故障，为配电网故障区段定位的最优化方法提供了新的技术解决方案。

(3)所构建的故障定位的互补松弛约束模型和求解方法适用于大规模配电网的馈线故障定位问题。

仿真表明，本发明可实现配电网馈线区段单一和多重故障的准确高容错性辨识，且具有数值稳定性好、优化效率高的优点，适合于大规模配电网的故障定位。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明单电源配电网的结构示意图。

图2为本发明交互式优化方法的稳定性分析示意图。

图3为大型配电网故障定位优化过程示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种基于互补松弛约束模型的配电网故障区段定位方法，借鉴故障定位优化模型的代数建模优势，避开分层解耦的建模策略，基于故障电流信号并联叠加特性和逼近关系理论，提出可直接在连续空间决策求解且具有馈线单一和多重故障强适应性的配电网故障区段定位互补松弛约束新模型；基于模型等价转换思想和松弛因子压缩策略，提出收敛性不依赖于初始点选择的配电网故障定位模型交互式优化求解方法。具体地：

首先，对文献[1-4]基于代数建模的配电网故障定位模型进行分析，验证其用于故障区段辨识时，缺乏对馈线多重故障的适应性；其次，基于馈线电流耦合作用关系对故障定位模型缺乏多重故障适应性的原因进行剖析；接着，基于故障电流信号并联叠加特性构建新的电流越限报警集的数学解析模型；然后，以馈线支路的故障状态作为内生变量，基于代数建模和逼近关系理论，建立电流越限报警集与开关函数间关系的数学解析数学模型；最后，基于故障诊断最小集理论，利用连续域内互补松弛约束条件进行馈线状态的互斥性特征建模。因此，本发明提出了具有馈线单一和多重故障辨识能力的配电网故障区段定位互补松弛约束模型。

如图1所示，简要说明文献[1-4]代数建模配电网故障定位模型的建模方法并分析其在多重故障定位方面缺乏强适应性。尽管文献[1-4]故障定位模型在形式上不同，但其本质上都是由代数构建的配电网故障定位非线性0/1整数规划模型等价转换得到，其建模原理为：(1)利用整数0/1表示馈线运行状态正常/故障及有/无报警信息上传；(2)以馈线功率流流向为参考方向，基于拓扑连通性确定具有耦合关系的因果设备与顺序，采用加法运算(+)并利用开关函数表征因果设备状态和故障报警信息间因果关系；(3)以假定故障状态确定的开关函数报警值与实际报警值间偏差平方和最小为目标来契合故障诊断最小集理论。因此，依据文献[1-4]，以图1所示配电网馈线5、馈线7、馈线9同时发生故障为例，建立代数构建的配电网故障定位非线性0/1整数规划模型。

当配电网监控中心接收到断路器s1的监控点报警信息时，依据馈线功率流流向和拓扑连通性可知，可能是馈线1～9发生短路故障引起，其为断路器s1的因果设备。同理，可确定出s2～s9的因果设备。表1所示为图1中各自动化开关的因果设备与排序，其中：表示馈线b紧邻馈线a且功率流由a流向b。

表1因果设备关联信息

若x＝[x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)x(9)]为馈线故障状态集，x(1)～x(9)分别为馈线1～9的馈线状态信息。基于表1中各因果设备关联信息，依据文献[1-4]利用代数加法运算表征因果设备与监控点上传报警信息间因果联系的方法，开关函数报警值i1(x)～i9(x)的代数解析模型为：

i2(x)＝x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+x(8)+x(9)(2)

i3(x)＝x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)(3)

i4(x)＝x(4)+x(5)(4)

i5(x)＝x(5)(5)

i6(x)＝x(6)+x(7)(6)

i7(x)＝x(7)(7)

i8(x)＝x(8)+x(9)(8)

i9(x)＝x(9)(9)

假定当馈线5、馈线7、馈线9同时发生故障时没有故障报警信息发生畸变，依据报警值的0/1编码方式，则电流越限报警集i^*的值应为i^*＝[i1i2i3i4i5i6i7i8i9]＝[111111111]。基于故障诊断最小集理论，以假定故障状态确定的开关函数报警值与实际报警值间偏差平方和最小为目标函数f(x)，以馈线状态的0/1取值为约束，馈线5、馈线7、馈线9同时发生故障时建立的配电网故障定位非线性0/1整数规划模型为：

x(k)分别为馈线k的馈线状态信息，k＝1,2,…,9。依据馈线5、馈线7、馈线9同时发生故障的假设，若代数构建的配电网故障定位非线性0/1整数规划模型式(10)在馈线发生多重故障时具有强适应性，则通过优化计算最终确定满足约束条件的馈线故障状态集x＝[000010101]，此时通过将其代入式(10)的目标函数中计算得到f(x)的值为9。而实际上通过多次计算得到的满足约束条件的目标函数值为4，表2所示为配电网故障定位非线性整数规划模型的优化计算结果。

