一种基于幺正变换和纠缠见证者的纠缠检测方法与流程

本发明提出一种基于幺正变换和纠缠见证者的纠缠检测方法，对“x”型三量子比特态的密度矩阵做幺正变换，利用纠缠见证者的方法，构造合适的测量算符，准确检测到量子态纠缠的部分，最后得到当φ＝π时纠缠与可分离问题的解析结果，以及当φ＜π时如何找到φ，使得φ的值满足本发明的可分离准则。

背景技术：

量子纠缠作为一种重要的物理资源，在量子信息处理领域有着极其重要的作用，在量子通信、量子计算、量子隐形传态[1]中，量子纠缠现象是其关键的因素，因此对于量子纠缠的研究，特别是对于纠缠的检测，对于未来的量子信息技术的发展有着决定性的作用。

研究表明，纠缠判定是一个np困难问题[2]，从历史上看，bell不等式的发现对于量子信息的研究具有里程碑式的意义，是第一个可操作的区分纠缠态和可分离态的标准。后来发展了许多比bell不等式更精细更有效的分离判据，比如易于计算的peres-horodecki准则即部分转置正定(ppt)准则[3-4]，约化判据[5]，矩阵重排判据等等[6]，其中影响力最大的是ppt准则。它适用于希尔伯特空间维数是2×2和2×3的系统，是该系统可分离性的充分条件，但是对于更高维数的系统，存在部分转置正定的纠缠态(pptes)，不能被peres-horodecki准则探测到，因此ppt准则不再适用。ppt准则和矩阵重排判据通过分析密度矩阵在可分离状态下的展开式以及展开系数之间的关系得到，若量子态是可分离的，则展开式系数必定满足一定的不等式，此判据依赖于系统的维度和密度矩阵的展开系数，两体问题的纠缠判据已经得到了比较充分的研究。目前，对于多体量子纠缠的问题还有待研究，对于一个给定的量子态，准确地区分出它的完全可分离和纠缠的部分还是比较困难的，对于任意一个“x”型三量子比特态，至今还无法直接通过密度矩阵来得到它的完全可分离或者纠缠的部分。“x”型三量子比特态的一种特殊情况，三量子比特ghz态，它的完全可分离性判据[7]通过将密度矩阵改写成泡利矩阵的形式进行计算、化简，通过ppt准则判断，得到了完全可分离的充分必要条件。三量子比特ghz态的密度矩阵对角线与反对角元素不为0，且全为实数，其余元素全为0，本发明所涉及的“x”型三量子比特态与ghz态不同的是密度矩阵的反对角元素为复数，即包含虚数。

“x”型三量子比特态不同于ghz态，无法利用文献[7]的方法得到结果，本发明发现对于“x”型三量子比特态，纠缠见证者[8-10]是比较方便的纠缠检测方法。因此，本发明利用幺正变换和纠缠见证者的纠缠检测方法得到“x”型三量子比特态完全可分离的判据。

参考文献

[1]nielsenmaandchuangil.quantumcomputationandquantuminformation.cambridgeuniversitypress，cambridge，uk，2000

[2]gurvitsl.classicaldeterministiccomplexityofedmonds’problemandquantumentanglement.proceedingsofthethirty-fifthannualacmsymposiumontheoryofcomputing，sandiego，2003

[3]peresa.separabilitycriterionfordensitymatrices.physrevlett，1996，77：141-1415

[4]horodeckim，horodeckip，horodeckir.separabilityofmixedstates：necessaryandsufficientconditions.physletta，1996，223：1-8

[5]horodeckim，horodeckip.reductioncriterionofseparabilityandlimitsforaclassofdistillationprotocols.physreva，1999，59(6)：4206

[6]chenk，wula.amatrixrealignmentmethodforrecognizingentanglement.quantuninfcomput.2003，3(3)：193

[7]chenxy，jianglz，yup，tianmz.necessaryandsufficientfullyseparablecriterionandentanglementofthree-qubitgreenberger-home-zeilingerdiagonalstates.quantuminfprocess，2015，14：2463-2476

[8]terhalbm.bellinequalitiesandtheseparabilitycriterion.physletta，2000，271：3190326

