专利名称：优化过采样离散傅立叶变换滤波器组的操作的系统和方法
技术领域：
本发明总体上涉及数字滤波器，更具体地说，涉及到用于优化过采样(oversample)离散傅立叶变换(DFT)滤波器组的操作的系统和方法。
背景技术：
在很多数字处理应用中(例如，数据压缩和子带自适应滤波)，调制滤波器组已经成为一种基本的工具，这主要是因为利用众所周知的离散余弦变换(DCT)或离散傅立叶变换(DFT)进行信号变换，它们可以有效地被实现为多相数字有限脉冲响应(FIR)滤波器。调制滤波器组已经被现代多媒体标准所采用，这些多媒体标准包括运动图像专家组(MPEG)标准(参见，例如，http://www.mpeg.org)，它是当前所用的最成功的信号处理方案之一。
临界采样调制滤波器组总体上已被证明能很好地适用于信号压缩应用，其中处理子带取样仅涉及到量化系数，这是由于少量的处理不会显著增大相邻频带之间的混叠。但是，对于需要大量子带采样处理的应用，例如，子带自适应滤波(参见Haykin所著“Adaptive FilterTheory”，4th edition，Prentice Hall，2002的第7章)，和子带动态范围压缩(参见Brenna，et al.“A Flexible Interbank Structure for ExtensiveSignal Manipulations in Digital Hearing Aids，”IEEE InternationalSymposium on Circuits and Systems(ISCAS)，vol.6，pp.569-572，1998)，需要进行过采样以减轻混叠。
调制滤波器组通常利用两个窗口进行操作分析窗口和综合窗口。这些窗口的相对布置和形状决定了调制滤波器组的操作。Portnoff，“Time-Frequency Representation of Digital Signal and Systems Based onShort-Time Fourier Analysis，”IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，Vol.ASSP-28，No.1，pp.55-69，February 1980(并入此处作为参考)阐述了均匀DFT滤波器组并描述了针对它的本领域中是熟知的“完全重构条件”。(本领域技术人员会理解“完全”一词是技术术语，并不意味着通俗意义上的绝对完美。)Crochiere，“AWeighted Overlap-Add Method of Short-Time Fourier Transform，”IEEETransactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，Vol.ASSP-28，No.1，pp.99-102，February 1980提出了利用综合窗口重叠相加技术来相对有效地执行DFT滤波器组。后续的著作(例如，Shapiro，et al.“Design of Filters for the Discrete Short-Time Fourier TransformSynthesis，”IEEE International Conference on Acoustics，Speech，andSignal Processing(ICASSP)，1985；Shapiro，et al.“An AlgebraicApproach to Discrete Short-Time Fourier Transform Analysis andSynthesis，”ICASSP，pp.804-807，1984和Bolsckei，et al.“OversampledFIR and IIR Filter Banks and Weyl-Heisenberg Frames，”ICASS P，Vol.3，pp.1391-1394，1996)阐述了这种综合窗口的设计。尽管这种综合窗口的设计问题相对比较陈旧，但这些著作中所公开的技术一般都是“最小范数”解。例如，上述Shapiro等人的“Design ofFilters...”和Shapiro等人的“An Algebraic Approach...”均在处理子带采样时且在将问题用公式表示为最小二乘方问题后提出针对不同分析窗口阶数的最小范数解。在上述Bolsckei等人的著作中描述了利用仿酉原型来设计综合窗口的框架-理论技术。
因此，在本领域所需要的是更好的技术来优化过采样DFT滤波器组的操作。在本领域还需要的是利用该技术进行优化从而能得到改进的操作的DFT滤波器组。
发明内容
