基于按区择取全局最优解和就近择取个体最优解的多目标粒子群算法的制作方法

本发明属于智能算法领域，提出了从所分区域中选取全局最优解，从个体外部档案中选取与粒子向量夹角最小的个体外部档案向量所对应的位置作为个体极值，以及在基本速度更新公式中增加粒子对自己不好历史经验认知的项，并对其进行数学证明，来获得收敛性和多样性更优的近似Pareto前端。

背景技术：

Eberhart和Kennedy通过研究鸟群和鱼群的捕食行为而提出了一种基于随机群体的新型智能优化方法—粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)。该算法根据群体中粒子的个体性和社会性有机结合所产生的群智能性来指导优化搜索。粒子群优化算法因形式简洁、收敛快速和参数调节机制灵活方便等优点,同时能逼近非凸或不连续的Pareto最优前端,因而被认为是求解多目标优化问题的有效方法。随着粒子群优化算法从单目标问题扩展到多目标问题时,Pareto最优解集的存储与维护、全局和个体最优解的选取以及开发与开采之间的平衡等方面亦成为研究的重点。

目前对多目标粒子群优化算法的研究主要集中在档案维护、全局最优解选择和种群多样性增加等方面,也有少部分文献对个体最优解选取方面进行了研究。文献《基于目标权重导向多目标粒子群的节能减排电力系统优化调度》从非劣解集中选出与当前粒子的目标权重因子值最相近的那个非劣解元素作为其全局极值，以便保持解的多样性，但是该选择方式使得全局最优解的选取过于单一，在一定程度上影响了解的多样性。文献《采用概率选择的自适应多目标粒子群算法》通过粒子非劣排序的支配等级，设定个体的适应度数值，为增强最优解集的分散性，采用拥挤距离对适应度进行惩罚，进而根据概率选择比较获取相应的最优个体，但这样得到的一个个体最优解不足以描述个体Pareto最优前端信息。文献《基于Pareto熵的多目标粒子群优化算法》采用个体外部档案保存个体粒子发现的Pareto最优解,从个体外部档案中选择与全局最优解距离最近的成员作为个体最优解，保持了个体最优解选择的多样性，但是个体最优解的选取没有兼顾考虑粒子的位置信息。文献《粒子群优化方法若干特性分析》提出了标准粒子群优化方法按迭代时间展开的一般性描述公式，在此基础上分析了标准PSO的优化机理,基于群体社会信息和自身历史经验的情况下,推导了粒子最大搜索空间的数学描述，通过将粒子运动的一般性描述图解为历史状态加权和的形式,进一步证明了PSO参数随迭代周期的积累,在概率意义上的遗忘特性。

为了使从外部档案中选出的全局最优解能更好的引导种群平衡开发和开采目标空间以获得兼顾收敛性和多样性的近似Pareto前端,本发明将坐标第一象限区域平均划分成一定的扇形区域，使粒子在与自己同一区域的非劣解中选取全局最优解，这样可以较好的平衡好外部档案中非劣解被选为全局最优解的概率，有效的保持Pareto最优解的分布均匀性。同时设置个体外部档案保存个体粒子发现的Pareto最优解,从个体外部档案中选择与粒子向量夹角最小的个体外部档案向量所对应的位置作为个体极值，以保证个体历史信息的完整性和个体最优解选择的多样性。为了提高粒子的搜索效率，增强Pareto最优解的收敛性，本发明在基本速度更新公式中增加了粒子对自己不好历史经验认知的项，并采用类似于分析标准PSO的优化机理的方法证明其有效性。

技术实现要素：

为了使多目标粒子群算法近似Pareto前端的收敛性和多样性更优，本发明提出了将坐标第一象限区域按角度平均划分成一定的扇形区域，让粒子在与自己同一区域的非劣解中选取全局最优解，同时设置个体外部档案保存每个个体粒子发现的Pareto最优解,从个体外部档案中选取与粒子向量夹角最小的个体外部档案向量所对应的位置作为个体极值，以及在基本速度更新公式中增加粒子对自己不好历史经验认知的项，并采用类似于分析标准PSO的优化机理的方法证明其有效性。用本算法优化2个多目标检测函数，与其他2种优化算法相比较，以验证本改进算法更佳的优化效果。

