多退化过程与随机冲击竞争失效系统的可靠性模型的制作方法

本发明属于竞争失效系统可靠性分析技术领域，尤其是多退化过程与随机冲击竞争失效系统的可靠性模型。

背景技术：

当前，随着设计制造水平和材料工艺等技术的发展，很多系统结构和功能越来越复杂，往往存在多种失效机理，造成系统的多个关键性能参数同时发生退化，并且各个性能参数的退化过程可能是相互影响的，其退化数据中存在一定的相依性。同时，系统在工作过程中还会不断遭受外部环境的随机冲击影响。一般地，系统失效模式可分为以下两种：(1)某个退化过程的增量超过给定的失效阈值时，系统发生退化失效(degradationfailures)或软失效(softfailures)。(2)遭受随机冲击，系统出现突发失效(catastrophicfailures)或硬失效(hardfailures)。因此，系统的失效过程通常是多个性能参数退化失效与随机冲击导致的突发失效之间相依竞争的结果。

由于系统失效机制复杂，多退化过程与随机冲击之间往往是相关关联、相互影响的。因此，这种退化-冲击多模式竞争失效系统中通常存在以下两种相依关系：(1)多个退化过程间的相依关系。在实际应用中，由于结构和功能错综复杂，系统通常同时具有多个性能参数退化以及多种退化机理，每种退化机理则可能与一个或多个性能参数相关，造成各个性能参数的退化过程相互影响，存在一定的相依性。(2)退化过程与随机冲击间的相依关系。二者的相互影响主要体现在两方面：一方面，退化会使系统在随机冲击作用下更加脆弱，对系统故障产生加速作用，当退化超过阈值时会直接导致故障的发生；另一方面，当遭受随机冲击时，系统退化过程可能会发生退化量的阶跃式增加或退化速率加速的现象。因此，对于此类复杂的相依竞争失效系统，忽略其中存在的相依性，在独立假设前提下进行可靠性评估，往往会得到可信性较低、甚至是错误的结果。

因此，针对多退化过程与随机冲击竞争失效系统进行可靠性评估的关键是分别建立退化模型和冲击模型，并在此基础上对上述相依关系进行考虑。

目前，现有退化-冲击竞争失效研究中，基本上都是采用泊松过程建立冲击模型，以描述系统所经受的不同类型的冲击过程。使用泊松过程对随机冲击过程建模主要是基于以下几点考虑：(1)泊松过程是一种重要的点过程，用它来表征随机冲击这种单事件效应现象是合理的；(2)泊松过程具有无记忆属性，换句话说，冲击是随机发生的；(3)泊松过程的发生速率λ(t)可以是任意形式，如若选取得当，它可以很好的描述随机冲击的出现频次。

而现有的退化-冲击竞争失效可靠性建模文献中，主要使用一种简单的广义轨迹模型，即线性回归模型，对系统的退化行为进行描述，并在此基础上考虑随机冲击对退化过程的影响。然而，线性回归模型假定系统的固有退化过程是确定的，这是对实际的退化过程的一种过度简化。在实际中，系统的退化过程通常比较复杂，存在多种随机性与不确定性，并受到环境因素的影响。因此，采用随机过程建立退化模型是更理想的选择，因为其具有时间依赖结构。但是，目前基于维纳过程退化模型的研究，只涉及了线性退化轨迹的情形。然而在实际工程应用中，由于系统结构和失效结构的复杂性，系统退化行为往往存在非线性。所以进行竞争失效系统退化过程建模时，还应该考虑系统的非线性退化行为。

因此本发明将引入非线性wiener过程，并在竞争失效系统建模过程中对该模型进行扩展。此外，现有文献大多仅考虑了单个退化过程和随机冲击之间的竞争关系，对于含有多个退化过程的竞争失效系统可靠性建模问题则少有涉及，对于存在多个相依退化过程的情形研究更少。

本发明期望使用非线性wiener过程与时变copula方法，构建一种综合考虑退化与冲击间相依性以及多退化过程间相依性的广义竞争失效系统可靠性模型。

技术实现要素：

针对现有技术存在的不足，本发明提供了多退化过程与随机冲击竞争失效系统的可靠性模型。

该模型通过以下方法建立：

(1)随机冲击模型

设随机冲击到达次数服从强度为λ的齐次泊松过程{n(t),t>0}，n(t)表示t时刻随机冲击出现的次数，则发生m次随机冲击的概率可表示为：

将随机冲击分为致命性冲击和非致命性冲击，令单个随机冲击是致命性冲击的概率p(t)为：

p(t)＝1-exp(-γt)(2)