为了解决上述的现有技术的缺点，在一个方面，本发明提供了用于优化过采样滤波器组的操作的系统。在一个实施例中，该系统包括(1)零空间生成器，其被配置为基于过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底，和(2)优化器，其与所述零空间生成器相关联并被配置为利用所述基底和优化准则来构建过采样滤波器组的第二窗口。
在另一个方面，本发明提供了一种用于优化过采样滤波器组的操作的方法。在一个实施例中，该方法包括(1)基于过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底，和(2)利用所述基底和优化准则来构建过采样滤波器组的第二窗口。
在另一个方面，本发明提供了一种过采样DFT滤波器组。在一个实施例中，该DFT滤波器组包括多个低通滤波器，其被配置为部分地基于描述第二窗口的系数来处理输入信号以产生输出信号，所述第二窗口通过以下过程来设计(1)基于过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底，和(2)利用所述基底和优化准则来构建所述第二窗口。
前述内容概述了本发明的优选和可替代特征，从而使相关领域的技术人员可以更好地理解下面对本发明的详细说明。在下文中会描述本发明的附加特性，其构成本发明的权利要求的主体。相关领域的技术人员应了解他们可以很容易地使用已公开的概念和特定的实施例，以作为基础来设计和修改其它结构来实现本发明的相同意图。相关领域的技术人员还应认识到这种等价构建并不偏离本发明的思想和范围。
图1图示说明了过采样滤波器组的示意图，其中下采样(downsampling)因子小于滤波器组中的频带数量，且其依照本发明的原理进行构建；
图2图示说明了具有截至频率为2π/M的零相位低通滤波器的图形，该低通滤波器是用凯泽(Kaiser)窗口加窗设计的；
图3图示说明了针对图2中的分析窗口的不同阶数综合窗口的重构均方误差的图形；
图4图示说明了最小阶数综合窗口的图形；
图5A和图5B分别图示说明了Lf＝56时综合窗口和最小范数综合窗口的时间和频率响应；
图6A和图6B分别图示说明了Lf＝96时综合窗口和最小范数综合窗口的时间和频率响应；
图7A和图7B分别图示说明了对应于正弦和白噪声模板的最小二乘方综合窗口；
图8图示说明了依照本发明的原理实现的优化过采样滤波器组的操作的方法的一个实施例的流程图；
图9图示说明了针对舍入解和最小量化误差解的重构信噪比(SNR)的图形；和
图10图示说明了用于优化过采样滤波器组操作的系统的一个实施例的简图，该过采样滤波器组在数字信号处理器(DSP)中执行并依照本发明的原理进行构建。
具体实施例方式
如相关领域技术人员所理解的并如上面所述，过采样滤波器组具有分析窗口和综合窗口。分析窗口一般被设计为满足一个或多个预先定义的准则，这些准则与滤波器组要投入的应用相关。几乎总是基于分析窗口的设计对综合窗口进行设计。这里会介绍一种已知分析窗口可以设计综合窗口的新的通用公式表示。该通用公式表示利用完全重构条件矩阵的零空间来确定最优的综合窗口设计，它与传统技术形成鲜明对比，传统技术一律关注于综合窗口的“最小范数”解。本发明会公开综合窗口的不同优化准则，且提出不同优化准则的显式闭合形式解。
在这里会关注于满足完全重构条件的综合窗口设计技术。这里使用上述Portnoff和上述Shapiro等的“Design of Filters...”中所述的代数方法，而不是框架-理论方法，因为它对下面将要提出的优化目标函数更具说明性。
过采样产生能够以不同的方式利用的额外自由度。特别地，过采样可以生成完全重构条件矩阵的非零零空间。可以利用这一零空间来优化不同准则的目标函数而不必牺牲完全重构。将针对以下优化准则来描述综合窗口设计的闭合形解 1.最小延迟设计。最小延迟设计产生由执行综合窗口产生的最小的输出滞后，并表示需要最少计算资源的最小阶数滤波器。
2.最小带外设计。最小带外设计产生最好的频率选择性。
3.最小二乘方设计。最小二乘方设计产生最接近给定模板的综合窗口。
4.最小量化误差设计。最小量化误差设计使针对定点执行的量化误差最小化。
首先回顾完全重构条件。然后描述针对综合窗口，利用最小范数解和完全重构条件矩阵的零空间基底的通用优化模型。接下来，会提出不同的优化准则以及利用模板低通分析窗口给出的每个准则的示例。
优化模型
图1图示说明了过采样滤波器组100的示意图，其中下采样(downsarnpling)因子D小于滤波器组中频带(例如，110，120，130)的数量M，且其依照本发明的原理进行构建。滤波器组100是所谓的“完全重构(PR)”滤波器组，也就是说滤波器组100通过以下过程来操作通过滤波和二次采样来分解输入信号X(z)140，然后通过插入零、滤波和求和来进行重构以产生输出信号
