一种面向小景深系统的单视图线性摄像机标定方法与流程
本发明涉及一种摄像机标定技术，尤其是面向小景深系统的、基于畸变校正的单视图线性摄像机标定技术。
背景技术
摄像机标定是三维视觉检测领域中的基本问题。作为检测系统中信息获取单元的摄像机，其参数标定的精度将直接影响到测量结果，因而是视觉测量中的关键和前提。对高精度视觉检测系统而言，采用针孔摄像机模型描述是不充分的，通常还需考虑镜头的畸变模型。
传统摄像机标定方法利用已知靶标控制点的图像坐标及对应的世界坐标估计摄像机的内部参数和外部参数的初值，与镜头畸变参数一起进行非线性优化搜索，估计出所有参数的最优解，代表性的方法包括tsai两步法以及基于平面标靶的张正有标定算法。这类方法一般需要采集多幅高质量的标定图像，并对标定图像的拍摄角度有一定限制。其中，tsai两步法虽然只需要一幅标定图像，但其假设图像只有一阶径向畸变，限制了标定精度，同时要求摄像机光轴与棋盘格标定板平面之间夹角小于60度，并且需要对图像主点坐标和尺度因子进行预标定。而张正有标定算法则需要至少三幅不同角度拍摄的标定图像，拍摄时要求摄像机光轴与棋盘格标定板平面夹角为45度，上下浮动不超过5度。这类方法将畸变模型与线性针孔模型的参数耦合在一起进行非线性优化搜索，标定过程较为复杂耗时，标定结果也难以保持一致性。同时，由于标定板成像时需要大的倾斜角度，对摄像机的景深要求高，因此无法应用于小景深的摄像机标定。
另一类是非量测摄像机标定方法。该类方法根据空间直线在理想透视投影后仍为直线的性质，建立表征直线畸变的测度函数，进而进行相机参数标定。如张广军等人提出了基于交比不变原理的畸变系数标定方法，陈茹雯等人采用自回归序列进行校正。这两种方法都是仅需要单张图像，但仅完成了图像的畸变校正，求解出镜头畸变系数，并未完成摄相机内外部参数的求解。周富强等人提出了共线点的畸变校正方法，并建立了摄像机的畸变分离模型，采用单张图像，利用非量测的方法完成摄像机标定。但该方法在非量测标定过程中并未考虑主点坐标，直接将像平面的几何中心作为主点处理，同时假设图像只有一阶径向畸变，标定精度有待提高。通常，由于装配等原因，主点坐标和像平面的几何中心往往存在差异，而畸变主要成分的径向畸变往往是以主点坐标呈中心对称的，像点越远离主点坐标，畸变程度越大，所以在非量测校正过程中不能忽略主点的影响。张靖等人考虑了主点的影响，通过遗传算法得到畸变参量和主点坐标，但要求至少两幅图像进行分别校正和联合校正，算法实现繁琐，计算量较大。
技术实现要素：
为了克服现有摄像机标定方法步骤复杂、效率低、稳定性较差、且多数不能应用于小景深系统的问题，本发明提出一种面向小景深系统的、基于畸变校正的单视图线性摄像机标定方法，基于棋盘格标定板完成图像的畸变校正，使用无畸变图像在张正有标定算法基本思想的基础上进行线性标定，不仅解决传统摄像机标定方法多数无法在小景深系统下标定的难题，同时也避免大量参数耦合对解的影响，以简化现有非量测摄像机标定方法，提高标定精度。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：
步骤一，以水平放置的棋盘格标定板为参考物，定义世界坐标系ow-xwywzw，原点ow位于棋盘格标定板的左上角，xw轴正方向水平向右，yw轴正方向水平向外，zw轴正方向竖直向上；定义像素坐标系uo0v，原点o0位于图像左上角，u轴正方向水平向右，v轴正方向竖直向下；定义图像坐标系xo1y，原点o1位于图像几何中心处，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下；
水平放置棋盘格标定板，使标定板坐标系与图像坐标系的横轴和纵轴分别平行，对应坐标轴夹角小于10°，垂直拍摄一张棋盘格标定板原始图像iorig；
