专利名称：采用回旋曲线的工业制品的设计方法及用该设计方法设计的工业制品、采用回旋曲线的 ...的制作方法
技术领域：
在以下的说明书中，在有关“采用回旋曲线的工业制品的设计方法及用该设计方法设计的工业制品”(以下，只称为采用回旋曲线的工业制品的设计方法)的说明中附记A，在有关“采用回旋曲线的数值控制方法及装置”(以下，只称为采用回旋曲线的数值控制方法)的说明中附记B。
A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法本发明涉及采用回旋曲线的工业制品的形状的设计方法，尤其涉及在包含使具有质量的机械元件运动的机构的机械中，设计使该机械元件的运动流畅的运动轨道的方法。
B.采用回旋曲线的数值控制方法此外，本发明涉及采用回旋曲线，控制机器人、机床、装配机械、检查机械等作业机械(称为机器人等)中的工具(包括把手等把持部或各种工具)的运动的数值控制方法及装置。
背景技术：
A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法随着机械的小型化及高精度化，高速运动机械元件的机构变得重要。强烈要求设计力学上合理的流畅的运动轨迹，减少振动或运动误差，抑制时效变化或损伤，实现高速、高精度的运动。
关于自由运动轨迹的设计方法，以往采用连接直线或圆弧等解析的曲线的方法，或样条曲线插补(用回旋曲线插补给出的点列的方法)(参照非专利文献1)。
B.采用回旋曲线的数值控制方法在进行焊接、涂装、粘合剂涂布等的数控的机器人中，一般作为离散的点列数据输入输入图形。因此，要生成连续的图形，需要采用任何方法插补点列。
作为插补任意给出的点列间的方法，已知有圆角加工折线的角部的方法或B样条插补、三次式样条插补等，但是作为可严格通过给出的各点的插补法，已知有三次式样条插补(参照非专利文献1)。
但是，三次式样条插补，由于作为参变量表现不具有几何学的意思的自变量，所以具有自变量和曲线的几何学的诸量的关系不稳定这大的缺陷。该三次式样条插补，从始点的移动距离和曲率的关系复杂，在使线速度固定的控制中不适宜。
非专利文献1穗坡衛·佐田登志著，“统合化CAD/CAM系统”Ohm出版社，1997非专利文献2仇時雨、牧野洋、須田大春、横山恭男，“利用回旋的自由曲线插补”(日本机器人学会志8卷6号，pp40-47)非专利文献3Li Guiqing、Li Xianmin、Li Hua，“3D Discrete ClothoidSplines”，(CGI’01，pp321-324)发明内容A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法在连接直线或圆弧等解析的曲线的方法中，难在直线和圆弧的连接点连续连接曲率。如果根据用样条曲线插补的方法，能够连续连接曲率，但由于从始点的移动距离和曲率的关系复杂，因此很难沿着轨道设计力学上合理的曲率的分布，得不到良好的运动轨迹。
因此，本发明的目的在于，在包含使具有质量的机械元件运动的机构的机械中，提供一种使该机械元件的运动流畅的运动轨道的设计方法。该方法是由本发明者们提出的新的、并且崭新的方法。
此处，所谓的流畅，意思是轨道的切线、接触平面(法线)或曲率等的变化沿着轨道连续，因而作用于沿着轨道上运动的机械元件的力连续变化。
可是，机器人、机床、装配机械、检查机械等多用的滚珠丝杠的回归路经的形态是用直线或圆弧连接的，曲线的切线或曲率不连续，此外轨道设计的自由度也不足。
本发明的另一目的在于，在滚珠丝杠的滚珠循环路径的设计中，为减轻滚珠丝杠的循环路径上的运动能的损失，此外防止沿着循环路径对部件造成损伤，确立循环路径的切线或曲率连续的、并且曲率变化平稳的循环路径的设计方法。滚珠丝杠的循环路径的设计方法，是设计使机械元件的运动流畅的运动的轨道的方法的应用例。
B.采用回旋曲线的数值控制方法作为在二维中通过给出的各点的插补方法，已知有发明者们提出的回旋插补法，能够流畅地插补(参照非专利文献2)。因此认为，如果三维扩张回旋曲线，用于自由点列的插补，与作为曲线长度的函数表示的回旋曲线的特征相比，能够容易实现保持线速度固定，或根据线长变化线速度的控制。此外，由于以曲线长作为参数，所以与其它方法不同，还有不需要从后面求出线长的优点，希望三维扩张回旋曲线在数值控制等领域是有益的。以前，关于三维扩张回旋曲线，已知有Li等人的“3D Discrete ClothoidSplines”(参照非专利文献3)等，但还未发现以式的形式三维扩张回旋曲线。以式的方式的扩张，在容易算出各值这一点上具有优势。
因此，本发明的目的在于，为了数值控制工具的运动，提供一种新的三维回旋曲线的定义式，其相对于自变量的曲率变化图形可尽量接替单纯的二维回旋曲线的特性。此外，本发明的目的在于，通过该三维回旋曲线插补点列。
A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法以下，说明权利要求1～10所述的回旋曲线的工业制品的设计方法的发明。
第1发明，为解决上述的问题，提供一种工业制品的设计方法，其特征是采用按曲线长或曲线长变量的二次式给出切线方向的倾角(pitchangle)及偏转角(yaw angle)各自的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状。
第2发明，如第1发明所述的工业制品的设计方法，其特征是所述工业制品是包含使具有质量的机械元件运动的机构的机械；采用所述三维曲线(称为三维回旋曲线)设计所述机械元件的运动轨道。
第3发明，如第2发明所述的工业制品的设计方法，其特征是所述机械是作为所述机械元件包含使滚珠运动的机构的螺丝装置；所述螺丝装置具备，在外周面具有螺旋状的滚动体滚道槽的丝杠轴、和在内周面具有与所述滚动体滚道槽对置的负荷滚动体滚道槽，同时具有连接所述负荷滚动体滚道槽的一端和另一端的回归路径的螺母、和排列在所述丝杠轴的所述滚动体滚道槽和所述螺母的所述负荷滚动体滚道槽的之间及回归路径上的多个滚动体；采用所述三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计所述螺丝装置的所述回归路径。
第4发明，如发明1～3中任何一项所述的工业制品的设计方法，按以下式定义所述三维回旋曲线。
P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1)u=EkβEjα(i)=cosβsinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式2]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。
将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出。Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
第5发明，如第4发明所述的工业制品的设计方法，其特征是在三维坐标内指定多个空间点，通过采用所述三维回旋曲线插补这些空间点，设计所述工业制品的形状。
第6发明，如第5发明所述的工业制品的设计方法，其特征是以在所述多个空间点，用一个三维回旋线段(构成通过插补生成的曲线群的单位曲线)和下个三维回旋线段(构成通过插补生成的曲线群的单位曲线)，连接两者的位置、切线方法、法线方向及曲率的方式，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第7发明，如第6发明所述的工业制品的设计方法，其特征是指定所述多个空间点中的始点及终点的切线方向、法线方向及曲率；通过在预先指定的所述空间点间重新插入插补对象，使加运算所述始点及所述终点的切线方向、法线方向及曲率的条件式、和用所述多个空间点上的一个三维回旋线段和下个三维回旋线段连接两者的位置、切线方向、法线方向及曲率的条件式的条件式数，与所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的未知数一致；通过使条件式和未知数的数一致，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第8发明是一种工业制品，用如发明1～7中任何一项所述的工业制品的设计方法设计。
第9发明是一种程序，用于为了设计工业制品的形状，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状的手段而发挥作用。
第10发明是一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序，该程序用于为了设计工业制品的形状，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状的手段而发挥作用。
B.采用回旋曲线的数值控制方法以下，说明采用权利要求11～27所述的回旋曲线的数值控制方法的发明。
第11发明，为解决上述的问题，提供一种数值控制方法，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状，通过该三维曲线控制工具的运动。
第12发明，如第11发明所述的数值控制方法，其中按以下式定义三维回旋。
P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1)u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式4]
P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。
将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出。Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
第13发明是一种数值控制装置，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状，通过该三维曲线控制工具的运动。
第14发明是一种程序，用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段而发挥作用。
第15发明是一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段而发挥作用。
第16发明为解决上述问题，提供是一种数值控制方法，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(三维回旋线段)，插补在三维坐标内任意给出的点列间，通过该三维回旋线段控制工具的运动。
第17发明是一种数值控制方法，其中，将切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(三维回旋线段)连接多根，通过该多根三维回旋线段控制工具的运动。
第18发明，如发明16或17所述的数值控制方法，其中按以下式定义三维回旋曲线。
P=P0∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1)u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式6]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。
将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出。Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(2)，
表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
第19发明，如第18发明所述的数值控制方法，其特征是在一个三维回旋线段和下个三维回旋线段的接头上，以两者的位置、切线方向(及根据情况曲率)连续的方式，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第20发明是一种数值控制装置，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间，通过该三维回旋线段控制工具的运动。
第21发明是一种程序，用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间的手段而发挥作用。
第22发明是一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间的手段而发挥作用。
第23发明是一种数值控制方法，其中采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置。此处，所谓运动，指的是作为时间的函数变化的位置信息。
第24发明，如第23发明所述的数值控制方法，其中按以下公式定义三维回旋曲线。
P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1)
u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式8]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。
将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出。Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u。a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
第25发明是一种数值控制装置，其中采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置。此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
第26发明是一种程序，用于为了数值控制工具的运动，而使计算机作为以下手段发挥作用采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动的手段；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置的手段。此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
第27发明是一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，而使计算机作为以下手段发挥作用采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动的手段；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置的手段。此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法根据第1～10发明所述的发明，通过采用三维回旋曲线，能够设计使机械元件的运动流畅的运动的轨道。如果能够如此设计轨道，可实现力学上合理的运动，能够制造运动误差造成的机能下降或轨道损伤小的机械。
尤其对于螺丝装置，能够提供在设计滚动体的循环路径时必需的空间曲线的广用的发生方法。在滚动体沿着循环路径的空间曲线，伴随加减速度运动的情况下，可设计约束力变化流畅的设计。根据该特征，由于滚动体进行平稳、流畅的运动，因此能够提高螺丝装置的动力传递效率，抑制过大摩擦力或惯力的发生。从而能够防止部件的损伤，实现可靠性高的螺丝装置。
此外，应用能够控制曲率变化图形的特征，可增加在产业领域的应用。例如，在要求审美的意匠的图案形状设计中，能够有效地应用该广用的曲线设计法。
B.采用回旋曲线的数值控制方法根据第11～27发明所述的发明，由于曲线的主变量是曲线长或曲线长变量，并分别按曲线长或曲线长变量的二次式给出其切线方向的倾角及偏转角，因此可保证关于曲线长或曲线长变量，一次微分其得到的法线方向、及二次微分其得到的曲率是连续的。换句话讲，在一个回旋曲线中，法线方向及曲率是连接的。因此，可得到流畅的性质良好的曲线，实现力学上合理的速度变化的数值控制方式成为可能。
图1是表示xy坐标上的二维回旋曲线的图示。
图2是表示典型的二维回旋曲线的形状的图示。
图3是表示三维回旋曲线的倾角α及偏转角β的定义的图示。
图4是表示典型的三维回旋曲线的形状的图示。
图5是表示单位法线矢量的变化量的图示。
图6是表示大小、形状相同但朝向相反的2个二维或三维回旋曲线的图示。
图7是表示三维回旋曲线的分割的图示。
图8是表示G2连续的插补的条件的图示。
图9是表示接触平面的概念的图示。
图10是表示回旋插补的方法的简要流程的图示。
图11是表示满足G2连续的条件的回旋插补的方法的简要流程的图示。
图12是表示点P1、P2、P3的三维回旋插补的图示。
图13是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图14是说明3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图15是通过插补生成的三维回旋曲线的透视图。
图16是在横轴取从始点的移动距离、在纵轴取曲率的曲率变化曲线图。
图17是表示在两端点控制各值的三维回旋插补的简要流程的图示。
图18是表示在两端点控制各值的三维回旋插补的简图。
图19是表示实际进行插补的结果的图示。
图20是表示从各曲线的始点的移动距离和曲率的关系的曲线图。
图21是表示中间点上的值的控制的图示。
图22是表示采用在始点及端点控制各值的三维回旋的插补法的简要流程的图示。
图23是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图24是表示生成的多角形的图示。
图25是表示点P1、P2、P3的三维回旋插补的图示。
图26是表示生成的曲线和多角形的图示。
图27是插入点的图示。
图28是表示分割的三维回旋曲线的图示。
图29是表示生成的曲线的图示。
图30是表示从各曲线的始点的移动距离s和曲率κ的关系的曲线图。
图31是表示反向器为螺母和其它反向器方式的滚珠丝杠的图示。
图32是表示反向器为与螺母一体的滚珠丝杠的螺母的图示。
图33A是看见滚珠循环槽的状态的螺母的立体图。
图33B是看见负荷滚珠滚道槽的状态的螺母的立体图。
图34是表示在丝杠轴上组装螺母的状态的图示。
图35是以往的滚珠丝杠的循环路径的展开图。
图36是表示以往的滚珠丝杠的循环路径的曲率的曲线图。
图37是表示滚珠中心的轨道的图示。
图38是表示坐标系的图示。
图39是表示从z轴上看的坐标系的图示。
图40是表示绘出沿丝杠槽移动的滚珠的中心的轨迹的曲线的图示。
图41是表示从y轴上看的曲线C0和C1的图示。
图42是表示从z轴上看的点Ps附近的曲线C0和C1的图示。
图43是插入点P2的图示。
图44是表示生成的回归路径和曲线C0的图示。
图45是表示从点Pe的移动距离和曲率的关系的图示。
图46是表示x、y坐标上的二维回旋曲线的图示。
