一种基于散点计算的仿真方法及仿真系统与流程

本申请涉及计算机数据处理技术领域，特别涉及一种基于散点计算的仿真方法及仿真系统。

背景技术：

现有的以求解偏微分方程问题为目标的计算机仿真技术中，有限元法(FEM)占据主导地位，是应用最为广泛的方法。该仿真方法用网格直接描述求解对象，而且网格同时描述物理场，整个计算过程中网格是附着于实体结构的。

然而，现有技术中这种基于网格的求解技术有一定的局限性：一方面，难以应对结构大变形的情况。由于物理场与物质结构的结合性，所以节点的相对运动会导致网格单元的扭曲变形。因为场变量的近似函数是以网格为基础的，当网格变形太大的时候，近似精度将受到影响，从而导致求解结果失真，甚至出现计算终止的情况。

克服网格畸变的方案就是在计算过程中自动识别，当网格变形超过设定的允许范围时，重新划分网格。然而，重新划分网格通常有较大难度，尤其是结构较为复杂时。此外，这种方法将很多计算时间用于网格划分，往往导致计算低效。

另一方面，由于FEM使用网格来描述对象，对于结构复杂的问题，尤其是3D问题，离散过程是一个非常繁琐的工作，需要投入大量的人力成本。此外，用网格来描述一些特定的问题，比如原子晶体结构，通常是难以直接描述对象的几何物理信息。

此外，FEM中的网格需要严格的联通性要求，在分析一些特殊问题，如断裂问题，通常难以精确处理。

技术实现要素：

本申请实施方式的目的在于提供一种基于散点计算的仿真方法及仿真系统，能够简洁、高效地对偏微分方程描述的数学、物理和工程问题进行分析。

为实现上述目的，本申请一方面提供一种基于散点计算的仿真方法，所述仿真方法包括：建立仿真对象的几何模型并在所述几何模型上分布预设数量的散点，其中，各个散点与覆盖域相关联；为所述几何模型设定边界条件及界面条件；根据设定的边界条件及界面条件，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析，以确定所述几何模型上的场分布结果。

进一步地，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析具体包括：根据所述几何模型中的各个散点处的场函数以及形函数，确定各个散点处的近似函数；为待分析的散点确定局部介点云，所述局部介点云分布于包含所述待分析的散点的局部域中；其中，所述局部介点云中包含多个介点，每个介点与各自的覆盖域相关联，各个覆盖域中均包含场节点集；通过所述局部介点云中各个介点处的场函数和形函数，对所述待分析的散点的场变量进行近似计算，得到目标近似计算结果；根据与各个介点相关联的覆盖域中包含的场节点集，分别对各个介点进行近似计算，得到各个介点对应的近似计算结果；将所述各个介点对应的近似计算结果代入所述目标近似计算结果中，得到所述待分析的散点对应的场变量。

进一步地，所述形函数由多项式核基函数向量以及权向量按照下述公式确定：

其中，φ_J(x)表示第J个散点对应的形函数，x表示散点变量，x_*表示目标散点，表示目标散点对应的多项式核基函数向量，w_J(x-x_*)表示第J个散点对应的权向量，p_J(x-x_*)表示第J个散点对应的多项式核基函数向量的转置，表示第J个散点对应的多项式核基函数向量。

进一步地，所述各个散点处的近似函数按照下述公式确定：

其中，表示目标散点处的近似函数，N表示预设散点集中散点的总个数，表示第J个散点处的场函数。

进一步地，所述目标近似计算结果按照下述公式确定：

其中，表示第I个待分析的散点对应的目标近似计算结果，φ_p(x)为第P个介点对应的形函数，表示第P个介点对应的场函数，N_p表示所述局部介点云中介点的数量。

进一步地，按照下述公式确定所述各个介点对应的近似计算结果：

其中，为的近似计算结果，φ_J(x)为与第P个介点相关联的场节点集中的第J个节点对应的形函数，表示所述第J个节点对应的场函数，N_J表示与第P个介点相关联的场节点集中节点的数量。

