一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法与流程

本发明涉及一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法，属于弹性力学技术领域。

背景技术：

功能梯度材料可以通过特定的材料制备工艺将不同性能的两种或两种以上材料按一定的设计规律组合起来，使中间的组成和结构连续呈梯度变化，消除了两种材料之间的明显界面，因而其相应的热力学性能和物理性能也呈现出梯度变化的形式，从而使材料具有高强度、高韧性、减少应力集中、耐高温等优良的力学性能，可广泛应用于土木工程、航空航天以及生物医学等各个领域。因此深入研究功能梯度材料的力学行为，对于功能梯度材料的设计、制造以及工程应用均具有十分重要的实际意义。

近年来，很多学者研究分析了一系列的功能梯度材料板的弯曲问题。通常只能获得一些弹性模量呈特殊梯度分布形式(以指数形式分布，线形分布形式，倒数线形分布)在一些特殊边界条件下的结果，我们有必要研究更一般的梯度分布形式下(如一般幂函数形式)，功能梯度材料板内部的位移、应力的分布规律，但由于功能梯度材料板具有任意属性，采用特殊函数求解功能梯度材料板弯曲问题的缺点是：功能梯度材料属性的分布形式限制这类方法的应用。因此，目前需要一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法。

技术实现要素：

为解决现有技术存在的技术问题，本发明提供了一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法，其解决了现有功能梯度板弯曲问题求解方法中层与层之间材料参数不连续的缺点，未考虑功能梯度板具有任意梯度分布，导致求得的应力与位移响应不精确，限制了现有功能梯度材料板弯曲问题的求解方法的应用的问题。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案为一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法，按照以下步骤进行操作

a、建立以位移表示的功能梯度材料矩形板的平衡方程；

b、将功能梯度材料板沿厚度方向均匀分为若干层，由步骤a建立的平衡方程，得到每层材料的平衡方程；

c、引入plevako解，将位移分量用两个满足特定偏微分方程的函数l＝l(x,y,z)和n＝n(x,y,z)来表示，采用分离变量法，得到两个变系数的常微分方程，求解函数l和n就可以得到具有待定系数的功能梯度材料矩形板的所有位移和应力分量，进而求出功能梯度材料矩形板的所有位移和应力状态量，其中待定系数由边界条件来确定；

d、将步骤c的位移与应力分量表达式按fourier级数展开，获得每层上下表面各个状态量之间的传递关系，结合每层材料的边界条件以及相邻界面处的连续条件，获得板内任意一点状态量的解析解。

优选的，所述步骤b中，将功能梯度材料矩形板沿厚度方向均匀分为n层，则第i层材料的厚度为hi-hi-1，其中：i＝1,2,3…n；

假定每一层的材料参数呈一般幂函数形式分布，则

ei(z)＝(aiz+bi)^p

其中，p为任意给定的梯度分布指数，si为每个界面处的弹性模量，且

层与层之间的界面位移、应力连续条件为：

ui^-＝ui⁺；vi^-＝vi⁺；wi^-＝wi⁺

其中，上标“+”号代表每一个界面的上表面，上标“－”号代表每一个界面的下表面。

优选的，所述步骤c中，将位移与应力分量按fourier级数展开，

对第i层，有

其中：代表每层位移、应力状态量，为每层矩阵系数，为每层待定系数；

在每层的上下表面处，

每层的上下表面各个状态量之间的传递关系如下

利用界面之间的连续条件，得到

其中：

任意一个界面上的状态量都可以得到，相应的每层的待定常数也可以得到，可用如下的递推关系表示：

于是板内任意一点的各状态量都可以解析的表示出来。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：本发明提出了求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的新分层模型。由于功能梯度材料属性分布随空间位置变化，本发明将功能梯度板分为若干层，采用弹性模量的分层幂函数分布假设，相当于用一般幂函数曲线分段来无限逼近功能梯度板的真实材料属性的曲线。该方法不但可以反应材料属性的非均匀参数对其位移与应力响应的影响，而且可以快速精确的获得任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的解。同时克服了现有功能梯度板弯曲问题的求解中未考虑功能梯度材料具有任意属性，导致现有功能梯度材料板弯曲问题的求解方法的应用受到限制的问题，本发明的求解方法更符合实际情况，应用范围广泛，求解结果具有可靠性。

