用于估计应力强度因子的方法和用于计算相关使用寿命的方法与流程

本发明涉及机械部件中的裂纹扩展分析。这些部件主要用于飞行器，但可以是任何机械构件。扩展限定在具有一系列加载循环的疲劳导致扩展的环境中。

特别地，本发明涉及用于模拟、确定待分析数值建模部件的应力强度因子(下文称为sif)以及对sif进行插值的方法和系统。本发明还涉及用于计算待分析部件的使用寿命的方法和系统。

sif分解为由ki、kii以及kiii表示的三个量值，这三个量值分别对应于裂纹开口模式、平面剪切模式以及反平面剪切模式。

本说明书将针对ki给出，但可适用于其他量值。

数值裂纹扩展方法是非常有效的。例如，扩展有限元(xfem)或兼容的开裂方法使得可以可靠地预测裂纹扩展路径并计算沿裂纹前缘的sif。

然而，计算裂纹扩展时的使用寿命一般不包含在商业代码中或与工业要求不兼容。

这就是航空工业通常开发它们自己的用于计算使用寿命的代码的原因，该代码的运算基于裂纹扩展的数值模拟的结果的特定后处理。

对于给定的裂纹尺寸并在裂纹前缘的给定点，sif是表征裂纹尖端附近的载荷强度的量值。在疲劳加载循环过程中，裂纹将根据该量值的幅度或多或少地快速扩展。

裂纹扩展的数值模拟的作用是提供沿裂纹前缘和针对不同裂纹长度的sif值。

从该值的列表中，使用寿命计算代码必须能够根据裂纹扩展预测使用寿命。

然而，由于计算能力的原因，扩展增量(即数值模拟计算的迭代)不会取得太小，这意味着不是所有的裂纹长度都被模拟。

因此，为了成功执行使用寿命计算，必须在模拟扩展增量之间对sif进行插值。因此，必须采用有效的插值方法以便预测相关的使用寿命。

背景技术：

回想起来，本案例落在疲劳裂纹模型(即当施加多个加载循环时裂纹的演变的模型)的环境中。

一般通过有限元获得的3d开裂方法使得可以在每个扩展增量处沿裂纹前缘获得sif以及表征每个扩展增量的几何信息(裂纹前缘的节点坐标以及与裂纹的一个面相关的面和节点)。在实践中，对于每个扩展增量，只有沿裂纹前缘的最大sif(参见图1，每条曲线上的单个点p1、p2、p3、p4各自表示具有不同扩展增量的裂纹前缘f1、f2、f3、f4)涉及计算使用寿命。为了能够使用这些sif值，将这些sif值与相应的裂纹长度匹配是有用的。

随后，使用制表点之间的线性插值获得每个表列值之间的点。

关于这种对sif进行插值的方法存在两个主要缺点。

第一个缺点涉及如下事实：对于每个扩展增量，在形式中识别的sif是沿裂纹前缘的最大sif。换句话说，sif不一定对应于所识别的前缘的同一点(图1中的点涉及裂纹前缘的不同位置)。因此，使用这种方法不会考虑裂纹的三维几何形状以及裂纹随时间的演变，这必然会影响sif的演变。

第二个缺点涉及如下事实：这种方法不允许检查扩展增量是否足够细小。已经证明如果扩展增量太粗，则裂纹扩展使用寿命可能不保守。

这种方法还存在最后一个缺点，该缺点与必须考虑裂纹的几何形状有关，该几何形状可以是复杂的(例如分叉)。实际上，裂纹本质上是三维结构，并且提出了限定“裂纹长度”的问题。这严重地限制了该方法的应用。

存在用于计算裂纹扩展的理论方法。

例如，权重函数方法可用于根据非裂纹结构的应力场和裂纹几何形状计算应力强度因子sif(例如文献[1]、[2]和[3]—文献在说明书的末尾给出)。然而，该方法限于简单的情况，使得该方法不能作为一般规则使用。

