一种同步运动传动误差曲线的设计方法及应用传动误差曲线的弧齿锥齿轮与流程

本发明涉及齿轮传动技术领域，具体为一种同步运动传动误差曲线的设计方法及应用传动误差曲线的弧齿锥齿轮。

背景技术

弧齿锥齿轮是机械传动中十分重要的传动零件，在飞行器、舰船以及其他精密机械中应用十分广泛。弧齿锥齿轮的传动性能与传动误差曲线和齿面接触印痕有关，其中传动误差曲线又对其振动和噪声有更大的影响。从运动学角度讲，齿轮传动误差是从动轮实际转角与名义转角之差，它是主动轮转角或时间的函数，其斜率表示齿轮传动中的相对速度变化。从动力学角度讲，振动是由于物体位移或(和)速度发生周期性变化而引起的；冲击是速度突变引起的，振动和冲击产生噪声。齿轮传动的振动、冲击和噪声主要来源于轮齿啮合振动和冲击。相互啮合的一对齿轮，轮齿啮合处的相对位移和速度的周期性变化产生齿轮啮合振动；轮齿啮入时的相对速度突变产生齿轮啮合冲击。传动误差曲线能够表示齿轮传动过程中的位移和速度变化，相邻传动误差曲线在换齿点处的速度差能够表示齿轮冲击的程度，相邻传动误差曲线在换齿点处的角加速度能够表示惯性力的大小，相邻传动误差曲线之间的差距能够表示齿间载荷分配的不均匀程度。因此，齿轮系统动力学中常用传动误差曲线来衡量齿轮系统啮合振动和冲击的剧烈程度。

为了提高弧齿锥齿轮传动的平稳性，降低振动和噪声，研究人员提出了多种传动误差曲线。litvin在文献“methodsofsynthesisandanalysisforhypoidgear-drivesof"formate"and"heiixform".journalofmechanicaldesign,1981,103(1):83～110”中提出的抛物线型传动误差曲线有利于吸收安装误差造成的线性冲击。美国gleason公司的工程师stadtfeld在仔细研究对称抛物线型传动误差曲线之后发现，此种传动误差曲线在传动过程中相邻齿对虽然只经历一次换齿，但是换齿点处存在较大的速度阶跃，换齿的冲击和振动较大。为此，他在文献“theultimatemotiongraph.journalofmechanicaldesign,2000,122(9):317～322”提出了四阶传动误差曲线。

四阶传动误差是关于主动轮转角的四次函数，它记录了主动轮轮齿从进入啮合到退出啮合过程中，从动轮的转角波动量随主动轮转角的变化规律。一对轮齿的啮合产生一条传动误差曲线。齿轮副每转过一个齿距，四阶传动误差曲线就重复出现一次。弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线由以下几个要素确定：

1、单独一条四阶传动误差曲线有两个极大值点和一个极小值点，极大值点位于极小值点两侧。

2、单独一条四阶传动误差曲线左极大值点左侧和右极大值点右侧曲线的斜率。

3、相邻两条四阶传动误差曲线交点的数目。

4、相邻两条四阶传动误差曲线交点所处的位置以及两条曲线在交点处的斜率差。

四阶传动误差曲线的特点是将换齿时产生的冲击，由抛物线型传动误差曲线的一次大冲击，变为四阶传动误差曲线的三次小冲击，希望以此降低轮齿因冲击而受到的损害，从而有利于提高传动平稳性和齿轮寿命。然而，stadtfeld提出四阶传动误差曲线尽管降低了每次冲击的强度，但却增加冲击的次数。在相邻齿对换齿时要经历三次换齿。就同一齿对而言，从齿根到齿顶的啮合过程中实际上要经历六次换齿，其中前三次发生在当前齿与先导齿之间，后三次发生在当前齿与后继齿之间。细看stadtfeld型的四阶传动误差曲线还会发现，换齿时仍然存在较大的相对速度阶跃，换齿所形成的冲击没有得到很好的解决，所以stadtfeld在换齿次数和相对速度阶跃这一对相互矛盾、相互制约的参数设计中未能充分发挥四阶传动误差曲线的优越性。