式中γ为正常数，则这个冲击是非致命性冲击的概率为q(t)＝1-p(t)；

用n1(t)表示t时刻致命性冲击的发生次数，n2(t)表示t时刻非致命性冲击的发生次数，只有当n1(t)＝0时，才能保证系统不发生硬失效，则致命性冲击不发生的概率为：

在[0,t]时间段内，系统受到k次非致命冲击作用的概率为：

当在[0,t]时间段内不出现致命性冲击时，令n2(t)＝k；采用yj,j＝1,2,…,k表示每次冲击的幅值，则yj是独立同分布的正随机变量，设yj服从正态分布，即μy与σy是对应的均值和标准差；

(2)退化过程模型

不考虑随机冲击的影响，采用非线性wiener过程对退化过程进行建模，则退化模型为：

m1:di(t)＝ν0iλ(t；θi)+σbib(t)(5)

式中，di(t)表示t时刻第i个退化过程的退化量；v0i是漂移系数，表示该退化过程的退化速率；λ(t；θi)为非减时间尺度函数，用来描述退化行为的非线性特征，θi为该非线性函数的参数；σbi为扩散系数；b(·)为标准布朗运动(bm)；

(3)考虑冲击影响的修正退化模型

进一步考虑非致命性冲击对退化过程的影响，非致命性冲击对退化过程有两种影响机制，退化量突变和退化速率增大，对模型m1进行修正：

(a)非致命性冲击对退化量的影响

令冲击幅值yj,j＝1,2,…,k造成第i个退化过程的阶跃增量为wij,i＝1,2,…n，设wij与yj之间存在如下关系：

wij＝aiyj(6)

式中，ai表示单位冲击幅值对第i个退化过程退化增量的影响，yj服从正态分布，则wij也服从正态分布，即其中μi＝aiμy，σi＝aiσy；

当系统受到非致命性冲击的作用后，退化过程出现阶跃增量wij,i＝1,2,…n，将非致命性冲击对第i个退化过程造成的累积退化增量记为si(t)，表示为：

式中，wi0＝0；

(b)非致命性冲击对退化速率的影响

系统受到非致命性冲击作用之后会出现退化率加速的情况，设退化速率vi与si(t)之间存在如下的正比例关系：

式中，ri为依赖因子，取值范围为[0,∞)；

将退化速率带入到退化模型m1中，得到修正后的第i个退化过程的自然退化量为

m2:

综合考虑非致命性冲击对退化量和退化速率的影响，第i个退化过程总的退化量xi(t)由修正后的自然退化量di(t)与随机冲击导致的累积退化增量si(t)组成，即xi(t)＝di(t)+si(t)，则第i个退化过程总的退化量可表示为：

m0：

xi(t)首次穿越其给定阈值di的时间(firstpassagetime(fpt))被认为是系统第i个退化过程的退化失效寿命ti，求取退化模型m0的fpt分布，即可了解第i个退化过程相应的失效和生存概率；

令第i个退化过程的fpt的累积分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)分别为fdi(t)和fdi(t),i＝1,2,...,n，则其cdf的表达式如下：

fdi(t)＝p(xi(t)≥di)＝p(t≥ti)(11)

进而，得到第i个退化过程经受k次非致命性冲击的情况下，不发生退化失效的条件概率ri(t)为：

其中，

其中，ai、bi、ei以及gi为：

ai＝di-ν0iλ(t；θi)+tν0iλ′(t；θi)

bi＝1/ri+ν0iλ(t；θi)-tν0iλ′(t；θi)

(4)系统可靠性模型

系统具有n个退化过程，退化量为xi(t),i＝1,2,…,n，对应的失效阈值di，退化失效时间为ti，系统能继续工作必须满足两个竞争风险条件：所有退化过程均低于其对应的失效阈值、无致命性冲击出现，因此，系统的可靠度r(t)表示为：