进一步地，所述待分析的散点对应的场变量按照下述公式确定：

其中，表示第I个待分析的散点对应的场变量，φ_p(x)为第P个介点对应的形函数，φ_J(x)为与第P个介点相关联的场节点集中的第J个节点对应的形函数，表示所述第J个节点对应的场函数，N_p表示所述局部介点云中介点的数量，N_J表示与第P个介点相关联的场节点集中节点的数量。

为实现上述目的，本申请还提供一种基于散点计算的仿真系统，所述仿真系统包括：散点分布单元，用于建立仿真对象的几何模型并在所述几何模型上分布预设数量的散点，其中，各个散点与覆盖域相关联；条件设定单元，用于为所述几何模型设定边界条件及界面条件；场变量分析单元，用于根据设定的边界条件及界面条件，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析，以确定所述几何模型上的场分布结果。

进一步地，所述场变量分析单元具体包括：散点近似函数确定模块，用于根据所述几何模型中的各个散点处的场函数以及形函数，确定各个散点处的近似函数；局部介点云确定模块，用于为待分析的散点确定局部介点云，所述局部介点云分布于包含所述待分析的散点的局部域中；其中，所述局部介点云中包含多个介点，每个介点与各自的覆盖域相关联，各个覆盖域中均包含场节点集；目标近似计算结果确定模块，用于通过所述局部介点云中各个介点处的场函数和形函数，对所述待分析的散点的场变量进行近似计算，得到目标近似计算结果；介点近似计算结果确定模块，用于根据与各个介点相关联的覆盖域中包含的场节点集，分别对各个介点进行近似计算，得到各个介点对应的近似计算结果；场变量确定模块，用于将所述各个介点对应的近似计算结果代入所述目标近似计算结果中，得到所述待分析的散点对应的场变量。

进一步地，所述散点近似函数确定模块按照下述公式确定所述形函数：

其中，φ_J(x)表示第J个散点对应的形函数，x表示散点变量，x_*表示目标散点，表示目标散点对应的多项式核基函数向量，w_J(x-x_*)表示第J个散点对应的权向量，p_J(x-x_*)表示第J个散点对应的多项式核基函数向量的转置，表示第J个散点对应的多项式核基函数向量。

由以上本申请实施方式提供的技术方案可见，本申请实施方式在对几何模型进行分析时，不需要使用网格，只需要在几何模型上分布的散点。进一步地，在计算分析过程中，可以通过移动最小二乘核近似函数以及局部介点近似技术来实现无网格的离散分析方法，从而能够简洁、高效地对偏微分方程描述的数学、物理和工程问题进行分析。

附图说明

图1为本申请实施方式提供的一种基于散点计算的仿真方法流程图；

图2为本申请实施方式中局部介点近似技术的原理示意图；

图3为本申请实施方式中无网格介点法的原理示意图；

图4为本申请实施方式提供的一种基于散点计算的仿真系统的功能模块图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，下面将结合本申请实施方式中的附图，对本申请实施方式中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施方式仅仅是本申请一部分实施方式，而不是全部的实施方式。基于本申请中的实施方式，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施方式，都应当属于本申请保护的范围。

请参阅图1，本申请实施方式提供一种基于散点计算的仿真方法，所述仿真方法包括以下步骤。

步骤S1：建立仿真对象的几何模型并在所述几何模型上分布预设数量的散点，其中，各个散点与覆盖域相关联；

步骤S2：为所述几何模型设定边界条件及界面条件；

步骤S3：根据设定的边界条件及界面条件，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析，以确定所述几何模型上的场分布结果。

在本申请一个实施方式中，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析具体包括：

根据所述几何模型中的各个散点处的场函数以及形函数，确定各个散点处的近似函数；

为待分析的散点确定局部介点云，所述局部介点云分布于包含所述待分析的散点的局部域中；其中，所述局部介点云中包含多个介点，每个介点与各自的覆盖域相关联，各个覆盖域中均包含场节点集；