在像素坐标系下的原始图像iorig中按照垂直关系选择三个点，分别为棋盘格标定板上任意两条相互垂直的直线的交点a和每条垂线上的一个点b、c，三点在无畸变的理想图像中的位置坐标分别为(u′1，v′1)，(u′2，v′2)，(u′3，v′3)，在iorig中的实际位置坐标分别为(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)；仅考虑一阶径向畸变时，有：
其中，δv1＝v1-vc，δu1＝u1-uc，
δv2＝v2-vc，δu2＝u2-uc，
δv3＝v3-vc，δu3＝u3-uc，
(uc，vc)为图像中心；
一阶径向畸变系数k1的一元二次求解方程为
其中，
n＝n1+n2；
ω＝(v3-v1)(v2-v1)+(u3-u1)(u2-u1)；
通过三个点解得k1的两个值k11和k12，按以下方法筛选符合条件的值：
①令k1＝k11，在直线ab上任取一点d，根据点a、d计算直线斜率kad1，同理根据点a、b计算斜率kab1，记两斜率之差为⊿1＝|kad1－kab1|；
②令k1＝k12，计算两斜率之差⊿2＝|kad2－kab2|；
③取两斜率之差较小者对应的k1值作为符合条件的解；
对原始图像根据k1进行初级畸变校正，并利用双线性插值算法对校正产生的像素间隙进行填充，得到初级畸变校正后图像ifc-orig；
步骤二，利用harris亚像素角点检测算子在初级畸变校正后图像ifc-orig上提取控制点，组成若干条直线，设第i条直线方程为aiu+biv+ci＝0，其中(ai，bi，ci)t为第i条直线方程系数，(uij，vij)为harris亚像素角点检测算子在ifc-orig上提取得到的控制点坐标，0＜i≤m，0＜j≤n；m为harris亚像素角点检测算子在ifc-orig上提取的控制点组成的直线条数，其最大值为棋盘格标定板上水平或垂直方向黑白格的交点数；n为用于拟合第i条直线的控制点个数，其最大值为棋盘格标定板上垂直或水平方向黑白格的交点数；解得直线方程系数如下：
其中：
得到第i条直线方程的斜率ki＝-ai/bi，作为无畸变的理想直线斜率；用剩余的控制点重复本步骤，计算出所有控制点拟合的直线的斜率；
设与(uij，vij)对应的无畸变理想图像的像素点坐标为
所述的畸变参数模型
其中
建立畸变校正指标函数
采用lm算法求解上述非线性误差函数，首先，计算f对每个参数的偏导数，得到雅克比矩阵，经过若干步迭代得到四个畸变系数的值k1、k2、p1、p2的值；
将求得的一阶、二阶径向畸变系数k1、k2和切向畸变系数p1、p2代入畸变参数模型，得到摄像机镜头的二阶畸变模型；使用该二阶畸变模型对初级畸变校正后图像ifc-orig进行二次校正，得到二次畸变校正后图像isc-orig；
步骤三，调整摄像机与棋盘格标定板的相对位置，相对于拍摄原始图像iorig时的位置，仅改变物距，拍摄一张二次拍摄棋盘格图像isond；假设物距由d1变为d2时，同一控制点在图像坐标系下的坐标由(u″1，v″1)变为(u″2，v″2)，则有：
利用已求得的二阶畸变模型，对二次拍摄棋盘格图像isond进行畸变校正，得到二次拍摄棋盘格校正图像ic-sond；利用harris亚像素角点检测算子，在原始图像的二次畸变校正后图像isc-orig和二次拍摄棋盘格校正图像ic-sond上分别提取对应的n″个控制点，n″>1；利用同一控制点在不同物距下的图像坐标进行直线拟合，在最小二乘意义下，各拟合直线的交点即为图像主点(u0，v0)；
