一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法与流程

本发明属于凸多面体不确定性参数条件下不确定性传播分析技术领域，特别涉及一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法，其在线性规划理论方法指导下实现含有凸多面体不确定性参数结构静力位移精确边界的准确评估，为实现含不确定性参数结构力学行为界限的准确表征提供了可借鉴的理论依据。

背景技术：

在结构设计与分析中，材料性能、结构尺寸和载荷条件的不确定性广泛存在。传统的结构静力问题是基于确定性模型分析和求解的。随着科学技术的发展，结构系统越来越复杂，其性能和行为要求也越来越高，结构设计必须考虑不确定性因素的影响。

目前处理不确定性问题的方法主要有三种：随机方法，模糊方法和非概率集合理论方法。随机方法最早应用于含有不确定性参数结构的分析，通过概率密度分布函数描述不确定性信息。模糊方法则是在确定性离散方程中引入模糊参数，设置一组截集水平确定隶属度函数，进而通过隶属度函数描述不确定性信息。然而，随机方法需要大量的样本信息以确定概率分布规律，且不够准确的概率分布有时会导致灾难性的后果，模糊方法的隶属度函数也通常根据经验或统计规律来决定，但在实际的结构设计中，不确定性信息经常匮乏，随机方法和模糊方法受到限制难以继续适用。

非概率集合理论方法因对试验数据样本容量依赖性小的优势而逐渐成为不确定性问题研究领域的热点方法。针对不确定性统计特征虽难以获得但其界限较容易确定的现状，非概率集合理论方法只需知道不确定变量所在范围就可以反映系统不确定性特征。作为非概率集合模型的典型模型之一，区间模型由于表达简洁、应用方便等特点受到国内外学者的关注，已经在基础理论和工程应用中取得了长足发展。然而，区间模型将不确定变量分别用独立的区间表征，而忽略了不确定变量间的相关性，往往会得到过宽的边界。目前，针对含有相关性不确定性参数结构静力位移评估，区间模型未能得到精确的位移边界，常因“过估计”现象而失去实际应用意义，不能为结构的可靠性评估和设计提供客观有效的数据。

因此，在已知输入参数不确定性边界等非概率信息条件下，如何由输入参数所在集合确定输出响应边界，从而更准地预测结构力学响应界限是解决结构强度设计问题的关键。本发明将重点探究含有凸多面体不确定性参数结构的静力响应问题，为实现含不确定性参数结构力学行为界限的准确表征提供技术保障。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法，充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性参数相关性，以提出的不确定性结构静力响应问题凸多面体模型作为静力位移边界评估的指导策略，利用线性规划理论方法，所得到的位移边界结果准确、符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法，该方法实现步骤如下：

第一步：考虑存在于结构刚度和外载荷中的不确定性参数，基于凸集合的定义，将结构刚度k和外载荷f不确定性参数分别表示为参数顶点的线性凸组合，即：

和

其中，kp(p＝1,2,…,m1)和fq(q＝1,2,…,m2)分别表示结构刚度凸多面体各顶点n×n维矩阵和外载荷凸多面体各顶点n维向量，m1和m2分别表示结构刚度和外载荷凸多面体顶点数量，αp(p＝1,2,…,m1)和βq(q＝1,2,…,m2)分别表示结构刚度和外载荷线性凸组合系数，α＝(αp)和β＝(βq)分别为其线性组合系数向量。

因此，结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)所在集合可以分别用如下凸多面体表示：

其中，k^s(α)和f^s(β)分别为结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)所在凸多面体集合。

第二步：利用第一步表征的凸多面体不确定性结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)，含有凸多面体不确定性参数的结构静力响应方程表达式如下：

k(α)u＝f(β)