表2配电网故障定位非线性整数规划模型优化计算结果

由表2优化计算结果可知，即便在无报警信息畸变情况下，配电网馈线出现多重故障时，式(10)优化目标函数f(x)仍然存在最优值对应多馈线故障状态集的情况，且有故障漏判和错判情况。因此，代数构建的配电网故障定位非线性0/1整数规划模型建模方法存在不合理性，缺乏馈线多重故障时的强适应性，不具备多重故障的准确辨识能力。

依据最小故障诊断集理论和最佳逼近原理可知，在无报警信息畸变情况下，定位出故障区段馈线5、馈线7、馈线9，即馈线故障状态集x＝[000010101]时，最理想状态期望依据馈线状态确定开关函数报警值ii(x)和实际报警值ii之间的偏差为0。

依据最优化理论可知，当i＝1,2,3,4,5,6,7,8,9时，式(10)中函数f(x)的值为0的充要条件为：ii(x)-ii＝0。但实际上将馈线故障状态集x＝[000010101]代入时，出现ii(x)-ii不为0的情况。具体为：

i3(x)-i2＝[x(5)+x(7)]-i3＝(1+1)-1＝2(13)

分析式(11)-(13)可知，仅处于耦合节点d1、d2前面的ii(x)-ii的值不等于0，原因在于：虽然馈线5、馈线7和馈线9间不存直接因果关系，但其馈线5、馈线7和馈线9都是自动化开关s1、s2的因果设备，馈线5、馈线7都是自动化开关s3的因果设备；在进行开关函数ii(x)建模时利用加法运算(+)描述了因果设备故障电流状态的并联叠加特性对开关函数ii(x)确定的报警值的影响，但实际报警值i^*仍然采用0/1编码，没有动态追踪耦合节点处故障电流状态的并联叠加特性影响。因此，建模时并没真正做到第i个自动化开关的开关函数ii(x)与实际报警值i^*间的最佳逼近，从而导致馈线多重故障时的漏判或错判，使得模型缺乏馈线多重故障时的强适应性。

步骤一、构建配电网中馈线所属独立区域集，基于功率流特性和因果关联分析构建因果区域集；基于馈线故障电流并联叠加特性建立可动态追踪开关函数所确定报警值的独立区域集的电流越限报警集的数学解析模型。

为了构建因果区域集，首先，定义独立区域集：以耦合节点为标志，则耦合节点与相邻电源间支路构成独立区域；耦合节点和相邻耦合节点间支路构成独立区域；耦合节点与支路末端节点间支路构成独立区域。然后，依据上述定义，图1中馈线可划分为5个独立区域z1,z2,z3z4,z5，馈线所属独立区域集为：

{馈线1，馈线2}∈z1

{馈线3}∈z2

{馈线4，馈线5}∈z3

{馈线6，馈线7}∈z4

{馈线8，馈线9}∈z5。

借鉴因果设备建模理念，依据图1，当配电网独立区域集z1出现报警信息时，可能是独立区域集z2,z3,z4,z5存在报警信息，其为独立区域集z1的因果区域集。同理，可确定出z2,z3z4,z5的因果区域集。表3所示为图1中各独立区域集的因果区域集，其中：a>b表示独立区域集b紧邻独立区域集a且功率流由a流向b；(a)||(b)表示a与b为同一因果区域集中并列的子因果区域集。

表3因果区域集

基于馈线的独立区域集及其因果区域集间的耦合关系，构建独立区域电流报警集的数学解析模型。由表3中因果区域集表示及独立区域集间的功率流作用关系，依据并列因果区域集故障报警信息的并联叠加特性，可得到各独立区域集电流报警值间的关系为：

iz1＝iz1＝iz2+iz5＝iz3+iz4+iz5(14)

iz2＝iz2＝iz3+iz4(15)

iz3＝iz3(16)

iz4＝iz4(17)

iz5＝iz5(18)