技术实现要素：

为解决现有技术存在的问题，大幅降低换齿冲击强度，进一步降低弧齿锥齿轮传动中的振动、冲击和噪声，改善齿间载荷分配，提高齿轮寿命，本发明在stadtfeld的基础上，提出了一种性能更加优异的同步运动传动误差曲线，并给出了同步运动传动误差曲线的设计方法，为提高弧齿锥齿轮的传动性能提供新的思路。

本发明提出的同步运动传动误差曲线具有两个换齿点，意味着换齿冲击的次数少；相邻传动误差曲线在换齿点的斜率极为接近，意味着换齿时的角速度近乎无差别；啮入和啮出点靠近传动误差曲线的拐点，二阶导数为零，意味着换齿时惯性动载荷几乎为零；啮入和啮出点之间的相邻传动误差曲线同步运动，意味着齿间载荷分配不均匀系数达到最小。上述特点将会极大地降低轮齿上的载荷和换齿所带来的振动和冲击，改善齿间载荷分配，进一步提高弧齿锥齿轮的传动性能。

本发明中的同步运动传动误差曲线描述：

为了提高齿轮传动性能，人们希望减少换齿次数、降低换齿冲击强度和齿间载荷分配的不均匀程度。本发明所提出的同步传动误差曲线能够很好的满足这些要求。它具有如下特点：

(1)相邻传动误差曲线的交点靠近拐点

本发明所设计的同步传动误差曲线由若干凸凹相接的曲线段所组成。凸凹曲线段的衔接处即为拐点。拐点处的角加速度为零。相邻传动误差曲线的交点与相邻齿对的啮入点和啮出点对应。本发明使啮入点和啮出点近乎落在拐点上，以实现最大程度的平稳换齿。这是本发明的创新点之一。

(2)相邻传动误差曲线交点处的斜率差极小

使相邻传动误差曲线交点处的斜率同号，即两条传动误差曲线的走向一致，并且保证该处传动误差曲线的切线之间的夹角接近180°，这将极大地缩小相邻啮合齿对在该处的实际相对角速度差，有效地降低换齿产生的冲击和振动。这是本发明的第二个创新点。

(3)相邻传动误差曲线交点之间的曲线段几近重合

原有的stadtfeld传动误差曲线无论是先导齿对曲线、当前齿对曲线抑或后继齿对曲线之间的差距较大，这在实际运行时意味着相邻两对轮齿各自分担的载荷也会极不均衡。而改进后同步传动误差曲线在啮入点和啮出点之间的相邻传动误差曲线几近重合，这就意味着在实际运行时，无论外加载荷的大小，相邻两对轮齿都会同时啮合，这将极大地降低齿间载荷分配的不均匀程度。这是本发明的第三个创新点。

以上三个发明点克服了stadtfeld传动误差曲线的不足，改善了弧齿锥齿轮传动性能。

本发明中同步运动传动误差曲线的实现方法

弧齿锥齿轮的从动轮转角相对于其名义转角之差定义为传动误差。视主动轮匀速转动，则从动轮的传动误差随同主动轮转角的变化历程即形成传动误差曲线。将从动轮的实际转角在齿面参考点处按泰勒级数展开后，把泰勒级数的第一阶项移到等式左边，等式右侧即为传动误差的表达式。该级数所包含的项数和每一项的系数决定传动误差曲线的形态。一般而言，传动误差曲线由若干凸凹朝向不同的曲线段组成。

实现本发明目标的技术方法由以下几个步骤构成：

步骤1：以齿面参考点为对称点，在传动误差曲线坐标系中构造具有三个周期的简谐传动误差曲线；其数学表达式为

其中a为传动误差曲线的幅值；t为主动轮的齿距角，为主动轮的实际转角，为齿面参考点啮合时，主动轮的实际转角；

在简谐传动误差曲线上从左至右顺次取十三个控制点，分别是四个极大值点a1、a5、a9和a13、三个极小值点a3、a7和a11和六个落在横坐标轴上拐点a2、a4、a6、a8、a10和a12；其中极小值点a7是与齿面参考点对应的点；

