一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法与流程

本发明涉及一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法，属于灌区输水渠道规划设计技术领域。

背景技术：

众所周知，渠道断面对过流能力、建造成本有重要影响，因此渠道断面优化设计是渠道设计的重要内容之一。水力最优断面是过流面积或湿周一定的情况下，通过流量最大的断面(或流量一定的情况下，过流面积或湿周最小的断面)，其不仅能使过流能力最大，还能使建造成本趋于最小，其被广泛应用于渠道设计中，是渠道设计的基础。已知的梯形渠道的水力最优断面是(其中b为底宽，h为水深，m为边坡系数)。

学者们普遍认为幂函数形渠道断面(y＝a|x|^k，k为变量)有如下优点：(1)幂函数形断面是各种抛物线形断面的通用形式；(2)幂函数形断面可以拟合各种自然或人工渠道形状。然而由于幂函数形断面k为变量，求解复杂，因此，现有的研究一般假设k取给定的值(k＝1、1.5、2、3)，然后分别建立一套模型求解最优断面。从目前公开的研究成果看,幂函数形断面的最优水力断面的湿周和正常水深计算还存在如下缺陷：

(1)根据数学知识，这些抛物线形断面(k＝1、1.5、2、3)均是幂函数形断面的一种特殊形式。幂函数形断面的通用形式是y＝a|x|^k(x为横坐标，y为纵坐标，a为形状系数，k为幂函数的指数)。当幂函数的指数k＝2时为传统平方抛物线形断面，当k＝1.5时为半立方抛物线形断面。目前的研究是针对特定的几种指数k(k＝1,2,3)，均分别建立了一套求解水力最优断面的方法，例如魏文礼等(2006)用极值法建立最优模型，得出半立方抛物线形断面的水力最优断面，han(2016)用椭圆积分函数法求解湿周，进而采用拉格朗日乘子法建立最优模型，并得出立方抛物线形断面的水力最优断面。这些方法都不适应于任意k值(例如k＝1.8、2.2等)。如何建立一套统一的数学模型，可以求解任意k值时的幂函数形渠道断面的水力最优解，是一个难题。如果能够建立一套简单实用的方法求解任意k值时的水力最优断面，就可以使问题得到简化。

(2)目前的研究只是针对特定的几种指数k。有研究结果的只是少数几种抛物线形明渠水力最优断面，包括有k＝1.5、2.0、3.0，不能解决任意指数k的最优断面问题。因为渠道设计时，合适的断面形状不仅需要考虑过流能力，还需要考虑水文地质条件、建设成本等因素。例如k＝1.8(y＝ax^1.8)的抛物线形断面可能更适合一个区域的水文地质条件，而k＝2.2(y＝ax^2.2)的抛物线形断面可能更适合另一个区域的水文地质条件。但目前还没有k＝1.8和k＝2.2时的研究成果，也没有k＝2.1、2.2、2.3、2.6、2.7、2.8、2.9、3.1……时的最优断面。

(3)幂函数形水力最优断面求解的难点在于湿周。常规方法是数值积分法，需要编制程序，难度大。在工程设计或管理实践中难以推广，也很难快速估算出湿周。因此迫切需要简易的算法，尤其是可以通过手算得到结果的算法，可以避免计算超几何函数或数值积分，为工程应用提供方便。

(4)众所周知，明渠均匀流水深和流量之间是非线性关系，根据流量计算水深时，一般要通过绘图法或解非线性方程得到。对幂函数形明渠，绘图法不仅需要通过积分法计算湿周，而且精度差，难以满足工程实践。解非线性方程的方法也需要通过数值积分方法计算湿周，求解正常水深的计算非常困难，不便于工程应用。因此，迫切需要不用积分，也不用求解非线性方程，通过人工手算就可以得到正常水深的算法简单，以满足工程实践需要。

技术实现要素：

针对现有技术的不足，本发明提出了一种求解通用幂函数形(y＝a|x|^k，k为变量)明渠水力最优断面的方法，能够快速得到k为任意变量时的幂函数形明渠水力最优断面的精确解，明显提高求解速度和精度。