通过分析式(14)-(18)可得出结论：每个独立区域集报警值等于其因果区域集内各并列子因果区域集中最末端独立区域集报警值之和。根据自动化开关、馈线和独立区域集间的直接隶属关系，当馈线发生故障时，其对应监控点上传的报警值应和所属独立区域集的报警值相等。利用式(11)-(13)和式(14)-(18)比较可知，开关函数获得最佳逼近报警值时，对目标函数起作用馈线状态数等于区域集内各并列子因果区域集中最末端独立区域集的数量和。基于上述理论可得到反应故障电流并联叠加特性，并考虑新报警集和实际报警值i^*间的适应性，新电流越限报警集数学解析模型为：

依据式(11)-(13)分析可知，在无报警信息畸变时，为使ii(x)-ii的值为0，馈线所属独立区域集电流报警值应等于开关函数值，独立区域集电流报警值和馈线状态的编码一样，采用0/1编码，即有报警时值为1，正常时值为0。

步骤二：利用开关函数建模方法，建立开关函数与步骤一确定的电流越限报警集的逼近关系模型。

采用与代数建模相同的开关函数建模方法，基于辨识故障时最期望状态为依据馈线状态确定开关函数报警值ii(x)和新电流越限报警集之间的偏差为0的理念，以因果设备故障状态信息确定的开关函数值和新电流越限报警信息间差值的二次方描述其逼近关系bi(x)，其数学模型为：

其中，数学解析模型ii(x)为自动化开关i所有因果馈线设备待确定馈线状态信息x(i)的代数和。

步骤二：依据故障诊断最小集理论，根据步骤二的逼近关系模型确定故障区段定位目标函数；以馈线状态的0/1整数取值约束条件，构成代数建模的配电网故障区段定位非线性整数规划模型；基于等价变换和互补理论，将配电网故障区段定位非线性整数规划模型转化为连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型。

依据故障诊断最小集理论，当找到最佳配电网故障区段时，应使所有新电流越限报警信息与开关函数确定的报警值间总偏差最小，基于残差和最小化来衡量开关函数值和新电流越限报警信息间总体逼近程度，得到故障区段定位目标函数f(x)为：

式(29)及以馈线状态的0/1整数取值为约束，构成代数建模的配电网故障区段定位非线性整数规划模型，将其拓展到馈线总数为n的配电网，其模型可表示为：

式(30)为具有0/1离散变量的非线性整数规划模型，不易对其直接优化求解，若基于等价变换，将其转化为连续域内的非线性规划模型，将可极大程度降低其决策求解时的复杂性。依据馈线故障状态的互斥性可知，其值不能同时为0或1，因此，可将式(30)中的0/1整数约束条件，利用互补理论将其等价转化为连续空间中的非线性约束，其互补约束非线性数学模型为：

将式(29)和式(31)进行融合即构成了与式(30)完全等价的连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型为：

式(32)为连续空间的优化模型，但因为含有互补约束，其可行点固有的结构不光滑特征，导致利用常规的非线性规划无法得到满足非线性规划约束规范的最优解。如何将式(32)变换为满足非线性规划约束规范的模型成为其关键。

步骤三、在步骤二得到的连续域内的配电网故障定位互补约束规划模型的互补约束的数学模型中引入松弛因子，建立配电网故障区段定位的互补松弛约束模型。

为了使非线性互补约束优化问题具有好的光滑特征，文献[6]---[scholtess.convergencepropertiesofaregularizationschemeformathematicalprogramswithcomplementarityconstraints[j].siamjournalonoptimization,2001,11(4):918-936.]提出了互补约束的正则松弛化方法。式(32)为互补二次凸规划模型，文献[6]已证明利用其提出松弛方法对互补二次凸规划模型进行松弛，则松弛问题具有强稳定点，即具有满足约束规范的稳定最优点，本发明采用该方法对互补约束条件式(31)进行松弛，引入松弛因子t后，其互补松弛约束模型为：

通过对式(33)分析易于得出：当松弛因子t的值为0时，式(33)和式(31)完全等价。将式(33)融入到式(32)时，即得到满足常规非线性规划约束规格且隐含互补约束的配电网故障区段定位互补松弛约束模型：

步骤四、当配电网发生故障时，将松弛因子看作常量，采用比例缩减方法逐步减小松弛因子的值，通过交互式优化算法求解步骤三中引入松弛因子的互补约束松弛约束模型，定位出馈线故障区段。

只有当松弛因子t的值为0时，式(33)和式(31)才完全等价，要对互补松弛模型式(33)有效求解，需保证算法满足收敛准则时，松弛因子t的值为0。若将松弛因子t看作自变量，虽然其原理直接，但如何构建辅助函数保证算法收敛时松弛因子t的值为0并不容易。因此，本发明将松弛因子t看作常量，然后在优化求解过程中，采用一种比例缩减方法逐步减小松弛因子t的值，通过交互式求解，松弛因子t的值为0时算法收敛，从而实现连续域内式(31)的等价决策求解。

