一种新的对偶拉普拉斯算子的制作方法
【专利摘要】本发明公开一种新的对偶拉普拉斯算子，属于图形学领域。本发明根据法向对网格表面特征比较敏感的特点，将顶点坐标从三维扩展到六维，然后计算出新的对偶拉普拉斯算子。其步骤为：(1)计算原始网格的对偶网格；(2)使用每个网格顶点的法向，将顶点坐标由三维扩展到六维，从而把(1)所得对偶网格扩展到六维空间；(3)在六维空间中，对偶网格上每个顶点的1邻域结构的四面体，把其高向量作为该顶点的拉普拉斯坐标；(4)计算六维空间中，每个网格顶点的拉普拉斯系数，从而得到新的对偶拉普拉斯算子。与使用传统的拉普拉斯算子相比，使用该算子时可在不增加额外计算量的前提下，更好的保持网格的特征。
【专利说明】一种新的对偶拉普拉斯算子
【技术领域】
[0001 ] 本发明涉及数字几何处理技术，属于计算机图形学领域。
【背景技术】
[0002]随着三维扫描和相关技术的进步，三维数字几何模型已成为一种新兴的数字媒体，在三维游戏，计算机动画，电影特效，工业造型设计，计算机仿真以及数字文化遗产保护等方面取得了日益广泛的应用。针对这类数据进行高效的处理，也成为计算机图形学的研究热点，即数字几何处理技术。
[0003]离散拉普拉斯算子可以看作是光滑曲面上的拉普拉斯算子在网格模型上的线性逼近，在数字几何处理中有着广泛的应用，比如网格光顺、网格参数化、模型分析及模型变形等。各种离散化的拉普拉斯算子，包括均匀拉普拉斯算子，余切拉普拉斯算子，中值拉普拉斯算子和对偶拉普拉斯算子等已经得到了广泛的使用。然而，已有的拉普拉斯算子只能在一定程度上保持模型细节，某些特征细节仍然会在处理过程中被破坏。
【发明内容】
[0004]本发明公开一种新的对偶拉普拉斯算子，其目的是将其用于数字几何处理时能更好的保持网格的特征细节。其基本思想如下:
[0005]在三角网格模型中，一个三角形有三个邻接三角形(边界三角形少于三个)。因此，在对偶网格(对偶网格上一个顶点对应原始网格中一个三角形)上，一个网格顶点有三个邻接顶点，因此对偶网格中一个网格顶点与其三个邻接顶点(以下简称1-邻域结构)刚好组成一个四面体，这比原始网格中的1-邻域结构要简单得多。从而，可以比较容易的计算拉普拉斯坐标。据我们所知，已有文献提出使用对偶拉普拉斯坐标，就是在对偶网格上，利用某顶点1-邻域四面体的高向量作为该顶点的拉普拉斯坐标。本发明提出的新的对偶拉普拉斯算子也是从对偶网格上求得，但是与已有方法不同的是，新方法把每个顶点的单位法向纳入进来，将对偶网格从三维空间扩展到六维空间，然后在六维空间计算得到新的对偶拉普拉斯算子。
[0006]本发明的具体内容主要包括:
[0007](I)计算原始网格的对偶网格；
[0008](2)把每个网格顶点的法向纳入进来，顶点坐标由三维扩展到六维，从而将⑴中所得对偶网格扩展到六维空间；
[0009](3)在六维空间中，对偶网格上每个顶点的I邻域结构的四面体，把其高向量作为该顶点的拉普拉斯坐标；
[0010](4)计算六维空间中，每个网格顶点的拉普拉斯系数，从而得到新的对偶拉普拉斯算子。
[0011]本发明公开的新的对偶拉普拉斯算子一经计算得到，便可方便的用于各种数字几何处理中，与传统的离散拉普拉斯算子应用方式相同，也不会增加额外的计算量。【专利附图】
【附图说明】
[0012]为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做简单的介绍
[0013]图1本发明实现方法的流程图。
[0014]图2对偶网格中的1-邻域结构示意图。