步骤2：以极小值点所在的水平线为对称轴，将三个起始控制点a1、a2和a3和三个终了控制点和三个终了控制点对称到对称轴的下方，得到a1’、a2’、a3’、a11’、a12’和a13’，得到变异的简谐型传动误差曲线；

步骤3：对a1’、a2’、a3’、a4、a5、a6、a7、a8、a9、a10、a11’、a12’和a13’进行三次样条拟合，并将拟合后得到的传动误差曲线向纵坐标的负方向平移a/2，得到初始的当前齿对单根传动误差曲线；

步骤4：将步骤3得到的初始的当前齿对单根传动误差曲线向左和向右各平移一个齿距角，分别得到先导齿对和后继齿对的传动误差曲线；

步骤5：以起始的三个控制点a1’、a2’、a3’和终了的三个控制点a11’、a12’和a13’的坐标位置为优化设计变量，建立如下多目标优化设计模型并进行优化求解，得到同步运动传动误差曲线：

其中表示当前齿对单根传动误差曲线中，控制点aj处的二阶导数；表示当前齿对单根传动误差曲线中，控制点aj处的一阶导数，表示先导齿对传动误差曲线中，控制点aj处的一阶导数；表示当前齿对单根传动误差曲线中，控制点aj’处的小轮转角，表示先导齿对传动误差曲线中，控制点aj’处的小轮转角。

有益效果

stadtfeld提出的四阶传动误差曲线换齿频率高，换齿点的相对速度阶跃仍然偏大，齿间载荷分配不够均匀，传动性能有待提高。本发明可以从以下三个方面提高弧齿锥齿轮的传动性能：

(1)相邻传动误差曲线只有两个交点，减少换齿冲击次数。

齿轮传动过程中，相邻齿对的换齿发生在相邻传动误差曲线的交点处。在每一个换齿点，一般都会在啮入齿对之间存在相对运动速度差，从而导致啮入冲击；在啮出齿对之间因相邻齿对的传动误差和释放轮齿蓄积的弹性势能而产生啮出冲击。冲击频率与传动误差曲线的交点数成正比。减少交点数，意味着减少轮齿发生啮合冲击的次数，相应地降低啮合冲击对轮齿造成的损害。

(2)啮入和啮出点靠近拐点，相邻传动误差曲线交点处的斜率近乎相等，使得换齿点处的惯性力和相对角速度阶跃都很小，从而降低换齿带来的冲击和振动。

传动误差曲线的斜率代表着从动轮实际角速度与其理论角速度之差，换齿点处相邻传动误差曲线的斜率差则代表着换齿点的实际相对速度之差。换齿点实际相对速度差越大，换齿冲击就越剧烈。在对称抛物线型传动误差曲线中，换齿点处的一条传动误差曲线的斜率为正，另一条传动误差曲线的斜率为负，换齿点实际相对运动速度之差很大，故换齿冲击也很大。stadtfeld正是看到对称抛物线型传动误差曲线在换齿点的这一缺点，提出了四阶传动误差曲线，并指出为了降低换齿点产生的冲击，该处相邻传动误差曲线的切线之间的夹角最好大于135°，而这只有在换齿点相邻传动误差曲线的切线同时为正或同时为负时才能实现。从传动误差曲线图上观察，这种要求等价于换齿点位于相邻两条传动误差曲线的上升段或下降段。在stadtfeld提出的四阶传动误差曲线中，相邻传动误差曲线有三个换齿点，其中左边和右边的换齿点分别位于相邻传动误差曲线的上升段和下降段，但上升段和下降段中有一条曲线正向着拐点方向发展，意味着这两处换齿点的切线斜率之间的夹角难于有效扩大；而剩下的中间换齿点，却又是一条传动误差曲线的上升段与相邻传动误差曲线下降段的交点，要增加该换齿点处传动误差曲线的切线之间的夹角难度更大。也就是说，stadtfeld型的四阶传动误差曲线的三个换齿点都难以有效降低换齿带来的冲击。此外，stadtfeld提出的四阶传动误差曲线在换齿点处存在角加速度，这必然带来惯性力，从而加剧换齿产生的冲击和振动。尽管stadtfeld提出的四阶传动误差曲线对抛物线型传动误差曲线有了一定的改进，但是显然还有极大的改进空间。

