本发明涉及数学图论领域，尤其是涉及了一种基于局部顶点的生成树图重连方法。
背景技术：
图论在学科中属于离散数学，因此它具有离散数学的许多特点。图论中许多概念和理论的产生和发展是相互独立的，因而被分成许多相互独立的专题，其算法是解决问题的一系列步骤的集合，是离散数学重要的组成部分。图论具有直观、清晰、解决问题简捷等特点，更重要的是，实际中的许多实际问题可以划成等价的图论问题。正因为如此，图论具有广泛的应用价值：图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述，然后用数学方法求得最优结果。图论中所研究的“图”，是由若干个顶点和若干条连接两顶点的线段组成。通常顶点可用来表示事物，边缘用来表示这些事物之间的关系。图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型，便于计算分析和计算机存储，尤其在生成树同构的情况下，为了算法的简洁有效，需要进行局部定点的拆分重连，这样的做法可以应用在多方面领域。在城市规划领域，可以根据建筑物的重要程度与服务性质来赋予距离远近和面积大小的衡量，在城市中的适当位置进行勘探与建造；在安防监控领域，可以更合理地利用尽可能少的带宽、设备等资源，去覆盖更多的监控面积；在图像识别领域，可以利用合理的图例分割去寻找不同特征的片段，再使用多数表决的方式进行图像的定位及识别；此外，在航空航海领域的航道设计、在通讯网络或输电线的架设设计上，都能使用到基于图论的样本重连方法。但是，目前的重连方法多数采用随机速配的方法，很少考虑到全面性；同时其往往使用全局变动，使得计算量剧增，给有效应用带来困难。
本发明中提出了一种基于局部顶点的生成树图重连方法，首先定义机制以确定生成树图是否具有同构性质，防止在学习图的过程中产生结构变异；然后使用基于蒙特卡罗方法的重连框架对某边缘连接的头节点和尾节点进行拆分和重连，更新其相邻端点与节点，在一定条件下对此过程进行有限次数的迭代；对于重连框架生成的图，为了覆盖掉随机性带来的漏空率，对其提供遍历性质的验证，具体包括不可约性、非周期性和正递归性。本发明可以使用基于蒙特卡罗方法的生成树图拆分重连，提供基于马尔科夫链特性的验证过程，同时创新性地引出了基于固定节点数目的生成树图采样方法。
技术实现要素：
针对解决图论重连的问题，本发明的目的在于提供一种基于局部顶点的生成树图重连方法，首先定义机制以确定生成树图是否具有同构性质，防止在学习图的过程中产生结构变异；然后使用基于蒙特卡罗方法的重连框架对某边缘连接的头节点和尾节点进行拆分和重连，更新其相邻端点与节点，在一定条件下对此过程进行有限次数的迭代；对于重连框架生成的图，为了覆盖掉随机性带来的漏空率，对其提供遍历性质的验证，具体包括不可约性、非周期性和正递归性。
为解决上述问题，本发明提供一种基于局部顶点的生成树图重连方法，其主要内容包括：
(一)同构判断函数；
(二)重连框架；
(三)遍历性验证。
其中，所述的同构判断函数，给定两个图g1和g2，若存在双射函数θ:v(g1)→v(g2)使得二者图中的顶点数、边缘保持不变，即：
其中，{u,v}是图g1的一个边缘，θ(u),θ(v)是图g2中相对应的边缘；
如果两个图中所有的边缘都满足公式(1)，则可判断图g1和g2是同构的，即图
进一步地，所述的重连框架，使用基于蒙特卡罗方法的重连步骤，对图的集合进行重新采样，具体包括挑选节点、更新相邻端点和更新头节点。
其中，所述的挑选节点，在一个图中，首先将任意两个顶点间的连接线段定义为边缘，然后在所有服从均匀分布的边缘中，随机地挑选出一个边缘e，其本来的头节点和尾节点分别用h和t表示，其本来的相邻端点用v1和v2表示。
其中，所述的更新相邻端点，对随机挑选的边缘e，对头节点h和尾节点t都相邻的节点生成一个相邻节点集合s，即：
s＝{n(h)∪n(t)}\{h,t}(2)
其中，n(v)表示关于顶点v的相邻顶点集合；
当集合s服从均匀分布时，其概率分布为pm＝|s|-1(|s|为集合s中的元素个数)，因此集合s同时是一个除了v1和v2以外所有相邻端点的集合，即s＝{n(v1)∪n(v2)}\{v1,v2}；
