本发明涉及核磁共振技术领域，特别涉及一种轴向梯度线圈设计中磁场与电感值的快速计算方法。
背景技术：
梯度线圈是与超导磁体、射频线圈并列的核磁共振系统的关键部件之一。一个核磁共振系统中，包含三个梯度线圈，分别在三个正交方向提供随空间坐标线性变化的磁场。其中两个提供横向梯度磁场的梯度线圈称作横向线圈，提供纵向梯度场的梯度线圈称为纵向线圈。对于圆柱式梯度线圈，纵向线圈也称为轴向线圈。
目前设计梯度线圈存在多种方法。一种方法是采用模拟退火、遗传算法等非线性算法设计。这种算法的优点是能优化非线性问题，因而在梯度线圈设计时，被优化的函数的选择范围更广泛，并且优化的梯度线圈的性能更接近真实的梯度线圈性能。特别是在轴向梯度线圈设计时，这种方法更具有优势。由于轴向线圈全部由圆环构成，可以将圆环的位置直接作为优化变量来进行优化。但是非线性优化算法存在一个普遍的问题，就是需要非常多的迭代步数。例如模拟退火算法，通常需要迭代数十万甚至上百万次才能优化出最优的结果。对于梯度线圈优化问题来说，主要优化的参量为成像空间的磁场以及电感值。这两个参量的计算直接影响了优化时间以及计算精度。由于这两个量的计算都涉及一些复杂的函数，计算时间较长，从而导致非线性优化需要很长的时间。
技术实现要素：
发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种优化过程中能够快速计算成像区域内的磁场以及线圈电感值的计算方法。
技术方案：为实现上述目的，本发明采用如下步骤：
步骤一：以梯度线圈的柱面中心为原点，轴线方向为z轴建立坐标系，确定M个磁场采样点的坐标，假定梯度线圈的最大轴向长度为2Z；
步骤二：将轴向区间[0，Z]等间隔分为N1等份，每段的长度为Δz＝Z/N1，其中Δz≤1cm，分别计算坐标点为zi＝±i·Δz，i＝1,2...N1的麦克斯韦线圈在轴线以外和轴线上采样点产生的磁场，并将结果存储在维数为M×N1的数组中，其中每个麦克斯韦线圈对应两个圆环，两个圆环的轴向坐标分别为±z1，圆环半径为a，电流方向相反；
步骤三：计算单个圆环的自感Ls，并用一个变量存储；
步骤四：将轴向区间[0,2Z]等间隔分为N2等份，每段的长度为Δd＝2Z/N2，其中Δd≤1cm，计算轴向间隔为di＝i·Δd，i＝1,2...N2的两个线圈的互感，并将结果存储在一个维数为N2的数组中；
步骤五：在优化迭代过程中，将步骤二里的坐标点与步骤四里的圆环间隔距离作为插值点，位于其他位置的麦克斯韦线圈轴向坐标绝对值|z|为[0,Z]内任意值时各个采样点的磁场以及两个圆环间隔d为[0,2Z]内任意值的互感的两个圆环产生的互感用插值函数表示。采用该步骤能够明显提高计算速度，可以将速度在原先的基础上提高近十倍。
其中步骤二中，轴线以外的采样点处的轴向磁场Bz采用以下公式求得：
其中μ0为磁导率，I为圆环载流，r为磁场采样点到z轴的距离，z为磁场采样点轴向坐标，z1为麦克斯韦线圈的轴向坐标的绝对值；K,E为第一类与第二类椭圆积分，参数k1，k2的定义如下：
轴线上的轴向磁场Bz采用以下公式求得：
其中步骤三中单个圆环自感Ls的计算公式为：
其中ra为线圈横截面等效为圆形时的等效半径。
其中步骤四中，两个圆环的互感LM采用以下公式计算：
其中d为两个圆环线圈之间的距离，电流同向时公式前取正号，电流反向时公式前取负号。与现有技术相比，计算互感的公式更简洁。
其中步骤五中，插值函数的具体计算公式如下：
对于zi+1≥z≥zi，第m个采样点处的磁场Bm(z)计算公式如下：
对于di+1≥d≥di，互感L(d)的计算公式为：
L(d)＝GLi·(d-di)+L(di)
其中，L(d)为两个间隔为d的圆环之间的互感，并且而且GLi在优化算法开始之前计算并存储。与现有技术相比，计算互感的方法更快速，公式更简便。
有益效果：本发明中，将圆环所在的坐标范围以及两圆环之间的间隔范围等分为若干等份，磁场与电感在采样点处的值采用解析公式计算，其他位置处的值采用插值函数计算，并且本发明给出了一种快速计算磁场与电感的计算公式。与现有技术相比，本发明能够大大提高计算速度，可以将速度在原先的基础上提高近十倍，从而使得高效的非线性优化算法成为可能。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为实施例中梯度线圈的结构示意图；
图3为实施例中麦克斯韦线圈的结构示意图；
图4为实施例中采用模拟退火算法设计的梯度线圈；
图5为实施例中梯度线圈在45cmDSV内磁场随z坐标的变化曲线；
图6为实施例中在45cmDSV内的磁场采用本发明算法的误差。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作更进一步的说明。
在超导MRI系统中，轴向梯度线圈一般分布在一层圆柱面上。实际的柱面梯度线圈一般会在主线圈外面附加一层屏蔽线圈，屏蔽线圈同样由分布在一层圆柱表面的圆环构成。图2是典型的有源屏蔽梯度线圈结构，内表面为主线圈，外表面为屏蔽线圈，并且所有线圈关于轴向中心奇对称。其中主线圈与屏蔽线圈均有若干个麦克斯韦线圈构成。所谓麦克斯韦线圈，就是由两个半径相同，电流流向相反的圆环构成的线圈对，如图3所示。因此，对于轴向线圈而言，在麦克斯韦线圈数目确定的情况下，主要目的是优化每个圆环的位置。一般情况下，优化梯度线圈所构建的目标函数如下：