图47是表示二维回旋曲线的图示。
图48是表示三维回旋曲线的α、β的定义的图示。
图49是表示典型的三维回旋曲线的图形的图示。
图50是表示G2连续的插补的条件的图示。
图51是表示接触平面的概念的图示。
图52是表示回旋插补方法的简要流程的图示。
图53是表示满足G2连续的条件的回旋插补的方法的简要流程的图示。
图54是表示点P1、P2、P3的三维回旋插补的图示。
图55是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图56是说明3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图57是通过插补生成的三维回旋曲线的透视图。
图58是在横轴从始点的移动距离、在纵轴取得曲率的曲率变化曲线图。
图59是表示在两端点控制各值的三维回旋插补的简要流程的图示。
图60是表示在两端点控制各值的三维回旋插补的简图。
图61是表示实际进行插补的结果的图示。
图62是表示从各曲线的始点的移动距离和曲率的关系的曲线图。
图63是表示中间点上的值的控制的图示。
图64是表示采用在始点及端点控制各值的三维回旋的插补法的简要流程的图示。
图65是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的图示。
图66是表示生成的多角形的图示。
图67是表示点P1、P2、P3的三维回旋插补的图示。
图68是表示生成的曲线和多角形的图示。
图69是插入点的图示。
图70是表示分割的三维回旋曲线的图示。
图71是表示生成的曲线的图示。
图72是表示从各曲线的始点的移动距离s和曲率κ的关系的曲线图。
图73是表示数值控制方法的工序图。
图74是表示以往的样条曲线的比较图。
具体实施例方式
A.采用回旋曲线的工业制品的设计方法以下，关于采用回旋曲线的工业制品的设计方法的发明的实施方式，分1.三维回旋曲线的定义和特征、2.采用三维回旋曲线的插补法、3.采用三维回旋插补，设计作为螺丝装置的滚珠丝杠的回归路径的方法、4.采用三维回旋插补的数值控制方法，依次说明。
1.三维回旋曲线的定义和特征(1-1)三维回旋的基本方式回旋曲线(Clothoid curve)，别名还称为柯纽的螺旋(Cornu’s spiral)，是与曲线的长度成正比地变化曲率的曲线。
发明者已经提出的二维的回旋曲线，是平面曲线(二维曲线)的一种，在图1所示的xy坐标上，用下式表示。
P=P0+∫0sejφds=P0+h∫0SejφdS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1-1)φ＝c0+c1s+c2s2＝φ0+φvS+φuS2(1-2)此处，[数式10]P＝x+jy，j=-1---(1-3)]]>是表示曲线上的点的位置矢量，[数式11]P0＝x0+jy0(1-4)是其初始值(始点的位置矢量)。
ejφ＝cosφ+jsinφ(1-5)是表示曲线的切线方向的位置矢量(长度为1矢量)，该方向Φ从原线(x轴方向)逆时针测定。如果在该单位矢量中乘以微小长度ds积分，可求出曲线上的点P。
将沿着曲线测定的曲线的从始点的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
回旋曲线的特征，如式(1-2)所示，在于用曲线长s或曲线变量S的二次式表示切线方向角Φ。c0、c1、c2或Φo、Φv、Φu是二次式的系数，将这些数及曲线的总长h称为回旋的参数。图2表示一般的回旋曲线的形状。
三维扩张以上的关系，制作三维回旋曲线的式。以往不知道给出三维回旋曲线的式，所以发明者们最初导出其式。
按以下的式定义三维回旋曲线。
P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1-6)u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(1-7)α＝a0+a1S+a2S2(1-8)β＝b0+b1S+b2S2(1-9)，此处，[数式14]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(1-10)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(1-7)给出。在式(1-7)中，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，如图3所示，分别表示k轴(z轴)系的角度β的旋转及j轴(y轴)系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(1-7)，表示通过首先使i轴(x轴)向的单位矢量在j轴(y轴)系只转动α，而后在k轴(z轴)系只转动β，得到切线矢量u。
也就是，在二维时，由从x轴的倾斜角度Φ得到表示曲线的切线方向的单位矢量ejΦ。在三维时，可由从倾角α及偏转角β得到曲线的切线矢量u。如果倾角α为0，可得到以x y平面卷起的二维回旋曲线，如果偏转角β为0，可得到以x z平面卷起的二维回旋曲线。如果在切线方向矢量u中乘以微小长ds地积分，可得到三维回旋曲线。
在三维回旋曲线中，切线矢量的倾角α及偏转角β，分别如式(1-8)及式(1-9)所示，可由曲线长变量S的二次式给出。这样一来，能够自由选择切线方向的变化，并且还能在其变化中使其具有连续性。
如以上的式所示，三维回旋曲线被定义为“是分别用曲线长变量的二次式表示切线方向的倾角α及偏转角β的曲线”。
从P0开始的一个三维回旋曲线，由[数式15]a0，a1，a2，b0，b1，b2，h (1-11)这7个参数确定。a0～b2的6个变量具有角度的单位，表示回旋曲线的形状。与此相反，h具有长度的单位，表示回旋曲线的大小。作为三维回旋曲线的典型的例子，有图4所示的螺旋状的曲线。
(1-2)三维回旋曲线上的弗雷涅标架和曲率在具有任意的三元曲线时，规定以t作为参数以R(t)表示。尤其，在以从始点的移动距离s作为参数时，以R(s)表示。
如果把具有ds程度差的曲线上的2点的相对位置矢量dR(s)的绝对值看作线素ds，在ds和dt的之间具有下式(2-1)的关系。为简化利用参数t的R的微分，在字母上附加圆点表示。
ds=|dR(t)|=|dR(t)dt|dt=|R·|=R··R·dt---(2-1)]]>由于单位切线矢量u(t)使曲线的线素矢量dR(t)标准化，所以如果参照式(2-1)，可用式(2-2)表示。
u(t)=dR(t)|dR(t)|=dR(t)ds=R·|R·(t)|---(2-2)]]>接着，考虑单位切线矢量的变化量du。图5表示单位法线矢量的变化量。由于在是直线时切线方向不变化，因此是du(t)＝{0，0，0}，但在曲线时不这样，分离距离ds的位置上的单位切线矢量的变化量du与切线矢量u正交。这也可从如果微分u·u＝1的关系，就可得到正交关系u·du＝0中弄清。使该单位切线矢量的变化量du标准化的，是单位主法线矢量n(t)。也就是，用式(2-3)表示单位主法线矢量n(t)[数式18]n(t)=u·(t)|u·(t)|---(2-3)]]>法线方向以人朝切线方向时的左方向为正。更确切地讲，在由矢量du和单位切线矢量u(t)制作的平面内，将从单位切线矢量u(t)向逆时针方向旋转90度的方向定义为单位主法线矢量n(t)的正方向。
此外，从法线矢量b(t)，是与单位切线矢量u(t)和单位主法线矢量n(t)的双方正交的矢量，由式(2-4)定义。
b(t)＝u(t)×n(t) (2-4)将定义的单位切线矢量u(t)、单位主法线矢量n(t)、法线矢量b(t)规定为3个矢量组{u(t)、n(t)、b(t)}的，被称为曲线的位置R(t)上的弗雷涅标架(Frenet Frame)。
接着，叙述单位切线矢量沿着曲线的线素弯曲的比例即曲率κ。三维上的曲率用式(2-5)定义。
κ(t)=||R·(t)×R··(t)||||R·(t)||3---(2-5)]]>
关于以上定义的三维曲线上的基本的量，用在三维回旋曲线中作为参数采用曲线长变量S的表现记述。
在考虑任意的三维回旋曲线P(S)时，单位切线矢量u(S)，可由式(2-2)，用式(2-6)表示。
u(S)=P′(S)|P′(S)|---(2-6)]]>此外，如果单位切线矢量u(S)考虑三维回旋曲线的定义式(1-7)、(1-8)、(1-9)，也能够用下式(2-7)表示。在本说明书中，主要采用这些表现。
u(S)=cosβ(S)cosα(S)sinβ(S)cosα(S)-sinα(S)---(2-7)]]>用式(2-8)表示按三维回旋曲线的单位切线矢量u(S)的曲线长变量S1阶微分的，用式(2-9)表示其大小。
u′(S)=-α′(S)cosβ(S)sinα(S)-β′(S)sinβ(S)cosα(S)-α′(S)sinβ(S)sinα(S)-β′(S)cosβ(S)cosα(S)-α′(S)cosα(S)]]>(2-8)||u′(S)||=α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)---(2-9)]]>接着，考虑单位主法线矢量n(S)。由于用式(2-3)表示三维曲线的法线矢量，所以三维回旋曲线的法线矢量，用式(2-10)表示。
n(S)=u′(S)||u′(S)||]]>=1α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)-α′(S)cosβ(S)sinα(S)-β′(S)sinβ(S)cosα(S)-α′(S)sinβ(S)sinα(S)+β′(S)cosβ(S)cosα(S)-α′(S)cosα(S)]]>(2-10)关于从法线矢量b(S)，规定由式(2-4)从式(2-7)的单位切线矢量u(S)和式(2-10)的单位主法线矢量n(S)求出。
b(S)＝u(S)×n(S) (2-11)最后是关于曲率，如果变形式(2-5)，用式(2-12)表示。
κ(S)=||P′(S)×P′′(S)||||P′(S)||3=||u′(S)||h=α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)h]]>(2-12)由以上，可从曲线长变量S求出三维回旋曲线上的各点上的弗雷涅标架和曲率κ。
(1-3)朝向相反的三维回旋曲线的生成考虑生成图6所示的大小、形状与某三维回旋曲线相同而朝向相反的三维回旋曲线。
假设具有始点Ps和终点Pe，三维回旋曲线的回旋参数，具有由h、a0、a1、a2、b0、b1、b2等7个值确定的三维回旋曲线C1。此时，切线旋转角α1、β1，用下式(2-13)(2-14)表示。
α1＝a0+a1S+a2S2(2-13)β1＝b0+b1S+b2S2(2-14)在生成大小、形状与该三维回旋曲线相同而朝向相反的三维回旋曲线C2中，如果将始点设定为P’s，将P’e作为终点，分别为P’s＝Pe、P’e＝Ps。首先考虑曲线长h，但如果考虑是大小相同，曲线长在曲线C1、C2中相等。接着，三维回旋曲线C2上的切线t，如果考虑朝向与通常相同的坐标的三维回旋曲线C1上的切线t相反，则在曲线C1的切线旋转角α1、β1和曲线C2的切线方向旋转角α2、β2的之间，具有下记关系。
α2(S)＝α1(1-S)+π(2-15)β2(S)＝β1(1-S) (2-16)如果整理这些式，用下记式(2-7)(2-18)表示。
α2(S)＝(a0+a1+a2+π)-(a1+2a2)S+a2S2(2-17)β2(S)＝(b0+b1+b2)-(b1+2b2)S+b2S2(2-18)由于由此确定剩余的参数，所以曲线C2的回旋参数h’、a’0、a’1、a’2、b’0、b’1、b’2，采用曲线C1的参数，可用式(2-19)表示。
ps′=pea0′=a0+a1+a2+πa1′=-(a1+2a2)a2′=a2b0′=b0+b1+b2b1′=-(b1+2b2)b2′=b2h′=h---(2-19)]]>如果采用该关系式，能够生成大小、形状相同而朝向相反的三维回旋曲线。
(1-4)三维回旋曲线的分割假设具有始点P1和终点P2，三维回旋曲线的回旋参数，具有由h、a0、a1、a2、b0、b1、b2等7个值确定的三维回旋曲线C0。此时如图7所示，用途中的曲线长变量为S＝Sd的点Pm分割连结点P1、P2的三维回旋曲线C0，下面考虑分割成曲线C1和C2的方法。
考虑分割的曲线中的以点P1为始点的曲线C1。如果考虑曲线长h，由三维回旋曲线的定义得知，曲线C1的曲线长h1等于曲线C0的曲线长h0的Sd倍。此外，如果将表示曲线C1上的点时的曲线C0的曲线长变量设为S0，将曲线C1的曲线长变量设为S1，在它们之间成立下记关系。
S1＝SdS0(2-20)也就是，得知，在曲线C0的切线旋转角α0、β0和曲线C1的切线旋转角α1、β1的之间，具有下记关系。
α1(S1)＝α0(SdS0)β1(S1)＝β0(SdS0) (2-21)如果整理这些公式，用下式(2-22)表示。
α1(S)＝a0+a1SdS+a2Sd2S2β1(S)＝b0+b1SdS+b2Sd2S2(2-22)由于由此确定切线方向，所以曲线C1的回旋参数h’、a’0、a’1、a’2、b’0、b’1、b’2，采用曲线C0的参数，可用式(2-23)表示。
a0′=a0a1′=a1Sda2′=a2Sd2b0′=b0b1′=b1Sdb2′=b2Sd2h′=hSd---(2-23)]]>下面，考虑以分割点Pm作为始点的曲线C2。关于曲线C2，能够通过组合生成在1-3中所述的大小、形状相同而朝向相反的曲线的方法、和在曲线C1的生成中采用的方法来生成。
首先，将大小、形状与曲线C0相同而朝向相反的曲线设定为曲线C’0。在该曲线上用Pm＝C’0(1-Sd)表示分割点Pm。此处，如果考虑用点Pm分割曲线C’0，以该分割的曲线中的作P2为始点的曲线C’2，成为与曲线C2大小、形状相同而朝向相反的曲线。由于利用在1-3中所述的方法和曲线C1所用的方法，能够生成曲线C’2，所以，此处，如果另外对曲线C’2采用在1-3中所述的方法，能够生成曲线C2。
该曲线C2的回旋参数h″、a″0、a″1、a″2、b″0、b″1、b″2，采用曲线C0的参数，用下式(2-24)表示。
a0′′=a0+a1Sd+a2Sd2a1′′=(1-Sd){a1+2a2Sd}a2′′=a2(1-Sd)2b0′′=b0+b1Sd+b2Sd2b1′′=(1-Sd){b1+2b2Sd}b2′′=b2(1-Sd)2h′′=h(1-Sd)---(2-24)]]>由以上，能够用三维回旋曲线C0上的曲线变量为S＝Sd的点Pm，将曲线分割成曲线C1和C2。
(1-5)三维回旋曲线的特征(a)曲线的连续性在一个回旋曲线(用同一参数表示的回旋曲线)中，由于分别按曲线长或曲线长变量S的二次式给出其切线方向的倾角及偏转角，所以关于曲线长变量S，可保证1次微分其得到的法线方向、及2次微分其得到的曲率是连续的。换句话讲，在一个回旋曲线中，法线方向及曲率是连续的。因此，可得到流畅、性质良好的曲线。即使在连结两个回旋曲线的情况下，为在其接头上切线、法线、曲率达到连续，通过选择参数，能够制作光滑的一根连接的曲线。将其称为回旋曲线群。
(b)适用性由于能够用两个角度(倾角及偏转角)分摊曲线的切线方向，所以能够任意制作符合各种条件的三维曲线，能够用于各种用途，能够提供工业制品的设计必需的空间曲线的广用的发生方法。在物体沿着空间曲线伴随加减速度运动的情况下，能够进行约束力变化平稳的设计。此外，由于能够相对于曲线长适当设计曲率的变化，因而能够有效地用于要求审美的意匠曲线设计等的多个产业领域。
(c)与几何曲线的整合性直线·圆弧·螺旋曲线等几何曲线，能够通过将回旋参数的几个置于0，或在几个参数间设定特定的函数关系进行制作。这些曲线是回旋曲线的一种，能够采用回旋的格式表现。
此外，由于通过将α或β中的任何一种通常置于0，能够制作二维回旋，所以能够应用以前就二维回旋已经得到的资源。
也就是，通过适当设定α或β，包括已经知道的二维回旋，还能够表现圆弧或直线等个别的曲线。由于对于这样的个别的曲线，能够采用同一形式的三维回旋曲线式，因此能够简化计算手续。
(d)推测的良好性在样条插补等以往的插补法中，在使自由曲线数式化时，多难分开其整体的形式、或局部的形式，但在三维回旋中，通过设想倾角及偏转角各自，能够比较容易把握整体形象。
此外，在作为回旋曲线表现的中途端，线长·切线方向·曲率等的值是已知的，不像以往的插补法需要重新计算。也就是，与曲线的参数S对应，按式(1-7)、(2-10)及(2-12)所示，直接求出曲线的切线、或法线、曲率。
(e)运动控制的容易性曲线的主变量是长度s或标准化的长度S，曲线的方程式用相对于该长度的自然方程式给出。因此，通过作为时间t的函数确定长度s，能够任意给出加减速度等运动特性，通过采用以往凸轮等所用的特性良好的运动曲线，能够谋求加工作业的高速化。由于可作为实际存在的笛卡尔空间中的值给出长度s，相对于切线方向求出速度、加速度，所以不需要像以往的插补法那样，合成按每个轴给出的值。此外，由于曲率的计算容易，从而也容易求出运动时的离心加速度，能够进行符合运动轨迹的控制。
2.采用三维回旋曲线的插补法(2-1)流畅的连接的数学条件在1根三维回旋曲线中，曲线的形状表现具有界限。此处，以利用数值控制的工具的运动控制为主要目的，多根连接三维回旋曲线(三维回旋线段)，通过该多根三维回旋曲线设计工业制品的形。以下将采用三维回旋曲线的插补法称为三维回旋插补。以下，将通过插补生成的曲线群整体称为三维回旋曲线，将构成其的单位曲线称为三维回旋线段。
在其端点流畅地连接2根三维回旋线段，被定义为是连续连接端点位置、切线及曲率。采用上述的定义式，按以下叙述此条件。最初的3式表示位置的连续性，下个2式表示切线的连续性，下个1式表示法线的一致，最后的式表示曲率的连续性。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)αi(1)＝αi+1(0)βi(1)＝βi+1(0) (3-1)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)这是满足切线矢量和法线矢量连续、曲率和α、β在连接点是连续的条件，有时条件过于严格。因此，也可以按以下所示变更条件，来单一地满足条件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1(3-2)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)此处，另外，[数式38]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1如果将上面的关系也考虑在内，[数式39]tanγi(1)＝tanγi+1(0)被用下记的条件置换。
tanγi(1)＝tanγi+1(0)α′i(1)β′i(1)cosαi(1)=α′i+1(0)β′i+1(0)cosαi+1(0)]]>∵α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1)结果得知，如果满足下记的条件，能够达到目的。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (3-3)αi′(1)βi+1＇(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)