为了提出优化算法，需先分析互补松弛约束随松弛因子t的值变化的特性。在式(33)中，满足0≤x≤1和t≥0时，约束条件(x+t)(1-x+t)≥t²始终可被满足，为松弛约束，而约束条件x(1-x)≤t²的约束特性和松弛因子t值大小紧密相关。

由0≤x≤1可知，x≥0和1-x≥0成立，利用不等式定理可知：且x与1-x相等时等式成立，此时馈线故障状态集x的值为0.5，x(1-x)的值为0.25。因此，当t≥0.5时，x(1-x)≤t²可始终被满足，为松约束；当t＜0.5时，x(1-x)≤t²为紧约束，可行域不再是0≤x≤1的连续域，将会被压缩，松弛因子t越小其可行域越小；当t＝0时，可行域被压缩到最小，只有馈线故障状态集x的值为0或1时，约束x(1-x)≤t²才成立。

当满足0≤x≤1和t＜0.5的条件时，由(x+t)(1-x+t)≥t²可得到：

可行域被压缩为：

依据式(36)可以看出，当t＜0.5时，可行域是以连续域0≤x≤1的中点0.5为临界点，以压缩量率同时进行左右等量压缩的。

目标函数为凸二次函数，当t≥0.5时，配电网故障区段定位互补松弛约束模型式(34)转化为0≤x≤1连续域内的优化问题，此时令其最优解为以空间压缩后是否为可行解两种情况进行讨论。

a.当空间压缩后最优解仍为可行解，其是连续域内的全局最优解，因此，此时最优解保持不变。

b.当空间压缩后最优解为非可行解，此时，以最优解为初始点在可行域式(36)中进行寻优，最优解与可行空间的距离分别为：

式(37)中若则d1＜d2，若则d1＞d2，且上述关系和松弛因子t的值无关。

当d1＜d2则依据二次凸函数的对称结构，只有沿d1的方向寻优才会使满足约束条件的目标函数值下降；同理，若则d1＞d2，只有沿d2的方向寻优才会使目标函数下降。

已知当前最优解沿上述下降方向寻优，找到新的最优解然后，缩小松弛因子t的值，以为初始点在可行域式(36)中的唯一下降方向重复进行寻优，直到松弛因子t的值为0时，即可找到满足约束条件最优解。

基于上述理论分析，当配电网发生故障时，互补松弛约束模型的求解步骤为：

(1)依据式(19)-(27)建立电流越限报警集

(2)初始化松弛因子t、缩减因子η，随机产生0≤x(k)≤1馈线故障状态并组成初始解集x，设置算法允许误差ξ；

(3)利用非线性规划对配电网故障区段定位互补松弛约束模型式(34)进行决策求解，得到当前松弛因子t时的互补松弛优化模型最优解x^*；

(4)若t＞ξ，则t＝ξt，x＝x^*转入步骤(3)，若t≤ξ，算法收敛，从而辨识出馈线故障区段。

以图1所示的9节点辐射状配电网为例，分析本发明所建配电网故障区段定位互补松弛约束模型在配电网单一故障和多重故障辨识时的适应性。在进行仿真时，松弛因子初始值t＝1、缩减因子η＝10^-4，初始解集x随机产生，设置算法允许误差ξ≤10^-8。

在无信息畸变情况下，以独立区域单一故障假设为前提，分别对馈线1-9的单一故障、双重故障和三重故障的情形进行仿真。表4为无信息畸变时的故障定位仿真结果。由表4可以看出，在无信息畸变情况下配电网故障定位的互补松弛约束模型可以准确的辨识出发生故障的区段，不仅能够实现单一故障的正确辨识，且实现了双重故障和三重故障时的准确定位，表明本发明所构建互补松弛约束故障定位模型在多重故障辨识时的有效性，根本原因在于：故障报警集不再局受限于采用的0/1编码方式，考虑了故障电流的并联叠加特性，电流越限报警集可动态追踪代数建模机制下开关函数中状态电流信息的叠加特性，从而对多重故障具有强适应性。

