一种确定横向均布载荷下空芯环膜弹性能的方法

1.本发明涉及一种外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的弹性能的确定方法。


背景技术：

2.外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题的解析解，对工程结构的设计与分析、设备仪器的技术研发、以及一些科学问题的研究等领域都具有重要意义，例如，用来设计或者分析一些可能会产生大挠度的环形薄板结构；用来确定具有轴向压应力承载品质的环形薄壳结构的初始结构形状；用来研发各种仪器、仪表、装置、以及各类传感器；用来研究薄膜/基层体系的分层问题、以便确定表面薄膜及膜/基界面的力学性能等。解析求解外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题，通常需要首先建立面外平衡方程、面内平衡方程、几何方程、物理方程、并确定边界条件(约束方程)，然后联立这些方程进行数学求解，就可以得到该轴对称变形问题的解析解。由于这些方程通常具有较强的非线性，因而联立这些方程进行数学求解时通常会遇到这样或者那样的困难。因此，为了能够将联立求解进行下去，在建立这些方程时，通常会采用各种假设来建立非线性较弱的近似方程，以便能够克服联立求解的困难、得到解析解。这样，由于所建立的方程的精确程度不同，因而所获得的解析解的精确程度也会不同，而不同精度的解析解的适用性也就不相同 (即，不同精度的解析解各有其实用性)。例如发明专利“横向均布载荷下环形薄膜弹性能的确定方法”所采用的解析解，在建立其面外平衡方程、面内平衡方程、几何方程时就采用了通常所谓的薄膜小转角假设。又例如发明专利“带有刚性内边缘的环形薄膜弹性能的确定方法”所采用的解析解，尽管在建立其面外平衡方程的过程中放弃了薄膜小转角假设，但在建立其面内平衡方程、几何方程的过程中仍然采用了薄膜小转角假设。
3.所谓薄膜小转角假设是指，假设薄膜在外部荷载的作用下所产生的薄膜转角θ很小，因而在解析求解过程中可以据此采用一些近似处理。例如，在建立面外平衡方程的过程中，通常会用tanθ来近似sinθ(即让sinθ＝tanθ)，但实际上因此，用tanθ来近似sinθ自身所产生的误差(即|sinθ-tanθ|/sinθ)大约是：1.54％(当θ＝10
°
时)、6.42％(当θ＝20
°
时)、15.47％(当θ＝30
°
时)、30.54％(当θ＝40
°
时)。然而实践中，可能会出现薄膜转角θ比较大的情形，甚至有些应用中的薄膜转角θ可能会大于40度。那么在这种情况下，如果采用sinθ＝tanθ替代来获得解析解，由此而产生的误差对某些技术应用的影响，就有可能会超出这些技术应用的允许误差范围(例如，精密仪器的允许误差通常在 1％以内，一般测量的允许误差是3％以内，而土木工程的允许计算误差是15％以内)。显而易见，当薄膜的转角θ等于30度时，采用sinθ＝tanθ替代自身所产生的误差已经超过了土木工程的允许计算误差(15％)，更
何况在解析求解的过程中还会存在误差放大的问题，即，采用sinθ＝tanθ替代而获得的解析解，当薄膜的转角θ等于30度时，所产生的计算误差可能远大于15％。
4.毫无疑问，在解析解的推导过程中，如果能放弃薄膜小转角假设，肯定会有利于提高所获得的解析解的精度，这无疑是一件非常有价值的工作。例如，在建立面外平衡方程的过程中，如果能采用而不是采用sinθ＝tanθ，那么这样不仅会提高所获得的解析解的计算精度，而且还会扩大所获得的解析解的适用范围，因为允许圆薄膜产生更大的转角θ，就意味着允许对圆薄膜施加更大的横向均布载荷，因而扩大了加载范围。然而，对于解析求解外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题而言，如果在放弃薄膜小转角假设的条件下建立面外平衡方程、面内平衡方程、几何方程，那么必定会产生难以解析处理的非线性方程，即，这样做会加大解析解的求解难度。这正是本发明所要致力于解决的困难和问题。
5.本发明致力于外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题的解析研究。在放弃了薄膜小转角假设的前提下，建立了更精确的面外平衡方程和几何方程。尽管在建立面内平衡方程的过程中仍然采用了薄膜小转角假设，但所获得的解析解的计算精度已经得到了较大的改善。