在式(3-3)中，最初的3式表示位置的连续性，下个2式表示切线的连续性，下个1式表示法线的一致，最后的式表示曲率的连续性。要进行G2连续的插补，需要2根三维回旋曲线在其端点满足式(3-3)的7个条件式。
关于G2连续(G为Geometry的字头)进行补充。图8表示G2连续的插补的条件。
所谓G0连续指的是2根三维回旋曲线在其端点位置一致，所谓G1连续指的是切线方向一致，所谓G2连续指的是接触平面(法线)及曲率一致。在以下的表1中对比样条曲线所用的C0～C2连续和本发明的回旋曲线所用的G0～G2连续。
表1
在考虑2根三维回旋曲线的连续性时，随着达到C0→C1→C2、G0→G1→G2，插补条件变严。在C1连续中需要切线的大小及方向都一致，但在G1连续中可以只有切线方向一致。在用2根三维回旋曲线流畅地连接切线的时候，优选用G1连续做成条件式。如样条曲线，如果用C1连续做成条件式，由于增加使在几何学上无关系的切线的大小一致的条件，所以条件过严。如果用G1连续做成条件式，具有可自由设定一次微分系数的大小的优点。
在G2连续中使接触平面(法线)一致。所谓接触平面，如图9所示，指的是局部含有曲线C的平面S1、S2。图9表示在点P切线方向连续，但接触平面S1、S2不连续的例子。在考虑三维曲线的连续性时，切线方向的一致后必须考虑的是接触平面的一致。在议论曲率时，不意味着接触平面不一致，需要在使接触平面一致后使曲率一致。用2根三维曲线使坐标、切线方向、接触平面(法线)及曲率一致，可达到满足G2连续的条件。
(2-2)具体的计算顺序具有以下2种计算顺序。
(a)给出曲线的参数h、α、β，发生1根三维回旋曲线，在其端点，以满足式(3-3)的方式，确定下个三维回旋曲线的参数。如此，能够发生逐个流畅连接的三维回旋曲线。根据该计算顺序，容易算出曲线参数，将其称为顺解。根据此方式，能够容易发生多种形状的曲线，但不能明确指定曲线通过的连接点。
(b)能以预先指定的点群成为曲线的连接点的方式，连接三维回旋曲线。此处，在每个离散地任意给出的点列的各区间做成短的回旋曲线(回旋段)。在此种情况下，以满足式(3-3)的方式确定曲线参数的计算顺序比(a)更复杂，为重复收束计算。由于从连接条件相反地确定曲线参数，所以该计算顺序称为逆解。
关于上述(b)的逆解，详细地叙述计算方法。要解决的计算问题，按以下被公式化。
未知参数曲线参数约束条件式(3-3)或其一部根据要求的问题，变化约束条件的数量，可以作为未知参数设定与之相符的数量的曲线参数。例如，在不要求曲率的连续性的情况下，能够自由地使一部分曲线参数工作。或者，在曲率连续且指定切线方向的情况下，需要通过分割增加插补所用的三维回旋曲线的数量，增加对应的未知曲线参数。
为了使上述重复收束计算稳定收束，需要在计算上下功夫。为了避免计算的发散，加快收束，关于未知参数，有效的方法是设定更好的初始值。因此，有效的方法是，发生满足给出的连接点等约束条件的、更单一的插补曲线，例如线形样条曲线等，从其曲线形状推算三维回旋曲线的曲线参数，作为重复收束计算的初始值。
或者，不一气满足应满足的约束条件，而依次增加条件式的方式，作为稳定得到解的方法也是有效的。例如，将曲线发生的顺序分为下面的三个STEP，依次进行。作为第1 STEP在以位置信息和切线方向一致的方式插补后，作为第2 STEP以使法线方向一致的方式进行插补，在第3 STEP以曲率一致的方式插补。图10表示该方法的简要流程。已示出必要的三维回旋曲线式及其切线、法线或曲率的定义式。
(2-3)采用三维回旋曲线的插补法的实施例(a)插补法的流程详细说明采用三维回旋曲线流畅地插补给出的点列间的方法的一实施例。
作为三维回旋插补的基本的流程，以连结插补对象的点间的三维回旋线段的各参数作为未知数，严密地通过插补对象的点，并且用牛顿·拉夫申法求出满足成为G2连续的条件的解，生成曲线。图11是归纳该流程的概要的图示。所谓G2连续，指的是2根三维回旋曲线在其端点，位置、切线方向、法线方向及曲率一致。
(b)G2连续的插补的条件在三维回旋插补中，关于严密地通过插补对象的点，并且成为G2连续的条件，考虑具体的条件。
现在，简单地具有3个点P1＝{Px1、Py1、Pz1}、P2＝{Px2、Py2、Pz2}和P3＝{Px3、Py3、Pz3}，考虑用三维回旋线段插补该点。图12表示点P1、P2和P3的三维回旋插补。如果将连结点P1、P2间的曲线设定为曲线C1，将连结点P2、P3间的曲线设定为曲线C2，在此种情况下，未知数为曲线C1的参数a01、a11、a21、b01、b11、b21、h1，曲线C2的参数a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的14个。此外，以后在说明中出现的文字的下标与各曲线的下标对应。
下面考虑严密地通过插补对象的点，并且达到G2连续的条件。首先，在始点严密地通过插补对象的点的条件，如果从三维回旋曲线的定义考虑，由于在给出始点时必然达成，所以没有插补条件。接着在连接点P1，在位置方面成立3个，在切线矢量方面成立2个，在曲率连续的条件式的大小和方向方面成立2个，合计成立7个。此外关于终点，在点P2在位置方面是3个。由以上得出条件式合计为10个。但是，照这样相对于未知数14个，由于条件式只存在10个，所以不能求出未知数的解。因此，在本研究中，给出两端点的切线矢量，对于两端点，增加各两个条件，使条件式和未知数的数相等。此外，如果确定在始点的切线方向，由于能够从其定义式求出a01、b01，所以可不作为未知数处理。以下，考虑各条件。
首先，如果考虑位置的条件，成立下记的3个式(4-1)、(4-2)、(4-3)。
(以下，规定自然数i＜3。)[数式42]Pxi+hi∫01cos(a0i+aliS+a2jS2)cos(b0i+bliS+b2iS2)dS-Pxi+1=0]]>(4-1)Pyi+hi∫01cos(a0i+aliS+a2jS2)sin(b0i+bliS+b2iS2)dS-Pyi+1=0]]>(4-2)Pzi+hi∫01(-sin(a0i+a1iS+a2jS2))dS-Pzi+1=0]]>(4-3)接着，如果考虑切线方向，则成立2个式(4-4)、(4-5)。
cos(a0i+a1i+a2i-a0i+1)＝1 (4-4)cos(b0i+b1i+b2i-b0i+1)＝1 (4-5)关于曲率κ的大小，成立下个式(4-6)[数式44]κi(1)-κi+1(0)＝0 (4-6)最后考虑法线方向矢量n。三维回旋曲线的法线矢量n，由式(2-10)表示。
此处，与三维回旋曲线的切线矢量u的确定同样，采用回旋考虑法线矢量n。对于初期切线方向(1，0，0)，规定采用常数γ，用(0，cosγ，-sinγ)i表示初期法线方向。如果与切线同样使其回旋，法线n如式(4-7)所示。
n(S)=cosβ(S)-sinβ(S)0sinβ(S)cosβ(S)0001cosα(S)0sinα(S)010-sinα(S)0cosα(S)0cosγ-sinγ]]>=-sinγcosβ(S)sinα(S)-cosγsinβ(S)-sinγsinβ(S)sinα(S)+cosγcosβ(S)-sinγcosα(S)]]>(4-7)如果比较式(2-10)、(4-7)，可知sinγ、cosγ与式(4-8)对应。
sinγ=α′(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>cosγ=β′(S)cosα(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)---(4-8)]]>即，由式(4-8)得知，要达成在三维回旋插补中的连接点的法线连续，只要tanγ是连续的可以。
tanγ=α′(S)β′(S)cosα(S)---(4-9)]]>即，得知法线连续的条件，是式(4-10)。
tanγi(1)＝tanγi+1(0) (4-10)此处，另外，如[数式49]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1(4-11)也在考虑内，条件式(4-10)，可用下记的条件式置换。即，法线连续的条件是式(4-12)。
α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1) (4-12)综上所述，得知，严密地通过插补对象的点，并且成为G2连续的条件，在切线点如式(4-13)。此外，即使在始点·终点，也可选择这些其中的几个条件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)(4-13)
由以上得知，对于未知数a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22和h2等12个，条件式成立下记的12个。(点P3的切线方向旋转角设定为α3、β3。)[数式52]Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1α′1(1)β′2(0)＝α′2(0)β′1(1)κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3(0)Py2(1)＝Py3(0)Pz2(1)＝Pz3(0)cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1 (4-14)这样一来，由于对于12个未知数成立12个式，所以能够求解。对此可用牛顿·拉夫申法解释，求出解。
此外，一般在考虑插补n个点列时，条件式只要将上述的自然数i扩大为i＜n就可以。然后是未知数和条件式的数量的问题。
例如，在具有n-1个点列时，看作成立N个未知数和N个关系式。此处，如果假设再增加1点，未知数就增加三维回旋线段Pn-1、Pn的回旋参数a0n、a1n、a2n、b0n、b1n、b2n和hn等7个。一方面，条件式，由于连接点增加1个，所以在点Pn-1，在位置方面增加3个，在切线矢量方面增加2个，在曲率连续的条件式的大小和方向方面增加2个，合计增加7个。
由于得知在n＝3时，未知数、关系式都是12个，所以在n≥3时，未知数为7(n-2)+5个，对此成立的式也是7(n-2)+5个。这样一来，由于未知数和与之有关的条件的数相等，所以在n个自由点列时也能用与3点时同样的方法求解。作为求解法，采用利用在未知数和条件式的之间成立式(4-15)、(4-16)的关系的牛顿-拉夫申法求解。(将条件设为F，将未知数设为u、将误差雅可比矩阵设为j。)[数式53]
ΔF＝[J]Δu (4-15)Δu＝[J]-1ΔF (4-16)由以上得知，对于n个点列也可进行严密地通过插补对象的点，并且达到G2连续的三维回旋插补。
(C)初始值的确定在牛顿-拉夫申法中，在开始解的探索时需要给出适当的初始值。初始值怎样给出都可以，但此处只叙述该初始值的一例给出方式。
在插补中，首先，需要从点列确定各未知数的初始值，但在本研究中，生成在Li等的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q的单一形的插补对象点列间具有4个顶点的，从该多角形Q算出其初始值，进行确定。3DDiscrete Clothoid Splines，严密地通过插补对象点，具有曲率相对于从始点的移动距离平稳变化的性质。在本说明书中，用于三维回旋插补的初始值，通过制作如图13的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，从此处通过计算确定。
下面，补充说明3D Discrete Clothoid Splines。首先如图14所示，制作以插补对象的点列为顶点的多角形P，在P的各顶点间插入各相同数r个新的顶点，制作为PQ的多角形Q。此处，如果将P的顶点设定为n个，在多角形Q关闭的情况下具有rn个顶点，在多角形Q打开的情况下具有r(n-1)+1个顶点。以后规定以下标作为从始点的连续号码，用qi表示各顶点。此外，在各顶点，作为方向确定从法线矢量b，作为大小确定具有曲率κ的矢量k。
此时，将满足下记的顶点相互间达到等距离的式(4-17)的，曲率最接近与从始点的移动距离成正比的条件时的(使式(4-18)的函数最小化时的)多角形Q，称为3D Discrete Clothoid Splines。
|qi-1qi|＝|qi+1qi|，(qiP) (4-17)Σi=1r-1||Δ2kir+1||2,]]>i＝{0...n-1}，Δ2ki＝ki-1-2ki+ki+1(4-18)
在3D Discrete Clothoid Splines中，已经求出各顶点的弗雷涅标架。因此，从其单位切线方向矢量t求出参数a0、b0。该切线方向矢量t在求出多角形Q时已知，通过该t和三维回旋曲线的切线的式，求出多角形Q的顶点的切线方向旋转角α、β。由此求出各曲线的a0、b0的初始值。此外，在从始点开始的三维回旋线段上，给出此值。
u=cosβcosαsinβcosα-sinα---(4-19)]]>此处，关于3D Discrete Clothoid Splines，如果考虑等距离排列顶点，在图13的点q4i+1，能够近似于曲线长变量S是1/4。同样在点q4(i+1)-1，能够近似于曲线长变量S是3/4。如果与三维回旋曲线的α的式合在一起考虑这些，成立下式(4-20)。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1---(4-20)]]>此式成为未知数为a14i和a24i的二维联立方程式，对其进行求解，作为参数a1、a2的初始值。同样也能够确定参数b1、b2的初始值。
其余的未知数是曲线长h，但关于其初始值可由三维回旋曲线的曲率的式算出。三维回旋曲线的曲率，可用式(4-21)表示。
κ=α′2+β′2cos2αh---(4-21)]]>如果改变此式，成为式(4-22)，可确定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)k4(i+1)]]>(4-22)用以上的方法，对于7个三维回旋参数能够确定初始值。采用该确定的初始值，在(b)中叙述的达到G2连续的条件下，用牛顿-拉夫申法求出各曲线的参数的近似值。从由此得到的参数生成三维回旋线段，用三维回旋曲线插补点列间。
(d)插补例作为实际用以上所述的方法插补点列的例子，举例三维回旋插补(0.0，0.0，0.0)、(2.0，2.0，2.0)、(4.0，0.0，1.0)和(5.0，0.0，2.0)这4点的例子。图15中示出通过插补生成的三维回旋曲线的透视图。图15中的实线是三维回旋曲线，虚线、一点划线、二点划线的直线，是曲线上的各点上的取大小为log(曲率半径+自然对数e)，取方向为法线方向的曲率半径变化模式。
另外，表2中示出各曲线的参数，此外表3示出在各切线点的坐标、切线、法线、曲率的偏斜。从这些表看出，在各切线点生成成为G2连续的三维回旋曲线。此外，图16是在横轴取从始点的移动距离、在纵轴取曲率的曲率变化曲线图。
表2各三维回旋线段的模式
表3
(2-4)考虑到在两端的各值的控制的G2连续的三维回旋插补(a)插补条件和未知数如在(2-3)中所述，在曲线打开的情况下，在插补对象的点有n个时，用n-1个曲线三维回旋插补点列。如果严格地通过各点，关于各三维回旋线段，由于未知数有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7个，所以未知数整体为7(n-1)个。另一方面，关于条件式，由于具有n-2个的连接点都存在坐标、切线、法线、曲率的各7个和终点上的坐标的3个，所以全部为7(n-2)+3个。在(2-3)的方法中，通过对其给出始点·终点上的切线矢量，增加4个条件，使条件式和未知数的数相对。
此处，如果控制始点·终点上的切线·法线·曲率，并且以达到G2连续的方式插补，条件与控制两端的切线时相比，另外在始点·终点，在法线·曲率方面各增加2个，合计增加4个。于是，条件式全部达到7n-3个。在此种情况下，由于未知数的数比条件少，所以不能用牛顿-拉夫申法求解。因此，需要用什么方法增加未知数。
因此，此处，通过重新插入插补对象点使未知数和条件式的数相等。例如，如果4个未知数的一方多，就插入2个新的点，作为未知数处理各点的坐标中的2个。
在此种情况下，由于连接点增加2个，所以对于各连接点条件增加坐标、切线、法线、曲率的各7个的14个。另一方面，由于未知数增加2个三维回旋线段，所以增加a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7个的合计14个。由于此时点列所含的点的数为n+2个，所以如果整体考虑，未知数达到7(n+1)个，条件式达到7(n+1)+4个。此处，另外，假设作为未知数处理新插入的点的坐标中的2个，未知数就增加4个。于是，未知数、条件式都达到7(n+2)-3个，能够求出未知数的解。如此，通过插入新的点，能够进行严密地通过给出的各点，G2连续的并且控制了两端点的切线·法线·曲率的插补。
另外，考虑到一般的情况。在插补n个点列时，考虑在两端点控制m个项目时插入的点的数和在该点作为未知数处理的坐标的数。前面也记述过，但在曲线打开时，用n-1个曲线插补点列。如果严密地通过各点，由于对于各三维回旋线段未知数有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的7个，所以未知数整体有7(n-1)个。一方面，关于条件式，由于具有n-2个的连接点都存在坐标、切线、法线、曲率的各7个和终点上的坐标3个，所以全部为7(n-2)+3个，条件式少，为4个。也就是，在两端点要控制的项目在4个以上。以下，叙述在说明中m为4以上的自然数、k为2以上的自然数，在插入新的点时使条件式和未知数的数相等的方法。
(i)m＝2k时在两端合在一起控制m＝2k个项目时，未知数整体有7(n-1)个，条件式整体为7(n-1)-4+2k个。此时，过剩的条件式为2k-4个。现在，如果考虑重新插入k-2个点，由于三维回旋线段增加k-2根，连接点增加k-2个，所以未知数整体有7(n+k-3)个，条件式整体为7(n+k-3)-4+2k个。此处，另外假设作为未知数处理新插入的各点的坐标的值中的2个(例如x、y)，未知数整体为7(n+k-3)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-3)+2(k-2)个，未知数和条件式的数相等。
(ii)m＝2k+1时在两端合在一起控制m＝2k+1个项目时，未知数整体为7(n-1)个，条件式整体为7(n-1)+2k-3个。此时，过剩的条件式为2k-3个。现在，如果考虑重新插入k-1个点，由于三维回旋线段增加k-1根，连接点增加k-1个，所以未知数整体为7(n+k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)-3+2k个。此处，另外假设作为未知数处理新插入的各点的坐标的值中的2个(例如x、y)，未知数整体有7(n+k-2)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)+2k-3个，条件式的数多1个。因此，要在m＝2k+1时插入的点中的1个点上，作为未知数只处理坐标的值中的1个。这样一来，未知数整体为7(n+k-2)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)+2(k-2)个，未知数和条件式的数相等。