然后从s中挑选一个节点m，用于移动实现图的顶点重连，得到新的相邻端点。
其中，所述的更新头节点，在边缘e的原头节点h与挑选的节点m拆分边缘，即
进一步地，所述的遍历性验证，对于重连框架中产生节点的随机性，针对重连过程中的n步转移概率，即：
进行验证计算，以确保该框架具有遍历性去覆盖随机性有可能产生的漏空率，具体包括不可约性验证、非周期性验证和正递归性验证，其中x和y分别为时间t和t+1的图。
其中，所述的不可约性验证，根据马尔科夫链特性，如果某模型存在一对变量(x,y)，当转移概率
其中，非周期性验证，由于当转移概率
其中，进一步地，所述的正递归性验证，根据有限状态的马尔科夫链特性，其静态分布π为：
其中，i和j分别是上一状态与下一状态，公式(4)含义在于当转移步数足够多的时候，达到最后一个状态的转移概率趋于恒定；由于重连框架不存在初始状态，因此该静态分布同样是适用于重连框架，下一状态趋于稳定，即具有正递归性。
附图说明
图1是本发明一种基于局部顶点的生成树图重连方法的框架图。
图2是本发明一种基于局部顶点的生成树图重连方法的应用结果实例图。
具体实施方式
需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互结合，下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。
图1是本发明一种基于局部顶点的生成树图重连方法的框架图。主要包括同构判断函数；重连框架；遍历性验证。
同构判断函数，给定两个图g1和g2，若存在双射函数θ:v(g1)→v(g2)使得二者图中的顶点数、边缘保持不变，即：
其中，{u,v}是图g1的一个边缘，θ(u),θ(v)是图g2中相对应的边缘；
如果两个图中所有的边缘都满足公式(1)，则可判断图g1和g2是同构的，即图
重连框架，使用基于蒙特卡罗方法的重连步骤，对图的集合进行重新采样，具体包括挑选节点、更新相邻端点和更新头节点。
挑选节点，在一个图中，首先将任意两个顶点间的连接线段定义为边缘，然后在所有服从均匀分布的边缘中，随机地挑选出一个边缘e，其本来的头节点和尾节点分别用h和t表示，其本来的相邻端点用v1和v2表示。
更新相邻端点，对随机挑选的边缘e，对头节点h和尾节点t都相邻的节点生成一个相邻节点集合s，即：
s＝{n(h)∪n(t)}\{h,t}(2)
其中，n(v)表示关于顶点v的相邻顶点集合；
当集合s服从均匀分布时，其概率分布为pm＝|s|-1(|s|为集合s中的元素个数)，因此集合s同时是一个除了v1和v2以外所有相邻端点的集合，即s＝{n(v1)∪n(v2)}\{v1,v2}；
然后从s中挑选一个节点m，用于移动实现图的顶点重连，得到新的相邻端点。
更新头节点，在边缘e的原头节点h与挑选的节点m拆分边缘，即
遍历性验证，对于重连框架中产生节点的随机性，针对重连过程中的n步转移概率，即：
进行验证计算，以确保该框架具有遍历性去覆盖随机性有可能产生的漏空率，具体包括不可约性验证、非周期性验证和正递归性验证，其中x和y分别为时间t和t+1的图。
不可约性验证，根据马尔科夫链特性，如果某模型存在一对变量(x,y)，当转移概率
非周期性验证，由于当转移概率
正递归性验证，根据有限状态的马尔科夫链特性，其静态分布π为：
其中，i和j分别是上一状态与下一状态，公式(4)含义在于当转移步数足够多的时候，达到最后一个状态的转移概率趋于恒定；由于重连框架不存在初始状态，因此该静态分布同样是适用于重连框架，下一状态趋于稳定，即具有正递归性。
图2是本发明一种基于局部顶点的生成树图重连方法的应用结果实例图。如图所示，从线型的图，可以同构性地通过重连框架，生成许多不同形状的生成树图，大大丰富了使用的范围，同时这些具有7个节点的图在图论上属于同一个图，因此具有同样的性质。
对于本领域技术人员，本发明不限制于上述实施例的细节，在不背离本发明的精神和范围的情况下，能够以其他具体形式实现本发明。此外，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。因此，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。