一种多维多变量非高斯空间随机场模拟方法与流程

本发明涉及土木工程可靠度分析方法，尤其涉及一种多维多变量空间随机场模拟方法。

背景技术：

材料参数的空间随机场模拟是土木工程可靠度研究与设计领域的重要工作之一，由于土木工程材料在制造过程中制造工艺的缺陷常导致材料的物理力学性质在材料空间内存在一定的空间变异性，而非一个常数；同样，天然土体的工程性质由于受沉积、后沉积、化学风化和搬运等作用以及不同荷载历史的影响而呈现一定的空间变异性。因此，在对土木工程结构物进行安全评估时应当考虑材料、岩土体物理力学参数的不确定性，应当采用基于可靠度理论的土木工程设计理念，而提供材料参数的空间随机场是可靠度设计与研究的基础工作。

目前多维多变量非高斯空间随机场模拟方法方面的研究，主要是先通过给定的表征参数空间变化特性的相关距离，使用已有相干函数模型，建立参数的多维功率谱模型，再运用谱表示法生成多维多变量高斯空间随机场，然后根据材料参数的非高斯分布特性，运用非线性转换模型，得到符合给定分布特性的材料参数的多维多变量非高斯空间场。其核心步骤为：通过实验数据，求得参数的相关距离；建立各参数之间的目标多维非高斯功率谱矩阵；使用某个多维功率谱矩阵，采用谱表示法生成潜在的多维多变量高斯空间随机场；通过非线性转换，将潜在的多维多变量非高斯空间随机场转换为多维多变量非高斯空间随机场。

其中，最为困难的是“某个多维功率谱矩阵”的确定。传统的方法主要是直接使用目标多维非高斯功率谱矩阵，由于从高斯空间场转换到非高斯空间场采用了非线性转换，这样导致最终得到的非高斯空间随机的功率谱矩阵与目标功率谱矩阵不一，使得模拟结果存在误差。

技术实现要素：

发明目的：本发明的目的是提供一种采用迭代程序求解潜在多维高斯功率谱矩阵，从而使得所模拟的多维多变量非高斯空间随机场的功率谱与目标功率谱一致的多维多变量空间随机场模拟方法。

技术方案：一种多维多变量非高斯空间随机场模拟方法，包括如下步骤：

(a)通过参数的相关距离，建立参数之间的目标多维非高斯功率谱矩阵，给定一个目标多维非高斯功率谱矩阵与参数的分布特性；

(b)假定一个初始的多维高斯功率谱矩阵为目标多维非高斯功率谱矩阵；

(c)由上述多维高斯功率谱矩阵求解多维非高斯功率谱矩阵；

(d)比较多维非高斯功率谱矩阵与目标多维非高斯功率谱矩阵之间的误差；

(e)对目标多维非高斯功率谱矩阵、多维高斯功率谱矩阵以及多维非高斯功率谱矩阵进行分解；

(f)对分解后矩阵的元素采用指数型迭代公式进行迭代；

(g)通过对迭代后得到的元素求解新的多维高斯功率谱矩阵，并对矩阵元素进行标准化；

(h)对各个变量进行随机排序；

重复步骤(c)至步骤(h)，直到误差矩阵的平均误差大于前一次迭代的平均误差，得到潜在多维高斯功率谱矩阵；

(i)使用迭代得到的潜在多维高斯功率谱矩阵模拟多维多变量高斯空间随机场，再通过非线性变换，得到所要模拟的多维多变量非高斯空间随机场。

步骤(c)中，采用多维傅里叶变化公式，由所述多维高斯功率谱矩阵求解得到高斯互相关函数再根据下述公式求解得到非高斯互相关函数：

其中，φ[gj1,gk2；ρjk(ξ)]是第j个元素与第k个元素的在相关系数ρjk(ξ)下的联合正态分布函数，表示第j个函数概率分布函数的逆函数；

由所述非高斯互相关函数求解得到多维非高斯功率谱矩阵。

步骤(i)具体为：首先使用谱表示法将迭代得到的潜在多维高斯功率谱矩阵模拟多维多变量高斯空间随机场，其次通过基于高斯分布与目标分布之间的非线性转换关系，得到所要模拟的多维多变量非高斯空间随机场。

步骤(f)中，采用了以下指数型迭代公式：

其中，和为目标多维非高斯功率谱矩阵多维高斯功率谱矩阵以及多维非高斯功率谱矩阵分解后矩阵的元素，参数β用来控制收敛速率；参数β选取为0.5-2，优选为0.8-1.2。

