功率谱密度非参数估计的置信水平分析方法与流程

本发明涉及一种置信水平分析方法，尤其涉及一种功率谱密度非参数估计的置信水平分析方法。

背景技术：

功率谱密度(Power Spectral Density，PSD)估计是振动环境工程研究中的重要工作内容之一。不同类型的估计方法所获得的PSD估计结果的精度各异，通常以PSD估计的频率分辨率和方差比较或评价估计的好坏。以Welch谱估计(采用Welch方法获得的PSD经典估计)为代表的经典估计方法之所以依然作为工程应用中的重要技术而存在，不是因为Welch谱估计的频率分辨率性能和方差性能的优势(恰恰相反，这正是PSD经典估计的不足)，而是因为其抗干扰性能和实时性。谱分析仪器和振动试验控制仪器的主流供应商优先选择Welch谱估计方法，商业分析软件如Matlab等也提供Welch谱估计工具。研究和试验的结果已经验证：只要参数选择适当，Welch谱估计的精度能够满足工程应用的实际要求。

Welch谱估计的精度可以采用随机误差(或标准化随机误差)来表征。这里的随机误差是估计的标准差与均值之比。一次谱估计的随机误差小，则表明这一次的谱估计有比较大的可能性接近谱的均值(真值)；反之，如果某一次的谱估计的随机误差大，那么，这一次谱估计接近均值的可能性便小。数学上，置信水平分析方法采用置信区间和置信概率来定量描述谱估计的精度指标，而置信水平分析是建立在谱估计量的概率密度函数已知的前提下的。Welch谱估计量的概率特性是复杂的，将其简化为一定自由度的卡埃变量时，Welch谱估计的随机误差仅仅与谱估计时的统计自由度有关，并可获得形式简单的随机误差～自由度关系式。然而，严格地，由随机信号(一般假定其为零均值高斯随机)的傅立叶谱的实部和虚部的平方和的线性组合导出的Welch谱估计量，并不满足数学上的卡埃变量的原始定义要求，因为傅立叶谱的实部和虚部并非正态随机量(均值为0，方差为1的高斯随机量)，即使原始信号为正态随机量也是如此。所以，Welch谱估计的置信水平分析不能直接应用卡埃变量的置信分析方法，也少见关于Welch谱估计的置信水平分析的文献报道。

美军标MIL-STD-810F(MIL-STD-810G)和国军标GJB150.16A《军用装备实验室环境试验方法第16部分振动试验》都是从频率分辨率和自由度两个方面提出谱估计的精度要求，其中频率分辨率指标可以通过单帧信号的长度控制以满足要求，自由度则由用于谱估计平滑处理的信号的帧数确定(自由度是帧数的2倍，例如128自由度的谱估计需要64段数据)。振动环境工程研究中直接按照标准的要求来实现规定的谱估计精度。但是，存在两个疑问，一是这样的谱估计结果接近谱的真值(均值)的程度如何，二是谱估计结果的可靠性怎样；前者由一定置信概率下的置信区间回答，后者由确定置信区间下的置信概率表述。这正是本发明的基本目的。

技术实现要素：

本发明的目的就在于为了解决上述问题而提供一种功率谱密度非参数估计的置信水平分析方法。

本发明通过以下技术方案来实现上述目的：

一种功率谱密度非参数估计的置信水平分析方法，包括以下步骤：

(1)按照功率谱密度非参数估计方法的要求对源数据进行预处理，得到具有确定的随机误差的Welch谱估计结果；

(2)置信水平分析，包括以下两种情形：

(2.1)给定置信概率α，获得2K自由度的谱估计的置信区间，具体包括以下步骤：

(2.1.1)根据如下两个公式：

$P\{{\hat{Q}}_x\left(f_i\right)\≥\frac{a}{\mathrm{\θ}}\}=\frac{1+\mathrm{\α}}{2}---\left(1a\right)$

$P\{{\hat{Q}}_x\left(f_i\right)\≥\frac{b}{\mathrm{\θ}}\}=\frac{1-\mathrm{\α}}{2}---\left(1b\right)$

其中，为自由度是2K的卡埃变量，θ＝γλ²，λ为傅立叶变换的实部与虚部的标准差，

再应用EXCEL函数CHIINV，获得卡埃变量在置信概率为α的置信区间

(2.1.2)利用如下两个公式获得2K自由度的谱估计的置信区间：

$\frac{a/\mathrm{\θ}}{2K}E\[{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\]\<{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\≤\frac{b/\mathrm{\θ}}{2K}E\[{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\]---\left(2a\right)$

$\frac{2K}{b/\mathrm{\θ}}{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\≤E\[{\hat{S}}_w(.L)\]\≤\frac{2K}{a/\mathrm{\θ}}{\hat{S}}_w\left(f_i\right)---\left(2b\right)$