本发明解决其技术问题采取的技术方案是：

本发明实施例提供的一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法，它包括以下步骤：

步骤1，表示通用幂函数形明渠的断面形状方程；

步骤2，求解明渠断面的水力要素；

步骤3，建立明渠的水力最优断面模型；

步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周；

步骤5，求解水力最优断面模型的最优解；

步骤6，提供一种快速求解幂函数形明渠水力最优断面的算法；

步骤5包括以下过程：

(1)将水力最优断面模型转化为一个求解幂函数最优断面的偏微分方程；

(2)将偏微分方程转化为一个关于宽深比η(水面宽度与水深的比值)和幂函数指数k的通用方程，得到任意给定k时的水力最优断面参数(最优宽深比η)；

(3)求解其它水力最优断面的参数。

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤1中，所述通用幂函数形明渠的断面形状方程采用下式表示：

y＝a|x|^k(1)

式中，a为明渠断面的形状系数,x为横坐标(m),y为纵坐标(m)，k为指数，且k≥1。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述步骤2的具体过程为：

设x＝b/2时，y＝h,则根据式(1)可得水面宽度b和形状系数a的关系：

式中，h为水深(m)，b为水面宽度(m)；

根据式(1)可得到水面处的边坡坡度为：

式中,z为水面处的边坡坡度；

根据式(1)和通用幂函数形明渠断面结构得到过水断面的面积a为：

通用幂函数形明渠断面的湿周p用积分表示为：

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤3中，所述明渠的水力最优断面模型为：

目标函数为过流面积最小，即：

最小化：

约束条件为均匀流条件下流量和断面尺寸之间满足曼宁公式：

式中，φ为约束条件函数,是关于h、b、k的函数。q为流量(m³/s),n为糙率,i为渠底纵坡(m/m)。

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤4中，明渠断面湿周的高斯超几何函数表达式为：

式中，g1是关于参数b、k和h的高斯超几何函数,g1的具体形式表示为：

设无量纲参数η＝b/h,则形状系数a、过水断面面积a和湿周p分别表示为：

a＝2^kη^-kh^1-k(11)

式中，

作为本实施例一种可能的实现方式，所述步骤5的具体过程包括以下步骤：

(1)幂函数最优断面的偏微分方程推导

根据最优化拉格朗日乘子法理论，以及明渠的水力最优断面模型的目标函数和约束条件构造出一个新的拉格朗日函数l：

最小化l＝a(η,h,k)+λφ(η,h,k)(15)

式中，l为拉格朗日函数，是关于h、b、k的函数；λ为拉格朗日乘子；

根据拉格朗日乘子法，将式(15)表示为：

由式(16)消掉λ得到：

将式(18)、(19)代入式(17)可以得到

由于a(h,η,k)＞0，可行解只有

式(21)即为求解幂函数水力最优断面的偏微分方程。

(2)幂函数形断面水力最优断面通用方程的推导

a(h,η,k)关于η和h的导数为：

p(h,η,k)(式(13))关于η和h的偏导数为：

式中，g1,g2为高斯超几何函数，它们分别表示为

将式(22)、(23)、(24)和(25)代入式(21)得到：

式(28)为求解幂函数明渠断面(y＝a|x|^k)k为任意值时的水力最优断面精确解的通用公式。具体方法为：给定任意k，求解式(28)得到水力最优断面宽深比η的精确解。例如k＝1.5时，将k＝1.5代入式(28)，简化后得到方程求解方程得到水力最优断面的参数η＝b/h＝2.0186。k＝1.0～6.0的结果见实施例表1；

(3)求解其它水力最优断面的参数

将η代入式(11)得到最优形状系数a，将η和k代入式(12)和(13)得到过流面积a和湿周p。具体方法见实施例。

相比现有技术，本发明将k看作变量，将复杂的幂函数明渠水力最优断面问题最终推导成了一个求解幂函数水力最优断面的统一方程(式(28))，求解这个方程就可以得到任意给定k值时的水力最优断面，使幂函数明渠水力最优断面的求解变得更为简单。避免了对任意k都需要重复步骤一到步骤五建立优化模型和推导方程的复杂过程。

