玻色子系统模拟方法

1.本发明属于量子计算领域，尤其涉及一种玻色子系统模拟方法。


背景技术：

2.量子模拟算法是量子算法中重要的一类，其中费米子和玻色子的量子模拟算法尤其重要。对于费米子的模拟算法，有著名的jordan-wigner变换以及改进的bravyi-kitaev变换。对于费米子或玻色子的量子模拟，有了产生算符的pauli矩阵表达就能利用已有的方法搭建模拟相关问题的量子线路进而推算出这种费米子或玻色子的整套量子模拟算法。jordan-wigner变换以及bravyi-kitaev变换也就是给出了两种不同的费米子产生算符的pauli矩阵表达。现有技术中对于玻色子的模拟算法，一般采用基于量子比特与占有数基矢一一对应的算法。这种算法在量子计算机上执行时，需要的量子比特数为o(n)(n是玻色子最大占有数)，在经典计算机的量子虚拟机上，则需要的计算资源随着占有数的增加呈指数增长，以至于经典计算机不能完成占有数较大时的计算。


技术实现要素：

3.基于此，本发明的目的是通过建立新的量子比特和hilbert空间映射关系，并在此基础上通过定义新的玻色子产生算符的pauli矩阵表达解决了现有技术中玻色子模拟算法中计算资源消耗大的问题，本发明公开的技术方案不仅可用于量子计算机，节约量子比特计算资源，降低计算难度，也可用于经典计算机的量子虚拟机环境，解决经典计算机模拟玻色子系统的内存指数增长问题。
4.本发明的目的是通过以下技术方案实现的：一种玻色子系统模拟方法，所述玻色子系统的最大占有数截断为2
n-1，该方法包括：
5.建立n位量子比特基矢与2n维hilbert空间基矢的编码映射关系；
6.将所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达；
7.将所述产生算符的pauli矩阵表达从2n维hilbert空间递推到2
n+1
维hilbert空间。
8.具体地，所述n位量子比特基矢与2n维hilbert空间基矢的编码映射关系为
9.|φ0》＝|01,02,...,0
n-1
,0n》,
10.|φ1》＝|01,02,...,0
n-1
,1n》,
11.|φ2》＝|01,02,...,1
n-1
,0n》,
12.|φ3》＝|01,02,...,1
n-1
,1n》,
13....
[0014][0015]
其中，|φi》(i＝0,1,2,...,2
n-1)表示在2n维hilbert空间中玻色子布居数为i的基矢，|0》和|1》分别表示量子比特两个基。
[0016]
具体地，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0017][0018]
其中，是所述2n维hilbert空间截断后的产生算符，是第i项对第1位至第n位量子比特的作用算符，该作用算符是由pauli组合矩阵中的元素按某种排列组合形成的张量积；
[0019]
所述pauli组合矩阵为pauli矩阵σ
x
,σy，σz的多项式组合，所述pauli组合矩阵至少包括四个元素：
[0020][0021]
具体地，所述产生算符的pauli矩阵表达从2n维hilbert空间递推到2
n+1
维hilbert空间的方法为
[0022]
将中每个量子门所作用的量子比特位置加1
[0023][0024]
将第1项至第2
n-1项写为
[0025][0026]
将第2n项写为
[0027][0028]
将第2n+1项至第2
n+1-1项写为
[0029][0030]
所述2
n+1
维hilbert空间截断后的产生算符为上述各项相加
[0031][0032]
具体地，当n＝1时，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0033][0034]
具体地，当n＝2时，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0035][0036]
以此类推，本发明的技术方案可以写出任何量子比特数截断后的产生算符的pauli矩阵表达。
[0037]
本发明公开的上述技术方案具有如下的有益效果：
[0038]
1)该方法将最大占有数截断为n的玻色子系统模拟计算所需的量子比特数从o(n)降低到o(log
2 n)；
[0039]
2)该方法可同时适用于量子模拟以及基于量子虚拟机的经典数值模拟。
具体实施方式
[0040]
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，下面结合实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。应该理解，此处所描述的实施例仅用于解释本发明，但不用于限制本发明的范围。
[0041]
本发明公开了一种玻色子系统模拟方法，假设玻色子系统的最大占有数截断为2