从数学上来说，“干涉”方法更加复杂，但该方法使得可以半解析地确定开裂行为和前缘的稳定性(参见文献[4])。然而，大部分发展仅适用于至少半无限介质的假设。

技术实现要素：

因此，本发明提供一种用于在疲劳裂纹扩展模型的环境中估计数值建模部件中的应力强度因子的方法，该方法包括以下步骤：

-(e2)：从待分析部件的数值模型获得在待分析部件的不同点处模拟的多个值,所述多个模拟值包括：对于出现在部件的数值模型上的三维裂纹的不同的模拟扩展增量，在相关点处的应力强度因子的一组模拟值、这些点的位置以及与开裂表面有关的数据(节点坐标和限定裂纹的一个面的三维元素的面，元素的面能够以连接性表的形式存储)；

-(e3)：对于每个扩展增量及其一组模拟值，确定等效全局有效应力强度因子的转换幅度值以及经考虑的等效裂纹的转换长度，该转换幅度值对应于具有笔直前缘的平面裂纹的转换幅度值，所述转换值通过使数值模型的三维裂纹中消耗的能量与具有笔直前缘的平面裂纹的标准模型的裂纹中消耗的能量相等而确定，该能量本身根据应力强度因子确定；

-(e4)：在两个连续转换裂纹长度(a)之间对等效全局有效应力强度因子的转换幅度值进行插值；

-(e5)：存储由此使用相关的裂纹长度插值的等效全局有效应力强度因子的转换幅度值。

因此，本发明涉及一种全局方法，该方法“在热力学上”等效于具有笔直前缘的平面裂纹的方法。生成具有物理意义的长度的概念，该概念帮助克服先前所述的局限性。

所述方法由包括数据处理单元的系统实施。

本发明还涉及以下单独地或组合地采用的特征：

-插值步骤实施分段线性插值；

-插值步骤实施曲率能量最小化的插值；

-插值步骤包括以下子步骤：

使用线性插值进行插值；

使用曲率能量最小化的插值进行插值，这两个插值可以互换；

计算至少一个量值，该至少一个量值表示两个插值之间的应力强度因子的幅度值的差异，在对应于两个连续增量的两个裂纹长度值之间严格计算所述差异；

表示差异的所述量值与预定阈值进行比较；

如果表示差异的量值超过阈值，则生成指令以便根据待分析部件的数值模拟计算沿新的模拟前缘的应力强度因子(sif)值和两个连续增量之间的裂纹的位置值；

-该方法包括在获得步骤(e2)之前的计算步骤(e1)，该计算步骤在待分析部件中以裂纹演变的连续增量实施有限元(或扩展有限元)模拟，所述模拟由处理单元执行；

-在获得数据步骤(e2)中检索的数值数据通过有限元模拟或通过扩展有限元模拟获得；

-对于确定步骤(e3)，第一数据子集使得可以通过以下关系式找到能量释放率的有效幅度△g：

e^*＝e在平面应力中

e^*＝e/(1-υ²)在平面应变中

(△keff(s))²＝△geff(s)·e^*

其中，ki、kii以及kiii是分别对应于裂纹开口模式、平面剪切模式以及反平面剪切模式的sif系数，△keff(s)是有效应力强度因子的幅度，△geff是有效能量释放率的幅度，s是沿裂纹前缘的曲线的横坐标，e是杨氏模量，μ是剪切模量，e*是等效杨氏模量，ν是泊松比；

第二数据子集使得可以找到每单位裂纹前缘长度的开裂表面增量dsurf；

这些公式化使得可以获得消耗能量的值：

消耗能量＝∫裂纹前缘△geff(s)·dsurf(s)·dl

其中，该消耗能量与具有笔直前缘的平面裂纹的标准模型的裂纹的消耗能量相等，以下列形式表示：

其中，符号glob与该标准模型有关，并且l前缘是裂纹前缘的长度；

其中，由于使用具有埃尔贝裂纹闭合参数的帕里斯规律建模，使得在dsurf^glob和之间形成联系：

其中，c和n是帕里斯系数；

其中，通过使两种消耗能量相等，获得以下等式：

其中，借助于δgeff和δkeff之间的关系确定并且其中，确定surf^glob，即等效裂纹的转换长度a。

特别地，该第一数据子集包含裂纹前缘上相关点处的应力强度因子值以及这些点各自相关的位置，并且该第二数据子集包含与开裂表面有关的数据。

本发明还涉及一种用于估计数值建模部件的使用寿命的方法，其中，实施部件的使用寿命的计算，该计算涉及根据如先前所述的方法，根据等效裂纹长度进行插值的等效全局有效应力强度因子的转换幅度值。