F＝ω1E+ω2L
其中，E为成像区域(DSV)内的梯度场误差，L为线圈电感。其中E的值与DSV内采样点的轴向磁场有关。可以看出，上述优化问题需要计算的量主要为DSV内的轴向磁场与电感值。对于模拟退火、遗传算法一类的非线性优化算法，磁场与电感的计算是直接关系到优化算法的效率。下面对本发明中的电场与电感快速计算方法进行简述。
本发明中磁场与电感的快速计算方法如下：
步骤一：以柱面中心为原点，轴线方向为z轴建立坐标系，确定M个磁场采样点的坐标。假定柱面轴向线圈设计中的最大轴向长度为2Z；
步骤二：将轴向区间[0,Z]等间隔分为N1等份，每段的长度为Δz＝Z/N1,计算坐标点为zi＝±i·Δz，i＝1,2...N1的麦克斯韦线圈对在采样点产生的磁场，并将结果存储在维数为M×N1的数组中；
步骤三：计算单个圆环的自感Ls，并用一个变量存储；
步骤四：将轴向区间[0,2Z]等间隔分为N2等份，每段的长度为Δd＝2Z/N2,计算轴向间隔为di＝i·Δd，i＝1,2...N2的两个圆环线圈的互感，并将结果存储在一个维数为N2的数组中；
步骤五：在优化迭代过程中，将以上采样点作为插值点，位于其他位置的麦克斯韦线圈对在采样点产生的磁场以及任意距离间隔的两个圆环产生的互感用插值函数表示。
步骤一中，因为轴向线圈大多是对称结构，以柱面中心建立坐标系可以保证麦克斯韦线圈的两个圆环关于坐标轴对称。
本实施例中，为了保证计算精度，每段的长度Δz≤1cm，Δd≤1cm。Δz、Δd的取值与选取的插值函数有关。每一段的长度越短，则精确计算磁场与电感所需的插值函数的阶数越小，优化过程中计算磁场与电感的时间就越短。因为现有的梯度线圈，无论是主线圈还是屏蔽线圈，轴向长度均不会超过1m，假如d＝0.1mm，则存储互感值所需的数组维数为10000，相对于计算机的内存来说是一个很小的值。
本实施例中，对于每个麦克斯韦线圈对，假定其两个圆环的轴向坐标分别为±z1，圆环半径为a，则轴线以外的插值点处的轴向磁场Bz采用以下公式求得：
这里的μ0为磁导率，I为圆环载流，r为磁场采样点到z轴的距离，z为磁场采样点的轴向坐标，z1为麦克斯韦线圈的轴向坐标的绝对值；K,E为第一类与第二类椭圆积分，参数k1，k2的定义如下：
上述函数主要涉及两个椭圆积分。目前有一些专门针对高斯积分的算法，相比直接套用毕奥-萨伐尔公式具有更高的效率。
轴线上的磁场Bz采用以下公式求得：
本实施例中，单个圆环的自感采用以下的公式计算：
其中ra为圆环横截面等效为圆形时的等效半径。该公式为计算线圈自感的经验公式。特别是对于圆环线圈，采用该公式计算结果与采用数值积分计算的结果很接近，但是具有更高的计算效率。
本实施例中，两个圆环的互感采用以下公式计算：
其中d为两个圆环线圈之间的距离。电流同向，公式前取正号，反向取负号。该公式同样只包含两个椭圆积分。
上述步骤五中，可采用多项式插值计算任意位置圆环的磁场与互感。多项式的阶数越高，则达到所需精度需要的离散点数量越少，存储变量需要的内存也越少，但是每次迭代计算磁场与电感的时间越多。多项式的阶数越低，则每次迭代计算磁场与电感的时间越少。采用本发明中的算法的技术人员可以根据具体情况选择合适的阶数。本实施例中，采用线性插值函数计算麦克斯韦线圈的轴向坐标绝对值|z|为[0,Z]内任意值时各个采样点的磁场，或者两个圆环间隔d为[0,2Z]内任意值的互感。具体公式如下：
对于zi+1≥z≥zi，第m个采样点处的磁场Bm(z)计算公式如下：
对于di+1≥d≥di，互感L(d)的计算公式为：
L(d)＝GLi(d-di)+L(di)
其中
GLi在优化算法开始之前计算并存储。
相对于高阶插值，线性插值能最大限度的节省计算时间。
为了比较该方法的性能，本实施例中给出一个采用模拟退火算法设计单层轴向梯度线圈的例子。线圈中的麦克斯韦线圈对固定为14对。线圈所在的圆柱面半径为380mm，梯度场强为68μT/m/A，线性度为4.8％。通过优化前面的目标函数所设计的梯度线圈形状如图4所示。
以迭代10000次为限，采用本发明中的方法仅需要时间35秒钟。而如果不采用本发明中的快速算法，则需要327秒钟。可以看出，采用本发明中的快速算法，时间节省了9.3倍，大大提高了计算效率，节约了时间。
采用本发明中的插值公式计算的电感为302.584688497μH，采用上述自感和互感的公式直接计算的电感值为302.584688088μH。其差异在小数点后第七位，这种误差完全可以忽略。其次成像区域内磁场的值，如图5所示，是XOZ平面内半径为r＝225mm的圆周上取一系列采样点，采样点处的轴向磁场与轴向坐标的关系曲线。如图6所示为在采样点处采用本发明中的算法与精确算法之间的差。由图6可以看出，本发明中的算法计算的磁场具有足够的精度。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。