一种离散数据一阶导数解算的简便方法与流程

本发明属于应用数学领域，涉及测量数据的一阶导数解算，尤其是测量数据含有白噪声时的一阶导数解算。

背景技术：

离散数据一阶导数的解算方法在工程实践中有着广泛的应用，比如，气象、化学、地质学、航空航天、机械制造等众多领域都经常涉及，其基本解算步骤通常是：用近似函数对离散数据进行拟合，然后进行微分，必要时通过一定的算法对微分结果进行优化，最终获得一阶导数。离散数据往往通过测量得到，其数值中通常含有测量误差。由于测量数据变化规律的复杂性、拟合模型的近似性、算法的局限性以及测量误差的影响，要获得准确的计算结果具有相当的难度，因此，离散数据的一阶导数解算在某些领域一直是工程计算中的难点。

为了能够对测量数据进行尽可能准确的微分，人们尝试了许多方法以提高解算精度，但由于拟合模型有时不能对数据进行准确描述，因此导致解算结果存在较大误差；有的算法虽然结果较好，但计算过程较为复杂，有时难以满足快速处理要求；也有的算法虽然采用了一些特殊的处理技术，获得了较为准确的结果，但却不能够对端点附近的数据进行有效解算。

技术实现要素：

本发明的目的是：提供一种离散数据的一阶导数解算方法，使得在等间隔采样条件下，对于端点附近的数据也能够获得较好的一阶导数解算结果。

本发明的技术方案是：设待解算一阶导数的点为d，且点d不是拟合区间的端点，在拟合区间内找到分别位于点d两侧且与点d等间隔的两个点b和c，先计算连接点b和点c的直线的斜率作为点d的一阶导数，然后根据式-a3h²对其进行截断误差补偿，其中，a3为对该拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数，h表示点b和点d之间的间隔或点d和点c之间的间隔。

该方案的一种具体解算步骤是：

第1步，设需要解算一阶导数的点的下标为i，选取n(n≥5)点拟合区间，使该区间包含该点且该点不是该拟合区间的端点，对该区间进行最小二乘三次多项式拟合，获得拟合多项式a0+a1ti+a2ti²+a3ti³的三次项系数a3；式中，a0是常数项，a1是一次项系数，a2是二次项系数。

第2步，计算式的值，作为下标为i的点的测量数据的一阶导数，其中，和分别表示该拟合区间内位于下标为i的点的两侧且与下标为i的点等间隔的两个点的测量值，h表示数据间隔，即h＝ti+1-ti，且h＝ti-ti-1。

本发明的效果和益处是：①能够对拟合区间内不包括端点的需要解算一阶导数的数据进行一阶导数解算。②能够显著改善拟合区间端点附近数据的一阶导数解算精度差的状况；③ 当测量数据出现间断情况时，仍有可能较为准确地计算出间断点处的一阶导数；④解算过程不需知道测量数据的精确拟合模型；⑤计算步骤较少，计算过程比较简单、快速，应用方便。

本发明的发明要点是：

(1)根据式计算测量数据下标为i的点的一阶导数，其中，a3为对包含下标为i的点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数；

(2)下述几项的组合：

a.选取n(n≥5)点拟合区间，使该区间包含至少1个需要解算一阶导数的点且该点不是该拟合区间的端点；

b.采用三次多项式对该拟合区间的离散数据进行最小二乘拟合，得到其三次项系数a3；

c.根据式计算测量数据下标为i的点的一阶导数，式中，i是待求其一阶导数的点的下标，和分别表示拟合区间内位于下标为i的点的两侧且与下标为i的点等间隔的两个点的测量值，h表示数据间隔，即h＝ti+1-ti，且h＝ti-ti-1。

附图说明

附图是该方案的一种具体解算步骤的流程图。

具体实施方式

下面以函数为例，取采样间隔为1，构造一组仿真数据，如表1所示，采用本发明进行一阶导数解算，对其解算步骤做详细说明。

表1仿真数据(采样间隔为1)

第1步：对区间t＝30～37的数据进行最小二乘三次多项式拟合，得其三次项系数为0.33143542253262581，取h＝1，根据式计算该区间不包括端点在内的各点的一阶导数，结果如表2所示。

第2步：将拟合区间向后移动，即对区间t＝36～43的数据进行最小二乘三次多项式拟合，得其三次项系数为0.84560483886871929，取h＝1，根据式计算该区间不包括端点在内的各点的一阶导数，结果如表3所示。

表2一阶导数解算结果(数据间隔为1)

表3一阶导数解算结果(数据间隔为1)

第3步：将拟合区间继续向后移动，即对区间t＝42～49的数据进行最小二乘三次多项式拟合，得其三次项系数为0.84560483886871929，取h＝1，根据式计算该区间不包括端点在内的各点的一阶导数，结果如表4所示。

表4一阶导数解算结果

至此，获得了表1中的仿真数据不包括t＝30和t＝49的2个端点在内的所有数据的一阶导数解算结果。从表2、表3和表4中的解算误差可看出，采用本发明能够获得比较准确的一阶导数解算结果。

实际应用时，上述解算过程可利用计算机编程实现，但应注意四点：一是在根据式计算时，当0.5≤h≤1时，一阶导数的计算结果在总体上精度更高且结果相对较稳定，因此，建议在根据式计算时，将数据间隔h设定在0.5和1之间；二是a3的计算结果越准确，计算结果在总体上也越准确，所以在计算a3时，应采用尽可能小的采样间隔，使更多的点参与拟合，从而获得更为准确的三次项系数；三是一般来说，当测量数据的精确拟合模型不是三次时，a3的准确度和拟合区间的长短有关，拟合时应选用尽可能短的拟合区间；四是如果测量数据在某点发生二阶导数突变的情况，则应在突变点处对数据进行分段处理。