考虑到多退化过程之间存在时变相依性，使用时变copula方法来获得多退化过程的联合分布函数，式(15)的可靠度函数可表示为：

r(t)＝c(r1(t),r2(t),…,rn(t)；αt)×p(n1(t)＝0)(16)

式中，αt是时变copula函数的参数，采用arma(1,10)过程来表示αt的动态演化方程

式中，δ(·)为确保αt始终在定义域内而引入的转换函数，即logistic转换函数，b0、b1、b2分别为动态演化方程的参数。

本发明与现有技术相比所具有的有益效果：

(1)使用非线性wiener过程刻画竞争失效系统的退化行为，与现有的广义轨迹模型和线性wiener过程相比，能够更准确描述系统退化行为中的随机性和非线性；

(2)通过修正wiener过程退化模型综合考虑随机冲击对退化过程的两种影响机制：退化量阶跃增加和退化速率加速，通过假设致命性冲击的发生概率随着时间逐步增大，表征随着系统状态的逐步下降，抵抗致命性冲击的能力越来越弱。

(3)使用时变copula方法表征多个退化过程间的相依结构。

附图说明

图1是本发明系统的竞争失效机制；

图2是两个退化过程的可靠度函数曲线；

图3是时变copula函数的参数估计结果；

图4是竞争失效可靠度曲线；

图5是系统可靠度曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明，应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

在整个寿命周期内，系统受到多个退化过程和随机冲击构成的多相依竞争失效过程。系统经历了两种相依的失效过程：由退化引起的软失效和由冲击引起的硬失效，无论谁先发生都会导致系统失效。以上失效过程是相互依赖的，因为它们具有某些共同的因素，例如，相同的环境/工作应力、使用历史、材料质量和系统维护。因此，在竞争失效模型中应该考虑多个失效过程之间的相依关系。

为了对多退化过程与随机冲击的竞争失效系统建立可靠性模型，提出如下假设：

a)系统存在n个退化过程，任意一个过程的累积退化量超过其临界失效阈值，均会导致系统失效。所有的退化过程均可采用非线性维纳过程进行描述。

b)系统经受的随机冲击可分为非致命性冲击(如图1所示的y1,y2,y3)和致命性冲击(如图1所示的y4)两类。其中，单个随机冲击是致命性冲击的概率为p(t)，一旦发生，将会导致系统瞬间失效；是非致命性冲击的概率为q(t)＝1-p(t)。非致命性冲击对于退化过程存在两种影响方式：退化量突变和退化速率增大，如图1所示。假设p(t)为一个随时间递增的函数，表征系统随着性能退化，其抗冲击能力逐渐下降的特点。

c)系统存在两种竞争失效机制：致命性冲击导致的硬失效(如图1所示t4时刻致命性冲击导致的硬失效)；以及致命性冲击未发生时，系统某个退化过程的累积退化量超过其临界失效阈值(如图1所示退化过程x1超过d1的情况)。

d)系统的多个退化过程之间存在相依性，其相依关系采用时变copula方法进行刻画。

接下来是多退化过程与随机冲击竞争失效系统的可靠性模型的建立过程：

(1)随机冲击模型

设随机冲击到达次数服从强度为λ的齐次泊松过程{n(t),t>0}，n(t)表示t时刻随机冲击出现的次数，则发生m次随机冲击的概率可表示为：

系统经受的随机冲击包含致命性冲击和非致命性冲击两种。令单个随机冲击是致命性冲击的概率p(t)为：

p(t)＝1-exp(-γt)(19)

式中γ为正常数，则这个冲击是非致命性冲击的概率为q(t)＝1-p(t)。致命性冲击和非致命性冲击分别服从强度为λp(t)和λq(t)的非齐次泊松过程。

接下来，采用n1(t)表示t时刻致命性冲击的发生次数，n2(t)表示t时刻非致命性冲击的发生次数，则n(t)＝n1(t)+n2(t)，且n1(t)和n2(t)相互独立。只有当n1(t)＝0时，才能保证系统不发生硬失效，而致命性冲击不发生的概率为：

同时，在[0,t]时间段内，系统受到k次非致命冲击作用的概率为：

如果在[0,t]时间段内，不出现致命性冲击，令n2(t)＝k；采用yj,j＝1,2,…,k表示每次冲击的幅值，则yj是独立同分布的正随机变量。设yj服从正态分布，即μy与σy是对应的均值和标准差。