(3)相邻传动误差曲线之间的距离极为接近，有效地均衡载荷在相邻齿对之间的分配。

相邻传动误差曲线之间的差距，表示处于双齿啮合区间的两对轮齿所承担的载荷存在差别，且这种差别会随着传动误差曲线之间的差距的增加而扩大。缩小这种差距，意味着降低齿间载荷分配的不均匀程度。原有的stadtfeld传动误差曲线无论在先导齿对曲线与当前齿对曲线之间，抑或在当前齿对与后继齿对曲线之间，均存在较大差距，这就表示在轮齿加载后，传动误差小的齿对先接触且会承担较大的载荷，传动误差大的齿对后接触且会承担较小的载荷，由此产生的不良影响包括但不限于：齿面接触应力大的先行产生胶合和点蚀、接触面积大的容易产生边缘接触等。而改进后的传动误差曲线之间的差值变小，甚至几近重合，这就意味着在实际加载运行时，不论外加载荷的大小，都会出现两对轮齿同时啮合，两对轮齿所受载荷近乎相等，这对改善齿面接触应力、均衡齿间载荷分配极为有利。

以上三点分别从减少换齿冲击次数、降低换齿冲击和动载荷以及均衡齿间载荷分配三个方面，提高了弧齿锥齿轮的传动性能。

申请人在先还提出过两种弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线分别是中国专利cn102661381a和中国专利cn103438186a，这两篇专利从相邻齿对啮合时的换齿次数、相邻传动误差曲线交点处的斜率差两个方面改进了弧齿锥齿轮的传动性能，本发明在此基础上，从以下三个方面做了进一步的改进：

(1)错开啮入点和啮出点以缓和换齿冲击。

齿轮传动过程中，相邻齿对的换齿发生在相邻传动误差曲线的交叉点处。在每一个换齿点，一般都会在啮入齿对之间存在相对运动速度差，在啮出齿对之间存在弹性势能释放，由此导致齿轮角速度波动。减少换齿点数，必然有利于提高齿轮运转的平稳性。两篇在先专利提出的传动误差曲线仅有一个换齿点，它已经将换齿点数减到了最少，但它是相邻传动误差曲线的交叉点，这意味着它既是前一对齿的啮出点，也是后一齿对的啮入点，即啮入点和啮出点重合于该交叉点处。而本发明提出的传动误差曲线看似存在两个交点，实则等价于一个交叉点，这是由两个交点之间的传动误差曲线几近重合所带来同步运动特性所决定的。在第一个交点处，后一对齿进入啮合，随后与前一对齿同步运动，直到第二个交点处前一对齿退出啮合。因此，第一个交点是后一对齿的啮入点，第二个交点是前一对齿的啮出点，一次啮入加一次啮出等价于一次换齿，本质上并没有增加换齿次数。不仅如此，将啮入点和啮出点错开一段距离，避免了啮入点齿面拍击和啮出点弹性势能释放重合于一处所带来的叠加效应，由此可进一步降低换齿冲击带来的角速度波动。

(2)啮入点和啮出点靠近拐点，相邻传动误差曲线在该处的斜率近乎相等，相对角速度阶跃极小，从而降低换齿带来的冲击和振动。

两篇在先专利提出的四阶传动误差曲线，相邻传动误差曲线交点落在曲线的顶点(极大值点)处，降低了换齿产生的冲击。但传动误差曲线之间的连接还不够平滑，传动时换齿不够平稳，相对速度阶跃和齿间运动的不连续会产生冲击和振动。本发明使相邻传动误差曲线的交点靠近拐点，在啮入点和啮出点处的相邻传动误差曲线的斜率因同步运动更加靠近，这将极大地降低齿面啮入和啮出冲击。