(z)150。针对PR滤波器组的总体讨论，参见，例如，http://cas.ensmp.fr/～chaplais/Wavetour_presentation/filtres/Perfect_Reconstruction.html。
如果H(z)和F(z)分别代表原型分析和综合滤波器，则第k个频带分析和综合滤波器为 和 也就是说，假设support(h(n))∈[-Lh，Lh]和support(f(n))∈_-Lf，-Lf_，则有和重构信号
(z)具有如下形式 其中 其中l＝0，1，...D-1 (2)
依照上述Portnoff，针对完全重构的必要和充分条件分别为 1.完全重构条件 其中0≤n≤D-1，和(3) 2.混叠消除条件 其中0≤n≤D-1(4)
接下来，将会使用更具说明性的不同(但等价)的完全重构条件。由方程(1)和(2)可导出如下形式的完全重构条件 Al(z)=δ[l]
这一条件可以表达为 其中
其中且
且 其中且
换句话说 其中0≤l≤D-1且
可以很直观地看出两种完全重构条件的等价性。由方程(5)可知，存在总的
条件。一些条件(在滤波器边缘)可以是相关的。完全重构条件可以写成如下的矩阵形式 H·f＝z(6) 其中f＝[f(-Lf)，f(-Lf+1)，...f(0)，...f(Lf)]为综合窗口，HD(1+2·_(Ll1+Lf)/M_)×(2Lf+l)为条件矩阵(其根据方程(5)中的条件来构建)，z＝[D/M，0，0，...0]。注意到
最小范数解
计算为 其中H#为条件矩阵H的伪逆矩阵(参见，例如，Golub，et al.MatrixComputation，3rd edition，The John Hopkins University Press，1996的第5章)。H的零空间的维数是 K＝2Lf+1-rank(H)
如果该零空间的基底是{vl}i＝l:K，则满足完全重构条件的综合窗口f的通用公式为 其中{ci}i＝l:K为标量。方程(9)代表下面将使用的优化的总模型。
H的零空间中的向量都不干扰方程(5)所提出的完全重构条件。因此，该零空间中的任何向量v满足如下条件 其中0≤l≤D-1且
在以上讨论中没有对h的结构进行假设。事实上，即使h为任意向量，上述完全重构公式仍然适用。但是，在大多数实际应用中，h是带宽为2π/M的低通滤波器。
注意到在方程(5)中所提出的完全重构条件中，h和f可以互换而不影响完全重构，亦即，可以首先设计综合窗口，然后利用几乎相同的程序选择满足完全重构条件的分析窗口。
优化准则
现在描述用于构建满足方程(9)的综合窗口f的各种优化准则。利用每一准则，目标是寻找方程(9)中优化某一目标函数的{ci}i＝l:K。只要条件矩阵H的非零零空间存在，则这种优化就是可能的。通过如下所述降低综合窗口的阶数而非优化其设计，可以充分利用冗余。可以利用方程(9)所述的模型将这里描述的优化示例扩展到其它滤波器设计优化中。
为了更好地说明不同优化准则，每个准则都将包含设计示例。在所有这些示例中，可以使用以下滤波器组参数设置M＝32、D＝8和Lh＝64。该分析窗口如图2所示，即截止频率为2π/M的零相位低通滤波器曲线200是采用凯泽(Kaiser)窗口加窗设计的。
最小阶数解
综合窗口的最小阶数直接与条件矩阵H的秩相关。如果综合窗口的阶数等于rank(H)，H为满秩方阵，则我们只有一个解，亦即，通过降低该窗口的阶数而非如方程(9)所示优化设计来充分利用冗余。因此综合窗口的最小阶数满足以下条件
向最近上整数(the nearest upper integer)(其可能导致H的零空间的维数增加为一)进行估计和近似。进行近似后，H#＝H-1，且H的零空间仅含有零向量。更长的综合窗口导致更大的零空间维数，其允许更多的自由度。所有后续的优化准则都假设综合窗口的阶数大于
如果阶数小于
，就不再可能进行完全重构。但是，针对给定的阶数，方程(6)的最小二乘方解产生最有可能的重构。图3示出了针对图2中的分析窗口不同阶数的综合窗口的重构均方误差曲线300，其中
对于最小阶数综合窗口，
图4示出了综合窗口400。在这种情况下，零空间的维数为1(由于正向整数近似)。
对于因果系统，最小阶数解等价于最小延迟解，它是在很多实时应用，如子带自适应滤波中所需的特性。
最小范数解
注意到方程(9)中的{vi}i＝l:M与H#的列正交。所以有
因此，最小范数解为
C.最小带外能量解
如果利用低通滤波器原型，则分析/综合窗口的带宽为2π/M。如果f的DFT表示为f(ejω)，则目标函数变为
如果每个基向量vi的DFT为Vi，则由方程(9)可得到下式
假设该DFT的长度为N，仅保留前N/2+1个分量(由于实值对称性)，亦即，F、F#和{Vi}是大小为N/2+1的阵列。