(2)退化过程模型

现有的竞争失效建模分析中，大部分研究采用线性模型x(t)＝ω+βt来描述系统的退化过程，由于系统的退化过程存在随机性和非线性，这种简单的线性模型是不合适的。本发明采用非线性wiener过程对退化过程进行建模。一方面，wiener过程具有独立增量的马尔可夫特性，可以更加合理的反映系统退化的随机性；另一方面可以通过非线性wiener过程更准确地描述退化行为的非线性，且没有只能描述严格单调退化现象的限制。

在不考虑随机冲击的影响时，采用非线性wiener过程对退化过程进行建模，则退化模型为：

m1:di(t)＝ν0iλ(t；θi)+σbib(t)(22)

式中，di(t)表示t时刻第i个退化过程的退化量(为了简化，假设初始退化值为0或通过变换使得初始退化值为0)；v0i是漂移系数，表示该退化过程的退化速率；λ(t；θi)为非减时间尺度函数，用来描述退化行为的非线性特征，θi为该非线性函数的参数；σbi为扩散系数；b(·)为标准布朗运动(bm)。

(3)考虑冲击影响的修正退化模型

当不存在非致命冲击时，系统按照m1描述的轨迹进行退化，然而在工程实际中，系统处于复杂的工作环境中，会不断遭受外界环境中的随机冲击影响，非致命性冲击对退化过程有两种影响机制：退化量突变和退化速率增大。本发明通过对模型m1进行修正，综合考虑这两种影响，表征退化与冲击间的相依性。

(a)非致命性冲击对退化量的影响

非致命性冲击对退化量的影响主要是由冲击幅值造成的，但是相同的冲击幅值对于每个退化过程的损伤量是不同的。令冲击幅值yj,j＝1,2,…,k造成第i个退化过程的阶跃增量为wij,i＝1,2,…n。假设wij与yj之间存在如下的线性关系：

wij＝aiyj(23)

式中，ai表示单位冲击幅值对第i个退化过程退化增量的影响；当ai＝1时，表示冲击的幅值将等量值作用到第i个退化过程；当ai＝0时，表示冲击的幅值不会对第i个退化过程产生增量。yj服从正态分布的假设，则wij也服从正态分布，即其中μi＝aiμy，σi＝aiσy。

当系统受到非致命性冲击的作用后，退化过程出现阶跃增量wij,i＝1,2,…n，将非致命性冲击对第i个退化过程造成的累积退化增量记为si(t)，则si(t)可用一个复合泊松过程来表示：

式中，wi0＝0。

(b)非致命性冲击对退化速率的影响

非致命性冲击在影响系统退化量的同时，还可能会改变其退化速率。针对系统受到非致命性冲击作用之后出现退化率加速的现象，本发明通过假设退化速率vi与si(t)之间存在如下的正比例关系，考虑二者之间存在的相依性：

式中，ri为依赖因子，取值范围为[0,∞)，很明显vi/v0i>1，这表征了退化速率加速。若ri为0，就说明非致命性冲击不会对退化速率造成影响。

将退化速率带入到退化模型m1中，得到修正后的第i个退化过程的自然退化量为

m2:

在考虑非致命性冲击的上述两种影响后，第i个退化过程总的退化量xi(t)由修正后的自然退化量di(t)与随机冲击导致的累积退化增量si(t)组成，即xi(t)＝di(t)+si(t)，则第i个退化过程总的退化量可表示为：

m0：

xi(t)首次穿越其给定阈值di的时间(firstpassagetime(fpt))被认为是系统第i个退化过程的退化失效寿命ti。通过求取退化模型m0的fpt分布，即可了解第i个退化过程相应的失效和生存概率。

令第i个退化过程的fpt的累积分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)分别为fdi(t)和fdi(t),i＝1,2,...,n，则其cdf的表达式如下：

fdi(t)＝p(xi(t)≥di)＝p(t≥ti)(28)

进而，得到第i个退化过程经受k次非致命性冲击的情况下，不发生退化失效的条件概率ri(t)为：

其中，

其中，ai、bi、ei以及gi为：

ai＝di-ν0iλ(t；θi)+tν0iλ′(t；θi)

bi＝1/ri+ν0iλ(t；θi)-tν0iλ′(t；θi)