通过所述局部介点云中各个介点处的场函数和形函数，对所述待分析的散点的场变量进行近似计算，得到目标近似计算结果；

根据与各个介点相关联的覆盖域中包含的场节点集，分别对各个介点进行近似计算，得到各个介点对应的近似计算结果；

将所述各个介点对应的近似计算结果代入所述目标近似计算结果中，得到所述待分析的散点对应的场变量。

在本申请一个实施方式中，所述形函数由多项式核基函数向量以及权向量按照下述公式确定：

其中，φ_J(x)表示第J个散点对应的形函数，x表示散点变量，x_*表示目标散点，表示目标散点对应的多项式核基函数向量，w_J(x-x_*)表示第J个散点对应的权向量，p_J(x-x_*)表示第J个散点对应的多项式核基函数向量的转置，表示第J个散点对应的多项式核基函数向量。

在本申请一个实施方式中，所述各个散点处的近似函数按照下述公式确定：

其中，表示目标散点处的近似函数，N表示预设散点集中散点的总个数，表示第J个散点处的场函数。

在本申请一个实施方式中，所述目标近似计算结果按照下述公式确定：

其中，表示第I个待分析的散点对应的目标近似计算结果，φ_p(x)为第P个介点对应的形函数，表示第P个介点对应的场函数，N_p表示所述局部介点云中介点的数量。

在本申请一个实施方式中，按照下述公式确定所述各个介点对应的近似计算结果：

其中，为的近似计算结果，φ_J(x)为与第P个介点相关联的场节点集中的第J个节点对应的形函数，表示所述第J个节点对应的场函数，N_J表示与第P个介点相关联的场节点集中节点的数量。

在本申请一个实施方式中，所述待分析的散点对应的场变量按照下述公式确定：

其中，表示第I个待分析的散点对应的场变量，φ_p(x)为第P个介点对应的形函数，φ_J(x)为与第P个介点相关联的场节点集中的第J个节点对应的形函数，表示所述第J个节点对应的场函数，N_p表示所述局部介点云中介点的数量，N_J表示与第P个介点相关联的场节点集中节点的数量。

具体地，请参阅图2和图3，在一个实际应用场景中，首先可以通过近似移动最小二乘法(Approximate Moving Least Square，AMLS)来构建所述几何模型上各个散点处的场函数。AMLS中可以用完备多项式表示场函数的近似公式：

式中，x_*表示目标点或计算点，u_*(x)≡u(x_*)为目标场函数，为近似函数，为多项式核基函数向量，a(x-x_*)为系数向量。AMLS法基于散点集构造如下离散加权L₂范数：

式中,w_J(x-x_*)为权函数，可以选用的权函数有多种形式，本实施方式中选用Gauss型权函数，即其中，r_S为局部域Ω_S的半径尺度，α为形状参数，本实施方式中对其取值为α＝2.5。对式(2)定义的范数求其最小值，即，令则可解得

其中

式中表示按脚标符号J从1到N顺序排列的行矩阵，并有

将式(3)代入式(1)，则得到AMLS的近似函数公式，写为

其中，φ_J(x)即为AMLS形函数，并定义为

其一阶导数φ_J,i和二阶导数φ_J,ii分别写为

更一般的形式，φ_J(x)的d阶导数写为

由式(8)和(9)可看出，在该导数计算公式中，系数函数a(x-x_*)不必参与导数运算。这种处理不仅使算法更为简洁，而且更适用于本申请的方法。

在本实施方式中，无网格介点法的核心策略就是使用了一种“局部介点近似技术”，如图2所示。

对计算节点x_I，根据周边场节点信息严格定义其局部域数值实施中，局部介点云(图2中的“+”表示的点集)采用标准模板的方式通过局部坐标平移、尺度缩放和全局边界裁剪的方式布设在局部域上。局部介点云模板通过合理设计，在满足“第二几何条件”基础上可实现效率与精确性的平衡。