如果A是大小为(N/2+1)×(N/2+1)的对角矩阵，从而当时ai,i＝0，否则ai,i＝1，V(N/2+1)×K是以{Vi}为其列的矩阵且c＝[c1，...cM]T，则目标函数可以近似为 和 ＝F#H·A·F#+bH·c+cH·b+cH·G.c 其中b＝VHAF#且G＝VHAV。对c进行微分可得到
因此在这种情况下最优解为
注意到VHAV为K×K矩阵，使VHAV具有满秩的必要条件是
最小带外功率设计可以通过Lf＝56和Lf＝96的两个示例进行说明。图5A和图5B示出了上，Lf＝56的最小范数综合窗口相比较的综合窗口的时间和频率响应，而图6A和图6B示出了Lf＝96的最小范数综合窗口相比较的综合窗口的时间和频率响应。图5A、5B、6A和6B显示出带外功率降低超过30 dB。这一显著降低导致更好的频率选择性窗口，这是实际应用中所需要的特性，在这些应用中原始信号通常含有噪声。
最小二乘方解
在这种情况下，目标是最小化综合窗口和窗口模板g之间的差异，亦即，目标函数为 min||f-g||2(14) 如果 Λ(2L-1)×K＝(v1，v2，...vK)(15) 价值函数具有以下形式 J(c)＝(f#+Λc-g)H·(f#+Λc-g) 因此 所以，在这种情况下最优解为 注意到ΛHΛ＝I且ΛH·f#＝0(因为f#是H的行空间)，上面的关系就可以简化为
为了说明最小二乘方解的重要性，在两个极端示例中选择与f#明显不同的模板g。在第一示例中，g被选择为正弦波。在第二示例中，g被选择为任意序列。在图7A和图7B中图示说明了所产生的综合窗口。在两个示例中，Lf＝96。
最小量化误差解
在实际应用中，会利用有限精度算法来执行综合窗口。因此，系数量化误差是重要的设计准则。现在要考虑对f中的每个分量进行最佳量化(到上整数或下整数)(upper or lower integer)，从而使整体量化误差最小化。换句话说，可以检查现有解f附近的最佳量化解。在这种情况下目标函数为 min‖Q(f)‖2(17) 其中Q(·)为量化误差函数，其被定义为 Q(f)＝f+Λ·c-(_f_+α)(18) 且其中_·_为下取整函数(floor integer function)，Λ如方程(15)中所定义，α是代表量化近似的长度为(2Lf-1)的二元向量，亦即，如果Q(fi)＝_fi_，则αi＝0，而如果
则αi＝1。注意到方程(18)含有两个未知向量c和α。如果e表示初始量化误差，则 e＝f-|f|
目标函数可以写成如下形式 min‖Λ·c+(e-α)‖2(19)
对任意值的α，可得到方程(19)的最小二乘方解的c值为
因此，方程(19)的目标函数可以写成如下形式 (e-α)H·P·(e-α)(20) 其中P＝(I-ΛΛH)H(I-ΛΛH)。这是用二次目标函数进行整数编程的问题。可以利用模拟退火技术(参见，例如Rardin，Optimization in OperationsResearch，Prentice Hall，1998的第12章，其并入此处作为参考)来解决这一问题。Rardin公开的该模拟退火技术具有如下7个步骤 1.用可能解α(0)开始计算出目标函数的相应值。设这一数值为暂时解(incumbent solution)
和中心解(pivot solution)
2.定义导致另一个可能解的所有可能步长(move)的集合Ω。
3.任意选择一个步长Δα(t)∈Ω，计算新解并计算新的目标函数obj(t)。
4.如果Δα以概率e(obj(t)-obj(t-1)/q改进暂时解(其中q为运算参数)，设 5.如果obj(t)优于暂时解，设 6.在进行充足次数的迭代之后降低q。
7.当t≤tmax时重复以上过程。
可以将Ω中的任何步长的最大权重限制到例如5。初始解被设置为舍入解，例如，α(0)＝|f+0.5|-|f|。
在一个实施例中，可以对该模拟退火技术进行稍微修改，从而一旦在步骤(5)中发现新的最优解，则在从移动列表中任意选择之前，在汉明(Hamming)距离为1的范围内的所有相邻解都会被检查到。
尽管上面的说明非常关注于DFT滤波器组，但本发明的原理很容易应用于其它类型的过采样滤波器组。条件矩阵具有不同的结构，但可以充分利用由过采样所导致的冗余而不偏离本发明的范围。
图8图示说明了依照本发明的原理来实现的优化过采样滤波器组操作的方法的一个实施例的流程图。本方法开始于起始步骤。在步骤810中，基于过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间。在步骤820中，利用所述零空间和优化准则来构建过采样滤波器组的第二窗口。在步骤830中，将描述第一和第二窗口的滤波器系数储存于和DSP相关联的存储器中。然后该滤波器系数可被用于和DSP相关联的滤波器组中。本方法结束于结束步骤。