[9]bourennanem，eiblm，kurtsieferc，etal.experimentaldetectionofmultipartiteentanglementusingwitnessoperators.physrevlett，2004，92：087902

[10]sperlingj，vogelw.multipartiteentanglementwitnesses.physrevlett，2013，111：110503

技术实现要素：

本发明提出一种基于幺正变换和纠缠见证者的纠缠检测方法，包括以下几个步骤：

s1)对“x”型三量子比特态的密度矩阵进行幺正变换，将八个带虚部的反对角元减少为两个；

s2)利用bloch表象表示“x”型三量子比特态的特性函数结合乘积态的性质，得到测量算符与密度矩阵的乘积所能达到的最大上界

s3)构造合适的见证算符根据纠缠见证者的性质，判断纠缠见证者对给定的态是否负定，得到初步的纠缠条件

s4)将特性函数的参数转化为用角度表示，见证算符的参数使用α，β，γ，δ表示；处理密度矩阵的反对角元，将转化的函数求出的最大值为

s5)根据得到的纠缠条件给出当φ＝π时纠缠与可分离问题的解析结果，以及当φ＜π时如何找到φ，使得φ的值满足本发明的可分离准则。

附图说明

图1表示l″取得最大值且φ＝π时，x与τ的关系曲线，图2表示l″取得最大值时φ的取值。

具体实施方式

下面结合本发明的具体步骤对本发明的技术方案做进一步描述。

1、纠缠见证者

纠缠见证者理论的依据是巴拿赫分离公理，假设有这样一个凸集，它是所有可分离量子态的集合，凸集之外的是纠缠态集合，纠缠见证者相当于一个超平面，可以找到这样一个超平面，使得凸集在超平面的一侧，另一侧不包含凸集里的点，包含凸集的一侧(比如说左侧)，有不包含凸集中的点的一侧(比如说右侧)，有因此右侧的量子态都是纠缠态，就被所见证。但是左侧的集合中包含了可分离与纠缠的部分，还有部分的纠缠态没有被探测到，因此可以平移超平面与凸集相切以探测到更多的纠缠态，这样的见证者称为最优见证者。还可以让超平面弯曲但保持凸集在它的左侧，这样的见证者称为非线性见证者。

纠缠见证者是测量纠缠的厄米算符，其在量子态上的均值对于所有的完全可分离态都是非负定的，对至少一个纠缠态是负定的。在实验中，可以通过测量纠缠见证者来检测到给定的态的纠缠的部分。记最优的纠缠见证者为它可以写成如下形式：

其中i是单位矩阵，是测量算符，是测量算符与密度矩阵的乘积所能达到的最大上界，即

最大上界包含了对于给定划分的所有的可分离态，对于给定的虽然先前发展了一些可分离的判据，但是却无法准确的检测到所有的纠缠的部分，即有部分纠缠的态无法被探测到。解决这个问题需要构造合适的测量算符但如今并没有系统的方法，具体问题还需使用特别的方法。本文采用的方法是减少测量算符的未知数，调整少量参数使得发生变化，找到最佳的纠缠见证者。这个过程可以分为两步，第一步是找到给定测量算符的最优见证者，可以得到可分离准则的必要条件，第二步是调整的参数去匹配纠缠的态同时保持见证者是最优的，可以得到可分离准则的充分条件。通过计算密度矩阵与纠缠见证者乘积的迹，可以判断纠缠见证者对给定的态是否负定，即使得对于所有的纠缠态，满足对于所有的可分离态，满足

2、“x”型三量子比特态的幺正变换

“x”型三量子比特态的密度矩阵除了对角元和反对角元，其它的元素都为0，对角元用ρ1，1，ρ2，2，…，ρ8，8表示；反对角元用ρ1，8，ρ2，7，…，ρ8，1表示，并且反对角元可以是复数，即如下形式：