局部介点近似中，计算节点x_I的场变量通过其局部域上的介点执行近似，即

而任意一介点x_p的场变量通过其覆盖域上的场节点集{x_J}执行近似，即

将式(11)代入式(10)，则有

对于一般的低阶导数近似，其d阶导数近似公式写为

由式(12)的构造特点，对于高阶导数问题或一些特殊问题，还可以建立其导数分配机制，即将导数运算分别作用于局部域上的近似函数和覆盖域上的近似函数，本实施方式中将这种导数运算较为自由的分配在不同近似空间的计算规则定义为“d适应性”，其d阶导数近似公式更一般的形式应改写为

可见，计算节点x_I的场变量的近似是在其支撑域上分两步完成，如图3所示，而支撑域是各介点x_p对应的覆盖域的并集，即

在本实施方式中，为便于介绍无网格介点法的离散规则，考虑一定义域为Ω,边界为Γ上的单变量泊松方程求解问题，该问题的定解条件为：

则，无网格介点法的数值离散如图3所示。无网格介点法求解系统方程写为K·U＝F,其中U为场节点的待求场向量。则按节点x_I组装的离散系统方程形式为:

这样，结合式(16)和(17)，从而可以求解得到待求场向量U。

请参阅图4，本申请实施方式还提供一种基于散点计算的仿真系统，述仿真系统包括：

散点分布单元100，用于建立仿真对象的几何模型并在所述几何模型上分布预设数量的散点，其中，各个散点与覆盖域相关联；

条件设定单元200，用于为所述几何模型设定边界条件及界面条件；

场变量分析单元300，用于根据设定的边界条件及界面条件，对所述几何模型中的各个散点处的场变量进行分析，以确定所述几何模型上的场分布结果。

在本申请一个实施方式中，所述场变量分析单元300具体包括：

散点近似函数确定模块，用于根据所述几何模型中的各个散点处的场函数以及形函数，确定各个散点处的近似函数；

局部介点云确定模块，用于为待分析的散点确定局部介点云，所述局部介点云分布于包含所述待分析的散点的局部域中；其中，所述局部介点云中包含多个介点，每个介点与各自的覆盖域相关联，各个覆盖域中均包含场节点集；

目标近似计算结果确定模块，用于通过所述局部介点云中各个介点处的场函数和形函数，对所述待分析的散点的场变量进行近似计算，得到目标近似计算结果；

介点近似计算结果确定模块，用于根据与各个介点相关联的覆盖域中包含的场节点集，分别对各个介点进行近似计算，得到各个介点对应的近似计算结果；

场变量确定模块，用于将所述各个介点对应的近似计算结果代入所述目标近似计算结果中，得到所述待分析的散点对应的场变量。

在本申请一个实施方式中，所述散点近似函数确定模块按照下述公式确定所述形函数：

其中，φ_J(x)表示第J个散点对应的形函数，x表示散点变量，x_*表示目标散点，表示目标散点对应的多项式核基函数向量，w_J(x-x_*)表示第J个散点对应的权向量，p_J(x-x_*)表示第J个散点对应的多项式核基函数向量的转置，表示第J个散点对应的多项式核基函数向量。

需要说明的是，上述各个系统功能模块的具体实现方式均与方法步骤中的描述一致，这里便不再赘述。

由以上本申请实施方式提供的技术方案可见，本申请实施方式在对几何模型进行分析时，不需要使用网格，只需要在几何模型上分布的散点。进一步地，在计算分析过程中，可以通过移动最小二乘核近似函数以及局部介点近似技术来实现无网格的离散分析方法，从而能够简洁、高效地对偏微分方程描述的数学、物理和工程问题进行分析。

上面对本申请的各种实施方式的描述以描述的目的提供给本领域技术人员。其不旨在是穷举的、或者不旨在将本发明限制于单个公开的实施方式。如上所述，本申请的各种替代和变化对于上述技术所属领域技术人员而言将是显而易见的。因此，虽然已经具体讨论了一些另选的实施方式，但是其它实施方式将是显而易见的，或者本领域技术人员相对容易得出。本申请旨在包括在此已经讨论过的本发明的所有替代、修改、和变化，以及落在上述申请的精神和范围内的其它实施方式。