工作原理：本发明提出了一种确定潜在高斯空间场模拟所用的多维高斯功率谱矩阵的迭代求解方法，得到能够使得最终的多维非高斯功率谱矩阵与目标多维非高斯功率谱矩阵一致的多维高斯功率谱矩阵；通过迭代求解得到的潜在多维高斯功率谱矩阵后，使用谱表示法模拟多维多变量高斯空间随机场，然后再通过目标概率分布函数与高斯分布之间的非线性转换，将其转化为多维变量非高斯空间随机场。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有如下优点：1、模拟方法的精度得到了显著的提高：本发明通过对多维高斯功率谱矩阵进行迭代求解，而非简单地将其假定为目标多维功率谱，保证了最终非高斯空间场功率谱矩阵与目标功率谱矩阵的一致性；2、迭代方法收敛性强：该方法直接通过多维高斯功率谱矩阵与多维非高斯功率谱矩阵之间的理论关系进行迭代求解，且求解过程中通过对分解后矩阵元素进行迭代，这样能够保证功率谱矩阵的正定性，从而保证迭代的收敛性。

附图说明

图1是本发明的迭代求解算法流程图；

图2是目标多维自功率谱示意图；

图3是各个变量的目标概率分布函数函数以及高斯分布函数；

图4(a)-4(c)分别为模拟得到的变量1、变量2和变量3的非高斯空间随机场示意图；

图5(a)-5(c)分别为模拟得到的变量1、变量2和变量3的概率分布函数与目标概率分布函数的比较示意图。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明的技术方案作进一步详细说明。

如图1所示，本实施例以模拟一个二维三变量非高斯空间随机场为例进行说明，包括以下步骤：

(a)给定一个目标多维非高斯功率谱矩阵与各参数的分布特性。假定各参数的多维自功率谱为：

其中，参数a1＝a2＝2且θ1＝10m,θ2＝2m；根据上述参数，得到的多维自功率谱如图2所示。

多维互功率谱为：

其中参数ρ13＝ρ31＝0.4,ρ12＝ρ21＝0.3，ρ23＝ρ32＝0.6。

如图3所示，假定高斯分布的概率密度函数为变量1，其服从对数正态分布；变量1的对数正态分布概率密度函数为变量2，其服从均值分布；变量2的均匀分布概率密度函数为变量3，其服从贝塔分布。

(b)假定初始的多维高斯功率谱矩阵为目标多维非高斯功率谱矩阵

(c)通过多维高斯功率谱矩阵，根据多维傅里叶变化公式，求解得到高斯互相关函数再根据下述公式求解得到非高斯互相关函数：

其中，φ[gj1,gk2；ρjk(ξ)]是第j个元素与第k个元素的在相关系数ρjk(ξ)下的联合正态分布函数，表示第j个函数概率分布函数的逆函数；

通过上述非高斯互相关函数求解得到非高斯功率谱矩阵的元素

(d)根据下述公式比较多维非高斯功率谱矩阵与目标多维非高斯功率谱矩阵之间的误差：

初始误差矩阵为：

(e)对目标多维非高斯功率谱矩阵多维高斯功率谱矩阵以及多维非高斯功率谱矩阵进行分解，分解得到的矩阵分别为和

(f)对分解后矩阵的元素按照下式进行迭代更新：

其中，和为目标多维非高斯功率谱矩阵多维高斯功率谱矩阵以及多维非高斯功率谱矩阵分解后矩阵的元素，引入参数β用于控制收敛速率，参数β的建议值为0.8-1.2，当收敛效果不好时，可以重新设定其值，然后再进行迭代，一般选取为0.5-2范围内值就能使得迭代有较好的收敛性；本实施例中，参数β选取为1。

(g)按照矩阵的逆分解求得新的多维高斯功率谱矩阵并对新生产的矩阵进行标准化；

(h)对各个变量顺序进行随机排序，每次迭代后对各个变量进行随机排序的思想，可以保证各个变量的收敛速度的一致性。

重复步骤(c)至步骤(h)，通过6次迭代，得到潜在多维高斯功率谱矩阵；最终的误差矩阵为：

上述矩阵中的各个元素，为功率谱矩阵各个元素的平均误差。

(i)使用迭代得到的潜在多维高斯功率谱矩阵使用谱表示法模拟得到潜在的多维多变量高斯空间随机场，然后再通过基于高斯分布与目标分布之间的非线性转换关系，得到所要模拟的多维多变量非高斯空间随机场，如图4(a)、图4(b)和图4(c)所示分别为模拟得到的变量1、变量2和变量3的非高斯空间随机场示意图。

图5(a)、图5(b)、图5(c)分别为模拟得到的变量1、变量2和变量3的概率分布函数与目标概率分布函数的比较；其中，5对应变量1的目标概率分布函数；6对应所模拟的空间场分析得到的变量1概率分布函数；7对应变量2的目标概率分布函数；8对应所模拟的空间场分析得到的变量2概率分布函数；9对应变量3的目标概率分布函数；10对应所模拟的空间场分析得到的变量3概率分布函数；通过对模拟的空间随机场进行分析，可以发现变量1、变量2和变量3的概率分布函数与目标概率分布函数一致。