进一步地,本发明提供一种快速求解幂函数形明渠水力最优断面的显式算法。

根据式(28)，根据式(28)，可得到k＝1.0～6.0时对应的水力最优断面的参数η(见实施例表1)，应用最优曲线拟合法得到k和η之间的关系为

相比现有技术，本发明进一步提供了一个显式的近似公式(29)，对任意给定k值，代入公式(29)，就能很容易得到最优宽深比η，进一步简化了幂函数最优水力断面求解方法，使求解更为简单，利用计算器就可完成。与求解方程法(公式(28))相比，公式(29)的相对误差在0.0003％与0.087％之间，说明公式(29)有很好的精度。

进一步的，本发明提供的一种简易的幂函数形明渠断面湿周的显式算法：

对公式(6)，应用高斯勒让德积分方法，可以得到幂函数明渠断面湿周的三点格式的近似算法：

式中，b可以通过式(2)得到.公式(30)的精度通过下述方法进行了检验：取a＝0.4，k＝1.5-3.0，步长0.5,h＝0.5-4.0。理论值通过(6)式或(9)式计算，两者结果相同。对比结果表明，公式(30)的相对误差在0.0003％与0.087％之间。表明公式(30)有很好的精度。其优点是可以通过手算，可以避免计算超几何函数或数值积分，为工程应用提供了方便。

进一步的，本发明提供的一种幂函数正常水深的迭代算法：

明渠均匀流水深和流量之间是非线性关系(式(8))，根据流量计算水深时，一般要通过绘图法或解非线性方程得到。绘图法不仅需要通过积分法计算湿周，而且精度差，难以满足工程实践。解非线性方程的方法也需要通过数值积分方法计算湿周，求解正常水深的计算非常困难，不便于工程应用。本发明的解决方案时：将式(30)和(5)代入式(8)，构造出一种正常水深的迭代算法为：

其中,

hj+1为正常水深第j+1次迭代值(m)，h为第j次迭代值(m)。

本发明实施例的技术方案可以具有的有益效果如下：

为克服幂函数形明渠水力最优断面求解困难和精度差的问题，本发明实施例技术方案采用高斯超几何函数表述通用幂函数形明渠的湿周，采用拉格朗日乘子法推导通用幂函数形明渠湿周的最优解，提出了一种利用高斯超几何函数和拉格朗日乘子法结合快速求解幂函数精确解的方法，解决了现有方法精度差、不连续(例如水面宽度与深度比为1时)及计算复杂的问题，不仅能够快速得到任意变量时的幂函数形明渠水力最优断面的精确解，而且明显提高了求解速度和精度。

现有的研究方法是将k值看作常量，针对不同的k值，采用不同的方法分别建立一套求解方法，而本发明提供了一种统一的求解方法。本发明将k看作变量，将复杂的幂函数明渠水力最优断面问题最终推导成了一个求解幂函数水力最优断面的统一方程，求解这个方程就可以得到任意k值时的水力最优断面，使幂函数明渠水力最优断面的求解变得更为简单，避免了对任意k都建立复杂模型和求解的复杂过程。根据幂函数水力最优断面的统一方程和曲线拟合法得到的快速求解幂函数形明渠水力最优断面的显式算法，幂函数水力最优断面的求解进一步简化，使用计算器就可得到最优宽深比。

附图说明

图1是根据一示例性实施例示出的一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法的流程图；

图2是根据一示例性实施例示出的幂函数形明渠的断面形状示意图；

图3是根据一示例性实施例示出的不同指数k时的幂函数形明渠的断面形状示意图；

图4是根据一示例性实施例示出的一种最优宽深比随幂函数指数变化的关系曲线图。

具体实施方式

为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。

图1是根据一示例性实施例示出的一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法的流程图。如图1所示，本实施例的一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法，它可以包括以下步骤：

步骤1，表示通用幂函数形明渠的断面形状方程。

图2是根据一示例性实施例示出的幂函数形明渠的断面形状示意图。所述通用幂函数形明渠的断面形状方程可以采用下式表示：

y＝a|x^k|(1)