具体实施方式

本发明包括以下步骤：

1﹑多目标优化问题。

多目标优化问题的一般形式是

其中f_i(X)为第i个目标函数，m为目标函数个数；X为n维决策向量，X＝[x₁,...,x_n]；g_j(X)为等式约束函数；h_k(X)为不等式约束函数。

2、粒子的速度和位置更新公式。

为了实现信息的充分分享，增强引导信息的有效性，本发明对速度更新公式的框架进行改进，即在基本速度更新公式中增加粒子对自己不好历史经验认知的项.这样可以在学习过程中加强对自身信息的利用，增强引导信息的效能，减少或避免对历史较差解空间的重复搜索，提高多目标粒子群算法得到的近似Pareto前端的收敛性。

式(2-1)中，c₁﹑c₂和c₃为加速度系数.c₁体现粒子个体经验对粒子运行轨迹的影响力，c₂体现粒子群体经验对粒子运行轨迹的影响力，c₃体现粒子不好的学习经验对粒子运行轨迹的影响力；r₁﹑r₂和r₃为(0,1)内均匀分布的随机数；ω随迭代次数的增加而递减；表示粒子i在t次迭代过程中自我比较适应度值最差时的位置。

2.1考虑不好历史经验项的速度更新公式的数学证明

2.1.1考虑不好经验项的PSO单信息最大搜索空间描述

考虑不好经验项的PSO粒子的单信息最大搜索空间表达式为(2-3)

其中，变量带括号的上标或下标表示迭代周期，不带括号的上标或下标表示幂。

标准PSO粒子的单信息最大搜索空间表达式为式(2-4)

式中

比较式(2-3)和式(2-4)可以得出考虑不好经验项的PSO粒子能够有效避免搜索曾经搜索过的最差位置，减小无效的搜索空间，提高搜索效率。

2.1.2单信息最大搜索空间的描述分析

对信息最大搜索空间的一般性描述进行推导和整理，得到式(2-5)的形式。

式中为和的阶乘衰减因子；为和之间距离的随机权重；为初始时刻速度向量的加权参数；为和之间距离的随机权重。

对标准PSO粒子搜索空间的一般描述的表达式为式(2-6)，

式中的φ′⁽ⁿ⁾﹑δ′⁽ⁿ⁾和_Y′⁽ⁿ⁾是(2-5)式中对应项中的γ(m)换成γ′(m)后所得，其物理意义相同。

⑴初始位置阶乘衰减因子的分析

阶乘衰减因子_Y⁽ⁿ⁾分别反映粒子在初始时刻个体位置信息和群体最优位置随时间变化的特性。和分别为(0,r_i)﹑(0,r_g)和(0,r_w)上的均匀分布。得到Y⁽ⁿ⁾的期望和方差，表达式分别为式(2-7)和(2-8)：

标准PSO中对应项前的系数Y′⁽ⁿ⁾的期望和方差分别为式(2-9)和(2-10)，

分析得出：_{E(Y(n))＞E(Y}′(n))，表明考虑不好经验项的PSO算法比标准PSO算法中个体和群体最优位置信息衰减到遗忘所需的时间更长，增大了指导粒子搜索的历史好经验的基数，有效增强引导信息的准度；D(Y(n))＞D(Y′(n))，说明考虑不好经验项的PSO算法比标准PSO算法中个体和群体最优位置信息在衰减过程中更加的活跃，增强了粒子搜索过程中的活性，保持了粒子的多样性，避免粒子过早陷入局部搜索。

⑵初始速度的加权参数分析

与阶乘衰减因子Y⁽ⁿ⁾推导过程同理，类推得到初始速度向量的加权参数δ⁽ⁿ⁾的期望为式(2-11)。

标准PSO算法初始速度的加权参数δ′⁽ⁿ⁾的期望为式(2-12)。

可以得出E(δ⁽ⁿ⁾)＞E(δ′⁽ⁿ⁾)，表明考虑不好经验项的PSO算法比标准PSO算法中初始速度加权参数取较大值的概率更大，使初始速度对搜索的位置影响作用更强，使得粒子的单信息最大搜索空间更大，提高了搜索到全局最优解的概率。

3﹑外部档案维护策略

外部档案的合理设置和有效更新可以保存高质量的Pareto最优解集。筛选当前粒子群中的非支配集，并剔除其中的劣解，然后加入归档。若归档中粒子数目超过了归档所允许的最大规模，则从归档的粒子中随机选取等于归档允许的最大规模数的粒子构成外部档案。