本发明还涉及一种包括处理单元的系统，该处理单元包括计算装置和存储器，该单元配置成实施如先前所述的用于估计的方法或用于评估疲劳裂纹扩展使用寿命的方法。

本发明还涉及一种计算机程序产品，该计算机程序产品配置成由如先前所述的系统实施并且包括指令，该指令用于引起如先前所述的用于估计的方法或用于评估使用寿命的方法。

附图说明

根据仅为说明性的而非限制性的、必须参考附图阅读的以下说明，本发明的其他特征、目的和优点将显露出来，在附图中：

-图1示出了对于不同扩展增量的裂纹前缘；

-图2示出了用于实施本发明的系统；

-图3示出了待分析部件；

-图4示出了根据本发明的两种方法和相关的实施例；

-图5示出了通过热力学分析，根据能量等效理论，与来自三维裂纹的具有笔直前缘的平面裂纹等效转换的点；

-图6用两种插值方法即分段线性和曲率能量最小化示出了这些相同点；

-图7示出了多项式插值随多项式阶数的演变；

-图8示意性地示出了具有笔直前缘的平面裂纹；

-图9a至图9c示出了根据有限元的一般化并用于计算曲率能量的一维形状函数；

-图10至图10c示出了平滑度量的表示法的变化。

具体实施方式

参考图2，系统10用于对待分析部件20的应力强度因子(sif)k的值进行插值，数值建模该待分析部件。如引言中所示，sifk分解为三个数据ki、kii、kiii。说明书将仅针对ki给出。

待分析部件20是用于航空的部件，为此必须能够估计使用寿命。部件10典型地是如图3所示的压气机或涡轮风扇叶片、发动机盘、法兰、发动机支架、壳体。然而该列表是说明性的，因为对于实施该方法，不涉及部件的类型。

系统10包括例如计算机或服务器的数据处理单元12，该数据处理单元具有计算装置14，并且有利地具有存储器16，该计算装置配置成用于实施将在下文中更加详细地描述的方法。计算装置14例如可以是计算机的处理器、微处理器、微控制器等类型。存储器16例如可以是硬盘、“闪存”存储器或非定域化的“云”类型存储空间。

数据处理单元12还可适于实施待分析部件20的诸如有限元的数值模拟。对于每个模拟增量，有限元模拟使得可以获得与所述部件和裂纹扩展有关的数据。

特别地，对于每个扩展增量，可以获得一般沿裂纹前缘的相关点处的sif值以及这些点的位置。位置包括例如限定裂纹前缘的网格的节点的坐标。可以获得与开裂表面有关的数据：除了节点坐标之外，三维元件的面限定了裂纹的面之中的一个面。这些数据以连接性表的形式存储，该连接性表通常称为有限元。还可以获得其他数据，例如开裂表面的网格和前缘的网格。

参考图4，将描述用于对由有限元模拟的三维裂纹的sif值进行插值的方法100。

该方法100还有利地用于改进sif的插值。这将在后文描述。

在第一步骤e1中，在待分析部件10上执行数值模拟。该模拟使得可以获得上述数据。

在优选的实施例中，该模拟由有限元或扩展有限元执行。

该步骤e1由系统的处理单元12或由另一系统执行。

在两种情况下，实施由系统的处理单元12接收所述数据(在步骤e1期间生成)的步骤e2。更确切地说，针对每个模拟裂纹前缘，限定第一数据子集和第二数据子集，正如先前限定的，该第一数据子集包含裂纹前缘上相关点处的sif值以及这些点各自相关的位置，该第二数据子集包含与开裂表面有关的数据(限定裂纹前缘的节点坐标和裂纹的一个面的表面网格，例如相关的三维元素的面的连接性表)。在不同增量处具有多个模拟前缘，从而获得多个第一数据子集和第二数据子集。