技术实现要素：

6.本发明致力于外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题的解析研究，在放弃了薄膜小转角假设的前提下，建立了更精确的面外平衡方程和几何方程，进而得到了该轴对称变形问题的更精确的解析解，并在此基础上给出了一种确定横向均布载荷下空芯环形薄膜弹性能的方法。
7.一种确定横向均布载荷下空芯环膜弹性能的方法：对一块外半径为a、内半径为b、厚度为h、杨氏弹性模量为e、泊松比为ν、外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜施加一个横向均布载荷q，使其产生轴对称变形，那么基于对该环形薄膜轴对称变形的静力平衡分析，就可以得到轴对称变形后的环形薄膜的弹性能u与所施加的横向均布载荷q之间的解析关系为
[0008][0009]
其中，
[0010][0011][0012]
[0013][0014][0015][0016][0017][0018][0019]
而c0、c1以及c2、c3、c4、d0、d1、d2、d3、d4、d5的值，由方程
[0020][0021][0022][0023][0024]
[0025][0026][0027][0028][0029][0030][0031]
[0032][0033][0034][0035][0036]
确定。
[0037]
这样，只要测得横向均布载荷q的值，就可以确定出轴对称变形后的环形薄膜的弹性能 u，其中，π是圆周率，a、b、h的单位均为毫米(mm)，e、q的单位均为牛顿每平方毫米(n/mm2)，u的单位为牛顿
·
毫米(n
·
mm)，而v、c0、c1、c2、c3、c4、c5、c6、d0、d1、 d2、d3、d4、d5、q、α、β均为无量纲的量。
附图说明
[0038]
图1为外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜在横向均布载荷作用下的轴对称变形问题的示意图，其中，1是轴对称变形后的环形薄膜，2是位移受刚性约束的环形薄膜的内边缘，3是环形薄膜外边缘的夹紧装置，4表示最初平坦的环形薄膜的几何中面，5是固定环形薄膜外边缘夹紧装置的支座，而a表示环形薄膜的外半径和环形薄膜外边缘夹紧装置的内半径，b表示环形薄膜的内半径，o表示坐标系的原点(位于最初平坦的环形薄膜的几何中面的形心)，r表示径向坐标(用来表示轴对称变形前或者轴对称变形后的环形薄膜上的一点到环形薄膜的对称轴的距离)，w表示横向坐标(用来表示轴对称变形后的环形薄膜的挠度)，q表示施加在环形薄膜上的横向均布载荷。
具体实施方式
[0039]
下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：
[0040]
如图1所示，对一块外半径a＝20mm、内半径b＝10mm、厚度h＝0.2mm、杨氏弹性模量e＝7.84n/mm2、泊松比v＝0.47、外边缘固定夹紧、内边缘位移受刚性约束的最初平坦的空芯环形薄膜施加一个横向均布载荷q，使其产生轴对称变形，测得载荷 q＝0.0003n/mm2，那么采用本发明所给出的方法，由方程
[0041][0042][0043]
[0044][0045][0046][0047][0048][0049][0050][0051]
[0052][0053][0054][0055][0056]
得到c0＝0.00838180、c1＝-0.00378249以及c2＝0.00352203、c3＝-0.01514880、 c4＝0.02032992、d1＝-0.09554317、d2＝-0.18887478、d3＝-0.00436538、d4＝-0.05550679、 d5＝-0.06383036，然后由方程
[0057][0058]
得到d0＝0.03603783，最后由方程
[0059][0060]
得到该环形薄膜在q＝0.0003n/mm2的横向均布载荷作用下的弹性能是u＝0.166242n
·
mm。