已知世界坐标系和图像坐标系之间的转换关系为sm＝k[rt]t，其中s为任意的比例因子，m＝[u，v，1]t为某点在像素坐标系中的齐次坐标，t＝[xw，yw，zw，1]t为该点的在世界坐标系中的齐次坐标，k为内参数矩阵，r为旋转矩阵，t为平移向量；由于棋盘格标定板放置在xwowyw平面内，故其zw＝0，设旋转矩阵r＝[β1β2β3]，βδ(δ＝1，2，3)代表矩阵r的第δ列元素，有：
令单应性矩阵h＝k[β1β2t]，表达式如下：
设h33为1，记此时的单应性矩阵为h1；
使用harris亚像素角点检测算子，在二次畸变校正后图像上提取m条直线，每条直线提取n个控制点；将这m×n个控制点的图像坐标及其对应的世界坐标代入公式计算得到矩阵h1；
设hσ表示单应性矩阵h所在列(σ＝1，2，3)，[h1h2h3]＝λh1，其中λ是h1与h的任意比例因子；
将已求得的单应性矩阵h和图像主点(u0，v0)代入求得参数fu，fv，λ，从而得到内参数矩阵k；
其中：
e11＝(h11-h13u0)(h21-h23u0)；
e12＝(h12-h13v0)(h22-h23v0)；
e21＝(h11-h13u0)2-(h21-h23u0)2；
e22＝(h12-h13v0)2-(h22-h23v0)2；
将求得的单应性矩阵h、内参数矩阵k以及比例因子λ代入计算外参数矩阵，即旋转矩阵r＝[β1β2β3]和平移向量t，
β1＝λk-1h1
β2＝λk-1h2
β3＝β1×β2
t＝λk-1h3
至此，利用一张与摄像机成像平面水平放置拍摄的棋盘格标定板图像，完成了摄像机畸变参数和内外参数的标定。
本发明的有益效果是：使用棋盘格标定板，提出了一种面向小景深系统的、基于畸变校正的单视图线性摄像机标定方法。本发明计算一阶径向畸变系数，用于对原始图像进行初级校正，避免了大量奇异点对后续直线拟合精度的影响；提取控制点，进行基于正交距离的直线拟合，得到精准的控制点组成直线的斜率，根据共线点斜率相等的约束条件建立畸变校正指标函数，并利用优化算法对其优化处理得到所有畸变参数，该方法将畸变参数从摄像机模型中分离出来，不需要将畸变参数纳入到摄像机模型进行多次重复标定，避免了传统摄像机标定方法将畸变参数和内外参数耦合带来的解的不稳定问题；镜头畸变模型采用包含二阶径向畸变和切向畸变的形式，更加符合客观事实，提高了现有非量测摄像机标定方法的标定精度。本发明使用单张无畸变图像在张正有标定算法的基础上进行摄像机线性标定，简单易操作的主点预标定，避免了遗传算法的复杂过程和大量计算。整个标定过程基于单视图进行标定，且能适用于小景深系统，使用范围更加广泛。
附图说明
图1是本发明世界坐标系ow-xwywzw、像素坐标系uo0v与图像坐标系xo1y示意图；
图2是棋盘格标定板原始图像；
图3是摄相机位置结构图；
图4是相机标定方法流程图。
图中，1-图像，2-a点，3-b点，4-c点，5-d点，6-摄像机，7-镜头，8-镜头光心，9-棋盘格标定板，10-棋盘格标定板中心，11-物距。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。
本发明在单张图像非量测校正的基础上，建立畸变分离的摄像机模型，结合主点预标定，提出了一种应用于小景深的单视图线性摄像机标定算法，能够求解出完整的参数。
在传统的摄像机参数模型中，镜头畸变参数与摄像机内外部参数相互关联，摄像机标定需要采用非线性优化方法实现。本发明将畸变参数从摄像机模型中分离出来，使得畸变模型与摄像机内外参数相互独立。首先，计算一阶径向畸变系数，用于对棋盘格标定板原始图像进行初级畸变校正；然后提取控制点，进行基于正交距离约束条件的直线拟合，得到精准的由控制点生成的直线斜率，由于所有控制点共线，根据“不同共线控制点构成的直线斜率相等”的约束条件建立畸变校正指标函数，并利用优化算法对其进行优化处理，得到所有畸变参数；最后，使用单张无畸变图像，参考张正有标定算法的思想，进行摄像机线性标定。