(3)先导齿对与当前齿对间的传动误差曲线或当前齿对与后继齿对间的传动误差曲线之间的距离之差减小。

传动误差曲线上略高的传动误差曲线与低一些的传动误差曲线之间的距离差明显减少。两篇在先专利的四阶传动误差曲线在相邻齿对之间存在一定差距，这就代表着在轮齿加载工作后，必然产生齿间载荷分配上的差别。而改进后的传动误差曲线在啮入点和啮出点之间几近重合，这就意味着在实际运行加载后，会出现两对轮齿同时啮合，减轻了每一个轮齿的受载，改善齿面接触印痕情况。

以上三点分别从错开啮入点和啮出点以降低换齿冲击、减少啮入点或啮出点的斜率和让它们靠近拐点以降低换齿冲击、相邻传动误差曲线几近重合以降低齿间载荷分配的不均匀程度这三个方面，说明本次发明相对于两篇在先专利所带来的改进。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为stadtfeld传动误差曲线：

该型传动误差曲线如图1所示。图中，左边曲线(虚线)、中间曲线(实线)和右边曲线(点划线)分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中，先导齿对与当前齿对有三个交点(左边三个实心点)，当前齿对与后继对齿也有三个交点(右边三个空心点)，最左边的交点(实心点)和最右边的交点(空心点)基本以坐标原点为中心左右对称。这些交点都是用来表示相邻齿对间发生换齿的位置的。

图2为中国专利cn102661381a中的基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线：

该四阶传动误差曲线相邻两条曲线只有一个交点，减少了换齿数，降低了冲击和振动频率，且相邻两条曲线在交点处的斜率极为接近，使得换齿时的振动和冲击很小，进一步提高弧齿锥齿轮的传动性能。左边曲线(虚线)、中间曲线(实线)和右边曲线(点划线)分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中，先导齿对与当前齿对有一个交点(左边实心点)，当前齿对与后继对齿也有一个交点(右边空心点)，两点以坐标原点为中心左右对称。这些交点都是用来表示相邻齿对间发生换齿的位置的。其中，图2(a)和图2(b)分别为上升段和下降段换齿。

图3为中国专利cn103438186a中的基于弧齿锥齿轮的改进型四阶传动误差曲线：

图中左边曲线、中间曲线和右边曲线分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中，先导齿对与当前齿对有一个交点(凸峰顶点，绿色实心点)，当前齿对与后继对齿也有一个交点(凸峰顶点，绿色实心点)，左边的交点和右边的交点基本以坐标原点为中心左右对称。这些交点都是用来表示相邻齿对间发生换齿的位置的。相对于图2而言，进一步缩小了相邻传动误差曲线在交点处的斜率差。

图4为本发明的同步传动误差曲线；

图5为本发明中先导齿对与当前齿对的传动误差曲线局部放大图；

图6为本发明中当前齿对与后继齿对的传动误差曲线局部放大图；

图4～6中左边曲线(虚线)、中间曲线(实线)和右边曲线(点划线)分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中：

1)先导齿对与当前齿对的第一交点(左边第一个实心点)为当前齿对的啮入点，此时的二阶导数接近于零，先导齿对与当前齿对的传动误差曲线在此处的斜率近乎相等，且两曲线的一阶导数同号。

2)先导齿对与当前齿对的第二个交点(左边第二个实心点)为先导齿对的啮出点，此时的二阶导数也接近于零，先导齿对与当前齿对的传动误差曲线在此处的斜率同样近乎相等，且两曲线的一阶导数同号。