其中，表示Welch谱非参数估计量，表示Welch谱非参数估计量的均值，

公式(2a)是用均值来描述谱估计的置信范围，公式(2b)则是用谱估计来描述均值的置信范围；

(2.2)给定置信区间a,b，获得2K自由度的谱估计的置信概率，具体包括以下步骤：

(2.2.1)根据如下公式：

$\frac{a}{\mathrm{\θ}}=2K(1-M\sqrt{\frac{1}{K}})$

$\frac{b}{\mathrm{\θ}}=2K(1+M\sqrt{\frac{1}{K}})$

其中，M表示单次谱估计值按偏离均值的标准差波动的倍数，

再应用EXCEL函数CHIDIST，获得卡埃变量在给定置信区间的置信概率；

(2.2.2)根据如下公式获得谱估计在给定的置信区间时的置信概率：

$P(b\≥{\hat{S}}_w(f_i)\≥a)=P\left({\hat{Q}}_x\right(f_i)\≥\frac{a}{\mathrm{\θ}})-P\left({\hat{Q}}_x\right(f_i)\≥\frac{b}{\mathrm{\θ}}).$

具体地，所述步骤(1)中，根据如下公式得到具有确定的随机误差的Welch谱估计结果ε：

$\mathrm{\ϵ}=\sqrt{\frac{1}{K}}.$

本发明的有益效果在于：

本发明首先按照功率谱密度非参数估计方法的要求对源数据进行预处理，得到具有确定的随机误差的Welch谱估计结果，然后根据给定置信概率获得2K自由度的谱估计的置信区间，提高了接近谱的真值(均值)的程度，或者根据给定置信区间获得2K自由度的谱估计的置信概率，提高了谱估计结果的可靠性，可广泛用于振动环境工程研究中来实现规定的谱估计精度。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明：

实施例：

一种功率谱密度非参数估计的置信水平分析方法，包括以下步骤：

(1)按照功率谱密度非参数估计方法的要求对源数据进行预处理，包括数据采样(按照Nyquist频率对连续数据进行离散化)、数据分段(按照FOURIER变换的频率分辨力要求和重叠的需要对离散数据进行分段)、数据加窗(对分段数据采用合理的窗函数进行加权处理)，也包括对数据预处理过程获得的每一段数据进行FOURIER(傅里叶)变换分析并获得其功率谱密度估计、每一段数据的功率谱密度估计的频域平均等，这些方法均为现有技术中的常规方法，最终得到具有确定的随机误差的Welch谱估计结果ε，其公式为

(2)置信水平分析，包括以下两种情形：

(2.1)给定置信概率α，获得2K自由度的谱估计的置信区间，具体包括以下步骤：

(2.1.1)根据如下两个公式：

$P\{{\hat{Q}}_x\left(f_i\right)\≥\frac{a}{\mathrm{\θ}}\}=\frac{1+\mathrm{\α}}{2}---\left(1a\right)$

$P\{{\hat{Q}}_x\left(f_i\right)\≥\frac{b}{\mathrm{\θ}}\}=\frac{1-\mathrm{\α}}{2}---\left(1b\right)$

其中，为自由度是2K的卡埃变量，θ＝γλ²，λ为傅立叶变换的实部与虚部的标准差，

再应用EXCEL函数CHIINV，获得卡埃变量在置信概率为α的置信区间

(2.1.2)利用如下两个公式获得2K自由度的谱估计的置信区间：

$\frac{a/\mathrm{\θ}}{2K}E\[{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\]\≤{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\≤\frac{b/\mathrm{\θ}}{2K}E\[{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\]---\left(2a\right)$

$\frac{2K}{b/\mathrm{\θ}}{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\≤E\[{\hat{S}}_w\left(f_i\right)\]\≤\frac{2K}{a/\mathrm{\θ}}{\hat{S}}_w\left(f_i\right)---\left(2b\right)$

其中，表示Welch谱非参数估计量，表示Welch谱非参数估计量的均值，

公式(2a)是用均值来描述谱估计的置信范围，公式(2b)则是用谱估计来描述均值的置信范围；

(2.2)给定置信区间a,b，获得2K自由度的谱估计的置信概率，具体包括以下步骤：

(2.2.1)根据如下公式：

$\frac{a}{\mathrm{\θ}}=2K(1-M\sqrt{\frac{1}{K}})$

$\frac{b}{\mathrm{\θ}}=2K(1+M\sqrt{\frac{1}{K}})$

其中，M表示单次谱估计值按偏离均值的标准差波动的倍数，

再应用EXCEL函数CHIDIST，获得卡埃变量在给定置信区间的置信概率；

(2.2.2)根据如下公式获得谱估计在给定的置信区间时的置信概率：

$P(b\≥{\hat{S}}_w(f_i)\≥a)=P\left({\hat{Q}}_x\right(f_i)\≥\frac{a}{\mathrm{\θ}})-P\left({\hat{Q}}_x\right(f_i)\≥\frac{b}{\mathrm{\θ}}).$

针对国军标GJB150.16A对谱估计的精度要求进行的置信水平分析表明，128自由度的谱估计仅有68.4％的概率保证其在一倍标准差范围内，同样地，256自由度的谱估计的概率可达84.4％。因此在可能的情况下，PSD估计的自由度应尽可能选择高一些。针对随机振动试验控制最严格的控制允差(+2dB,-1dB)所进行的置信分析表明，128自由度的谱估计的置信概率达到97.5％，而256自由度的置信概率接近1。从这个意义上说，256自由度或许是工程应用时比较可靠的一种选择。

上述实施例只是本发明的较佳实施例，并不是对本发明技术方案的限制，只要是不经过创造性劳动即可在上述实施例的基础上实现的技术方案，均应视为落入本发明专利的权利保护范围内。