这是插值方法本身的第一步骤，只要不一定明确地为了后面的插值而实施模拟步骤e1。

在步骤e3中，三维裂纹的几何形状的问题减少到具有笔直前缘的平面裂纹的问题。具有笔直前缘的平面裂纹是本领域技术人员已知的标准模型。为此，执行基于两个模型之间的消耗能量相等的热力学等效。物理基础解释如下。

对于无穷小的裂纹前缘的转换，以裂纹前缘的每单位长度的能量密度表示的热力学的第一原理，给出：

热力学的第二原理使得可以表示转换的不可逆性：

消耗能量密度总是正的。术语dsurf表示在无穷小的转换过程中裂纹前缘的每单位长度的裂纹表面的增量。这个量随长度是均匀的：它是该术语的“热力学”意义上的裂纹长度的一种增量。因此，该术语似乎是“物理”量值，该量值可以考虑用于具有物理意义的插值。

前述原理允许使初始的三维开裂问题等效于平面弹性力学中具有笔直前缘的平面裂纹的扩展问题。更一般地，考虑适应性弹力的情况，即材料最初已经能够经受塑性变形，但是在循环弹性疲劳载荷的作用下发生裂纹扩展。

温度场可以随时间演变，但温度场在空间上不变。因此，疲劳循环与温度相关。

一个建模假设在于，考虑到裂纹扩展规律是具有埃尔贝校正的帕里斯规律(文献[5]、[6])，该帕里斯规律通过下式给出：

其中，c(t)和n(t)是帕里斯规律的系数，且a(t)和b(t)是埃尔贝裂纹闭合规律的参数，δk是sif的幅度，该幅度使得可以省略负载比率(即比率r＝kmin/kmax)，并且△keff是sif的有效幅度，该有效幅度考虑了裂纹闭合的影响。δk和△keff之间的联系已经由埃尔贝建立。

现在，每次循环的开裂表面增量dsurf连接到有效应力强度因子的幅度△keff。

k(或等效△keff)与能量释放率g(或所述有效比率的等效幅度△geff)之间存在关系，该关系由下列关系式给出：

e^*＝e在平面应力中

e^*＝e/(1-υ²)在平面应变中

其中e是杨氏模量，e*是等效杨氏模量，μ是剪切模量，ν是泊松比。

在裂纹前缘的每个点处，并且对于使用步骤e1的数值模拟并在步骤e2中检索的每个扩展增量，sif是已知的。

根据定义，通过代替前述关系式中能量释放率和有效应力强度因子的幅度的值，获得能量释放率和有效应力强度因子的幅度之间的关系(s是沿裂纹前缘的曲线的横坐标)：

(△keff(s))²＝△geff(s)·e^*

在开裂过程中消耗的能量通过以下关系式获得(通过保留在无穷小的转换假设中，因此仅考虑一个加载循环)：

消耗能量＝∫裂纹前缘△geff(s)·dsurf(s)·dl

使用在步骤e1中通过数值模拟计算并在步骤e2中检索的、与开裂表面有关的数据，dsurf是已知的。

通过假设3d开裂问题与具有笔直前缘的平面开裂问题等效，可以使消耗能量与裂纹前缘长度相等。因此，合理地写成：

符号“glob”表示该数据特定于具有笔直前缘的平面开裂中的模型。

具有笔直前缘的平面开裂也遵守帕里斯扩展规律。因此，获得了：

通过使两种消耗能量相等并通过重写该等式，获得以下关系式：

然而，dsurf^glob/dn＝dsurf^glob(因为在此dn＝1，原因是仅考虑单个循环)随裂纹长度是均匀的。因此，dsurf^glob/dn＝dsurf^glob在第一次循环和最后一次循环之间的时间过程中的积分使得可以获得热力学意义上等效的裂纹长度surf^glob，记为长度a。实际上获得了具有物理意义的长度。

先前在和之间建立的关系式使得可以将有效sif的幅度注入到前述等式中。

因此，获得了连接平面裂纹的建模中的等效全局有效sif的幅度与作为裂纹长度surf^glob(即长度a)的函数的笔直前缘的关系。然后可以对这些数据进行插值。

这种物理结构在所有一般性意义上都是有效的。然而，需要知道每个加载循环的问题的所有信息，这一般在计算时间和用于保存所有结果的存储空间方面代价太高(应当模拟至少一千次循环)。通常在沿裂纹前缘没有固定的最大扩展增量或在给定循环次数(例如10、100或1000)上预积分的情况下进行有限元计算。这相当于对扩展增量的离散化进行去细化，以便减少计算时间。