如以上所述的方法，即使在通过与追加的条件的数对照，调整插入的点的坐标中的成为未知数的数，控制切线、法线、曲率以外的例如切线回旋角α时等的种种情况下，也能够使未知数和条件式的数相对，理论上能够控制两端点的各值。此外，关于控制项目和未知数、条件式的数，表4列出归纳的数表4n点的插补中在两端的控制项目和未知数、条件式的数
*k2以上的自然数(b)方法采用在始点·终点控制各值的三维回旋的插补法，如图17及图18所示，按以下的流程进行。
Step1)只采用要控制的条件中的4个，进行严密地通过插补对象点，并且G2连续的插补，生成曲线。
Step2)在生成的曲线上插入新的点，调整条件式和未知数的数。
Step3)以Step1的曲线参数作为初始值，用牛顿-拉夫申法求出满足目的条件的各曲线的参数的近似值。
以下，对各Step进行补充说明。首先在Step1中，只要控制切线方向，就可采用(2-3)的方法生成曲线。此外，即使在不控制切线方向的情况下，作为求出该曲线的参数时的初始值，也采用与(2-3)的方法相同的初始值。
接着，在Step2中插入新的点，进行条件式和未知数的数的调整。此时，新插入的点，在各插补对象点间尽可能地在1个以下。此外，作为插入的点，插入用连结插补对象相互间的在Step1生成的三维回旋线段的中间的点。另外，插入的点要从两端依次插入。也就是，最初插入的点是始点和其邻接的点的之间、和终点和其邻接的点的之间。
最后是关于Step3，但需要重新确定用于在Step3进行的牛顿-拉夫申法的初始值。因此，对于插入新点的曲线，采用按(1-4)所述的分割三维回旋曲线的方法分割曲线，从生成的曲线的各值确定。对于未插入点的曲线，直接采用在Step1生成的曲线的值。以上，确定了在Step3中的曲线的各参数的初始值。采用该初始值，从用牛顿-拉夫申法得到的参数生成三维回旋曲线，用满足目的条件的三维回旋曲线插补点列间。
(C)插补例示出以实际用表5的条件控制两端的切线、法线、曲率的方式，进行三维回旋插补的例子。向应严密地通过的插补对象的点分摊连续号码，形成P1、P2和P3。
表5 插补对象各点和始点·终点的条件
*θ＝-(π/6)图19表示在此条件下实际进行插补的结果。实线的曲线表示三维回旋曲线，虚线·一点划线·二点划线·三点划线表示各曲线的曲率半径变化。此外，图20是表示从与图19的曲线的线种对应的各曲线的始点的移动距离和曲率的关系的曲线图。由图中看出，生成的曲线满足表6所给出的条件。
表6 给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差
(d)在中间点的值的控制利用(b)的方法，继续控制两端点上的各值，进行G2连续的插补。此处，考虑不在两端点而在中间点控制值。
例如在插补如图21的点列的情况下，考虑在中间点Pc控制切线、法线。但是，在前面所述的方法中不能控制中间点上的值。因此，此处通过将该点列分为2个，控制在中间点的值。
也就是，对于点列，不是一举地进行插补，而是夹着中间点Pc分为曲线C1和曲线C2地进行插补。在此种情况下，由于点Pc相当于端点，所以只要采用(b)的方法就能够控制值。
如此在有要控制的值的点上分开区分，控制其两端上的值，进行插补的结果，只要连接生成的曲线，理论上能够进行可在各点控制切线·法线·曲率的三维回旋插补。
(2-5)控制两端点上的切线、法线、曲率的三维回旋插补(a)方法的流程采用在始点·终点控制各值的三维回旋的插补法，可按图22所示的以下的流程进行。下面，沿着该流程说明。
(b-1)给出插补对象的点在本例中，给出三维空间的3点{0.0，0.0，0.0}、{5.0，5.0，10.0}、{10.0，10.0，5.0}。表7归纳地列出在其它各点给出的切线、法线、曲率等的条件。
表7 插补对象各点和始点·终点的条件
(b-2)r＝4的3DDCS的生成在牛顿-拉夫申法中，在开始解的探索时需要给出适当的初始值。此处，进行得出该初始值的准备。先行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有严密地通过插补对象点，相对于从始点的移动距离曲率平稳地变化的性质。因此，在本研究中，制作如图23的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，从此处通过计算确定用于三维回旋插补的初始值。此外，图24示出实际由该点列生成的多角形，顶点的坐标列入表8。
表8 生成的多角形的顶点坐标
(b-3)初始值的确定要用牛顿-拉夫申法求解，需要确定各未知数的初始值。在本方法中，使用在(b-2)生成的多角形Q，求出各未知数的近似值，确定该值。在3D Discrete Clothoid Splines中，已经求出各顶点的弗雷涅标架。因此由在(b-2)生成的多角形Q的单位切线方向矢量t求出参数a0、b0。该切线方向矢量t在求出多角形Q时已知，通过该t和三维回旋曲线的切线的式，求出多角形Q的顶点的切线方向回旋角α、β。由此求出各曲线的a0、b0的初始值。此外，在从始点开始的三维回旋线段上，给出该值。
u=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>此处，关于3D Discrete Clothoid Splines，如果考虑顶点以等距离排列，在图23的点q4i+1上，能够近似于曲线长变量S是1/4。同样在点q4(i+1)-1上，能够近似于曲线长变量S是3/4。如果与三维回旋曲线的α的式合在一起考虑这些，成立下式。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1]]>此式成为未知数为a14i和a24i的二维联立方程式，对其进行求解，作为参数a1、a2的初始值。同样也能够确定参数b1、b2的初始值。
其余的未知数是曲线长h，但关于其初始值可由三维回旋曲线的曲率的式算出。三维回旋曲线的曲率，可用下记表示。
κ=α′2+β′2cos2αh]]>如果改变此式，成为以下的式，可确定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)k4(i+1)]]>用以上的方法，能够为7个三维回旋参数确定初始值。
表9示出实际用此法求出的初始值。
表9 初始值
(b-4)严密地通过各点，G2连续的三维回旋插补采用通过(b-3)确定的初始值，在达到G2连续的条件下，用牛顿-拉夫申法求出各曲线的参数的近似值。从由此得到的参数生成三维回旋线段，用三维回旋曲线插补点列间。
此处，在3点的三维回旋插补中，关于严密地通过插补对象点，并且达到G2连续的条件，考虑具体的条件。图25表示点P1、P2、P3的三维回旋插补。如果将连结点P1、P2间的曲线作为曲线C1，将连结点P2、P3间的曲线作为曲线C2，由于a01和b01是已知的，所以未知数为曲线C1的参数a11、a21、b11、b21、h1，曲线C2的参数a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的12个。以后在说明中出现的文字的下标与各曲线的下标对应，作为曲线长变量S的函数，如Pxi、Pyi、Pzi、αi、βi、ni、κi，表示各曲线上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。
首先，在点P1上严密地通过插补对象点的条件，如果从三维回旋曲线的定义考虑，在给出始点时必然达成。此外，关于切线方向，由于已经作为已知的值给出，所以不特别指定在点P1上的条件。
接着，考虑点P2。点P2是曲线相互间的连接点，要达到G2连续需要位置、切线、法线、曲率连续。即在点P2上应成立的条件如下。
Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1(1)·n2(0)＝1κ1(1)＝κ2(0)最后考虑点P3。点P3是终点，由于应满足的条件只是位置、切线，所以成立以下的5个条件。此处，看作α3、β3是确定在给出的终点上的切线矢量的切线方向回旋角α、β。
Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由以上得知，对于未知数a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的12个，条件式成立下记的12个。归纳成立的条件式如下。
Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1·n2＝1κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由于对于12个未知数成立12个式，所以能够求解。用牛顿-拉夫申法求解该式，求出解。表10列出初始值和解。
表10 初始值和解
(b-5)曲线的生成图26同时表示以在(b-4)求出的参数为基础生成的曲线和在(b-2)生成的多角形。实线的曲线是曲线C1，虚线的曲线是曲线C2。在该阶段，形成在始点·终点控制切线方向的G2连续的三维回旋曲线。
(b-6)条件式和未知数此处，另外考虑也将始点P1和终点P3上的法线和曲率确定为表7给出的值。要在始点·终点再控制法线和曲率，需要分别2个增加始点·终点上的条件。但是，在条件增加4个的状态下，从与未知数的关系考虑不能求出满足该条件的解。因此，为了使未知数和条件式的数相对，如图27所示，在曲线C1的曲线长变量S＝0.5的位置重新插入点DP1。此外，对于曲线C2，也在曲线长变量S＝0.5的位置重新插入点DP2。
此时，将连结点P1和点DP1的曲线作为曲线C’1，将连结点DP1和点P2的曲线作为曲线C’2，将连结点P2和点DP2的曲线作为曲线C’3，将连结点DP2和点P3的曲线作为曲线C’4。以后在说明中出现的文字的下标与各曲线名对应，例如作为曲线长变量S的函数，如Pxc、Pyc、Pzc、αc、βc、nc、κc，表示曲线C上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。此外，在始点·终点上，在始点如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在终点如Pxe、Pye、Pze、αe、βe、ne、κe，表示坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。
以下说明在各点上成立的条件。
点P1切线、法线、曲率4个cos[αC′1(0)-αs]＝1cos[βC′1(0)-βs]＝1nC′1(0)·ns＝1κC′1(0)＝κs点DP1位置、切线、法线、曲率7个PxC′1(1)＝PxC′2(0)PyC′1(1)＝PyC′2(0)PzC′1(1)＝PzC′2(0)cos[αC′1(1)-αC′2(0)]＝1cos[βC′1(1)-βC′2(0)]＝1nC′1(1)·nC′2(0)＝1κC′1(1)＝κC′2(0)
点P2位置、切线、法线、曲率7个PxC′2(1)＝PxC′3(0)PyC′2(1)＝PyC′3(0)PzC′2(1)＝PzC′3(0)cos[αC′2(1)-αC′3(0)]＝1cos[βC′2(1)-βC′3(0)]＝1nC′2(1)·nC′3(0)＝1κC′2(1)＝κC′3(0)点DP2位置、切线、法线、曲率7个PxC′3(1)＝PxC′4(0)PyC′3(1)＝PyC′4(0)PzC′3(1)＝PzC′4(0)cos[αC′3(1)-αC′4(0)]＝1cos[βC′3(1)-βC′4(0)]＝1nC′3(1)·nC′4(0)＝1κC′3(1)＝κC′4(0)点P3位置、切线、法线、曲率7个PxC′4(1)＝PxePyC′4(1)＝PyePzC′4(1)＝Pzecos[αC′4(1)-αe]＝1cos[βC′4(1)-βe]＝1nC′4(1)·ne＝1κC′4(1)＝κe以上，全部应成立的条件式是32个。此处，各曲线具有的回旋参数是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7个，并且，由于曲线为4根，所以未知数为28个。但是，照此一来，由于未知数和条件式的数不相等，所以不能求出解。因此作为未知数处理重新插入的2个点DP1、DP2的y、z坐标，增加4个未知数。通过这样处理，未知数、条件式都为32个，能够求出解。
(b-7)初始值的确定为了求出满足在(b-6)中成立的条件式的解，采用牛顿-拉夫申法，但为了提高其收束率确定未知数的初始值。作为方法，通过如图28所示在新插入的点的前后分割在(b-5)中生成的三维回旋曲线，制作4根三维回旋曲线，给出其回旋参数。
关于曲线的分割法，如果说明将曲线C1分割成曲线C’1和曲线C’2的方法，曲线C’1的回旋参数h’、a’0、a’1、a’2、b’0、b’1、b’2，采用曲线C1的参数，用下式表示。此处Sd是分割点上的曲线长变量，此处是0.5。
a0′=a0a1′=a1Sda2′=a2Sd2b0′=b0b1′=b1Sdb2′=b2Sd2h′=hSd]]>接着考虑以分割点DP1作为始点的曲线C’2。首先，如果将大小、形状与曲线C1相同而朝向相反的曲线作为曲线C”1，该曲线的回旋参数h”、a”0、a”1、a”2、b”0、b”1、b”2，采用曲线C1的曲线的参数，用下式表示。
pS′′=P(1)a0′′=a0+a1+a2+πa1′′=-(a1+2a2)a2′′=a2b0′′=b0+b1+b2b1′′=-(b1+2b2)b2′′=b2h′′=h]]>
在该曲线上，分割点DP1用DP1＝C”1(1-Sd)表示。此处，如果考虑在点DP1分割曲线C”1，以该分割的曲线中的点P2作为始点的曲线C”2，成为大小、形状与曲线C”2相同而朝向相反的曲线。能够利用生成曲线C’1的方法生成曲线C”2。此处，另外只要相对于曲线C”2生成大小、形状相同而朝向相反的曲线，就能生成曲线C2。
用以上的方法，能够在三维回旋曲线C1上的曲线长变量S＝0.5的点DP1，将曲线C1分割成C’1和C’2。用同样的方法，也能够在曲线C2上的曲线长变量S＝0.5的点DP2，将曲线C2分割成C’3和C’4。
表11列出用该方法分割的4个曲线的参数。将该曲线的参数用于在求出满足在b-4中成立的条件式的解时所用的牛顿-拉夫申法的初始值。
表11 分割生成的曲线的参数
(b-8)求出满足条件的回旋参数以在(b-7)中确定的初始值为基础，用牛顿-拉夫申法求出满足在(b-6)中成立的条件式的解。表12是算出的各曲线的参数。此外，表13中示出给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差。
表12 生成的曲线的参数
表13 给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差
(b-9)曲线的生成图29表示通过在(b-8)中求出的参数生成的曲线。实线表示三维回旋曲线，虚线·一点划线·二点划线·三点划线，表示各曲线的方向在主法线方向，尺寸为半径，满足自然对数，取对数的曲率半径变化模式。此外，图30是表示从与图29的线种类对应的各曲线的始点的移动距离s和曲率κ的关系的曲线图。由图中看出，生成的曲线满足表12所给出的条件。
以上，说明了采用在两端控制切线、法线、曲率的三维回旋插补法生成曲线的例子。
3.采用三维回旋插补的滚珠丝杠的回归路径的设计方法作为在三维回旋曲线的机械设计中的应用事例，进行反向器方式的滚珠丝杠的回归路径的设计。
(3-1)反向器方式的滚珠丝杠的说明图31～图35表示反向器方式的滚珠丝杠。反向器构成沿着丝杠槽转动的滚珠的回归路径。反向器，有与螺母分开形成后固定在螺母上的方式、和与螺母一体地形成的方式。图31表示与螺母分开形成反向器的方式。
以下，说明反向器与螺母一体的方式的滚珠丝杆。图32是表示反向器为与螺母一体的方式的滚珠丝杠的螺母1。在螺母1的内周面，作为一周未满的螺旋状的负荷滚动体滚道槽，形成负荷滚珠滚道槽2。负荷滚珠滚道槽2具有与后述的丝杠轴的滚珠滚道槽一致的导程。作为回归路径的滚珠滚道槽3连接负荷滚道槽的一端和另一端，具有方向与负荷滚珠滚道槽2相反的导程。用这些负荷滚珠滚道槽2和滚珠滚道槽3构成一个一卷槽4。图33A是看见滚珠循环槽3的状态的螺母1的立体图，图33B是看见负荷滚珠滚道槽2的状态的螺母1的立体图。
图34表示在丝杠轴上组装该螺母1的状态。
在丝杠轴5的外周面，作为具有规定导程的螺旋状的滚动体滚道槽，形成滚珠滚道槽6。螺母1的负荷滚珠滚道槽2与丝杠轴5的滚珠滚道槽6对置。在螺母1的负荷滚珠滚道槽2及滚珠循环槽3和丝杠轴5的滚珠滚道槽6的之间，作为可旋转运动的多个滚动体，排列多个滚珠。随着螺母1相对于旋转轴5的相对旋转，多个滚珠在螺母1的负荷滚珠滚道槽2和丝杠轴5的滚珠滚道槽6的之间，一边接受负荷一边旋转运动。
图32所示的螺母1的滚珠循环槽3是与图31所示的反向器对应的部分。滚珠循环槽3，以沿着旋转轴5的负荷滚珠滚道槽2滚动的滚珠沿着丝杠轴5的周围转一个巡回，返回到原来的负荷滚珠滚道槽的方式，沿滚珠越过丝杠轴5的螺纹牙7。
以往的模式的循环路径，通过在丝杠轴上卷绕图35的展开图时，以不沿着路径碰到螺纹牙和滚珠的程度从丝杠轴5中心分离进行制作，但从图36的曲率变化看出，该路径是曲率不连续的。因此，采用三维回旋插补，在曲率连续的路径上再设计循环路径。
图37表示滚珠中心的轨道。要使滚珠的循环路径作为整体达到G2连续，需要在滚珠在回归路径上移动的点上达到G2连续。因此在回归路径的设计中，认为有在回归路径的两端点控制切线、法线、曲率的必要性。
(3-2)以下，说明采用三维回旋曲线，设计反向器方式的滚珠丝杠的回归路径的例子，(a-1)丝杠轴和滚珠表14列出本设计中所用的丝杠轴和滚珠的尺寸。
表14 丝杠轴和滚珠的尺寸
(a-2)对称性和坐标性反向器方式的滚珠丝杠的回归路径，从其使用用途考虑需要是轴对称的。因此说明本设计所用的坐标系。
首先，如图38所示，取z轴为丝杠轴方向。图38的实线是沿着丝杠槽使滚珠运动时滚珠的中心绘出的轨道。此外，将进入回归路径的点作为点Ps，将从回归路径返回到丝杠槽的点作为点Pe，将点Ps和点Pe的中点作为点Pm。如图39所示，如用向xy平面的投影图看Ps和点Pe，由原点0、Ps和点Pe绘成二等边三角形，但取该二等边三角形的∠PsOPe的垂直二等分线的方向为y轴方向。另外从对称性考虑，规定y轴通过点Pm。关于各轴的方向，如图38、39所示。如此以采用坐标系达到轴对称的方式设计回归路径。
在实际设计时，以θ＝15°确定各点的坐标。表15列出由此确定的坐标、切线、法线、曲率。
表15 各点的坐标、切线、法线、曲率
(a-3)约束条件研究反向器方式的滚珠丝杠的回归路径的设计中的约束条件。首先，与在点Ps和点Pe沿丝杠槽移动的滚珠的中心的轨迹描绘的曲线必须是G2连续。
接着，如考虑举例滚珠的高度，由于只要考虑回归路径是y轴对称，滚珠的中心就通过y轴上的某点，所以将此点作为点Ph(参照图38、39)。此时，滚珠要越过螺纹牙，需要点Ph的y坐标的绝对值至少满足(点Ph的y坐标的绝对值)≥(丝杠轴外径+滚珠径)/2因此，在本设计中，是(点Ph的y坐标的绝对值)≥(丝杠轴外径+滚珠径×1.2)/2此外，考虑是y轴对称时的法线方向需要是{0，1，0)，切线方向只具有沿其周围旋转的自由度。