[0015]图2同时用来表示三维空间和六维空间中的1-邻域结构示意图，字母上方带的表示在三维空间中，而带“~”的表示在六维空间，比如A是对偶网格上的一个顶点，而A是其在六维空间中的对应顶点。类似的还有，j e {1,2,3}是.Ρ,的三个邻接点，三个点组成一个三角形戏A2U是从^到三角形作垂线的垂足，>?,是该面的法向，咕是四面体以^,,K3为底的高向量。
【具体实施方式】
[0016]下面将结合本发明的附图，对本发明的新的对偶拉普拉斯算子的主要计算步骤进行详细的介绍: [0017]I)计算对偶网格
[0018]给定三角形网格M = (V，Ε，F)，首先得到其对偶网格A = #,左，户)，其中，是对偶网格的顶点集合，是由原始网格中所有三角形面片的重心组成是对偶网格的边集合，原始网格中共享一条公共边的两个三角形的重心连接起来得到一条边，如此得到所有的网格边是对偶网格的面集合，对偶网格中的面与原始网格中的点相对应，因此，面的边数与原始网格中对应顶点的度数相同。形式上，从V到々的转换可以用下式表示
[0019]V = DV
[0020]其中，D是由点-面邻接矩阵得到的满秩矩阵，并逐行进行了单位化使每行的总和为I。对偶网格中，一个值得注意的重要特性就是每个顶点的度为3，因此，如果四个点不在一个平面上，那么对偶网格中每个顶点的1-邻域结构实质上可以组成一个四面体(参见图2)。
[0021]2)扩展到六维空间
[0022]得到对偶网格以后，再将对偶网格从三维空间扩展到六维空间。因为原始网格的三角形面片和对偶网格的网格顶点是一一对应的，因此，我们将对偶网格中的每个顶点映射到六维空间中的一个顶点A =化，Α)。其中，w是非负常数权j是原始网格中对应^的三角形面片fi的单位法向。合适的W数值的确定可由实验确定。
[0023]3)六维空间中的对偶拉普拉斯坐标
[0024]如图2所示，对偶网格上每个顶点可以由其邻接的三个顶点L，j e {1,2,3}确定一个平面，夺是从^到三角形彳,?3作垂线的垂足，&是该面的法向，Ili是以砣,?，3为底面四面体的高，那么咕是四面体以戎AA3为底的高向量，它们满足如下关系
[0025]
【权利要求】
1.提出一种新的对偶拉普拉斯算子，其特征在于:新的对偶拉普拉斯算子的计算包括如下步骤:(1)计算原始网格的对偶网格；(2)把每个网格顶点的法向纳入进来，顶点坐标由三维扩展到六维，从而将(I)中所得对偶网格扩展到六维空间；(3)在六维空间中，对偶网格上每个顶点的I邻域结构的四面体，把其高向量作为该顶点的拉普拉斯坐标；(4)计算六维空间中，每个网格顶点的拉普拉斯系数，从而得到新的对偶拉普拉斯算子。
2.根据权利要求1所述新的对偶拉普拉斯算子，其特征在于:所述计算步骤第(3)步，在六维空间中，将对偶网格上每个顶点^与其3个邻接顶点^,#,,2^,3构成的四面体底面△^3的高向量λ,?,作为该顶点的对偶拉普拉斯坐标。
3.根据权利要求1所述新的对偶拉普拉斯算子，其特征在于:所述计算步骤第(4)步关于六维空间中拉普拉斯系数的计算，具体分析及计算方法如下: 三维空间中，我们可以很容易的运用叉乘运算得到四面体底面三角形的法向，从而，求得底面上的垂足，得到高向量，进而得到对偶拉普拉斯坐标，但是，在六维空间中进行的，两个六维向量是无法做叉乘运算的，因此，用如下方法来求解六维空间中四面体的高向量:四面体的底面确定一个平面，该平面的表达式如下
【文档编号】G06T17/30GK103871105SQ201210524729
【公开日】2014年6月18日 申请日期:2012年12月10日 优先权日:2012年12月10日
【发明者】何军, 张彩明, 李莉, 张云峰, 郭强 申请人:山东财经大学