因此，扩展规律替换为：

其中，coeff是允许多次循环预积分的系数。

这相当于通过系数ceq＝c·coeff和neq＝n修改帕里斯规律的系数c和n。

因此，和dsurf^glob之间的联系如下：

此外，术语dsurf(s)由两个模拟扩展增量之间的递增表面dsurfeq(s)替换(因此不是无穷小的)。

总之，上述推理大致通过执行前述替代来应用，并且仍然以相同的方式推导出等效裂纹长度。

因此，在步骤e3中，根据在步骤e2中检索的多个第一数据子集和第二数据子集(即以不同增量沿模拟裂纹的不同前缘的sif数据和与开裂表面有关的数据，这些数据的意思先前已经解释过)，确定sif的的全局有效幅度和具有笔直前缘的平面裂纹的相关长度a。该确定由处理单元12实施。

对于给定的裂纹前缘，sif的模拟数据使得可以找到k(第一数据子集)，并且使用前述等式使得可以计算并且开裂表面数据dsurfeq(第二数据子集)使得可以计算长度a。由于对应于每个前缘的多个数据，获得多个对

所获得的等效还可以应用于具有笔直前缘的平面裂纹。以下关系式表明系统保持不变：

由此可见，开裂表面相同，使得最终系统等同于初始问题。这证明了基于问题的热力学分析的方法的一致性。

图5示出了平面中的对的表示。参考图1给出了参考f1、f2、f3、f4，用于指示图表中的点对应于初始裂纹的哪个前缘。这是一种书写误用。

刚刚回想起来，目标是能够确定尚未进行数值模拟的裂纹状态(即严格发生在两个连续增量之间的状态)的sif。

为此，在步骤e4中，执行作为长度a的函数的的插值。插值由处理单元12的计算装置14执行。

可以根据几种方法执行插值。优选的是插值不为问题创建信息或添加最少的信息。为此，分段线性插值il或曲率能量最小化的插值imc将是合适的。只要两种插值可以具有不同的应用，还可以执行两种插值。

图6示出了这两种插值。

通过全局曲率能量最小化的插值可以看作是一种基于针对开裂问题的物理考虑的方法。实际上，关于该主题的科学文献表明，如果裂纹在没有分支的情况下扩展，则应力强度因子随裂纹扩展的演变可以由无限可微函数表示。这意味着计算这种函数的曲率是有意义的。

此外，在一些物理状态下，例如，在肥皂泡的物理现象中或更一般地在膜的物理现象中发生最小化曲率能量。

图7示出了三点之间的线性插值。该示例向我们表明，可以通过多项式对近似插值进行改进。多项式的阶数越高，近似得越好。还可以证明，当多项式的阶数趋向于无穷大时，线性插值和多项式近似之间的最大差异趋向于零。因此，线性插值可以看作是向无穷大处的极限的过渡，该线性插值将应用于无限可微函数。

该方法给在分段线性插值和基于曲率能量最小化的插值两者赋予“物理”特性。

执行插值在于使用至少应当遵守所考虑的问题的“物理现象”的原理完善缺失的信息，即不引入违反该问题所遵循的某些基本方程式的任何元素。

由于这个原因，曲率能量最小化的插值是一种“物理”方法，因为它与断裂力学的理论不矛盾。由分段线性插值组成的方法最初不是物理的，但可以看作是全局多项式插值方法的极限的过渡，该方法将是物理的并且通过扩展将使得分段线性插值方法也几乎是“物理的”。

关于线性插值方法的另一个观点是将线性插值方法看作一种最小化点之间的距离的方法。然后这种看待事物的方式将线性插值方法置于最佳方法的范畴中。线性插值使距离最小化，而另一种插值使在待连接点的位置约束下的曲率能量最小化。使距离最小化可看作是一种在不向初始问题引入附加信息的情况下连接点的手段，这将产生一种连续域。在第二种方法的情况下，引入至少一个附加信息片段，即该域是规则的。在这种情况下，从最小化待引入的物理信息的意义上讲，曲率能量最小化是最佳方法，然而从纯粹最小化数学信息的意义上讲，线性插值方法是最佳的。