为了说明本发明所建配电网故障定位互补约束模型在容错性方面的有效性，分别对单一故障、双重故障和三重故障存在报警信息畸变的情况进行仿真。表5为信息畸变下的故障定位仿真结果。由表5可以看出，当发生报警信息畸变时，单一故障模式下，发生1位或2位信息畸变时，可以准确的辨识出馈线故障位置，具有较好容错性能；多重故障模式下，具有1位信息畸变时，能够准确的辨识出馈线故障位置，也进一步验证了本发明所建新的电流越限报警集为基础的配电网故障定位互补松弛约束模型对多重故障辨识的适应性。

从表5还可看出，在具有2位信息畸变时，出现了漏判现象，此时两种漏判模式下畸变位所占百分比分别约为30％和50％，即便在此情况下，仍然能够准确定位出两个馈线故障区段，表明本发明提出的故障定位模型在信息畸变情况时仍然具有多重故障能力，具有好的容错性能。

表4无信息畸变时的故障定位仿真结果

表5有信息畸变时的故障定位仿真结果

以图1中馈线5、馈线7和馈线9同时发生故障且自动化开关s4出现信息畸变时的情况为例，采用本发明提出的交互式优化算法进行决策求解，依据均匀随机数产生初始点，基于8gram和core^tmi5-6200u@2.30ghz2.4ghz处理器，基于matlabr2014b环境仿真运行100次。表6为某5次配电网故障定位优化结果，其中，k为迭代次数；x0为初始解集；x1为t＝1时的最优解集；x2为t＝10^-4时的最优解集。

依据表6可看出，在初始解集不同的情况下，经过2次迭代计算，不超过0.25s的时间即可满足算法的收敛准则，准确无误的辨识出馈线5、馈线7和馈线9三个发生故障区段，表明了交互式优化算法在求解配电网故障定位问题时具有较好的数值稳定性和良好的收敛性能。

进一步分析表6可发现如下特点：不管初始点集的空间分布特性如何，当第一次优化求解结束时，结果都收敛于相同的目标函数值和几乎完全相同的最优解，原因在于在此阶段松弛因子t＝1的存在，使得其对应的互补松弛优化模型为满足非线性规划约束规范(kkt值为0)的二次规划问题，存在满足kkt条件的唯一最优解并为后续迭代提供一个稳定和良好的初始点，使得在松弛因子t＝0时虽然其优化模型被完全压缩为互补约束优化模型，最优点不满足非线性规划约束规范(kkt值不为0)，但仍能稳定的收敛到模型的最优点。

表6配电网故障定位优化过程

为了进一步验证交互式优化算法的有效性，分别直接求解互补约束优化模型式(32)和采用基于松弛互补约束优化模型的交互式优化算法求解式(34)。图2为100个初始随机样本点的优化结果。依据图2可看出在相同的初始点下，直接对互补优化模型求解，因最优点不满足非线性约束规格，求解过程随机性强，算法不能稳定的收敛；在100个随机样本下，本发明所提出的交互式优化算法可以稳定可靠的找到故障定位模型的全局最优解，具有高的可靠性和良好的收敛性能。

文献[1]和[4]的研究表明基于代数建模的配电网故障定位方法在算法的稳定性和决策求解效率上显著优于基于逻辑建模的群体智能故障定位方法。本发明继承了文献[1-5]的特点，且具有多重故障能力，其在故障定位效率、可靠性和定位能力等方面将更具有优越性。

将本发明应用于文献[1-4]所采用的1000节点辐射状配电网进行仿真。假定馈线500发生故障，图3为1000节点配电网故障定位的优化过程。由图3可看出，本发明所提出的配电网故障定位的互补松弛约束模型及交互式优化算法，应用于大规模馈线故障辨识中是有效的，能够准确地定位出其短路故障位置。分析松弛因子的缩减策略，整个过程总共需外迭代2次，依据图3可知每次迭代次数约25次，该故障定位过程总共约50次，和文献[1-5]的算法迭代次数在同一量级，表明本发明可应用于大规模配电网的馈线故障定位问题。

本发明基于故障电流信号并联叠加特性和逼近关系理论，提出了利用代数建模的配电网故障区段定位互补松弛约束模型，其优势在于：(1)克服了逻辑优化模型对群体智能算法的依赖，可采用数值稳定性好的梯度算法求解；(2)利用互补松弛约束条件将非线性整数规划模型转化为具有光滑特性的非线性规划模型，降低了决策求解时的复杂性；(3)无需对配电网进行分层解耦，即可实现单一和多重故障区段的有效辨识。在此基础上，采用模型等价转换思想和松弛因子压缩策略，利用交互式优化决策算法求解出具有全局收敛特性的配电网故障定位模型。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。