满足以上的条件，用三维回旋曲线生成y轴对称的回归路径。实际上，除此以外，还必须考虑对丝杠轴的干涉，但关于干涉可检查设计的回归路径，在有干涉时可通过变化插补的初始值，或增加插补对象点，或重新设计路径来解决。
(a-4)为了避免干涉与丝杠轴的干涉容易发生在进入回归路径的边上，由于通过自由插补制作路径，因此容易引起干涉。要求回归路径离开丝杠轴，越过螺纹牙回到原来的位置，但要避免干涉，最好在某种程度离开丝杠轴后，越过螺纹牙回到原来的位置。作为生成该回归路径的方法，有增加插补对象点，避免干涉的方法，和用手动生成进入该回归路径的第1根曲线，强制地从丝杠轴分离的方法。其中在本设计中，采用用手动生成进入回归路径的第1根曲线，强制地从丝杠轴分离的方法。
此处，说明进入从点Ps开始的回归路径的第1根曲线C1。作为曲线长变量S的变量，如Px1、(S)、Py1、(S)、Pz1(S)、α1(S)、β1(S)、n1(S)、κ1(s)，表示曲线C1上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。此外，在点Ps·点Ph上，在点Ps如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在点Ph如Pxh、Pyh、Pz h、αh、βh、nh、κh，表示坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。与沿丝杠槽移动的滚珠的中心的轨迹描绘的曲线是G2连续的条件，是在点Ps上成立下式。
点Ps切线、法线、曲率4个cos[α1(0)-αs]＝1cos[β1(0)-βs]＝1n1(0)·ns＝1κ1(0)＝κs此外，沿丝杠槽移动的滚珠的中心的轨迹描绘的曲线，采用三维回旋曲线表示，但从图40所示的点开始，一圈程度的长度的三维回旋曲线C0的式用下式表示。此处，将螺纹的间距规定为pit，将丝杠轴外形规定为R，将螺纹的螺距角规定为α0。
α0(S)＝-α0β0(S)＝βe+2πSh0=pit2+(2πR)2]]>P0(S)=Pe+h0∫01u(S)dS]]>在曲线C0的式中，点Ps表示为Ps＝P0(11/12)。现在，如果作为从点Ps开始，在点Ps与曲线C0达到G2连续的曲线C1，生成具有下记的参数的曲线，能够强制地使其从丝杠轴离开。
α1(S)=-α0β1(S)=β0(π12)+160P1(S)=Ps+h060∫01u1(S)dS(b10+11620)S-115(b10+116b20)S2]]>例如，作为满足此条件的曲线C1，生成具有表16的参数的三维回旋曲线。
表16 曲线C1的参数
此时，如果比较点Ps上的曲线C0和曲线C1的切线、法线、曲率的值，形成表17，判断达到G2连续。
表17 在点Ps的切线、法线、曲率的偏移
此外，该曲线，如从图41、42判断，只形成从丝杠轴分开的形状。因此，关于进入从点Ps开始的回归路径的第1根曲线C1，采用该参数的曲线。
(a-5)三维回旋插补的条件和未知数加进在(a-3)中所述的条件，在达到G2连续的条件下，采用牛顿-拉夫申法求出各曲线的参数的近似值。此处，由于已经生成从点Ps开始的曲线C1，所以，以后在说明中叙述曲线C1的终点P1和点Ph间的径路的设计。在说明中出现的文字的下标与各曲线的下标对应，作为曲线长变量S的函数，如Pxi、(S)Pyi、(S)Pzi(S)、αi(S)、βi(S)、ni(S)、κi(S)，表示各曲线上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。此外，在点Ph上，将坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率表示为Pxh、Pyh、Pzh、αh、βh、nh、hh。
在路径的设计中，由于应严密地通过的点是点P1和点Ph这2点，所以是该插补2点的三维回旋插补。此处，如果考虑在两端点的插补条件，由于条件式的数比未知数多2个，所以为了进行G2连续的三维回旋插补，如图43所示，确定在点P1和点Ph的之间插入点P2。此外，将连结点P1和点Ph的曲线作为曲线C2，将连结点P2和点Pe的曲线作为曲线C3。
以下说明各点上的插补条件。
点P1切线、法线、曲率4个cos[α2(0)-α1(1)]＝1cos[β2(0)-β1(1)]＝1n2(0)·n1(1)＝1κ2(0)＝κ1(1)点P2位置、切线、法线、曲率7个Px3(1)＝Px2(0)Py3(1)＝Py2(0)Pz3(1)＝Pz2(0)cos[α3(1)-α2(0)]＝1cos[β3(1)-β2(0)]＝1n3(1)·n2(0)＝1κ3(1)＝κ2(0)点Ph位置、β、法线5个Px3(1)＝PxhPy3(1)＝PyhPz3(1)＝Pzhcos[β3(1)]＝1n3(1)·{0，1，0}＝1以上表明，全部应成立的条件式是16个。此处，每个曲线具有的回旋参数是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7个，并且，由于曲线为2根，所以未知数为14个。但是，照此一来，由于未知数和条件式的数不相等，所以不能求出解。因此作为未知数处理重新插入的2个点P2的y、z坐标，增加2个未知数。通过这样处理，未知数、条件式都为16个，能够求出解。此外，在本设计例中虽未进行，但该未知数和条件式的数，只要在途中给出应严密地通过的点，在该点的前后达成G2连续，通常成立，所以即使在点P1和点Ph的之间增加插补对象点，也能够求出解。
(a-6)求出满足条件的回旋参数用牛顿-拉夫申法求出满足在(a-5)中成立的条件式的解。插补方法、初始值的生成方法遵循三维回旋插补的方法。表18列出算出的各曲线的参数，表19列出在描出的连接点上的坐标、切线、法线、曲率的偏移。
表18 生成的曲线的参数
表19 在各切线点的坐标、切线、法线、曲率的偏移
(a-7)路径的生成通过由(a-5)、(a-6)得到的参数，能够设计从点Ps到点Ph的路径。此外，由于从点Ps到点Pe的路径，因路径是y轴对称的，与重取坐标系，将点Pe看作点Ps生成的路径相同，所以这些也能够由同样的曲线生成。
图44表示用以上的方法生成的路径。实线是丝杠轴上的滚珠的中心轨道即曲线C0，到点Ps～点Pn的虚线、一点划线、二点划线这3根曲线分别是曲线C1、C2、C3。此外，到点Pn～点Pe的二点划线、一点划线、虚线这3根曲线分别是曲线C3、C2、C1和与y轴对称的曲线。
图45是表示从z轴的正方向看从点Pe逆时针沿着循环路径移动的移动距离和曲率κ的关系的曲线图。曲线图的线种与图44的曲线的线种对应。
用以上的方法，采用三维回旋曲线，设计反向器式的滚珠丝杠的循环路径。另外，采用三维回旋曲线设计循环路径的方法，当然不局限于反向器式的滚珠丝杠，也适用于用管构成回归路径的所谓回流管式的滚珠丝杠，或者用设在螺母端面上的端隙，从丝杠轴的滚珠滚道槽捞起滚珠，通过螺母中，从相反侧的端隙返回到丝杠轴的滚珠滚道槽的所谓端隙式的滚珠丝杠。
可是，在用计算机执行实现本发明的设计方法的程序的时候，在计算机的硬盘装置等辅助存储装置中存储程序，装入到主存储器中进行。此外，如此的程序，可存储在CD-ROM等可搬型记录介质中出售，或存储在经由网络连接的计算机的记录装置中，也能够通过网络传送给其它的计算机。
B.采用回旋曲线的数值控制方法以下，分1.三维回旋曲线的定义和特征、2.利用三维回旋曲线的插补法、3.采用三维回旋插补的数值控制方法，依次说明采用回旋曲线的数值控制方法的发明的实施方式。
1.三维回旋曲线的定义和特征(1)三维回旋的基本式回旋曲线(Clothoid curve)，别名还称为柯纽的螺旋(Cornu’s spiral)，是与曲线的长度成正比地变化曲率的曲线。以往已知的二维回旋曲线，是平面曲线(二维曲线)的一种，在图46所示的x y坐标上，用下式表示。
P=P0+∫0sejφds=P0+h∫0SejφdS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(1)φ＝c0+c1s+c2s2＝φ0+φvS+φuS2(2)此处，[数式74]P＝x+jy，j=-1---(3)]]>是表示曲线上的点的位置矢量，[数式75]P0＝x0+jy0(4)是其初始值(始点的位置矢量)。
ejφ＝cosφ+jsinφ (5)是表示曲线的切线方向的位置矢量(长度为1矢量)，该方向Φ从原线(x轴方向)逆时针测定。如果在该单位矢量中乘以微小长度ds积分，可求出曲线上的点P。
将沿着曲线测定的曲线的从始点的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h。用S表示用h除s的值。S是无纲量的值，将其称为曲线长变量。
回旋曲线的特征，如式(2)所示，在于用曲线长s或曲线变量S的二次式表示切线方向角Φ。c0、c1、c2或Φo、Φv、Φu是二次式的系数，将这些数及曲线的总长h称为回旋的参数。图47表示一般的回旋曲线的形状。
三维扩张以上的关系，制作三维回旋曲线的式。以往不知道给出三维回旋曲线的式，所以发明者们最初导出其式。
按以下的式定义三维回旋曲线。
P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,]]>0≤s≤h，0≤S=sh≤1]]>(6)u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>(7)α＝a0+a1S+a2S2(8)β＝b0+b1S+b2S2(9)此处，[数式78]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(10)]]>
分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值。i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量。
u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(7)给出。在式(7)中，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，如图48所示，分别表示k轴(z轴)系的角度β的旋转及j轴(y轴)系的角度α的旋转。将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转。式(7)，表示通过首先使i轴(x轴)向的单位矢量在j轴(y轴)系只转动α，而后在k轴(z轴)系只转动β，得到切线矢量u。
也就是，在二维时，由从x轴的倾斜角度Φ得到表示曲线的切线方向的单位矢量ejΦ。在三维时，由从倾角α及偏转角β得到曲线的切线矢量u。如果倾角α为0，可得到以xy平面卷起的二维回旋曲线，如果偏转角β为0，可得到以xz平面卷起的二维回旋曲线。如果在切线方向矢量u中乘以微小长ds积分，可得到三维回旋曲线。
在三维回旋曲线中，切线矢量的倾角α及偏转角β，分别如式(8)及式(9)所示，可由曲线长变量S的二次式给出。这样一来，能够自由选择切线方向的变化，并且还能在其变化中使其具有连续性。
如以上的式所示，三维回旋曲线被定义为“是分别用曲线长变量的二次式表示切线方向的倾角及偏转角的曲线”。
从P0开始的一个三维回旋曲线，由[数式79]a0，a1，a2，b0，b1，b2，h (11)这7个参数确定。a0～b2的6个变量具有角度的单位，表示回旋曲线段的形状。与此相反，h具有长度的单位，表示回旋曲线段的大小。
作为三维回旋曲线的典型的例子，有图49所示的螺旋状的曲线。
(2)活动标架在式(7)中，如果代替基本切线方向矢量i，代入基本坐标[i、j、k]，得到下个活动标架(moving frame)E。
E=uvw=EkβEjα[i j k]=EkβEjαI=EkβEjα]]>=cosβcosα-sinβcosβsinαsinβcosαcosβsinβsinα-sinα0cosα---(12)]]>u=cosβcosαsinβcosα-sinα,]]>v=-sinβcosβ0,]]>w=cosβsinαsinβsinαcosα---(13)]]>此处，v及w是与曲线的切线垂直的面所含的单位矢量，相互正交，同时与切线方向单位矢量u正交。该3个单位矢量的组(三点荧光组)是与动点P一同作用的架(坐标系、标架)，将其称为活动标架。
由于可用上式求出活动标架，所以能够容易进行主法线、副法线的计算，容易进行曲线的形状解析。
此外，能够采用E求出机器人的工具点的姿势，能够求出由机器人手柄把持的物体的位置姿势。
如果将E的初始值及最终值分别作为E0、E1，为[数式81]E0=Ekb0Eja0---(14)]]>E1=Ek(b0+b1+b2)Ej(a0+a1+a2)---(15)]]>(3)滚动通过考虑活动标架，能够处理第3个旋转“滚动(roll)”。滚动是切线方向周围的旋转。滚动的存在不影响三维回旋本身的形状，但影响三维回旋诱导的活动标架。通过曲折的金属细的算盘珠，能够自由地在金属丝的周围旋转，但并不是通过其改变金属细的形状。
在考虑滚动旋转时，活动标架为下式。
E＝EkβEjαEiγI＝EkβEjαEiγ(16)
关于滚动角度γ，能够作为S的函数表现。
γ＝c0+c1S+c2S2(17)(4)三维回旋曲线的几何学的性质(a)三维回旋曲线的法线已知，三维曲线的法线矢量，采用切线方向u，用下式表示。
n=u′||u′||---(18)]]>此处，由式(7)三维回旋曲线的切线适量的1次微分如下。
u′(S)=-α′(S)cosβ(S)sinα(S)+β′(S)sinβ(S)cosα(S)-α′(S)sinβ(S)sinα(S)+β′(S)cosβ(S)cosα(S)-α′(S)cosα(S)]]>||u′(S)||=α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>(19)也就是，三维回旋曲线的法线适量，采用S，用以下的形式表示。
n(S)=u′(S)||u′(S)||]]>=1α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)-α′(S)cosβ(S)sinα(S)-β′(S)sinβ(S)osα(S)-α′(S)sinβ(S)sinα(S)+β′(S)cosβ(S)cosα(S)-α′(S)cosα(S)]]>(20)(b)采用旋转的三维回旋曲线的法线此处，与(7)的切线u的确定同样，也考虑一下法线n。对于初期切线方向(1，0，0)，假定采用常数γ，用(0，cosγ，-sinγ)表示初期法线方向。如果与切线相同地使其旋转，法线n表示如下。
n(S)=cosβ(S)-sinβ(S)0sinβ(S)cosβ(S)0001cosα(S)0sinα(S)010-sinα(S)0cosα(S)0cosγ-sinγ]]>=-sinγcosβ(S)sinα(S)-cosγsinβ(S)-sinγsinβ(S)sinα(S)+cosγcosβ(S)-sinγcosα(S)]]>(21)比较(20)、(21)的式，得知，sinγ、cosγ与下记对应。
sinγ=α′(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>cosγ=β′(S)cosα(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>(22)(c)三维回旋插补中的在连接点的法线连续要达成三维回旋插补中的在连接点的法线连续，由式(22)得出，只要[数式89]tanγ=α′(S)β′(S)cosα(S)---(23)]]>是连续的就可以。
(d)三维回旋曲线的曲率三维回旋曲线的曲率，用下式表示。
κ(S)=||P′(S)×P′′(S)||||P′(S)||=||u(S)×u′(S)||h=||u′(S)||h---(24)]]>由式(19)得出，曲率表示为[数式91]κ(S)=α′2+β′2cos2αh---(25)]]>(5)三维回旋曲线的特征(a)曲线的连续性在一个回旋曲线段(用同一参数表示的回旋曲线)中，由于分别按曲线长或曲线长变量S的二次式给出其切线方向的倾角及偏转角，所以关于曲线长变量S，可保证1次微分其得到的法线方向、及2次微分其得到的曲率是连续的。换句话讲，在一个回旋曲线段中，法线方向及曲率是连续的。因此，可得到流畅、性质良好的曲线。即使在连结两个回旋曲线的情况下，为在其接头上切线、法线、曲率达到连续，通过选择参数，能够制作光滑的一根连接的曲线。将其称为回旋样条。
(b)适用性由于能够用两个角度(倾角及偏转角)分摊曲线的切线方向，所以能够任意制作符合各种条件的三维曲线，能够用于各种用途。
(c)与几何曲线的整合性直线、圆弧、螺旋曲线等几何曲线，能够通过将回旋参数的几个置于0，或在几个参数间设定特定的函数关系进行制作。这些曲线是回旋曲线的一种，能够采用回旋的格式表现。因此，不需要像以往的NC那样，通过直线、圆弧、自由曲线等变化所述的格式来进行处理，能够采用相同的格式进行计算或控制。
此外，由于通过通常将α或β中的任何一种置于0，能够制作二维回旋，所以能够应用以前就二维回旋已经得到的资源。
也就是，通过适当设定α或β，包括已经知道的二维回旋，还能够表现圆弧或直线等个别的曲线。由于对于这样的个别的曲线，能够采用同一形式的三维回旋曲线式，因此能够简化计算手续。
(d)推测的良好性在样条插补等以往的插补法中，在使自由曲线数式化时，多难分开其整体的形式、或局部的形式，但在三维回旋中，通过设想倾角及偏转角各自，能够比较容易把握整体形象。
此外，在作为回旋曲线表现的中途端，线长、切线方向、曲率等的值是已知的，不需要像以往的插补法那样重新计算。也就是，与曲线的参数S对应地，按式(7)、(20)及(26)所示，直接求出曲线的切线、或法线、曲率。这对于后述的数值控制方式是非常有效的特征。这样一来，能够大幅度缩短计算时间，节省存储器等资源，此外，能够进行实时的插补运算。
在NC加工中，工具轨迹的最小曲率半径是重要的问题，在样条插补等中，要对其进行求解，需要繁杂的计算，但在回旋中，由于一般在每个线段，最小曲率半径的值是已知的，所以在刀具径的选定等中是有利的。
(e)运动控制的容易性曲线的主变量是长度s或标准化的长度S，曲线的方程式用相对于该长度的自然方程式给出。因此，通过作为时间t的函数确定长度s，能够任意给出加减速度等运动特性，通过采用以往凸轮等所用的特性良好的运动曲线，能够谋求加工作业的高速化。由于可作为实际存在的笛卡尔空间中的值给出长度s，相对于切线方向求出速度、加速度，所以不需要像以往的插补法那样合成按每个轴给出的值。此外，由于曲率的计算容易，因此也容易求出运动时的离心加速度，能够进行符合运动轨迹的控制。
(6)曲线的生成和各参数的性质根据定义，三维回旋曲线的各参数对曲线的影响如下。通过给出各参数，如图49所示能够生成三维回旋曲线。
表20汇总了三维回旋曲线的各参数的性质。
表20
2.采用三维回旋曲线的插补法(1)流畅的连接的数学条件在1根三维回旋曲线中，曲线的形状表现具有界限。此处，以利用数值控制的工具的运动控制为主要目的，多根连接三维回旋曲线(三维回旋线段)，通过该多根三维回旋线段控制工具的运动。