最后，在步骤e5中，在插值步骤之后，存储插值数据，以便其他应用程序可以访问插值数据。存储典型地发生在存储器16中。该存储一般称为“形态”。该形态是给出作为裂纹长度的函数的应力强度因子的表格。

因此，插值步骤e4生成包含该形态(即将转换数据和插值的转换数据结合)的文本或表格的形式的文件。步骤e5在于存储该文件。

实际上，如引言中所示，获取形态一般用于计算部件的使用寿命。因此，参考图4，描述了用于确定待分析部件20的使用寿命的方法200。

在步骤e'1中，处理单元12接收在步骤e4中计算的和/或在前述方法的步骤e5中存储的形态。该检索步骤可简单地在于访问存储器16。

在步骤e'2中，实施一种用于计算部件的疲劳裂纹扩展使用寿命的方法。文献[7]描述了这种方法。

使用现有代码并用本发明提供的sif形态代替sif形态以确定裂纹扩展使用寿命，就足够了。

该方法200可以由不同于先前描述的系统来实施。

误差细化

当所有关于待解决的问题的信息都可用时，不管使用何种插值方法，并且该插值方法满足问题的所有“物理”约束，插值的结果将总是相同的。典型地，在图6中的间隔i1上，插值直观上看起来具有良好的质量；在i2间隔上，插值直观上看起来具有较低的质量。

因此，可以将两个“物理的和/或数学的”最佳插值之间的差异看作是识别对于改进插值或插值的置信度有用的信息的缺乏的手段。

这种考虑帮助建立检查相关性的步骤，如图6所示。

在插值的两个可互换子步骤e41和e42中，执行线性分段插值和曲率能量插值。

注意，严格地在对应于两个模拟的连续增量的两个长度值之间，即严格地在插值区域中，存在两个插值之间的值的差异δ。

在子步骤e43中，计算这些差异δ中的至少一个，在子步骤e44中，这些差异δ中的至少一个与预定阈值vsp进行比较。

根据期望的插值质量选择预定阈值vsp。

还可以针对两个连续增量之间的每个区域比较这些差异的值，或者比较平均值或最大值等。因此，更一般地是参考表示差异的量值δr。该量值δr表明存在可由先前提到的函数量化的差异。

最后，执行有代表性的量值δr和阈值vsp之间的比较的子步骤e45。

如果有代表性的量值δr低于阈值vsp，则可认为这两个插值具有良好的质量，并且如果这两个插值已被模拟，则数据将接近两个插值的值。

如果有代表性的量值δr高于阈值vsp，则可认为存在太多关于插值的不确定性，并且获得新的模拟值是有用的，或者甚至是必需的。为此，根据数值模拟，典型地通过至少具有应力强度因子sif值和两个连续增量之间的裂纹前缘的位置的待分析部件20的有限元(或扩展有限元)，生成计算指令。换句话说，处理单元12发送指令以执行步骤e1的一部分，对于至少一个模拟，减少增量。

这被称为裂纹长度离散化的细化。

举例来说，2％的预定阈值vsp可以是合适的。标准取决于规格。

例如可以判定δr＝δ，并且对于长度a的给定值，只要δr/max就生成用于重新计算模拟的指令。

最后，存储步骤e5可以包括存储插值以及差异δr和/或差异δ的有代表性的量值两者。

附录1：曲率能量最小化的插值的示例

在平面弹性力学中具有笔直前缘的平面裂纹的环境中，曲率能量最小化的插值仅给出一致的物理预测和裂纹长度，如图8所示，其中σ表示应力。然而，先前描述的方法使得可以在热力学上将任何三维裂纹看作是满足这些性质的裂纹。