为了使复数的反对角元更易处理，将八个带虚部的反对角元减少为两个，对ρ做幺正变换，通过的幺正变换，其中其中φi，j是ρ1，j的相位，则态ρ可变为

其中τ＝φ1，8-φ2，7-φ3，6+φ4，5。因为幺正变换不改变态的纠缠性，所以态ρ和它变换后的态纠缠性是相同的。

3、“x”型三量子比特态的纠缠条件

仍将(4)式右边记为ρ，如果是可分离的，它的密度矩阵就可以写成如下形式：

是a部分的态(它总是可以假定是纯态)，pi符合概率分布。三量子比特态的特征方程是

其中，i，j，k＝0，1，2，3；σi是泡利矩阵，σ0＝1是2×2的单位矩阵。

为了更好的处理特性函数，使用bloch表象表示量子比特，是泡利算符矢量，是bloch矢量，泡利矩阵是无迹的并且满足tr(σiσj)＝2δi，j，bloch矢量的分量为υi＝tr(ρσi)。

对于纯态的乘积态|ψ>＝|ψa>|ψb>|ψc>，有<ψa|σi|ψa>＝tr(|ψa><ψa|·σi)，由量子比特的bloch表象，得到其中类似的是第一、第二个和第三个量子比特的bloch矢量。最后得到

结合乘积态的性质得到

其中

所以

记m＝(m000，m001，…m333)，r＝(r000，r001，…r333)，其中不失一般性，令m000＝0纠缠的态满足最后得到纠缠的条件为

即

4、使用角度和希腊字母表示特性函数与见证算符的参数

利用归一化将x1，x2，x3转化成用角度表示的形式，即x3＝cosθ1，θ1∈[0，π]，可以用θ2，θ3，类似的表示，则

其中

对于密度矩阵对角元素的部分，即前人已经给出了结果，在此不再赘述。本文重点在于对反对角元素的处理。反对角元素即的部分，记m0＝m111，m3＝m122，m5＝m212，m6＝m221，m1＝m112，m2＝m121，m4＝m211，m7＝m222，根据密度矩阵幺正变化后得到的矩阵的性质，得到r112＝r121＝r211＝-r222，所以令m1＝m2＝m4＝-m7，所以

其中为了方便求的最大值，可以消去保留一个角度，然后得到

其中δi＝2m1，[α，δr，β，γ]^t＝h2[m0，m3，-m5，m6]^t。所以

这里将见证算符的参数m＝(m0，m1，…，m7)用α，β，γ，δ表示，接下来将α，β，γ，δ进行处理，以及寻找合适的的值，找到

与此同时，

设α＝β，γ＝δ，此时ρ1，8＝ρ4，5，ρ2，7＝ρ3，6有

先不管绝对值点，对求导得，所以

令其中当l′达到最小时，b＞a且ab＜1，此时有

即

其中欲求l′的最小值，可求l″的最大值。matlab计算结果如附图1。

附图1阴影部分表示当φ＝π时，l″取得最大值，x与τ的关系。此时l′取得最小值，取得最小值，根据前面总结出的纠缠条件l＜1时，态ρ是纠缠的，得，当φ＝π，x与τ满足上图左侧的关系时，当时，态ρ是纠缠的。时，态ρ是完全可分离的。

附图1非阴影部分表示当φ∈[0，π)时，l″取得最大值，x与τ的关系。此时l′取得最小值，取得最小值，关于φ的取值问题，对于不同x与τ的值，当φ取得附图2曲面上的值时，l″取得最大值。

实施例：

1、判断给定的当φ＝π时，l取得最小值的“x”型三量子比特态的纠缠与可分离性

对于的“x”型三量子比特态，此时当φ＝π时，l取得最小值，代入得到探测到给定的满足上述条件的“x”型三量子比特态是纠缠的。对于其他的“x”型三量子比特态，代入上述条件可以得到不同的纠缠与可分离的结果。

2、总结

量子纠缠检测问题十分重要，本发明针对多组分量子态中的“x”型三量子比特态的纠缠检测问题给出了实际可操作的方法，对“x”型三量子比特态的密度矩阵做幺正变换，将八个带虚部的反对角元减少为两个，将相关参数使用角度和希腊字母表示，通过改变少量的变量调整见证算符，找到最佳的纠缠见证者，进而得到实际可操作的方法，判断对于给定的“x”型三量子比特态，当φ＝π时，它究竟是纠缠的，还是可分离的，以及当φ＜π时，如何找到φ，使之满足最优见证者。