专利中定义的坐标系和使用的畸变参数模型如下：
如图1所示：以水平放置的棋盘格标定板为参考物，定义世界坐标系ow-xwywzw，其原点ow位于棋盘格标定板的左上角，xw轴正方向水平向右，yw轴正方向水平向外，zw轴正方向竖直向上；定义像素坐标系uo0v，原点o0位于图像左上角，u轴正方向水平向右，v轴正方向竖直向下；定义图像坐标系xo1y，原点o1位于图像几何中心处，是摄像机光轴与成像平面的交点，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下。
畸变参数模型采用包含二阶径向畸变和二阶切向畸变的形式，具体如下：
其中
技术方案具体如下：
步骤一、对原始图像iorig进行初级畸变校正。
水平放置棋盘格标定板，使标定板坐标系与图像坐标系的横轴和纵轴分别平行，对应坐标轴允许有不大于10°的夹角。调整摄像机与棋盘格标定板在zw轴方向上的相对位置，垂直拍摄一张清晰的棋盘格标定板图像，称为原始图像iorig。
(1)基于正交直线求解一阶径向畸变系数。
棋盘格标定板上的直线在经过成像系统形成的原始图像iorig上会产生离心畸变(离心畸变包括径向畸变和切向畸变)，其上的直线发生弯曲，使直线上的像素点不同程度地偏离理想位置，产生大量奇异点。若直接使用原始图像上的像素点进行直线拟合，势必会对最终拟合精度产生较大影响。这里像素点的“理想位置”指无畸变的理想图像中的像素点位置。为了提高拟合精度，本专利首先对原始图像iorig进行校正，使参与拟合的像素点尽可能地接近理想位置。
在理想成像关系下，两条相互垂直的直线在图像中也表现为垂直关系。在像素坐标系中，如图2所示，设a点表示两条垂线的交点，b、c分别为两条垂线上除a点外的任意两点。记a、b、c在无畸变的理想图像中的位置坐标分别为(u′1，v′1)，(u′2，v′2)，(u＇3，v＇3)，在原始图像iorig中的实际位置坐标分别为(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，根据直线相互垂直的性质有：
(v＇3-v＇1)(v＇2-v＇1)＝-(u＇3-u＇1)(u＇2-u＇1)(2)
当仅考虑一阶径向畸变k1时，a点理想位置坐标为：
其中δv1＝v1-vc，δu1＝u1-uc，
其中δv2＝v2-vc，δu2＝u2-uc，
将仅考虑一阶径向畸变k1时的a、b、c三点理想图像坐标带入到公式(2)，得到关于k1的一元二次方程：
其中：
n＝n1+n2(8)
ω＝(v3-v1)(v2-v1)+(u3-u1)(u2-u1)(11)
因此，只需要三点便可以线性求解出一阶径向畸变系数k1，此时通过解方程得到的k1有两个解k11和k12，但其中只有一个是符合条件的，筛选方法如下：
①令k1＝k11，在直线ab上任取一点d，根据点a、d计算直线斜率kad1，同理根据点a、b计算斜率kab1，记两斜率之差为⊿1＝|kad1－kab1|。
②类似地，令k1＝k12，计算两斜率之差⊿2＝|kad2－kab2|。
③因为在同一直线上，由不同两点计算出来的斜率理论上是相等的，因此，比较⊿1和⊿2的大小，其中较小者对应的k1值是符合条件的解。
这里为了提高k1的精度，可以选取多组点进行计算，取均值作为k1结果。
(2)由一阶径向畸变系数完成图像初级畸变校正。
计算出一阶径向畸变系数k1后，结合公式(3)，根据k1对原始图像iorig进行初级畸变校正，并利用双线性插值算法对校正产生的像素间隙进行填充，得到初级畸变校正后图像，记作ifc-orig。