为了执行该插值，必须确定曲率能量。

函数f按以下方式定义(x是“虚拟”裂纹长度，先前称为a)：

附录2中解释了引入“虚拟”裂纹长度的必要性。

函数f被写为分段参考多项式函数的线性组合(共5阶线性组合，用于确保在“虚拟”裂纹长度的整个演变范围内的规则性c2，该线性组合涉及常规有限元的一般化)，如下给出：

第一个索引表明采用节点值的节点的数量。

第二个索引表明节点值的性质：

1：应力强度因子(sif)的节点值

2：相对于sif的变量z的导数的节点值

3：相对于sif的变量z的二阶导数的节点值

定义与这些形状函数相关的一维元素，使得第一节点位于z＝-1处，并且第二节点位于z＝1处。

与给出了作为“虚拟”裂纹长度的函数的应力强度因子的演变的曲线相关的曲线横坐标由下式给出：

注意：

注意，自由度和是已知的。优化将集中在其他自由度上。

由此获得以下式子(其中，lx是虚拟元素的长度)：

如下获得单位切向量：

图9a至图9c示出了形状函数c11、c12、c13、c21、c22和c23及其导数和二阶导数的值。注意，这些曲线满足这些形状函数在节点处的特定约束(0或1)。

现在可以计算曲线ki的单位切向量。先前给出的公式导致：

只剩下曲率的计算。为此，相对于曲线横坐标计算tx的导数：

为了确定相对于曲线横坐标的导数项，从曲线坐标到虚拟坐标的微分过渡公式表示为：

该矩阵方程是可逆的，这使得可以获得：

注意这使得可以容易地确定和最后，发现：

其中：

从中自动地推导出曲率：

现在必须解释矩阵diffx^-1。为此，使用以下常规2×2矩阵求逆公式：

其中det(a)＝a·d-b·c

因此：

寻求的最小化的函数如下(如果网格由n-1个元素组成)：

优选地，然后使用牛顿算法以确定使该函数最小化的参数因此有必要知道优化问题中涉及的量值的梯度向量和hessian矩阵(相对于未知变量)。

该算法可由处理单元12实施。

附录2：变尺度方法

图10a示出了具有不同扩展增量的前缘的点。注意，前缘的相同的两个点之间的距离在两个增量之间不是恒定的，这意味着与每个元素相关的长度尺度是不同的。然后将其称为不同的度量。

在元素之间施加规则性连接c2时，元素具有不同的度量(因此在交叉点处不连续)，这一事实导致数值的不稳定性。

另一种观点在于表明，元素对函数的贡献不同(由于它们的维度不同)，但这些元素传递的信息量相同。无论从何种观点来看，这都可以引起数值偏差，必须进行适当地处理。

为了解决这个问题，利用虚拟表示空间就足够了，在该虚拟表示空间中插值元素都具有相同的维度。例如，如果离散化的裂纹长度为x∈{0,1；0,2；0,4；0,6；0,8}那么将采用x虚拟∈{1；2；3；4；5；6；7；8；9；10；11}。

为了从虚拟表示转到真实表示，在两个参考系之间使用双射(参见图10b)。

使用与之前相同的插值函数。通过在每个节点上施加自由度和来实施两个表示空间之间的对应。然后，为了具有在每个元素之间以“软”方式演变的度量，实施先前描述的方法。该方法允许在两个表示空间之间获得平滑对应，如图10c所示。

文献：

[1]比克纳hgz(1970)，“一种计算应力强度因子的新原理”，德国应用化学，数学，动力机械，第50卷，第529-546页。

[2]赖斯j.r.(1972)，“关于弹性裂纹尖端应力场的一些评论”，国际杂志固体和结构，8，751-758。

[3]赖斯j.r(1989)，“三维弹性裂纹分析的权重函数理论”，断裂力学：展望与方向(第二十届研讨会)，美国材料与试验协会特殊技术出版物1020,r.p.wei和r.p.冈格洛夫，eds，美国材料与试验协会，费城，第29-57页。

[4]v.拉扎勒斯(1997)，“脆性断裂力学的一些三维问题”，论文，巴黎大学，6。

[5]w.埃尔贝，“疲劳裂纹闭合的意义”，美国材料与试验协会特殊技术出版物，486：230-242，1971。

[6]pc.巴黎，f.埃尔多安，1963，“裂纹扩展规律的临界分析”，杂志basiceng85，第528-534页。

[7]“nasgro-断裂力学与疲劳裂纹增长分析软件-参考手册”，第6.2版，2011年。