在其端点流畅地连接2根三维回旋曲线，被定义为是连续连接端点位置、切线及曲率。采用上述的定义式，按以下叙述此条件。最初的3式表示位置的连续性，下个2式表示切线的连续性，下个1式表示法线的一致，最后的式表示曲率的连续性。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)αi(1)＝αi+1(0)βi(1)＝βi+1(0) (26)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)这是满足切线矢量和法线矢量连续、曲率和α、β在连接点连续的条件，有时条件过严。因此，也可以按以下所示变更条件，来单一地满足条件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (27)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)此处，另外， cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1如果将上面的关系也考虑在内，[数式95]tanγi(1)＝tanγi+1(0)被用下记的条件置换。
tanγi(1)＝tanγi+1(0)α′i(1)β′i(1)cosαi(1)=α′i+1(0)β′i+1(0)cosαi+1(0)]]>∵α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1)结果得出，如果满足下记的条件，能够达到目的。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (28)αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)在式(28)中，最初的3式表示位置的连续性，下个2式表示切线的连续性，下个1式表示法线的一致，最后的式表示曲率的连续性。要进行G2连续的插补，需要2根三维回旋曲线在其端点满足式(28)的7个条件式。
关于G2连续(G为Geometry的字头)进行补充。图50表示G2连续的插补的条件。
所谓G0连续指的是2根三维回旋曲线在其端点位置一致，所谓G1连续指的是切线方向一致，所谓G2连续指的是接触平面(法线)及曲率一致。在以下的表21中对比样条曲线所用的C0～C2连续和本发明的回旋曲线所用的G0～G2连续。
表21
在考虑2根三维回旋曲线的连续性时，随着达到C0→C1→C2、G0→G1→G2，插补条件变严。在C1连续中需要切线的大小及方向都一致，但在G1连续中可以只有切线方向一致。在用2根三维回旋曲线平稳地连接切线的时候，优选用G1连续做成条件式。如样条曲线，如果用C1连续做成条件式，由于增加使在几何学上无关系的切线的大小一致的条件，所以条件过严。如果用G1连续做成条件式，具有自由设定一次微分系数的大小的优点。
在G2连续中使接触平面(法线)一致。所谓接触平面，如图51所示，指的是局部含有曲线C的平面S1、S2。图51表示在点P切线方向连续，但接触平面S1、S2不连续的例子。在考虑三维曲线的连续性时，切线方向的一致后必须考虑的是接触平面的一致。在议论曲率时，不意味着接触平面不一致，需要在使接触平面一致后使曲率一致。用2根三维曲线使坐标、切线方向、接触平面(法线)及曲率一致达到满足G2连续的条件。
(2)具体的计算顺序具有以下2种计算顺序。
(a)给出曲线的参数h、α、β，发生1根三维回旋曲线，在其端点，以满足式(28)的方式，确定下个三维回旋曲线的参数。如此，能够发生逐个流畅连接的三维回旋曲线。根据该计算顺序，容易算出曲线参数，将其称为顺解。根据此方式，能够容易发生多种形状的曲线，但不能明确指定曲线通过的连接点。
(b)能以预先指定的点群成为曲线的连接点的方式，连接三维回旋曲线。此处，在每个离散地任意给出的点列的各区间做成短的回旋曲线(回旋线段)。在此种情况下，以满足式(28)的方式确定曲线参数的计算顺序比(a)更复杂，为重复收束计算。由于从连接条件相反地确定曲线参数，所以该计算顺序称为逆解。
关于上述(b)的逆解，详细地叙述计算方法。要解决的计算问题，按以下被公式化。
未知参数曲线参数约束条件式(28)或其一部根据要求的问题，变化约束条件的数量，可以作为未知参数设定与之相符的数量的曲线参数。例如，在不要求曲率的连续性的情况下，能够自由地使一部分曲线参数工作。或者，在曲率连续且指定切线方向的情况下，需要通过分割增加插补所用的三维回旋曲线的数量，增加对应的未知曲线参数。
为了使上述重复收束计算稳定收束，需要在计算上下功夫。为了避免计算的发散，加快收束，对于未知参数，有效的方法是设定更好的初始值。因此，有效的方法是，发生满足给出的连接点等约束条件的、更单一的插补曲线，例如线形样条曲线等，从其曲线形状推算三维回旋曲线的曲线参数，作为重复收束计算的初始值。
或者，不一气满足应满足的约束条件，而是依次增加条件式的方式，作为稳定得到解的方法也是有效的。例如，将曲线发生的顺序分为下面的三个STEP，依次进行。作为第1 STEP在以位置信息和切线方向一致的方式插补后，作为第2 STEP以使法线方向一致的方式进行插补，在第3 STEP以曲率一致的方式插补。图52表示该方法的简要流程。已示出必要的三维回旋曲线式及其切线、法线或曲率的定义式。
(3)采用三维回旋曲线的插补法的实施例(a)插补法的流程详细说明采用三维回旋曲线流畅地插补给出的点列间的方法的一实施例。以下，将采用三维回旋曲线的插补法称为三维回旋插补。将通过插补生成的曲线群全体称为三维回旋曲线，将构成其的单位曲线称为三维回旋线段。
作为三维回旋插补的基本的流程，以连结插补对象的点间的三维回旋线段的各参数作为未知数，严密地通过插补对象的点，并且用牛顿·拉夫申法求出满足达到G2连续的条件的解，生成曲线。图53是归纳该流程的概要的图示。所谓G2连续，指的是2根三维回旋曲线在其端点，位置、切线方向、法线方向及曲率一致。
(b)G2连续的插补的条件在三维回旋插补中，关于严密地通过插补对象的点，并且成为G2连续的条件，考虑具体的条件。
现在，简单地具有3个点P1＝{Px1、Py1、Pz1}、P2＝{Px2、Py2、Pz2}和P3＝{Px3、Py3、Pz3}，考虑用三维回旋线段插补该点。图54表示点P1、P2和P3的三维回旋插补。如果将连结点P1、P2间的曲线设定为曲线C1，将连结点P2、P3间的曲线设定为曲线C2，在此种情况下，未知数为曲线C1的参数a01、a11、a21、b01、b11、b21、h1，曲线C2的参数a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等14个。此外，以后在说明中出现的文字的下标与各曲线的下标对应。
下面考虑严密地通过插补对象的点，并且达到G2连续的条件。首先，在始点严密地通过插补对象的点的条件，如果从三维回旋曲线的定义考虑，由于在给出始点时必然达成，所以没有插补条件。接着在连接点P1，在位置方面成立3个，在切线矢量方面成立2个，在曲率连续的条件式的大小和方向方面成立2个，合计成立7个。此外关于终点，在点P2在位置方面是3个。由以上得出条件式合计为10个。但是，照这样对于未知数14个，由于条件式只存在10个，所以不能求出未知数的解。因此，在本研究中，给出两端点的切线矢量，在两端点各增加两个条件，使条件式和未知数的数相等。此外，如果确定在始点的切线方向，由于能够从其定义式求出a01、b01，所以可不作为未知数处理。以下，考虑各条件。
首先，如果考虑位置的条件，由式(1-1)、(1-2)、(1-3)成立下记的3个式。(以下，规定自然数i＜3。)[数式98]Pxi+hi∫01cos(a0i+a1iS+a2iS2)cos(b0i+b1iS+b2iS2)dS-Pxi+1=0]]>(1-1)
Pyi+hi∫01cos(a0i+a1iS+a2iS2)sin(b0i+b1iS+b2iS2)dS-Pyi+1=0]]>(1-2)Pzi+hi∫01(-sin(a0i+a1iS+a2iS2))dS-Pzi+1=0]]>(1-3)接着，如果考虑切线方向，成立(1-4)、(1-5)2个式。
cos(a0i+a1i+a2i-a0i+1)＝1 (1-4)cos(b0i+b1i+b2i-b0i+1)＝1 (1-5)关于曲率κ的大小，成立下式(1-6)。
κi(1)-κi+1(0)＝0(1-6)最后考虑法线方向矢量n。三维回旋曲线的法线矢量n，用式(21)表示。
此处，与三维回旋曲线的切线矢量u的确定同样，也采用旋转，考虑一下法线矢量n。对于初期切线方向(1，0，0)，假定采用常数γ，用(0，cosγ，-sinγ)表示初期法线方向。如果与切线相同地使其旋转，法线n如式(1-7)所表示。
n(S)=cosβ(S)-sinβ(S)0sinβ(S)cosβ(S)0001cosα(S)0sinα(S)010-sinα(S)0cosα(S)0cosγ-sinγ]]>=-sinγcosβ(S)sinα(S)-cosγsinβ(S)-sinγsinβ(S)sinα(S)+cosγcosβ(S)-sinγcosα(S)]]>(1-7)
比较式(21)、(1-7)，得知，sinγ、cosγ与式(1-8)对应。
sinγ=α′(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>cosγ=β′(S)cos(S)α′(S)2+β′(S)2cos2α(S)]]>(1-8)即，由式(1-8)得知，要达成三维回旋插补中的在连接点的法线连续，只要tanγ是连续就可以。
tanγ=α′(S)β′(S)cosα(S)---(1-9)]]>即，得知法线连续的条件是式(1-10)。
tanγi(1)＝tanγi+1(0) (1-10)此处，另外，如果将[数式105]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1 (1-11)考虑在内，条件式(1-10)，可用下记的条件式(1-12)置换。即，法线连续的条件是式(1-12)。
α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1) (1-12)综上所述，得知，严密地通过插补对象点，并且达到G2连续的条件，在连接点为式(1-13)。此外，即使在始点·终点，也可以选择其中的几个条件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (1-13)αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)由以上得知，对于未知数a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12个，条件式成立下记的12个。(将点P3上的切线方向旋转角规定为α3、β3。)[数式108]Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1α′1(1)β′2(0)＝α′2(0)β′1(1)κ1(1)＝κ2(0) (1-14)Px2(1)＝Px3(0)Py2(1)＝Py3(0)Pz2(1)＝Pz3(0)cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1这样一来，由于对于12个未知数成立12个式，所以能够求解。对此可用牛顿·拉夫申法解释，求出解。
此外，一般在考虑插补n个点列时，条件式只要将上述的自然数i扩大为i＜n就可以。然后是未知数和条件式的数量的问题。
例如，在具有n-1个点列时，看作成立N个未知数和N个关系式。此处，如果假设再增加1点，未知数就增加三维回旋线段Pn-1、Pn的7个回旋参数a0n、a1n、a2n、b0n、b1n、b2n和hn。一方面，条件式，由于连接点增加1个，所以在点Pn-1，在位置方面增加3个，在切线矢量方面增加2个，在曲率连续的条件式的大小和方向方面增加2个，合计增加7个。
由于得知在n＝3时，未知数、关系式都是12个，所以在n≥3时，未知数为7(n-2)+5个，对此处理的式也是7(n-2)+5个。这样一来，由于未知数和与之有关的条件的数相等，所以在n个自由点列时也能用与3点时同样的方法求解。作为求解法，采用利用在未知数和条件式的之间成立式(1-15)、(1-16)的关系的牛顿-拉夫申法求解。(将条件设为F，未将知数设为u、将误差雅可比矩阵设为j。)[数式109]ΔF＝[J]Δu (1-15)Δu＝[J]-1ΔF (1-16)由以上得知，对于n个点列也可进行严密地通过插补对象的点，并且可进行G2连续的三维回旋插补。
(c)初始值的确定在牛顿-拉夫申法中，在开始解的探索时需要给出适当的初始值。初始值怎样给出都可以，但此处只叙述该初始值的一例给出方式。
先行进行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有严密地通过插补对象点，曲率相对于从始点的移动距离平稳变化的性质。因此，在本研究中，用于三维回旋插补的初始值，通过制作如图55的r＝4的3D DiscreteClothoid Splines的多角形Q，从此处通过计算确定。
下面，补充说明3D Discrete Clothoid Splines。首先如图56所示，制作以插补对象的点列为顶点的多角形P，在P的各顶点间插入各相同数r个新的顶点，制作为PQ的多角形Q。此处，如果将P的顶点设定为n个，在多角形Q关闭的情况下具有r n个顶点，在多角形Q打开的情况下具有r(n-1)+1个顶点。以后规定以下标作为从始点的连续号码，用qi表示各顶点。此外，在各顶点，作为方向确定从法线矢量b，作为大小确定具有曲率κ的矢量k。
此时，将满足下记的顶点相互间达到等距离的式(1-17)的，曲率最接近与从始点的移动距离成正比的条件时的(使式(1-18)的函数最小化时的)多角形Q，称为3D Discrete Clothoid Splines。
|qi-1qi|＝|qi+1qi|，(qiP)(1-17)Σi=1r-1||Δ2kir+1||2,]]>i＝{0...n-1}，Δ2ki＝ki-1-2ki+ki+1(1-18)在3D Discrete Clothoid Splines中，已经求出各顶点的弗雷涅标架。因此，从其单位切线方向矢量t求出参数a0、b0。该切线方向矢量t在求出多角形Q时已经知道，通过该t和三维回旋曲线的切线的式，求出多角形Q的顶点的切线方向旋转角α、β。由此求出各曲线的a0、b0的初始值。此外，在从始点开始的三维回旋线段上，给出其值。
u=cosβcosαsinβcosα-sinα---(1-19)]]>此处，关于3D Discrete Clothoid Splines，如果考虑等距离排列顶点，在图55的点q4i+1，能够近似于曲线长变量S是1/4。同样在点q4(i+1)-1，能够近似于曲线长变量S是3/4。如果与三维回旋曲线的α的式合在一起考虑这些，成立下式(1-20)。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1--(1-20)]]>此式成为未知数为a14i和a24i的二维联立方程式，对其进行求解，作为参数a1、a2的初始值。同样也能够确定参数b1、b2的初始值。
其余的未知数是曲线长h，但关于该初始值可由三维回旋曲线的曲率的式算出。三维回旋曲线的曲率可用式(1-21)表示。
κ=α′2+β′2cos2αh---(1-21)]]>如果改变此式，成为式(1-22)，可确定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)κ4(i+1)]]>(1-22)用以上的方法，能够对7个三维回旋参数确定初始值。采用该确定的初始值，在(b)中叙述的达到G2连续的条件下，用牛顿-拉夫申法求出各曲线的参数的近似值。从由此得到的参数生成三维回旋线段，用三维回旋曲线插补点列间。
(b)插补例作为实际用以上所述的方法插补点列的例子，举例三维回旋插补(0.0，0.0，0.0)、(2.0，2.0，2.0)、(4.0，0.0，1.0)和(5.0，0.0，2.0)这4点的例子。图57中示出通过插补生成的三维回旋曲线的透视图。图57中的实线是三维回旋曲线，虚线、一点划线、二点划线的直线，是曲线上的各点上的取大小为log(曲率半径+自然对数e)，取方向为法线方向的曲率半径变化模式。
另外，表22中示出各曲线的参数，此外表23示出在各切线点的坐标、切线、法线、曲率的偏斜。从这些表看出，在各切线点生成成为G2连续的三维回旋曲线。此外，图58是在横轴取从始点的移动距离、在纵轴取曲率的曲率变化曲线图。
表22各三维回旋线段的参数
表23
(4)考虑在两端的各值的控制的G2连续的三维回旋插补(a)插补条件和未知数如在(3)中所述，在曲线打开的情况下，在插补对象的点有n个时，用n-1个曲线三维回旋插补点列。如果严格地通过各点，关于各三维回旋线段，由于未知数有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7个，所以未知数整体为7(n-1)个。另一方面，关于条件式，由于具有n-2个的连接点都存在坐标、切线、法线、曲率的各7个和终点上的坐标的3个，所以全部为7(n-2)+3个。在(3)的方法中，通过对其给出始点·终点上的切线矢量，增加4个条件，使条件式和未知数的数相对。
此处，如果控制始点·终点上的切线·法线·曲率，并且以达到G2连续的方式插补，条件与控制两端的切线时相比，在始点·终点，在法线·曲率方面各增加2个，合计增加4个。于是，条件式全部达到7n-3个。在此种情况下，由于未知数的数比条件少，所以不能用牛顿-拉夫申法求解。因此，需要用什么方法增加未知数。
因此，此处，通过重新插入插补对象点使未知数和条件式的数相等。例如，如果4个未知数的一方多，插入2个新的点，作为未知数处理各点的坐标中的2个。
在此种情况下，由于连接点增加2个，所以对于各连接点条件增加坐标、切线、法线、曲率的各7个的14个。另一方面，由于未知数增加2个三维回旋线段，所以增加a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7个的合计14个。由于此时点列所含的点的数为n+2个，所以如果整体考虑，未知数达到7(n+1)个，条件式达到7(n+1)+4个。此处，另外，假设作为未知数处理新插入的点的坐标中的2个，未知数就增加4个。于是，未知数、条件式都为7(n+2)-3个，能够求出未知数的解。如此，通过插入新的点，能够进行严密地通过给出的各点，G2连续的并且控制了两端点的切线·法线·曲率的插补。
另外，也考虑一般的情况。在插补n个点列时，考虑在两端点控制m个项目时插入的点的数和在该点作为未知数处理的坐标的数。前面也记述过，但在曲线打开时，用n-1个曲线插补点列。由于如果严密地通过各点，对于各三维回旋线段，未知数就有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7个，所以未知数整体有7(n-1)个。一方面，关于条件式，由于具有n-2个的连接点都存在坐标、切线、法线、曲率的各7个和终点上的坐标的3个，所以全部为7(n-2)+3个，条件式少，为4个。也就是，在两端点要控制的项目在4个以上。以下，叙述在说明中m为4以上的自然数、k为2以上的自然数，在重新插入点时使条件式和未知数的数相等的方法。