步骤二、根据正交距离建立约束条件，进行直线拟合，利用优化算法求解所有畸变参数。
(1)利用harris亚像素角点检测算子，在初级畸变校正后图像ifc-orig上提取控制点，通过正交距离的约束条件进行直线拟合，求解直线斜率。
设第i条直线方程为aiu+biv+ci＝0，其中(ai，bi，ci)t为方程系数，(uij，vij)为harris亚像素角点检测算子在ifc-orig上提取得到的控制点坐标，0＜i≤m，0＜j＜n，m为harris亚像素角点检测算子在ifc-orig上提取的控制点组成的直线条数，其最大值为棋盘格标定板上水平(或垂直)方向黑白格的交点数；n为用于拟合第i条直线的控制点个数，其最大值为棋盘格标定板上垂直(或水平)方向黑白格的交点数。若m取水平方向，n就是垂直方向；若m取垂直方向，n就是水平方向。则点(uij，vij)到直线的正交距离为：
以正交距离平方和最小为原则进行直线拟合，第i条直线方程的系数求解方案如下，记：
则：
至此，可得到第i条直线方程的斜率ki＝-ai/bi，作为无畸变的理想直线斜率。类似地，用剩余的控制点重复上述过程，对第(i+1)条直线进行拟合，直至计算出所有控制点拟合的m条直线的斜率。
(2)建立畸变校正指标函数，通过非线性优化算法求解畸变参数。
为了衡量弯曲直线经过畸变校正后逼近理想直线的程度，引入畸变校正指标函数来表征畸变校正的效果。设与(uij，vij)对应的无畸变理想图像的像素点坐标为
最后，将畸变参数的求解转化为一个非线性寻优问题：
采用列文伯格-马夸尔特(levenberg–marquardt，lm)算法求解上述非线性误差函数即可得到四个畸变系数。lm算法是一种非线性优化算法，利用梯度求最大值或最小值，它同时具有梯度法和牛顿法的优点，当步长很小时，步长等于牛顿法步长；当步长很大时，步长约等于梯度下降法的步长。这里，首先计算f对每个参数的偏导数，得到雅克比矩阵，经过若干步迭代得到四个畸变系数的值。
(3)由二阶畸变模型完成图像二次校正。
将求得的一阶、二阶径向畸变系数k1、k2和切向畸变系数p1、p2代入公式(1)得到摄像机镜头的二阶畸变模型。使用该二阶畸变模型对初级畸变校正后图像ifc-orig进行二次校正，得到原始图像iorig的二次畸变校正后图像，记作isc-orig。
步骤三：使用单张无畸变图像进行摄像机线性标定。
摄像机线性标定在二次畸变校正后图像isc-orig上进行。
(1)求解图像主点(u0，v0)。
单张图像只能得到内参数的两个约束方程，可以求解2个参数。张正有方法需要标定的内参数有5个，包括图像主点(u0，v0)和u、v轴的尺度因子fu，fv，以及倾斜因子γ，因此必须减少未知量的个数。由于现在制造工艺较高，一般的ccd传感器单元都是标准矩形，基本不存在不垂直的情况，因此可假设倾斜因子γ为0。此时需要标定的内参数剩下四个，这里采取的方案是对(u0，v0)进行预标定。
物距指物体到透镜光心的距离，如图3所示，本发明中将物距定义为棋盘格标定板中心到摄像机镜头光心的垂直距离。当摄像机的焦距或者物距发生变化时，在摄像机感光元器件上形成的画面范围将会产生大小缩放。由于摄像机光轴不变，因此光轴与成像平面的交点不变，这个点就是图像主点，也就是畸变中心。假设物距由d1变为d2时，同一控制点在图像坐标系下的坐标由(u″1，v″1)变为(u″2，v″2)，根据比例关系，有：
矩阵形式为：