附图说明

图1为本发明方法的流程图。

图2为具有任意属性功能梯度材料板的分层结构图。

具体实施方式

为了使本发明所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1、图2所示，一种求解任意梯度分布的功能梯度板弯曲问题的方法，其特征在于：按照以下步骤进行操作

a、建立以位移表示的功能梯度材料矩形板的平衡方程；

b、将功能梯度材料板沿厚度方向均匀分为若干层，由步骤a建立的平衡方程，得到每层材料的平衡方程；

c、引入plevako解，将位移分量用两个满足特定偏微分方程的函数l＝l(x,y,z)和n＝n(x,y,z)来表示，采用分离变量法，得到两个变系数的常微分方程，求解函数l和n就可以得到具有待定系数的功能梯度材料矩形板的所有位移和应力分量，进而求出功能梯度材料矩形板的所有位移和应力状态量，其中待定系数由边界条件来确定；

d、将步骤c的位移与应力分量表达式按fourier级数展开，获得每层上下表面各个状态量之间的传递关系，结合每层材料的边界条件以及相邻界面处的连续条件，获得板内任意一点状态量的解析解。

其中，以功能梯度材料矩形板为例，建立以位移表示的功能梯度材料板的平衡方程为：

式中：x,y,z是笛卡儿坐标系，u,v,w是位移分量，是体积应变，是拉普拉斯算子；e和ν分别是杨氏模量和泊松比，它们都是关于坐标z的函数；

板上下表面的边界条件为：

在z＝0处，σz＝z0(x,y)τxz＝x0(x,y)τyz＝y0(x,y)

在z＝h处，σz＝z1(x,y)τxz＝x1(x,y)τyz＝y1(x,y)

这里z0(x,y)，z1(x,y)，x0(x,y)，x1(x,y)，y0(x,y)，y1(x,y)分别是上下表面作用的横向荷载和切向荷载。

在四边简支边上，有：

σx＝v＝w＝0，(x＝0,a)

σy＝u＝w＝0，(y＝0,b)。

然后针对功能梯度材料属性的任意性，为求解材料弯曲问题，采用分段幂函数模型。将功能梯度材料矩形板沿厚度方向均匀分为n层，则第i层材料的厚度为hi-hi-1，其中：i＝1,2,3...n；

假定每一层的材料参数呈一般幂函数形式分布，则

ei(z)＝(aiz+bi)^p

其中，p为任意给定的梯度分布指数，si为每个界面处的弹性模量，且

层与层之间的界面位移、应力连续条件为：

ui^-＝ui⁺；vi^-＝vi⁺；wi^-＝wi⁺

其中，上标“+”号代表每一个界面的上表面，上标“－”号代表每一个界面的下表面。

然后再利用位错函数的表达式，根据plevako解，引入两个函数和，采用分离变量法，得到两个变系数的常微分方程；求解微分方程可以得到具有待定系数的功能梯度材料矩形板的所有位移和应力分量。其中待定系数由边界条件来确定。

最后再将位移与应力分量按fourier级数展开，

对第i层，有

其中：代表每层位移、应力状态量，为每层矩阵系数，为每层待定系数；

在每层的上下表面处，

每层的上下表面各个状态量之间的传递关系如下

利用界面之间的连续条件，得到

其中：

任意一个界面上的状态量都可以得到，相应的每层的待定常数也可以得到，可用如下的递推关系表示：

于是板内任意一点的各状态量都可以解析的表示出来。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包在本发明范围内。