一种极区垂线偏差无奇异性详细计算模型及其建模方法与流程

本发明公开了一种极区垂线偏差无奇异性详细计算模型及其建模方法，属于大地测量领域。

背景技术：

在地球物理问题的求解中，为了使数学模型更接近于研究对象的物理特性，坐标形式的选择往往取决于所研究对象边界面的几何形状。因此，在垂线偏差的表示中，更倾向于采用地心球坐标(r,θ,λ)，这使得垂线偏差的计算变得更加简单实用。

地面上垂线偏差子午分量和卯酉分量的地心球坐标表达式为

其中，ξ、η分别表示垂线偏差的子午分量和卯酉分量；θ和λ分别表示计算点的余纬和地心经度；表示完全正常化地球扰动重力位系数；n和m分别表示球谐系数的阶和次；表示完全正常化缔合legendre函数。

公式(1)中的的递推计算公式为

式中是kroneker符号，当m＝0时，当m≠0时，

将(3)式代入(1)式，就可以得到垂线偏差的传统计算模型。

从公式(1)-(3)可以看出，在两极及其附近地区时，由于分母上的sinθ＝0或者接近于0，会使得垂线偏差的计算出现无穷大。然而，地球两极及其附近地区作为地球表面上的普通区域，垂线偏差的计算值应该与其它地球表面一样是有限值，不同区域，量级不会太大的差距。因此，这就是极区垂线偏差计算存在的θ奇异性问题。随着重力测量技术的发展，从理论上彻底解决球坐标下极区垂线偏差计算存在的θ奇异性问题就显得越来越重要。

为了解决极区垂线偏差计算存在的θ奇异性问题，传统方法主要是直角坐标表示法。

直角坐标表示法的基本原理是指将垂线偏差直接表示成地心直角坐标的形式，因而分母上不会含有等于0或接近于0的项，避免了垂线偏差计算存在的θ奇异性问题。但也由此引入了其他的问题：公式形式和参数比较复杂，对递推计算的稳定性和精度也有较大影响。故本专利提出一种极区垂线偏差无θ奇异性的详细计算模型。

技术实现要素：

本发明的目的是：提供一种极区垂线偏差无θ奇异性的详细计算模型，即从legendre函数的基本性质出发，研究得出legendre函数对θ的一阶导数和一类多项式的无奇异性计算公式，再将其代入垂线偏差的传统计算模型中，同时充分考虑了m等于0、1以及其它量时的情况，最终建立了极区垂线偏差无θ奇异性的详细计算模型。该发明使得垂线偏差计算模型更接近于研究对象的物理特性，并且公式形式简单，稳定性和实用性较好，彻底解决了两极地区垂线偏差计算公式存在的θ奇异性难题，为两极及其附近地区垂线偏差的计算奠定了理论基础，也可利用该发明提供的模型计算全球任何区域的垂线偏差结果。

本发明的技术方案是：如图1所示：一种极区垂线偏差无奇异性详细计算模型的建模方法，包括如下步骤：

第一步：计算得到legendre函数对θ的一阶导数的无奇异性结果。

用表示伴随legendre函数，其中pn(x)是n阶legendre多项式，将x用cosθ来代替，可得

(4)式两端对θ求导，得

因为，legendre多项式pn(x)满足下列关系

结合(5)式和(6)式，可得

对(7)式中的legendre函数进行规格化处理，得到legendre函数对θ的一阶导数的无奇异性计算公式为：

第二步：计算得到一类多项式的无奇异性结果。

legendre函数满足下列伴随legendre方程

由此可得

在(7)式两端继续对θ求导，得

将(7)式代入(12)式，可以得到legendre函数二阶导数的计算公式

将(7)式和(13)式代入(11)式，可得

根据legendre函数的标准前向行推法，有

因此，

将(16)式和(17)式代入(14)式，可得

对(20)式中的legendre函数进行规格化处理，得到多项式无奇异性计算公式为：

第三步：将上述公式代入垂线偏差的传统计算模型中，并充分考虑m等于0、1以及其它量时的情况，建立极区垂线偏差无θ奇异性详细计算模型。

将(9)、(10)、(20)式代入(1)-(3)式，可得到垂线偏差的无θ奇异性详细计算模型为：

公式(20)、(21)即为垂线偏差在极区的无θ奇异性详细计算模型。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

彻底解决了极区垂线偏差计算公式存在的θ奇异性难题；

新建立的垂线偏差无θ奇异性详细计算模型，公式形式简单，稳定性和实用性较好；

新建立的垂线偏差无θ奇异性详细计算模型，为两极及其附近地区时的垂线偏差计算奠定了理论基础，也可利用该发明提供的模型计算全球任何区域的垂线偏差结果。

附图说明：

图1极区垂线偏差无θ奇异性详细计算模型建立基本流程

图2实施例中360阶egm2008地球重力场模型计算的垂线偏差与实测数据差值

具体实施方式：

利用本发明提出的极区垂线偏差无θ奇异性详细计算模型，采用360阶egm2008地球重力场模型计算了国内某地区的地面垂线偏差数据，并将其与该地区实测值进行比较，结果差值如图2所示：

差值统计结果如表1所示：

表1360阶egm2008模型计算的垂线偏差与实测数据差值结果统计(")

从图2可以看出，除了少数点以为，大部分点值与实测数据的差值范围,子午分量基本上都在-5"～25"，卯酉分量在-15"～10"。

从表1可以看出，垂线偏差子午分量、卯酉分量与实测数据差值的均方差分别近似为5"、16"。