其中，u为结构静力位移向量，其解集可表示为：

u＝{u:ku＝f,k∈k^s(α),f∈f^s(β)}

上式即为不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型。

静力位移向量边界如下：

其中，umin和umax分别为静力位移的下界和上界。

第三步：基于第二步建立的不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型，分别任取参数凸多面体内(含边界)的结构刚度kk和外载荷fl。此时，结构静力响应方程如下：

kkukl＝fl

其中，ukl为满足上述静力响应方程的静力位移向量。为简化表示，后续用u替代表示ukl。

向量u可以用两个正向量相减表示，即：

其中，u'和u”均为正向量，i表示单位矩阵。

利用如下向量、矩阵变换公式：

其中，y是2n维正向量，ak是n×2n维矩阵，ak所在集合为凸多面体，且其顶点与结构刚度凸多面体k＝k(α)的顶点存在一一对应关系。

从而，原静力响应方程可以用如下线性方程组表示：

aky＝fl

由于上述线性方程组未知量数2n多于线性方程数n，因此存在无穷多方程解向量y。

第四步：基于第三步转化得到的线性方程组，解向量y取得最大值ymax或最小值ymin时向量元素yi均同时取得最大值或最小值，即：

ymin＝y＝(yimin)＝(yi)

上式可以用标量y的最大值ymax和最小值ymin表示：

ymax＝y1max+y2max+…+y2nmax＝(1,1,…,1)ymax,ymin＝y1min+y2min+…+y2nmin＝(1,1,…,1)ymin

令c＝(1,1,…,1)^t，上式可表示为：

ymax＝c^tymax＝max{c^ty},ymin＝c^tymin＝min{c^ty}

因此，由于结构刚度kk和外载荷fl的任意性，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移边界可以用如下线性规划问题的标准形式表示：

max{c^ty}min{c^ty}

s.t.aky＝fl,s.t.aky＝fl

y≥0y≥0

第五步：基于第四步推导得到的线性规划问题标准形式，线性规划问题的最优解在可行域d＝{y:aky＝fl,y≥0}的顶点上取得，可以通过求解两个线性规划问题的可行域的各顶点值，获取线性规划问题的最优解，即最大值和最小值。

对于结构刚度和外载荷参数在各自定义域内变化，即各自凸多面体内(含边界)变化时，通过对结构刚度凸多面体各顶点矩阵和外载荷凸多面体各顶点向量进行组合，形成一系列线性规划子问题，或称之为组合线性规划问题如下：

max{c^ty}min{c^ty}

s.t.apy＝fqs.t.apy＝fq

y≥0,y≥0

p＝1,2,…,m1p＝1,2,…,m1

q＝1,2,…,m2q＝1,2,…,m2

其中，m1和m2为第一步提到的表示结构刚度和外载荷凸多面体顶点数量。

上述组合线性规划问题的最大值和最小值在可行域d＝{y:apy＝fq,y≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}的顶点上取得，可以通过分别求解一系列线性规划子问题的可行域的各顶点值来获得。将这些线性规划子问题的可行域顶点记为ypq,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2，这些顶点中的最大值和最小值分别为组合线性规划问题的最大值和最小值。即：

ymax＝max{ypq:apypq＝fq,ypq≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}

ymin＝min{ypq:apypq＝fq,ypq≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}

利用第三步中的向量变换公式，可以得到：

因此，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移上界和下界可以表示为：

umin＝u＝u'min-u”max

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了利用线性规划理论方法评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界的新思路，弥补和完善了区间模型方法由于没有考虑参数之间相关性导致“过估计”现象的局限性。所构建的不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型，与现有的不确定性传播分析方法相比，在已知凸多面体不确定性参数的顶点值的条件下基于线性规划理论方法即可实现含有凸多面体不确定性参数结构静力位移精确边界的准确评估，为含不确定性参数结构力学行为界限的快速预测和准确表征作出了积极贡献。

附图说明

图1是本发明针对含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移边界评估流程图；

图2是本发明实施例中十杆桁架示意图；

图3是本发明实施例中外载荷向量凸多面体示意图；

图4是本发明实施例中横截面积向量凸多面体示意图；

图5是本发明实施例中桁架节点3竖直方向静力位移边界图；

图6是本发明实施例中桁架节点4竖直方向静力位移边界图；

图7是本发明实施例中桁架节点5竖直方向静力位移边界图；

图8是本发明实施例中桁架节点6竖直方向静力位移边界图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法，包括以下步骤：