(4)系统可靠性模型

系统具有n个退化过程，退化量为xi(t),i＝1,2,…,n，对应的失效阈值di，退化失效时间为ti。根据软失效的定义可知，只要n个退化过程中的任意一个退化过程超过与之对应的失效阈值，系统立刻失效。另外，当致命性冲击出现时，系统会发生硬失效。因此系统仍能继续工作必须满足两个竞争风险条件：1)所有退化过程均低于其对应的失效阈值；2)无致命性冲击出现。

因此，系统的可靠度r(t)可表示为：

如果退化过程之间相互独立，式(15)的系统可靠度可以表示为：

考虑到多退化过程之间存在相依性，本发明使用copula方法来获得多退化过程的联合分布函数。此外，为了体现退化过程间的相依关系可能会随着时间发生变化，将使用时变copula函数进行多元联合分布的计算，则系统的可靠度函数为：

r(t)＝c(r1(t),r2(t),…,rn(t)；αt)×p(n1(t)＝0)(34)

式中，αt是时变copula函数的参数，是一个随时间变化的量，通常采用一个动态演化方程来表示。采用应用最为广泛的arma(1,10)过程来表示αt的动态演化方程

式中，δ(·)为确保αt始终在定义域内而引入的转换函数，即logistic转换函数。表1给出了几种常见的时变copula函数形式及其logistic转换函数；b0、b1、b2分别为动态演化方程的参数。

表1常见的时变copula函数

时变copula函数存在多种类型，选用aic准则和bic准则作为拟合优度的检验标准，aic和bic的值越小，说明此模型的拟合程度越高。

采用本发明的竞争失效系统模型对含有两个退化过程和一个冲击过程的竞争失效系统进行算例分析。假设随机冲击的发生强度为λ＝3×10^-3，致命冲击的概率为p(t)＝1-exp(-γt)，γ＝0.0002，随机冲击的幅值服从正态分布，均值为μy＝0.6，方差为σy＝0.01。第一个退化过程的退化量分别为x1(t)，对应的软失效阈值为d1＝12，退化速率为漂移函数为其中ν01＝1×10^-3，r1＝0.05，w1j＝a1yj，a1＝0.75，时间尺度函数为θ1＝1.3，扩散系数σb1＝0.2；第二个退化过程的退化量分别为x2(t)，对应的软失效阈值为d2＝7，退化速率为漂移函数为其中ν02＝3×10^-4，r2＝0.02，w2j＝a2yj，a2＝0.1，时间尺度函数为θ2＝1.3，扩散系数σb2＝0.1；通过系统可靠度的计算公式(12)，可以得到两个退化过程的不发生退化失效的条件概率曲线如图2所示。

采用四种时变copula来拟合联合退化分布，包括时变normalcopula函数，时变gumbelcopula函数、时变claytoncopula以及时变frankcopula函数。图3给出了上述四种时变copula函数的参数演化过程曲线，其中实线是时变copula函数的参数演化过程曲线，虚线是静态copula函数的参数演化过程曲线。从图中可以看出，时变copula函数的参数演化过程曲线存在明显的变化，因此在考虑退化过程之间的依赖关系时，不应忽视依赖关系可能发生变化的情况，有时候时变copula函数拟合联合分布的效果更好，它可以反映相依结构测度随时间的变化情况。

用时变copula函数可以得到两个退化过程的竞争失效可靠度曲线如图4所示，可以看出，假设退化过程之间独立与考虑退化过程之间相依的竞争失效可靠度曲线存在很大的差异，不考虑相依性得到的可靠度模型会低估系统的健康状态，可能会导致做出错误决策，带来经济损失，因此合理的考虑退化过程之间的相依结构是非常有必要的。

表2给出了时变copula函数的拟合结果，可以看到aic和bic的排名结果是一致的。最佳用于拟合联合退化分布的是时变gumbelcopula函数，aic为--1253.013，bic为-1243.058；其次是时变normalcopula函数，aic为-1191.207，bic为-1181.252。

表2时变copula函数的拟合效果

根据表2的排序结果选择时变gumbelcopula函数拟合退化过程的联合分布函数，进一步得到系统的竞争失效模型的可靠度如图5所示，明显高于基于独立性假设条件下的可靠度。说明当退化过程间存在相依性的时候，需要充分考虑在退化建模中。