式中，a为明渠断面的形状系数,x为横坐标(m),k为指数，且k≥1,y为纵坐标(m)。

当k为不同值时的断面形状如图3所示。k＝1时,断面形状为常见的三角形断面，k＝2时为常见的平方抛物线形断面。幂函数形断面是各种抛物线形断面的通用形式，k值可以是任何大于1的值，因此可以产生无数断面形式。另外幂函数形断面可以拟合各种自然或人工渠道形状。

步骤2，求解明渠断面的水力要素。

根据式(1)和图2可知，当x＝b/2时，y＝h,则可得水面宽度b和形状系数a的关系：

式中，h为水深(m)，b为水面宽度(m)；

根据式(1)可得到水面处的边坡坡度为：

式中,z＝水面处的边坡坡度；

根据式(1)和图2所示的通用幂函数形明渠断面结构得到过水断面的面积a为：

通用幂函数形明渠断面的湿周p用积分表示为：

步骤3，建立明渠的水力最优断面模型。

水利工程中，水力最优断面定义为过流面积或湿周一定的情况下，通过流量最大的断面，或流量一定的情况下，过流面积或湿周最小的断面。本实施例采用后者。需要说明的是，两种定义求解得到的最终结果是一样的。

所述明渠的水力最优断面模型为：

目标函数为过流面积最小，即：

最小化：

约束条件为均匀流条件下流量和断面尺寸之间满足曼宁公式：

式中，φ为约束条件函数,q为流量(m³/s),n为糙率,i为渠底纵坡(m/m)。

步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周。

明渠断面湿周的高斯超几何函数表达式为：

式中，g1是关于参数k、b和h的高斯超几何函数,g1的具体形式表示为：

设无量纲参数η＝b/h,则形状系数a、过水断面面积a和湿周p分别表示为：

a＝2^kη^-kh^1-k(11)

式中，

步骤5，求解水力最优断面模型的最优解。

(1)幂函数最优断面的偏微分方程推导

根据最优化拉格朗日乘子法理论，以及式(7)和式(8)所示的明渠的水力最优断面模型的目标函数和约束条件构造出一个新的拉格朗日函数l：

最小化l＝a(η,h,k)+λφ(η,h,k)(15)

式中，l为拉格朗日函数，是关于h、b、k的函数；λ为拉格朗日乘子；

根据拉格朗日乘子法，将式(15)表示为：

由式(16)消掉λ得到：

将式(18)、(19)代入式(17)可以得到

由于a(h,η,k)＞0，可行解只有

式(21)即为求解幂函数水力最优断面的偏微分方程。

(2)幂函数形断面水力最优断面通用方程的推导

a(h,η,k)关于η和h的导数为：

p(h,η,k)(式(13))关于η和h的偏导数为：

式中，g1,g2为高斯超几何函数，它们分别表示为

将式(22)、(23)、(24)和(25)代入式(21)得到：

式(28)为求解幂函数明渠断面(y＝a|x|^k)k为任意值时的水力最优断面精确解的通用公式。

(3)求解其它水力最优断面的参数

将η代入式(11)得到最优形状系数a，将η和k代入式(12)和(13)得到过流面积a和湿周p。具体方法见实施例。

相比现有技术，本发明将k看作变量，将复杂的幂函数明渠水力最优断面问题最终推导成了一个求解幂函数水力最优断面的统一方程(式(28))，求解这个方程就可以得到任意给定k值时的水力最优断面，使幂函数明渠水力最优断面的求解变得更为简单。避免了对任意k都需要重复步骤一到步骤五建立优化模型和推导方程的复杂过程。

以k＝1.5为例。将k＝1.5代入式(28)，简化后得到方程

求解式得到k＝1.5时的最优宽深比

η＝b/h＝2.0186

这个结果与采用建模、优化等复杂过程而得到的结果相同。将η＝b/h＝2.0186代入式(11)可以得到求解最优形状系数的显式计算公式为：

a＝0.98621h^1-k＝0.98621h^-0.5

将η和k代入式(12)和(13)可以得到求解过流面积和湿周的显式计算公式为：

a＝1.21116h²,p＝2.89272h

将a＝1.21116h²和p＝2.89272h代入式(8)，可以得到最优断面根据水深计算流量的显式计算公式为

求解得到求解正常水深h的显式计算公式为：

h＝1.15698φ^3/8

式中，将h＝1.15698φ^3/8代入式(3)，可以得到根据流量q计算形状系数a的显式计算公式为：

a＝0.91686φ^-3/16

用同样的方法，将任意k值(此处k＝1.0,1.5,2.0,2.3,3.0,3.5,4.0)代入式(28)，进而可以得到不同k值时的幂函数最优水力断面宽深比及其它参数，如表1所示。