3)在当前齿对的啮入点和先导齿对的啮出点之间，当前齿对与先导齿对的传动误差曲线几乎完全重合。

4)当前齿对与后继齿对之间的交点也有两个(右边的两个空心点)，其间的相互转换和运动情况，与当前齿对与先导齿对完全相同。

图7为简谐型传动误差曲线；

图8为变异的简谐型传动误差曲线；

图9为初步得到的单根传动误差曲线；

图10为相邻传动误差曲线。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

(1)传动误差的形成原理

弧齿锥齿轮为点接触局部共轭传动，传动误差定义为

式中——主动轮、从动轮的实际转角

——齿面参考点啮合时，主动轮和从动轮的实际转角

z1、z2——主动轮、从动轮的齿数

式(1)中的第一项为从动轮相对于参考点啮合时的转角，为主动轮相对于参考点啮合时的转角，为按名义传动比确定的从动轮理论转角。其中，从动轮相对转角是主动轮相对转角的函数，一般可写为

其值与主动轮齿面修形方式和修形量有关。

(2)传动误差的级数形式

将从动轮实际转角式(2)在参考点处展开成taylor级数

一般取参考点处的瞬时传动比等于名义传动比，则级数形式的传动误差为

或简记为

式中a——传动误差曲线的二阶导数或瞬时传动比的一阶导数

b——传动误差曲线的三阶导数或瞬时传动比的二阶导数

c——传动误差曲线的四阶导数或瞬时传动比的三阶导数

——高于五阶各项之和

当仅取式(5)的第一项时，即得到litvin提出的二阶传动误差曲线

当取式(5)至第三项时，即得到stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

(3)传动误差曲线坐标系

描述传动误差曲线的坐标系为笛卡尔直角坐标系，其横坐标轴为主动轮转角，纵坐标轴为从动轮传动误差。当前齿对的齿面参考点的横坐标为零，其他齿对的齿面参考点依据齿距角沿横坐标轴向两侧平移延拓而得。定义传动误差曲线实际作用区间的波动幅度为传动误差曲线幅值，其值根据从动轮转动角加速度和跃度大致在2"～20"范围内选取。

(4)同步传动误差曲线生成方法

1)以齿面参考点为对称点，构造具有三个周期的简谐传动误差曲线，如图7所示。其数学表达式为

式中，a为传动误差曲线的幅值；t为主动轮的齿距角，它等于2π/z1。

在简谐传动误差曲线上，从左至右顺次取十三个控制点，它们分别是四个极大值点(a1、a5、a9和a13)、三个极小值点(a3、a7和a11)和六个落在横坐标轴上拐点(a2、a4、a6、a8、a10和a12)。其中，极小值点a7就是与齿面参考点对应的点。

2)将图7中的三个起始控制点(a1、a2和a3)和三个终了控制点(a11、a12和a13)对称到以极小值点所在的水平线为对称轴的下方，得到a1’、a2’、a3’、a11’、a12’和a13’，从而形成如图8所示的变异的简谐型传动误差曲线。

3)用三次样条拟合上述十三个控制点，拟合过程中可以让起始的三个控制点(a1’、a2’和a3’)和终了的三个控制点(a11’、a12’和a13’)向横坐标轴和纵坐标轴微微靠拢。然后，将传动误差曲线向纵坐标的负方向平移a/2，初步得到单根传动误差曲线，如图9所示。

4)维持当前齿对传动误差曲线的不变，将其向左和向右各平移一个齿距角，分别得到先导齿对和后继齿对的传动误差曲线，如图10中的点划线和虚线所示。

5)以起始的三个预控点a1’～a3’和终了的三个预控点a11’～a13’的坐标位置为优化设计变量，约束这六个预控点向着纵坐标轴和横坐标轴微微靠拢，以先导齿对在a4和a6处接近拐点、先导齿对与当前齿对在a4和a6处的斜率相等、先导齿对与当前齿对在a3’～a7之间的传动误差曲线尽可能靠近为目标函数，建立如下多目标优化设计模型：

式中，上角标p和c分别表示先导齿对和当前齿对；下角标i或iaj表示传动误差曲线的离散点序号。其他符号的意义同前。

优化后的传动误差曲线如图4所示。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。