调整摄像机与棋盘格标定板的相对位置，相对于拍摄原始图像iorig时的位置，仅改变物距，再拍摄一张清晰棋盘格标定板图像，称其为“二次拍摄棋盘格图像”，记作isond，此图像仅用于主点预标定。利用已求得的二阶畸变模型，对二次拍摄棋盘格图像isond进行畸变校正，得到“二次拍摄棋盘格校正图像”，记作ic-sond。利用harris亚像素角点检测算子，在原始图像的二次畸变校正后图像isc-orig以及二次拍摄棋盘格校正图像ic-sond上分别提取对应的n″个控制点，n″>1。根据式(20)利用同一控制点在不同物距下的图像坐标进行直线拟合，在最小二乘意义下，各拟合直线的交点即为图像主点(u0，v0)。
(2)线性求解摄像机内外参数及世界坐标和图像坐标。
①求解单应性矩阵h。
摄像机内外参数的求解过程采用张正有标定算法的基本思想，首先求解单应性矩阵。单应性是几何中的一个概念，在计算机视觉中，平面的单应性被定义为从平面e到平面f的投影映射。在摄像机标定中，可以理解为棋盘格标定板上的点到成像平面上的映射。
世界坐标系和图像坐标系之间的转换关系为：
sm＝k[rt]t(21)
其中s为任意的比例因子，m＝[u，v，1]t为某点在像素坐标系中的齐次坐标，t＝[xw，yw，zw，1]t为该点的在世界坐标系中的齐次坐标，k为内参数矩阵，r为旋转矩阵，t为平移向量。
由于棋盘格标定板放置在xwowyw平面内，即成像平面内，所以其zw坐标为零。旋转矩阵r＝[β1β2β3]，其中βδ(δ＝1，2，3)代表矩阵r的第δ列元素，则有如下表达式：
令h＝k[β1β2t]，为单应性矩阵，表达式如下：
在计算单应性矩阵h的过程中，不失一般性，可设h33为1，记此时的单应性矩阵为h1。由公式(22)可知，一对控制点可以提供两个约束条件，求解两个参数，h1有八个独立参数，通过四对及以上的控制点便可以通过解超定方程组的方法计算可得到h1。
由于在解h时假设h33为1，此时h1和真正的单应性矩阵h之间相差一个比例因子。设hσ表示单应性矩阵h所在列(σ＝1，2，3)，根据公式(23)有如下表达式：
[h1h2h3]＝λh1(24)
其中λ是h1与h的任意比例因子。
②求解内参数矩阵。
由于旋转矩阵r是单位正交矩阵，则β1和β2有如下约束关系：
公式(25)便是单应性矩阵h对内参数k的约束条件。
当倾斜因子γ为0时，内参数矩阵k：
其中如前所述，(u0，v0)为图像主点，fu，fv分别为u、v轴的尺度因子。
令g＝k-tk-1，由于gt＝g，所以g为对称矩阵，得：
由公式(25)可得：
由于在计算单应性矩阵h的过程中，引入了比例因子λ，因此有约束方程：
将公式(28)带入上式可得：
其中ω1＝fu/λ，ω2＝fv/λ。则联合公式(28)和公式(30)得到如下方程组：
根据已求得的单应性矩阵h和图像主点(u0，v0)，求解上述方程组便可以得到参数fu，fv和λ。
为方便描述，令：
e11＝(h11-h13u0)(h21-h23u0)；
e12＝(h12-h13v0)(h22-h23v0)；
e21＝(h11-h13u0)2-(h21-h23u0)2；
e22＝(h12-h13v0)2-(h22-h23v0)2；
则
③求解外参数矩阵
根据求解出的内参数矩阵k，结合每张图像的单应性矩阵h，由公式(24)可以得到每张图像对应的外部参数矩阵，即旋转矩阵r＝[β1β2β3]和平移向量t：
至此，利用一张与摄像机成像平面近似水平放置拍摄的棋盘格标定板图像，完成了摄像机畸变参数和内外参数的标定。
以下实例首先使用一组畸变系数和部分内部参数已知的图像进行标定精度验证，而后利用三组摄像机的实拍图像完成摄像机畸变参数和内外参数的标定。
实例1：使用已知畸变系数和部分标定参数的图像对本专利标定方法的正确性进行验证。