(1)考虑存在于结构刚度和外载荷中的不确定性参数，基于凸集合的定义，将结构刚度k和外载荷f不确定性参数分别表示为参数顶点的线性凸组合，即：

和

其中，kp(p＝1,2,…,m1)和fq(q＝1,2,…,m2)分别表示结构刚度各顶点n×n维矩阵和外载荷各顶点n维向量，m1和m2分别表示结构刚度和外载荷顶点数量，αp(p＝1,2,…,m1)和βq(q＝1,2,…,m2)分别表示结构刚度和外载荷线性凸组合系数，α＝(αp)和β＝(βq)分别为其凸组合系数向量。本发明中结构刚度各顶点矩阵kp(p＝1,2,…,m1)和外载荷各顶点向量fq(q＝1,2,…,m2)为已知量。

因此，结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)所在集合可以分别用如下凸多面体表示：

其中，k^s(α)和f^s(β)分别为结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)所在凸多面体集合；

此时，结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)被称为凸多面体不确定性参数。

(2)利用第一步表征的凸多面体不确定性结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)，含有凸多面体不确定性参数的结构静力响应方程表达式如下：

k(α)u＝f(β)

其中，u为结构静力位移向量。显然，由于结构刚度k＝k(α)和外载荷f＝f(β)为凸多面体不确定性参数，静力位移向量u也是不确定的，并且在某一范围内变化，其解集可表示为：

u＝{u:ku＝f,k∈k^s(α),f∈f^s(β)}

上式即为不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型。

静力位移向量边界如下：

其中：

umin＝u＝(uimin)＝(ui),

umin和umax分别为静力位移的下界和上界。

(3)基于第二步建立的不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型，分别任取参数凸多面体内(含边界)的结构刚度kk和外载荷fl。此时，结构静力响应方程如下：

kkukl＝fl

其中，ukl为满足上述静力响应方程的静力位移向量。为简化表示，后续用u替代表示ukl。

向量u可以用两个正向量相减表示，即：

其中，u'和u”均为正向量，i表示单位矩阵。

利用如下向量变换公式：

其中，y是2n维正向量。向量u可以表示为：

原静力响应方程可以写为：

kk(i-i)y＝fl

利用如下矩阵变换公式：

ak＝kk(i-i)

其中，ak是n×2n维矩阵。由于刚度矩阵kk和矩阵ak存在一一对应关系，且结构刚度集合k＝k(α)为凸多面体，则矩阵ak所在集合也为凸多面体，且其顶点与结构刚度凸多面体k＝k(α)的顶点也存在一一对应关系。

从而，原静力响应方程可以用如下线性方程组表示：

aky＝fl

由于上述线性方程组未知量数2n多于线性方程数n，因此存在无穷多方程解向量y。

(4)基于第三步转化得到的线性方程组，解向量y取得最大值ymax或最小值ymin时向量元素yi均同时取得最大值或最小值，即：

ymin＝y＝(yimin)＝(yi)

上式可以用标量y的最大值ymax和最小值ymin表示：

ymax＝y1max+y2max+…+y2nmax,ymin＝y1min+y2min+…+y2nmin

上式用向量的形式表示为：

令c＝(1,1,…,1)^t，上式可表示为：

ymax＝c^tymax＝max{c^ty},ymin＝c^tymin＝min{c^ty}

因此，由于结构刚度kk和外载荷fl的任意性，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移边界可以用如下线性规划问题的标准形式表示：

max{c^ty}min{c^ty}

s.t.aky＝fl,s.t.aky＝fl

y≥0y≥0

经过上述步骤，不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型即转化为线性规划问题的标准形式，问题的关键在于求解线性规划问题的最优解，即可得到静力位移边界。

(5)由线性规划理论单纯性法的三个定理可知，在单纯形aky＝fl,y≥0中，线性规划问题的最优解必在可行域d＝{y:aky＝fl,y≥0}的某个顶点上取得。因此，基于第四步推导得到的线性规划问题标准形式，可以通过求解两个线性规划问题的可行域的各顶点值，获取线性规划问题的最优解，即最大值和最小值。