图9图示说明了本发明所公开实施例与舍入解(其按照惯例被用于定点系统)相对比的性能。测试数据是具有单位方差的任意信号。迭代次数(tmax)等于105，Lf＝96。图9显示出性能可以改进高达18dB而不需要增大分辨率。这等价于向DFT滤波器组增加3比特的分辨率。
图10图示说明了系统(总体标示为1000)的一个实施例的简图，其用于优化执行于DSP(总体标示为1010)中的过采样滤波器组的操作，且依照本发明的原理被构建。过采样滤波器组包含多个低通滤波器(未图示于图10中，图示于图1中)，其被配置为部分基于描述第一窗口的系数并部分基于描述第二窗口的系数来处理输入信号以产生输出信号。第一窗口可以是分析窗口，第二窗口可以是综合窗口。
系统1000中的零空间生成器1020被配置为基于第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间基底。优化器1030与零空间生成器1020相关联。优化器1030被配置为利用基底和优化准则来构建第二窗口。这一过程的结果是使产生的多个滤波器系数被储存于和DSP 1010相关联的存储器1040中。然后使得这些滤波器系数在DSP 1010的操作过程中可从存储器1040中取出而用于过采样滤波器组1050。
尽管已对本发明进行了详细的描述，但相关领域的技术人员应该理解他们可以对这里描述的示例性实施例作出变化、替代和更改，而不偏离以最广泛形式要求保护的本发明的范围。
权利要求
1.一种优化过采样滤波器组的操作的方法，其包含
基于所述过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底；和
利用所述基底和优化准则来构建所述过采样滤波器组的第二窗口。
2.根据权利要求1所述的方法，其中所述过采样滤波器组为过采样离散傅立叶变换滤波器组。
3.根据权利要求1所述的方法，其中所述过采样滤波器组包含低通滤波器。
4.根据权利要求1所述的方法，其中所述第一窗口为分析窗口而所述第二窗口为综合窗口。
5.根据权利要求1所述的方法，其中所述优化准则是从下列各项组成的组中选出的
最小阶数设计准则，
最小范数设计准则，
最小带外能量设计准则，
最小二乘方设计准则，和
最小量化误差设计准则。
6.根据权利要求1所述的方法，其中利用步骤包含利用模拟退火技术来构建所述第二窗口。
7.根据权利要求1所述的方法，其中所述第二窗口f具有通用公式且所述利用步骤包含对{ci}i＝l:K应用所述优化准则。
9.一种包括过采样离散傅立叶变换DFT滤波器组的装置，其包含
多个低通滤波器，其被配置为部分基于描述第二窗口的系数来处理输入信号以产生输出信号，所述第二窗口通过以下步骤来设计
基于所述过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底；和
利用所述基底和优化准则来构建所述第二窗口。
10.根据权利要求9所述的DFT滤波器组，其中所述第一窗口为分析窗口而所述第二窗口为综合窗口。
11.根据权利要求9所述的DFT滤波器组，其中所述优化准则是从下列各项组成的组中选出的
最小阶数设计准则，
最小范数设计准则，
最小带外能量设计准则，
最小二乘方设计准则，和
最小量化误差设计准则。
12.根据权利要求9所述的DFT滤波器组，其中所述优化器利用模拟退火技术来构建所述第二窗口。
13.根据权利要求9所述的DFT滤波器组，其中所述第二窗口f具有通用公式且所述优化器对{ci}i＝l:K应用所述优化准则。
14.根据权利要求9所述的DFT滤波器组，其中所述DFT滤波器组是在数字信号处理器中执行的。
15.一种包括根据权利要求8-14中任一项所定义的过采样滤波器组的装置，其进一步包含
零空间生成器，其被配置为基于所述过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间的基底；和
优化器，其与所述零空间生成器相关联并被配置为利用所述基底和优化准则来构建所述过采样滤波器组的第二窗口。
全文摘要
用于优化过采样滤波器组(100)的操作的系统和方法，由该系统或该方法设计的过采样离散傅立叶变换(DFT)滤波器组。在一个实施例中，该系统包括(1)零空间生成器，其被配置为基于过采样滤波器组的第一窗口产生完全重构条件矩阵的零空间基底，和(2)优化器，其与所述基底生成器相关联并被配置为利用所述零空间和优化准则来构建过采样滤波器组的第二窗口。
文档编号G06F17/14GK101233506SQ200680027443
公开日2008年7月30日 申请日期2006年7月31日 优先权日2005年7月29日
发明者M·F·曼苏尔 申请人:德克萨斯仪器股份有限公司