表1不同k值时幂函数明渠水力最优断面的计算结果

表1中，μ＝φ^3/8。

本发明提供的一种快速求解幂函数形明渠水力最优断面的算法：

根据式(28)，根据式(28)，可得到k＝1.0～6.0时对应的水力最优断面的参数η，应用最优曲线拟合法得到k和η之间的关系为

相比现有技术，本发明进一步提供了一个显式的近似公式(29)，对任意给定k值，代入公式(29)，就能很容易得到最优宽深比η，进一步简化了幂函数最优水力断面求解方法，使求解更为简单，利用计算器就可完成。与求解方程法(公式(28))相比，公式(29)的相对误差在0.0003％与0.087％之间，说明公式(29)有很好的精度。

本发明提供的一种简易的幂函数形明渠断面湿周的显式算法：

对公式(6)，应用高斯勒让德积分方法，可以得到幂函数明渠断面湿周的三点格式的近似算法：

式中，b可以通过式(2)得到.公式(30)的精度通过下述方法进行了检验：取a＝0.4，k＝1.5-3.0，步长0.5,h＝0.5-4.0。理论值通过(6)式或(9)式计算，两者结果相同。对比结果表明，公式(30)的相对误差在0.0003％与0.087％之间。表明公式(30)有很好的精度。其优点是可以通过手算，可以避免计算超几何函数或数值积分，为工程应用提供了方便。

本发明提供的一种幂函数正常水深的迭代算法：

明渠均匀流水深和流量之间是非线性关系(式(8))，根据流量计算水深时，一般要通过绘图法或解非线性方程得到。绘图法不仅需要通过积分法计算湿周，而且精度差，难以满足工程实践。解非线性方程的方法也需要通过数值积分方法计算湿周，求解正常水深的计算非常困难，不便于工程应用。本发明的解决方案时：将式(30)和(5)代入式(8)，构造出一种正常水深的迭代算法为：

其中,

hj+1为正常水深第j+1次迭代值(m)，h为第j次迭代值(m)。

其优点是不用积分，也不用求解非线性方程，通过人工手算就可以得到正常水深，算法简单，可以更好地满足工程实践。

下面描述本发明的2个具体算例：

(1)一幂函数形明渠，q＝11.0m³/s,i＝1/11000,n＝0.014.根据边坡稳定性分析k＝1.8可以满足工程需要.将k＝1.8代入公式:

可以得到理论最优宽深比η＝2.0407。代入公式的简易计算公式可以得到η＝2.0408。可见两者误差非常小。

(2)一幂函数形明渠y＝ax^k,k＝2.1,q＝8.0m³/s,i＝1/9000,n＝0.014.将k代入公式简易计算公式可以得到η＝2.0627，而代入公式：

可以得到理论值η＝2.0626。可见两者误差非常小。

本发明根据方程幂函数水力最优断面方程，利用最优拟合法，得出了根据任意k值计算最优水力断面宽深比η的显式算法进一步简化了幂函数最优水力断面求解方法，使求解更为简单，利用计算器就可以完成。

本发明提供了一种简易的幂函数形明渠断面湿周的显式算法，分析结果表明其相对误差在0.0003％与0.087％之间，具有很好的精度。其优点是可以通过手算，可以避免计算超几何函数或数值积分，为工程应用提供了方便

本发明提供一种幂函数正常水深的迭代算法，克服了现有绘图法及求解非线性方程的缺点。因为对幂函数形明渠，绘图法不仅需要通过积分法计算湿周，而且精度差，难以满足工程实践。解非线性方程的方法也需要通过数值积分方法计算湿周，求解正常水深的计算非常困难，不便于工程应用。本方法的优点是不用积分，也不用求解非线性方程，通过人工手算就可以得到正常水深，算法简单，可以更好地满足工程实践。

以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。