(i)m＝2k时在两端合在一起控制m＝2k个项目时，未知数整体为7(n-1)个，条件式整体为7(n-1)-4+2k个。此时，过剩的条件式为2k-4个。现在，如果考虑重新插入k-2个点，由于三维回旋线段增加k-2根，连接点增加k-2个，所以未知数整体有7(n+k-3)个，条件式整体为7(n+k-3)-4+2k个。此处，另外假设作为未知数处理新插入的各点的坐标的值中的2个(例如x、y)，未知数整体为7(n+k-3)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-3)+2(k-2)个，未知数和条件式的数相等。
(ii)m＝2k+1时在两端合在一起控制m＝2k+1个项目时，未知数整体是7(n-1)个，条件式整体是7(n-1)+2k-3个。此时，过剩的条件式为2k-3个。现在，如果考虑重新插入k-1个点，由于三维回旋线段增加k-1根，连接点增加k-1个，所以未知数整体为7(n+k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)-3+2k个。此处，另外假设作为未知数处理新插入的各点的坐标的值中的2个(例如x、y)，未知数整体为7(n+k-2)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)+2k-3)个，条件式的数多1个。因此，要在m＝2k+1时插入的点中的1个点上，作为未知数只处理坐标的值中的1个。如此一来，未知数整体为7(n+k-2)+2(k-2)个，条件式整体为7(n+k-2)+2(k-2)个，未知数和条件式的数相等。
如以上所述的方法，即使在通过与追加的条件的数加在一起，调整插入的点的坐标中的成为未知数的数，控制切线、法线、曲率以外的例如切线回旋角α时等的种种情况下，也能够使未知数和条件式的数相对，理论上能够控制两端点的各值。此外，关于控制项目和未知数、条件式的数，表24列出汇总的数表24n点的插补中在两端的控制项目和未知数、条件式的数
*k2以上的自然数(b)方法采用在始点·终点控制各值的三维回旋的插补法，如图59及图60所示，按以下的流程进行。
Step1)只采用要控制的条件中的4个，进行严密地通过插补对象点，并且G2连续的插补，生成曲线。
Step2)在生成的曲线上插入新的点，调整条件式和未知数的数。
Step3)以Step1的曲线参数作为初始值，用牛顿-拉夫申法求出满足目的条件的各曲线的参数的近似值。
以下，对各Step进行补充说明。首先在Step1中，只要控制切线方向，就可采用(3)的方法生成曲线。此外，即使在不控制切线方向的情况下，作为求出该曲线的参数时的初始值，也采用与(3)的方法相同的初始值。
接着，在Step2中插入新的点，进行条件式和未知数的数的调整。此时，新插入的点，在各插补对象点间尽可能地在1个以下。此外，作为插入的点，插入用连结插补对象相互间的在Step1生成的三维回旋线段的中间的点。另外，插入的点要从两端依次插入。也就是，最初插入的点是始点和其邻接的点的之间、和终点和其邻接的点的之间。
最后是关于Step3，但需要重新确定用于在Step3进行的牛顿-拉夫申法的初始值。因此，对于插入新点的曲线，采用按(1-4)所述的分割三维回旋曲线的方法分割曲线，从生成的曲线的各值确定。对于未插入点的曲线，直接采用在Step1生成的曲线的值。以上，确定了在Step3中的曲线的各参数的初始值。采用该初始值，从用牛顿-拉夫申法得到的参数生成三维回旋曲线，用满足目的条件的三维回旋曲线插补点列间。
(C)插补例示出以实际用表25的条件控制两端的切线、法线、曲率的方式，进行三维回旋插补的例子。向应严密地通过的插补对象的点分摊连续号码，形成P1、P2和P3。
表25 插补对象各点和始点·终点的条件
*θ＝-(π/6)图61表示在此条件下实际进行插补的结果。实线的曲线表示三维回旋曲线，虚线·一点划线·二点划线·三点划线表示各曲线的曲率半径变化。此外，图62是表示从与图61的曲线的线种对应的各曲线的始点的移动距离和曲率的关系的曲线图。由图中看出，生成的曲线满足表26所给出的条件。
表26 给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差
(d)在中间点的值的控制利用(b)的方法，继续控制两端点上的各值，进行G2连续的插补。此处，考虑不在两端点而在中间点控制值。
例如在插补如图63的点列的情况下，考虑在中间点Pc控制切线、法线。但是，在前面所述的方法中不能控制中间点上的值。因此，此处通过将该点列分为2个，控制在中间点的值。
也就是，对于点列，不是一举地进行插补，而是夹着中间点Pc分为曲线C1和曲线C2地进行插补。在此种情况下，由于点Pc相当于端点，所以只要采用(b)的方法就能够控制值。
如此在有要控制的值的点上分开区分，控制其两端上的值，进行插补的结果，只要连接生成的曲线，理论上能够进行可在各点控制切线·法线·曲率的三维回旋插补。
(5)控制两端点上的切线、法线、曲率的三维回旋插补(a)方法的流程采用在始点·终点控制各值的三维回旋的插补法，可按图64所示的以下的流程进行。下面，沿着该流程说明。
(b-1)给出插补对象的点在本例中，给出三维空间的3点{0.0，0.0，0.0}、{5.0，5.0，10.0}、{10.0，10.0，5.0}。表27汇总列出在其它各点给出的切线、法线、曲率等的条件。
表27 插补对象各点和始点·终点的条件
(b-2)r＝4的3DDCS的生成在牛顿-拉夫申法中，在开始解的探索时需要给出适当的初始值。此处，进行得出该初始值的准备。先行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有严密地通过插补对象点，相对于从始点的移动距离曲率平稳地变化的性质。因此，在本研究中，制作如图65的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，从此处通过计算确定用于三维回旋插补的初始值。此外，图66示出实际由该点列生成的多角形，顶点的坐标列入表28。
表28 生成的多角形的顶点坐标
(b-3)初始值的确定要用牛顿-拉夫申法求解，需要确定各未知数的初始值。在本方法中，使用在(b-2)生成的多角形Q，求出各未知数的近似值，确定该值。在3D Discrete Clothoid Splines中，已经求出各顶点的弗雷涅标架。因此由在(b-2)生成的多角形Q的单位切线方向矢量t求出参数a0、b0。该切线方向矢量t在求出多角形Q时已知，通过该t和三维回旋曲线的切线的式，求出多角形Q的顶点的切线方向回旋角α、β。由此求出各曲线的a0、b0的初始值。此外，在从始点开始的三维回旋线段上，给出该值。
u=cosβcosαsinβcosα-sinα]]>此处，关于3D Discrete Clothoid Splines，如果考虑顶点以等距离排列，在图65的点q4i+1上，能够近似于曲线长变量S是1/4。同样在点q4(i+1)-1上，能够近似于曲线长变量S是3/4。如果与三维回旋曲线的α的式合在一起考虑这些，成立下式。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+14a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1]]>此式成为未知数为a14i和a24i的二维联立方程式，对其进行求解，作为参数a1、a2的初始值。同样也能够确定参数b1、b2的初始值。
其余的未知数是曲线长h，但关于其初始值可由三维回旋曲线的曲率的式算出。三维回旋曲线的曲率，可用下记表示。
κ=α′2+β′2cos2αh]]>如果改变此式，成为以下的式，可确定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)κ4(i+1)]]>用以上的方法，能够对7个三维回旋参数确定初始值。
表29示出实际用此法求出的初始值。
表29 初始值
(b-4)严密地通过各点，G2连续的三维回旋插补采用通过(b-3)确定的初始值，在达到G2连续的条件下，用牛顿-拉夫申法求出各曲线的参数的近似值。从由此得到的参数生成三维回旋线段，用三维回旋曲线插补点列间。
此处，在3点的三维回旋插补中，关于严密地通过插补对象点，并且达到G2连续的条件，考虑具体的条件。图67表示点P1、P2、P3的三维回旋插补。如果将连结点P1、P2间的曲线作为曲线C1，将连结点P2、P3间的曲线作为曲线C2，由于a01和b01是已知的，所以未知数为曲线C1的参数a11、a21、b11、b21、h1，曲线C2的参数a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12个。以后在说明中出现的文字的下标与各曲线的下标对应，作为曲线长变量S的函数，如Pxi、Pyi、Pzi、αi、βi、ni、κi，表示各曲线上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。
首先，在点P1上严密地通过插补对象点的条件，如果从三维回旋曲线的定义考虑，在给出始点时必然达成。此外，关于切线方向，由于已经作为已知的值给出，所以不特别指定在点P1上的条件。
接着，考虑点P2。点P2是曲线相互间的连接点，要达到G2连续需要位置、切线、法线、曲率连续。即在点P2上应成立的条件如下。
Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1(1)·n2(0)＝1κ1(1)＝κ2(0)最后考虑点P3。点P3是终点，由于应满足的条件只是位置、切线，所以成立以下的5个条件。此处，看作α3、β3是确定在给出的终点上的切线矢量的切线方向回旋角α、β。
Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由以上得知，对于未知数a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12个，条件式成立下记的12个。归纳成立的条件式如下。
Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1·n2＝1κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1这样一来，由于对于12个未知数成立12个式，所以能够求解。用牛顿-拉夫申法求解该式，求出解。表30列出初始值和解。
表30 初始值和解
(b-5)曲线的生成图68同时表示以在(b-4)求出的参数为基础生成的曲线和在(b-2)生成的多角形。实线的曲线是曲线C1，虚线的曲线是曲线C2。在该阶段，形成在始点·终点控制切线方向的G2连续的三维回旋曲线。
(b-6)条件式和未知数此处，另外考虑也将始点P1和终点P3上的法线和曲率确定为表27给出的值。要在始点·终点再控制法线和曲率，需要分别2个增加始点·终点上的条件。但是，在条件增加4个的状态下，从与未知数的关系考虑不能求出满足该条件的解。因此，为了使未知数和条件式的数相对，如图69所示，在曲线C1的曲线长变量S＝0.5的位置重新插入点DP1。此外，对于曲线C2，也在曲线长变量S＝0.5的位置重新插入点DP2。
此时，将连结点P1和点DP1的曲线作为曲线C’1，将连结点DP1和点P2的曲线作为曲线C’2，将连结点P2和点DP2的曲线作为曲线C’3，将连结点DP2和点P3的曲线作为曲线C’4。以后在说明中出现的文字的下标与各曲线名对应，例如作为曲线长变量S的函数，如Pxc、Pyc、Pzc、αc、βc、nc、κc，表示曲线C上的坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率。此外，在始点·终点上，在始点如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在终点如Pxe、Pye、Pze、αe、βe、ne、κe，表示坐标、切线回旋角α、β、法线、曲率以下说明在各点上成立的条件。
点P1切线、法线、曲率4个cos[αC′1(0)-αs]＝1cos[βC′1(0)-βs]＝1nC′1(0)·ns＝1κC′1(0)＝κs点DP1位置、切线、法线、曲率7个
PxC′1(1)＝PxC′2(0)PyC′1(1)＝PyC′2(0)PzC′1(1)＝PzC′2(0)cos[αC′1(1)-αC′2(0)]＝1cos[βC′1(1)-βC′2(0)]＝1nC′1(1)·nC′2(0)＝1κC′1(1)＝κC′2(0)点P2位置、切线、法线、曲率7个PxC′2(1)＝PxC′3(0)PyC′2(1)＝PyC′3(0)PzC′2(1)＝PzC′3(0)cos[αC′2(1)-αC′3(0)]＝1cos[βC′2(1)-βC′3(0)]＝1nC′2(1)·nC′3(0)＝1κC′2(1)＝κC′3(0)点DP2位置、切线、法线、曲率7个PxC′3(1)＝PxC′4(0)PyC′3(1)＝PyC′4(0)PzC′3(1)＝PzC′4(0)cos[αC′3(1)-αC′4(0)]＝1cos[βC′3(1)-βC′4(0)]＝1nC′3(1)·nC′4(0)＝1κC′3(1)＝κC′4(0)点P3位置、切线、法线、曲率7个
PxC′4(1)＝PxePyC′4(1)＝PyePzC′4(1)＝Pzecos[αC′4(1)-αe]＝1cos[βC′4(1)-βe]＝1nC′4(1)·ne＝1κC′4(1)＝κe以上，全部应成立的条件式是32个。此处，各曲线具有的回旋参数是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7个，并且，由于曲线为4根，所以未知数为28个。但是，照此一来，由于未知数和条件式的数不相等，所以不能求出解。因此作为未知数处理重新插入的2个点DP1、DP2的y、z坐标，增加4个未知数。通过这样处理，未知数、条件式都为32个，能够求出解。
(b-7)初始值的确定2为了求出满足在(b-6)中成立的条件式的解，采用牛顿-拉夫申法，但为了提高其收束率而确定未知数的初始值。作为方法，通过如图70所示在新插入的点的前后分割在(b-5)中生成的三维回旋曲线，制作4根三维回旋曲线，给出其回旋参数。
关于曲线的分割法，如果说明将曲线C1分割成曲线C’1和曲线C’2的方法，曲线C’1的回旋参数h’、a’0、a’1、a’2、b’0、b’1、b’2，采用曲线C1的参数，用下式表示。此处Sd是分割点上的曲线长变量，此处是0.5。
a0′=a0a1′=a1Sda2′=a2Sd2b0′=b0b1′=b1Sdb2′=b2Sd2h′=hSd]]>
接着考虑以分割点DP1作为始点的曲线C’2。首先，如果将大小、形状与曲线C1相同而朝向相反的曲线作为曲线C”1，该曲线的回旋参数h”、a”0、a”1、a”2、b”0、b”1、b”2，采用曲线C1的曲线的参数，用下式表示。
pS′′=p(1)a0′′=a0+a1+a2+πa1′′=-(a1+2a2)a2′′=a2b0′′=b0+b1+b2b1′′=-(b1+2b2)b2′′=b2h′′=h]]>在该曲线上，分割点DP1用DP1＝C”1(1-Sd)表示。此处，如果考虑在点DP1分割曲线C”1，以该分割的曲线中的点P2作为始点的曲线C”2，成为大小、形状与曲线C”2相同而朝向相反的曲线。能够利用生成曲线C’1的方法生成曲线C”2。此处，另外只要相对于曲线C”2生成大小、形状相同而朝向相反的曲线，就能生成曲线C2。
该曲线C2的回旋参数h”、a”0、a”1、a”2、b”0、b”1、b”2，采用曲线C0的曲线的参数，用下式表示。
a0′′=a0+a1Sd+a2Sd2a1′′=(1-Sd){a1+2a2Sd}a2′′=a2(1-Sd)2b0′′=b0+b1Sd+b2Sd2b1′′=(1-Sd){b1+2b2Sd}b2′′=b2(1-Sd)2h′′=h(1-Sd)]]>用以上的方法，能够在三维回旋曲线C1上的曲线长变量S＝0.5的点DP1，将曲线C1分割成C’1和C2。用同样的方法，也能够在曲线C2上的曲线长变量S＝0.5的点DP2，将曲线C2分割成C’3和C’4。
表31列出用该方法分割的4个曲线的参数。将该曲线的参数用于在求出满足在b-6中成立的条件式的解时所用的牛顿-拉夫申法的初始值。
表31 分割生成的曲线的参数
(b-8)求出满足条件的回旋参数以在(b-7)中确定的初始值为基础，用牛顿-拉夫申法求出满足在(b-6)中成立的条件式的解。表32是算出的各曲线的参数。此外，表33中列出给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差。
表32 生成的曲线的参数
表33 给出的值和生成的曲线的始点·终点的切线、法线、曲率的差
(b-9)曲线的生成图71表示通过在(b-8)中求出的参数生成的曲线。实线表示三维回旋曲线，虚线·一点划线·二点划线·三点划线，表示各曲线的方向在主法线方向，尺寸为半径，满足自然对数，取对数的曲率半径变化模式。此外，图72是表示从与图71的线种类对应的各曲线的始点的移动距离s和曲率κ的关系的曲线图。由图中看出，生成的曲线满足表33所给出的条件。
以上，说明了采用在两端控制切线、法线、曲率的三维回旋插补法生成曲线的例子。
3.采用三维回旋插补的数值控制方式上述的三维回旋插补曲线，有效地用于为了工作机械的工具或其它运动对象物的运动控制的数值控制信息的发生。其特征在于，能够易于速度控制，并且使速度变化平稳。
(1)采用三维回旋插补的数值控制方式采用三维回旋插补曲线的数值控制方式，由图73所示的以下顺序构成。
(a)工具运动轨迹的设计(图73，S1)利用上节所述的方法，确定满足条件的三维回旋插补曲线。在机器人等的工具工作时，能够考虑其工具的代表点(工具点，tool center point)，按时间沿着平面或空间地绘出的连续的轨迹曲线(包括直线)上移动。工具点的位置用坐标(x、y、z)表示，工作点的姿势，例如用相对于x、y、z轴的旋转角度表示。无论是怎样复杂的工作，工具点的轨迹都不会断断续续，而是连续地连接。运动控制的第1阶段在于按三维回旋曲线设计该轨迹的形状。
(b)运动曲线的吻合(图73，S2)根据来自数值控制的要求，沿着三维回旋插补曲线，指定曲线上的控制对象点的移动速度的分布。也就是，运动控制的第2阶段，是确定沿着设计的轨迹上作用的工具点的速度·加速度。其通过工具点以怎样的时间函数沿轨迹上作用，或确定工具点的速度·加速度来确定。工具点的速度·加速度，有时相对时间确定，有时随着轨迹的形状确定。一般多相对时间确定，但例如在进行曲面加工时，由于有在平坦的部分使其高速移动，在弯曲的部分使其低速移动的要求，所以随着轨迹的形状确定速度。
在本实施方式中，例如采用凸轮机构所用的特性良好的曲线。构成用笛卡尔空间(实际存在空间)定义的位置·姿势连续的曲线群，但在其一个一个曲线中应用运动曲线，指定加速度。所谓笛卡尔空间，是采用在原点相互正交的x、y、z的3轴制作的三维坐标系，不仅能够表示工具点的位置，也能表示姿势。
(c)时间分割(图73、S3)及利用笛卡尔坐标系的工具的位置·姿势的计算(图73、S3)此处，每隔计算数值控制信息的单位时间，按照控制对象指定的移动速度，算出工具点的移动位置及姿势。由于确定了轨迹和运动，所以能作为时间t的函数给出工具点的位置·姿势。由此，在按微小的时间间隔给出时间t时，能够求出相对于各个时刻的工具点的变位。(c)的计算，具体按以下进行。在现在的点上，得知位置信息或切线、曲率等的值。只要在指定的移动速度乘以单位时间，就可得知单位时间中的移动曲线长，由此能计算出移动后的曲线长参数。通过该移动后的曲线长参数，能够计算在移动后的点上的位置信息或切线、曲线等的值。