对于结构刚度和外载荷参数在各自定义域内变化，即各自凸多面体内(含边界)变化时，通过对结构刚度凸多面体各顶点矩阵和外载荷凸多面体各顶点向量进行组合，形成一系列线性规划子问题，或称之为组合线性规划问题如下：

max{c^ty}min{c^ty}

s.t.apy＝fqs.t.apy＝fq

y≥0,y≥0

p＝1,2,…,m1p＝1,2,…,m1

q＝1,2,…,m2q＝1,2,…,m2

其中，m1和m2为第一步提到的表示结构刚度和外载荷凸多面体顶点数量。

上述组合线性规划问题的最大值和最小值在可行域d＝{y:apy＝fq,y≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}的顶点上取得。显然，单纯形apy＝fq,y≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2可看作由一系列线性规划子问题的单纯形组合而成。从而，所有这些线性规划子问题的最大值当中的最大值可以作为组合线性规划问题的最大值，所有这些线性规划子问题的最小值当中的最小值可以作为组合线性规划问题的最小值。进一步讲，组合线性规划问题的最大值和最小值可以通过分别求解一系列线性规划子问题的可行域的各顶点值来获得。将这些线性规划子问题的可行域顶点记为ypq,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2，那么，这些顶点中的最大值即为组合线性规划问题的最大值，这些顶点中的最小值即为组合线性规划问题的最小值，即：

ymax＝max{ypq:apypq＝fq,ypq≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}

和

ymin＝min{ypq:apypq＝fq,ypq≥0,p＝1,2,…,m1,q＝1,2,…,m2}

利用第三步中的向量变换公式，可以得到：

因此，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移上界和下界可以表示为：

umin＝u＝u'min-u”max。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的十杆桁架进行含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界评估。桁架中各杆长度均为l＝1m，材料弹性模量为e＝200gpa，在桁架的节点3和5分别作用竖直载荷p1和p2，杆①-⑥横截面积相等且都等于a1，杆⑦-⑩横截面积相等且都等于a2。由于制造和测量误差，外载荷向量p＝(p1p2)^t和横截面积向量a＝(a1a2)^t均为凸多面体不确定性参数，并且满足如下约束条件：

p∈p^s(α),a∈a^s(β)

其中，p^s和a^s分别为由已知外载荷凸多面体顶点向量pp,p＝1,2,3,4和已知横截面积凸多面体顶点向量aq,q＝1,2,3,4围成的集合。即：

和

其中，γ是变异系数，范围由0变化到0.1。

外载荷向量p＝(p1p2)^t凸多面体和横截面积向量a＝(a1a2)^t凸多面体分别如图3、图4所示。本实施例中需要评估桁架的节点3、4、5和6竖直方向静力位移边界。

结合本发明提出的凸多面体模型和静力位移边界评估方法，得到节点3、4、5和6的竖直方向静力位移边界分别如图5至图8所示。从结果中可以看出，相较于传统的区间模型方法，凸多面体模型方法得到的静力位移上界较小、下界较大，即得到了更窄的边界范围，结果准确且符合实际情况；区间模型方法由于没有考虑参数之间的相关性，得到了较宽的边界范围，即“过估计”现象；随着变异系数的增大，区间模型方法的“过估计”现象愈加突出，此时，本发明的优越性优势更加得以凸显。以上实施例验证了本发明针对含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界评估的可行性和准确性。

综上所述，本发明提出了一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法。该方法通过凸多面体表征结构尺寸、材料属性或外载荷等参数的不确定性，构建了不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型；进而，利用向量、矩阵基本变换与运算，推导了由线性规划问题标准形式表示凸多面体不确定性参数结构静力位移边界的数学表达；最后，利用线性规划理论，通过求解结构刚度凸多面体各顶点矩阵和外载荷凸多面体各顶点向量组合而成的一系列线性规划子问题的可行域顶点值，利用向量变换公式，完成了含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界的准确预测与可信评估。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含的分析领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。