绘制数字棋盘格图像大小为640×480，单位为像素；畸变参数为k1＝-2.18×10-6，k2＝7.32×10-13，p1＝2.47×10-6，p2＝-2.02×10-6，图像主点为(320，240)。将原始图像的宽和高均放大为原来的1.2倍，对数字棋盘格图像进行畸变仿真，得到仿真畸变棋盘格图像，仿真畸变棋盘格图像最大偏移为8个像素，位于仿真图像方格边缘处，最小偏移为0个像素，位于图像中心附近。以仿真畸变棋盘格图像为原始图像iorig进行摄像机标定。
在原始图像iorig中选择的三个点为交点a(108，183)，以及另两个点b(165，124)和c(164，241)，计算得到一阶径向畸变系数k1的两个解分别为k11＝9.530×10-6、k12＝-2.167×10-6。在直线ab上取一点d(220，65)，筛选得到一阶径向畸变系数k1＝k12＝-2.167×10-6。
利用harris亚像素角点检测算子在初级畸变校正后图像上提取20条直线，每条直线上选择20个控制点，得到四个畸变系数，分别为k1＝-2.178×10-6、k2＝1.1×10-13、p1＝1.46×10-6、p2＝-1.14×10-6。与最初设定的畸变系数非常接近，畸变系数求解正确。
利用harris亚像素角点检测算子在二次拍摄棋盘格校正图像上提取20条直线，每条直线提取20个控制点，并在原始图像二次畸变校正后图像上提取对应的400个控制点，求得图像主点为(320.015，240.021)，单位为像素，与最初设定的图像主点一致。
使用harris亚像素角点检测算子，在二次畸变校正后图像上提取10条直线，每条直线提取10个控制点。求得单应性矩阵h：
内参数矩阵k：
外参数矩阵r：
平移向量t：
t＝[-26.162-25.277295.745]t
至此，完成了摄像机全部参数的求解，完成了摄像机标定。
以下实例2-4所用的相机为rx130cd-ge单色工业相机，成像分辨率为1280×960像素，像元尺寸为6×6μm。镜头为日本computarmp2514-mp2工业镜头，焦距为25mm，清晰成像时镜头边缘距离被拍摄物体的远近范围为10～14mm，即景深范围为4mm。实验所拍摄标定板为高精度陶瓷棋盘格标定板，小方格实际尺寸为1×1mm。
实例2：利用摄像机的实拍图像1进行标定。
将棋盘格标定板固定放置，调整摄像机的位置，使棋盘格标定板与摄像机成像平面平行，物距为14mm拍摄一张清晰图像，作为原始图像iorig用于畸变校正和摄像机标定；改变物距至12mm，摄一张清晰的二次拍摄棋盘格图像isond，用于主点预标定。
在原始图像中选择的三个点为交点a(605，544)和b(369，548)，c(598，193)，得到一阶径向畸变系数k1的两个解分别为k11＝1.452×10-5、k12＝9.833×10-9。在直线ab上取一点d(838，540)，筛选得到一阶径向畸变系数k1＝k12＝9.833×10-9。
利用harris亚像素角点检测算子在初级畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线上选择10个控制点，计算得到四个畸变系数：k1＝-5.08×10-10、k2＝2.32×10-16、p1＝1.37×10-7、p2＝-6.00×10-9。
利用harris亚像素角点检测算子在二次拍摄棋盘格校正图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点，并在原始图像二次畸变校正后图像上提取对应的80个控制点，求得图像主点为(638.2，485.6)，单位为像素。
使用harris亚像素角点检测算子，在二次畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点。求得单应性矩阵h：
内参数矩阵k：
外参数矩阵r：
平移向量t：
t＝[-429.1484-249.385333316.12]t