通过以上的工序，可计算相对于笛卡尔坐标系(实际存在空间)上的时间t的工具点的位置和姿势。作为变量，在三维中为(x、y、z、γ、μ、ν、θ)。但是，(γ、μ、ν、θ)是用等价旋转表示姿势E的，其中(γ、μ、ν)表示等价旋转的轴，θ表示旋转角。
此外，根据来自数值控制的要求，求出沿着三维回旋插补曲线，向法线方向只偏移规定尺寸的偏移点，将其作为刀具(工具中心的轨迹)。该计算因求出法线方向而变得容易。
(d)逆机构解(图73、S5)接着，求出给出上述的工具点的位置·姿势所需的各轴的旋转角。该过程一般称为逆机构解(inverse kinematics)。例如如果是6轴的机器人，由于有6个关节，所以通过多少度旋转肩的关节、胳膊的关节、肘的关节、手腕的关节等，确定工具点的位置·姿势。将其称为逆机构解。逆机构解，是与其相反地从空间的位置·姿势求出轴空间的旋转角θ1～θ6的。各轴的传动机构也不局限于是旋转电机，有时也可以是线性电机等直动传动机构，但在此时，需要将最低限度实际变位变换成线性电机的输入脉冲数的电子传动装置的计算。逆机构解，是机器人等机构的每种型号固有的，对于各种机器人等要单个准备解。
(e)利用轴坐标系的各轴电机变位的计算(图73、S6)就时间分割的各工具点求出逆机构解，作为各轴电机(包括直动传动机构)的变位脉冲使其整数化。在不是脉冲控制的情况下，采用各轴变位的最少分解单位(分解能)，作为相当脉冲数的被整数化的数据求出。
上述(a)及(b)是准备的顺序，只进行一次。(c)～(e)每隔指定的单位时间进行，一直进行到满足目的时间或目的的条件。
在数值控制装置中也可进行上述的全部计算，或利用另外的计算机计算及设定(a)及(b)，也能够向数值控制装置送入该曲线参数，在数值控制装置内进行(c)及(e)的计算。
(2)NC装置和CNC装置以下，说明使用独立的数值控制装置(NC装置)时的情况、和使用具有程序的作用的计算机和NC装置被一体化的CNC装置时的情况。
(a)在采用独立的NC装置时在以往的通常的NC机械中，将硬件分离成进行程序设计制作NC数据的程序装置、和采用该NC数据使机械装置工作的NC装置这两个装置。与此相反，在最近的CNC机械中，将进行程序设计的计算机设在NC装置内，成为被一体化的装置。
首先，在前者的、采用独立的装置的情况下，提出了利用三维回旋的数值控制方式。在此种情况下，在回旋数据的交接中规定采用回旋参数，在G代码中定义回旋的格式。这例如，如以下所示。
G***A0、A1、A2、B0、B1、B2、H此处，G***表示G代码的号码。A0～H表示三维回旋线段的7个参数。在执行该代码之前，工具来到P0的位置。在NC装置中采用该参数，运行计算瞬时的工具位置或工具位置的差值。将该操作称为“顺解”。在NC装置侧进行顺解的理由是为了防止数据的大量化，因此在NC装置中需要进行某种的运算。通过用G代码表现回旋，能够将回旋曲线装入已设的NC装置中。
(b)CNC方式下面叙述具有程序的作用的计算机和NC装置一体化的CNC装置。在此装情况下，有关回旋的计算用哪部分的硬件进行不成问题。此外，数据的量或输送的速度也正在解决。
一般，在该程序中，包含确定适合各个条件的回旋的参数的过程。将其称为“逆解”。在逆解中，例如，也包含给出几个离散的点列的，计算严密地通过这些点的平稳的曲线程序(自由点列插补)。此外，也多包含加工上所需的工具轨迹的确定程序(所谓CAM)。
(3)采用三维回旋插补的数值控制方式的特征在采用三维回旋插补的数值控制方式中，具有以下的优点。
(a)如上所述，由于以从基准点的曲线长作为独立参数表现曲线，所以能够生成与指定的移动速度对应的数值控制信息。在利用与曲线长无关系的独立参数表现的样条曲线等其它曲线上，即使算出移动后的点，也难算出与该点对应的独立参数的值，也不易生成与指定的移动速度对应的数值控制信息。
为了详细说明此情况，如图74所示，考虑从用样条曲线R(t)表现的轨迹上的点R0，以某一线速度使工具运动的情况。在每隔固定时间间隔算出工具的目标点时，可得知经过单位时间后的工具移动量ΔS，但由于自变量t不是涉及到时间或曲线长的参数，所以自变量的变化量Δt不能立即求出。由于在解R0+ΔS＝R(t0+Δt)的式时，如果不求出Δt，就不能算出目标点，所以每隔一定时间间隔必须重复该计算。
(b)在三维回旋曲线上，期待相对于曲线长的曲率的变化方式，近似固定不变，与此对应的数值控制信息，从运动控制的观点考虑，期待成为力学上合理的控制信息。在一般的样条插补等中，很难预测·控制曲率的变化。
(c)三维回旋曲线，作为其特殊情况，包含直线、圆弧、螺旋曲线等，能够在不装入个别的曲线式的情况下，细致地表现相对于多种曲线的数值控制信息。
(d)三维回旋曲线是不依赖坐标轴的设立方法的自然方程式。在用x、y、z轴表示曲线的以往的NC装置中，例如在倾斜加工工件时，根据工件的安装方法，有时容易加工，有时难加工。在三维回旋曲线中，由于根据线长给出曲线，所以即使在加工斜面时，只要在斜面上做成轨迹，就能够与加工水平面时同样加工。
另外，在采用本发明的、用曲线长或曲线长变量的二次式给出切线方向的倾角及偏转角各自的三维曲线(称为三维回旋曲线)，由计算机执行表现工具轨迹或工件的轮廓形状的程序时，将程序存储在计算机的硬盘装置等辅助记忆装置中，装载在主存储器中运行。此外，如此的程序，可存储在CD-ROM等可搬型记录介质中出售，或存储在经由网络连接的计算机的记录装置中，也能够通过网络传送给其它的计算机。此外，也能够将利用如此的程序得出的计算结果(三维回旋曲线的曲线参数、各轴电机的变位脉冲等)，存储在CD-ROM等可搬型记录介质中出售。
根据本发明的三维回旋曲线，能够提供一种工业制品的设计生产所需的空间曲线广泛采用的发生方法。在物体沿着空间曲线伴随加减速度运动的情况下，可进行约束力变化平稳的设计。其特征可广泛用于具有质量的机械元件的运动轨道的设计方法。本次作为设计的应用例，说明了滚珠丝杠的回归路径的设计方法，但除此以外，例如也能够用于沿着上下左右弯弯曲曲的轨道上急速行走的喷射惯性动力装置的轨道的设计方法、线性导轨等。除此以外，由于能够相对于曲线长适当设计曲率的变化，所以可有效地用于审美的意匠曲线设计等多种产业领域。
权利要求
1.一种工业制品的设计方法，其特征是采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状。
2.如权利要求1所述的工业制品的设计方法，其特征是所述工业制品是包含使具有质量的机械元件运动的机构的机械，采用所述三维曲线(称为三维回旋曲线)设计所述机械元件的运动的轨道。
3.如权利要求2所述的工业制品的设计方法，其特征是所述机械是作为所述机械元件包含使滚珠运动的机构的螺丝装置；所述螺丝装置具备在外周面具有螺旋状的滚动体滚道槽的丝杠轴；在内周面具有与所述滚动体滚道槽对置的负荷滚动体滚道槽，同时具有连接所述负荷滚动体滚道槽的一端和另一端的回归路径的螺母；和排列在所述丝杠轴的所述滚动体滚道槽和所述螺母的所述负荷滚动体滚道槽的之间及回归路径上的多个滚动体，采用所述三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计所述螺丝装置的所述回归路径。
4.如权利要求1～3中任何一项所述的工业制品的设计方法，其中按以下式定义所述三维回旋曲线，[数式126]P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,0≤s≤h,0≤S=sh≤1---(1)]]>u=EkβEjα(i)=cosβsinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式127]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值，将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h，用S表示用h除s的值，S是无纲量的值，将其称为曲线长变量，i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量，u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转，将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转，式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
5.如权利要求4所述的工业制品的设计方法，其特征是在三维坐标内指定多个空间点，通过采用所述三维回旋曲线插补这些空间点，设计所述工业制品的形状。
6.如权利要求5所述的工业制品的设计方法，其特征是以在所述多个空间点，用一个三维回旋线段(构成通过插补生成的曲线群的单位曲线)和下个三维回旋线段(构成通过插补生成的曲线群的单位曲线)，连接两者的位置、切线方法、法线方向及曲率的方式，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
7.如权利要求6所述的工业制品的设计方法，其特征是指定所述多个空间点中的始点及终点的切线方向、法线方向及曲率，在预先指定的所述空间点间重新插入插补对象，从而，使将所述始点及所述终点的切线方向、法线方向及曲率的条件式、和用所述多个空间点上的一个三维回旋线段和下个三维回旋线段使两者的位置、切线方向、法线方向及曲率连续的条件式进行加运算的条件式的数，与所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的未知数一致；通过使条件式和未知数的数一致，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
8.一种工业制品，用如权利要求1～7中任何一项所述的工业制品的设计方法设计。
9.一种程序，用于为了设计工业制品的形状，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状的手段而发挥作用。
10.一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序，该程序用于为了设计工业制品的形状，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计工业制品的形状的手段而发挥作用。
11.一种数值控制方法，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状，通过该三维曲线控制工具的运动。
12.如权利要求11所述的数值控制方法，其中按以下式定义三维回旋，[数式128]P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,0≤s≤h,0≤S=sh≤1---(1)]]>u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式129]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值，将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h，用S表示用h除s的值，S是无纲量的值，将其称为曲线长变量，i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量，u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转，将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转，式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在i轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
13.一种数值控制装置，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状，通过该三维曲线控制工具的运动。
14.一种程序，用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段而发挥作用。
15.一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段而发挥作用。
16.一种数值控制方法，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(三维回旋线段)，插补在三维坐标内任意给出的点列间，通过该三维回旋线段控制工具的运动。
17.一种数值控制方法，其中，将切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(三维回旋线段)连接多根，通过该多根三维回旋线段控制工具的运动。
18.如权利要求16或17所述的数值控制方法，其中按以下式定义三维回旋曲线，[数式130]P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,0≤s≤h,0≤S=sh≤1---(1)]]>u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosαsinα---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式130]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值，将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h，用S表示用h除s的值，S是无纲量的值，将其称为曲线长变量，i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量，u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转，将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转，式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
19.如权利要求18所述的数值控制方法，其特征是在一个三维回旋线段和下个三维回旋线段的接头上，以两者的位置、切线方向(及根据情况曲率)连续的方式，算出所述三维回旋线段的7个参数a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
20.一种数值控制装置，其中，采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间，通过该三维回旋线段控制工具的运动。
21.一种程序，用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间的手段而发挥作用。
22.一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，使计算机作为采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回旋线段，插补在三维坐标内任意给出的点列间的手段而发挥作用。
23.一种数值控制方法，其中采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置，此处，所谓运动指的是作为时间的函数变化的位置信息。
24.如权利要求23所述的数值控制方法，其中按以下式定义三维回旋曲线，[数式132]P=P0+∫0suds=P0+h∫0SudS,0≤s≤h,0≤S=sh≤1---(1)]]>u=EkβEjα(i)=cosβ-sinβ0sinβcosβ0001cosα0sinα010-sinα0cosα100=cosβcosαsinβcosα-sinα---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此处，[数式133]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分别表示三维回旋曲线上的点的位置矢量及其初始值，将从始点的曲线的长度设为s，将其总长(从始点到终点的长度)设为h，用S表示用h除s的值，S是无纲量的值，将其称为曲线长变量，i、j、k分别是x轴、y轴及z轴方向的单位矢量，u是表示点P上的曲线的切线方向的单位矢量，由式(2)给出，Ekβ及Ejα是旋转矩阵，分别表示k轴系的角度β的旋转及j轴系的角度α的旋转，将前者称为偏转(yaw)旋转，将后者称为倾斜(pitch)旋转，式(2)，表示通过首先使i轴向的单位矢量在j轴系只转动α，而后，在k轴系只转动β，得到切线矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常数。
25.一种数值控制装置，其中采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置，此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
26.一种程序，用于为了数值控制工具的运动，而使计算机作为以下手段发挥作用采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动的手段；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置的手段，此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
27.一种计算机可读取的记录介质，在其上记录程序或由该程序得出的计算结果，该程序用于为了数值控制工具的运动，而使计算机作为以下手段发挥作用采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维回曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状的手段；指定沿着所述三维曲线移动的工具的运动的手段；按照指定的运动，按每单位时间算出工具的移动位置的手段，此处，所谓运动，指的是作为时间函数变化的位置信息。
全文摘要
A.采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，设计机械元件的运动的轨道。B.采用切线方向的倾角及偏转角分别由曲线长或曲线长变量的二次式给出的三维曲线(称为三维回旋曲线)，表现工具轨迹或工件的轮廓形状，通过该三维曲线控制工具的运动。
文档编号G05B19/41GK1934512SQ20058000605
公开日2007年3月21日 申请日期2005年2月14日 优先权日2004年2月27日
发明者木村文彦, 牧野洋, 松尾芳一 申请人:Thk株式会社