n-1，该方法包括：
[0042]
s001:建立n位量子比特基矢与2n维hilbert空间基矢的编码映射关系；
[0043]
s002:将2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达；
[0044]
s003:将产生算符的pauli矩阵表达从2n维hilbert空间递推到2
n+1
维hilbert空间。
[0045]
具体地，在本发明实施例中，n位量子比特基矢与2n维hilbert空间基矢的编码映射关系为
[0046]
|φ0》＝|01,02,...,0
n-1
,0n》,
[0047]
|φ1》＝|01,02,...,0
n-1
,1n》,
[0048]
|φ2》＝|01,02,...,1
n-1
,0n》,
[0049]
|φ3》＝|01,02,...,1
n-1
,1n》,
[0050]
...
[0051][0052]
其中，|φi》(i＝0,1,2,...,2
n-1)表示在2n维hilbert空间中玻色子布居数为i的基矢，|0》和|1》分别表示量子比特两个基。
[0053]
特别地，2n维hilbert空间截断后的产生算符的矩阵形式可以写为：
[0054][0055]
其中n＝2
n-1。
[0056]
具体地，在本发明实施例中，2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0057][0058]
其中，是所述2n维hilbert空间截断后的产生算符，是第i项对第1位至第n位量子比特的作用算符，该作用算符是由pauli组合矩阵中的元素按某种排列组合形成的
张量积；
[0059]
pauli组合矩阵为pauli矩阵σ
x
,σy，σz的多项式组合，pauli组合矩阵至少包括四个元素：
[0060][0061]
三个pauli矩阵σ
x
,σy，σz满足如下关系：
[0062]
σ
x
σy＝iσz,σyσz＝iσ
x
,σzσ
x
＝iσy,σ
x
σy＝-σyσ
x
,σyσz＝-σzσy,σzσ
x
＝-σ
x
σz,σ
x
σ
x
＝σyσy＝σzσz＝i；
[0063]
其中，i是2
×
2的单位矩阵
[0064][0065]
pauli矩阵和单位矩阵i组成封闭代数系统，可以作为厄米2
×
2矩阵空间的基。
[0066]
具体地，在本发明实施例中，产生算符的pauli矩阵表达从2n维hilbert空间递推到2
n+1
维hilbert空间的方法为
[0067]
将中每个量子门所作用的量子比特位置加1
[0068][0069]
将第1项至第2
n-1项写为
[0070][0071]
将第2n项写为
[0072][0073]
将第2n+1项至第2
n+1-1项写为
[0074][0075]2n+1
维hilbert空间截断后的产生算符为上述各项相加
[0076][0077]
具体地，在本发明实施例中，当n＝1时，2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0078][0079]
当n＝2时，2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0080][0081]
当n＝3时，2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0082][0083]
当n＝4时，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0084][0085]
当n＝5时，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0086]
[0087][0088]
当n＝6时，所述2n维hilbert空间截断后的产生算符用pauli矩阵表达为：
[0089]
[0090][0091]
可对上述由pauli组合矩阵给出截断后的产生算符进行化简合并同类项，获得产生算符的pauli矩阵表达。例如n＝3时，
[0092]
[0093][0094]
特别地，根据本发明公开的递推关系和n＝1截断后的产生算符pauli表达，原则上可以写出任何n值截断后的产生算符和对应湮灭算符的pauli矩阵表达，这里不再一一赘述。具体地，在量子模拟计算中，可以通过产生湮灭算符的pauli表达推导出任何由产生湮灭算符组合出来的算符表达。在本发明的实施例中，下面给出在n＝3时，一些常见的由产生湮灭算符组合出来的算符。
[0095]
截断粒子数算符的表达式为
[0096][0097]
截断粒子数算符的平方表达式为
[0098][0099]
其他常用的算符构件
[0100][0101]
最后所应说明的是，以上具体实施方式仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。