4﹑全局最优解选择策略。

在粒子群优化算法中,全局最优解引导着整个群体的进化方向。但是在多目标粒子群优化算法中,全局最优解是一组Pareto最优解集,如果不能设计合理有效的选择策略,则可能造成选择压力过小而不能有效推进进化过程和有效提高近似Pareto前端的多样性。

为了产生适度的选择压力和有效提高近似Pareto前端的多样性，特设置按分区域选择全局最优解的策略。本发明把粒子本身的位置点与坐标原点组成的向量称为粒子向量，同时把外部档案中的点与原点组成的向量称为外部档案向量。每个粒子进行速度更新时，选取全局最优解的方法是：把坐标系中的[0,π/2]区间平均划分成为全局外部档案最大容量的1/2个扇形区间，然后对外部档案向量按照与横坐标的夹角大小归类到相应的扇形区间，粒子向量落在哪个区间，就在该区间中随机选取一个外部档案点为该粒子更新时的全局最优点，如果该区间没有外部档案点，则在外部档案中选取与该粒子向量夹角最小的外部档案向量所对应的点作为全局最优点。

5、个体最优解选择策略。

已经存在的大多数多目标粒子群优化算法中每个粒子仅可选择一个个体最优解,其更新方法是采取“不支配则不更新”的原则，即仅在出现新的支配当前个体极值的粒子时更新个体极值，否则一直保持不变。这种单一个体最优解的更新方法简单高效,但一个个体最优解不足以表达个体粒子所发现和经历的个体近似Pareto前端的信息,丧失了个体最优解选择的多样性。

在本发明中,为了充分表达个体近似Pareto前端的信息,采用个体外部档案保存每个粒子的个体粒子发现的Pareto最优解,其更新过程是，当粒子的新解占优旧解时，则把新解存到个体外部档案中，如果两者互不占优，则随机选择一个存到个体外部档案，如果旧解占优新解，则都不存储。为了降低计算复杂度,个体外部档案的最大容量设为全局外部档案最大容量的1/2。在粒子群优化过程中,本发明将从个体外部档案中选择与粒子向量夹角最小的个体外部档案向量所对应的位置作为个体极值，如果存在两个及以上相等的最小夹角，则从其中随机选取一个位置作为个体极值。

6、改进多目标粒子群算法的计算流程。

Step1：随机初始化粒子的位置，保证每个粒子位置均为可行解，即满足运行的所有约束条件。初始化速度，并限定速度的两个极值V_max、V_min。

Step2：判断各个粒子之间的支配关系，初始化非劣解集。

Step3：初始化个体极值为粒子本身，每个粒子对应的全局极值根据前面的3和4确定。

Step4：根据式(2-1)更新粒子的速度V，若V＞V_max或V＜V_min，则分别调整为V＝V_max或V＝V_min。根据式(2-2)更新粒子的位置。

Step5：若满足最大迭代次数或相邻两代的解差异足够小时，输出最优解，优化过程结束；否则转Step6。

Step6：得到新的非劣解集。

Step7：根据4和5中的方法选取全局极值和个体极值，并转Step4。

7、实验及其分析。

7.1非劣解性能评价

为了有效评估算法获得的近似Pareto前端的收敛性和分布均匀性,本发明采用反转世代距离(inverted generationaldistance,简称IGD)作为性能评估指标。IGD是度量真实Pareto前端到优化算法获得的近似Pareto前端之间的距离指标。该指标值越低,表明优化算法获得的近似Pareto前端的收敛性和多样性越好,越接近真实Pareto前端。令P为真实Pareto最优解集,A是优化算法获得的近似Pareto最优解集,则IGD可以根据公式(7-1)计算:

其中，为最小归一化欧式距离；和分别为P中第q目标上的最大值和最小值，q＝1,2,...,Q，Q为目标个数；p_i∈P,i＝1,2,...,|P|；a_j∈A，j＝1,2,...,|A|。在本实验中，测试函数ZDT1和ZDT2的真实Pareto最优解集的采样样本数|P|为1000。

7.2检测函数及算法的参数设置

为了测试本文算法的优越性能，选择2个多目标检测函数，即函数ZDT1和ZDT2，每个检测函数含有两个目标函数和30维变量。与本发明提出的算法进行比较的算法为:经典多目标优化算法MOPSO和NSGA-II，所有算法的迭代次数为100，存档规模为100，粒子规模100。分别用3种算法对上述2种多目标检测函数进行20次测试，取20次优化的IGD值的平均值﹑方差和最优值，以及平均用时四个指标进行比较。