至此，完成了摄像机全部参数的求解，完成了摄像机标定。
实例3：利用摄像机的实拍图像2进行标定。
将棋盘格标定板固定放置，一侧轻微垫高，调整摄像机的位置，使棋盘格标定板与摄像机成像平面有9度的夹角，物距为10mm拍摄一张清晰图像，作为原始图像iorig用于畸变校正和摄像机标定；改变物距至12mm，摄一张清晰的二次拍摄棋盘格图像isond，用于主点预标定。
在原始图像中选择的三个点为交点a(843，774)和b(608，778)，c(835，423)，得到一阶径向畸变系数k1的两个解分别为k11＝-1.742×10-8、k12＝-4.388×10-6。在直线ab上取一点d(372，783)，筛选得到一阶径向畸变系数k1＝k11＝-1.742×10-8。
利用harris亚像素角点检测算子在初级畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线上选择10个控制点，计算得到四个畸变系数：k1＝-4.58×10-9、k2＝1.35×10-16、p1＝9.36×10-8、p2＝-4.90×10-9。
利用harris亚像素角点检测算子在二次拍摄棋盘格校正图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点，并在原始图像二次畸变校正后图像上提取对应的80个控制点，求得图像主点为(637.5，485.2)，单位为像素。
使用harris亚像素角点检测算子，在二次畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点。求得单应性矩阵h：
内参数矩阵k：
外参数矩阵r：
平移向量t：
t＝[9.0579-30.0086300.187]t
至此，完成了摄像机全部参数的求解，完成了摄像机标定。
实例4：利用摄像机的实拍图像3进行标定。
将棋盘格标定板固定放置，一侧轻微垫高，调整摄像机的位置，使棋盘格标定板与摄像机成像平面有5度的夹角，物距为12mm拍摄一张清晰图像，作为原始图像iorig用于畸变校正和摄像机标定；改变物距至14mm，摄一张清晰的二次拍摄棋盘格图像isond，用于主点预标定。
在原始图像中选择的三个点为交点a(722，542)和b(488，547)，c(718，310)，得到一阶径向畸变系数k1的两个解分别为k11＝4.180×10-5、k12＝-3.574×10-8。在直线ab上取一点d(955，539),筛选得到一阶径向畸变系数k1＝k12＝-3.574×10-8。
利用harris亚像素角点检测算子在初级畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线上选择10个控制点，可得到四个畸变系数，k1＝-4.78×10-9、k2＝2.15×10-16、p1＝1.24×10-7、p2＝-5.40×10-9。
利用harris亚像素角点检测算子在二次拍摄棋盘格校正图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点，并在原始图像二次畸变校正后图像上提取对应的80个控制点，求得图像主点为(638.6，485.9)，单位为像素。
使用harris亚像素角点检测算子，在二次畸变校正后图像上提取8条直线，每条直线提取10个控制点。求得单应性矩阵h：
内参数矩阵k：
外参数矩阵r：
平移向量t：
t＝[18.53680.6428285.367]t
至此，完成了摄像机全部参数的求解，完成了摄像机标定。
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