一种强非线性动态系统的高阶扩展卡尔曼滤波器设计方法

本发明针对一类具有多项式形式的强非线性随机动态系统，提出一种新型的高阶扩展卡尔曼滤波器(high-orderextendedkalmanfilter，hekf)设计方法。
背景技术：
：滤波器的应用在国内外的各个领域中都有着重要的作用，滤波器的发展和进步，已在国民经济建设，特别是世界国防建设中发挥着重要作用，如复杂工业过程中系统状态和重要参数的在线实时估计，军事领域中对非合作目标的防御、跟踪和精确打击等。因此从业人员在充分使用系统信息的统计分布特性的情况下，基于最小方差估计，提出了具有里程碑意义的维纳滤波。然而由于维纳滤波的非递推特性及仅适用于平稳随机过程等局限性，这使得维纳滤波难以得到广泛应用。后来从业人员针对高斯非平稳动态系统，提出了一种可以用于状态递推估计滤波算法：卡尔曼滤波(kalmanfiltering,kf)，并迅速在各领域得到广泛推广和应用，特别是军事领域。但由于kf要求动态系统为线性且建模误差为高斯白噪声，才能达到最优估计，这使其难以适用于实际系统中大多数为非线性的动态系统。为了让kf适用于更广泛的非线性系统，从业人员利用泰勒展开，提出了一种适用于非线性系统的滤波算法：扩展卡尔曼滤波(extendedkalmanfiltering,ekf)。然而，在非线性程度较高的系统中，ekf的一阶泰勒展开线性逼近不仅会导致高阶信息大量丢失，而且会造成滤波性能下降，甚至因滤波估计算法发散而导致跟踪目标丢失。为了解决上述系统呈强非线性的问题，从业人员基于概率分布的估计方法提出了新的滤波算法：无迹卡尔曼滤波(unscentedkalmanfiltering,ukf)。ukf利用ut变换，将采样点经过非线性映射后的分布，来实现对非线性系统的近二阶逼近。然而，ukf的采样点也存在局部性，且当状态变量维度较高时，由于算法本身的问题，ukf的估计效果不是很好。据此，从业人员基于积分思想提出了一种新的滤波算法：容积卡尔曼滤波(cubaturekalmanfiltering,ckf)。ckf使用球形积分和径向积分的方法，将ukf中的sigma点采样的方法以及权重分配方式进行优化，提高了该算法的稳定性。大量实例验证表示，无论ukf或ekf最多可达到对非线性系统二阶多项式近似，仍会因高阶信息大量丢失，而造成滤波性能下降，甚至因滤波估计算法发散而导致跟踪目标丢失。之后，为了建立适应于强非线性动态系统的卡尔曼滤波形式的滤波器，最有代表是多项式扩展卡尔曼滤波器(pekf)，它是ekf的扩展形式，旨在使用多项式逼近来解决固有的非线性。pekf被设计用来应付由原始状态的克罗内克(kronecker)幂次组成的增强状态。然而，pekf方法仍然忽略了carleman近似误差，尤其是在非线性严重的情况下。相比之下，基于carleman逼近思想建立的多项式扩展卡尔曼滤波器，与基于泰勒展开建立的传统扩展卡尔曼滤波ekf相比，泰勒展开对非线性函数逼近思想的物理意义更明确，且形式简单易被理解。但基于泰勒网局部展开思想相比建立的扩展卡尔曼滤波，又为设计高阶扩展卡尔曼滤波带了新的问题与挑战。技术实现要素：本发明针对现有技术的不足，设计以任何一个连续光滑函数都可以用一个高阶多项式任意逼近的维尔斯特拉斯逼近定理为基础，在不失一般性的情况下，以一类多项式形式的非线性系统作为代表，建立一种新型高阶扩展卡尔曼滤波器。本发明包括以下各步骤：步骤(1)强非线性动态系统多项式描述：给定一类状态模型和观测模型均为具有强非线性特性复杂动态系统x(k+1)＝f(x(k))+w(k)(1)y(k+1)＝h(x(k+1))+v(k+1)(2)其中假设1.1状态转移函数，f(x(k)),i＝1,2，具有对多维状态变量x(k)至r阶连续光滑导数；状态观测函数，h(x(k+1)),i＝1,2，具有对多维状态变量x(k+1)至r阶连续光滑导数。假设1.2建模误差w(k)和v(k+1)为高斯白噪声向量序列，且满足e{w(k)}＝0，e{w(k)wt(k)}＝q(k)；e{v(k+1)}＝0，e{v(k+1)vt(k+1)}＝r(k+1)；q(k)为半正定矩阵，r(k+1)为正定矩阵。假设1.3系统状态的初始值x(0)为随机变量，且满足e{x(0)}＝x0，e{[x(0)-x0][x(0)-x0]t}＝p0，p0为正定矩阵。假设1.4建模误差w(k)、v(k+1)和状态初始值x(0)之间是相互统计独立的，即e{w(k)vt(k+1)}＝0，e{x(0)wt(k)}＝0，e{x(0)vt(k+1)}＝0，e{w(i)wt(j)}＝0e{v(i)vt(j)}＝0i≠j。步骤(2)基于高阶多项式的强非线性系统伪线性化表示：步骤2.1强非线性状态转移函数fi(x(k))的伪线性化表示其矩阵形式为其中x(l)(k)为相应于原始系统变量x(k)的l阶隐形变量集合。为对应l阶隐形变量向量x(l)(k)的权重向量。式(4)的伪线性形式相对原始状态变量xl(k)＝[x1(k)x2(k)]t,所引入的高阶隐变量xl(k)，l＝1,2,…,r仍是时变的，相对原始模型仅是表示形式上的变化，而并没有本质上的区别，所以被称为伪线性化。步骤2.2强非线性状态转移函数hi(x(k+1))的伪线性化表示其矩阵形式为其中y(l)(k+1)为相应于原始系统变量y(k+1)的l阶隐形变量集合。为对应l阶隐形变量向量y(l)(k+1)的权重向量。式(6)的伪线性形式相对原始状态变量yl(k+1)＝[y1(k+1)y2(k+1)]t,所引入的高阶隐变量yl(k+1),l＝1,2,…,r仍是时变的，相对原始模型仅是表示形式上的变化，而并没有本质上的区别，所以被称为伪线性化。步骤(3)强非线性多项式动态系统基于扩维状态的线性化表示步骤3.1强非线性多项式状态模型基于扩为状态的线性化表示x(k+1)＝a(k+1,k)x(k)+tf(k)+w(k)(7)其中t(l)(f(r+1)(x(l)(k)))＝0l＝2,3,…,r,且w(l)(k)l＝2,3,…,r是引入高阶隐变量动态模型待确定的建模误差随机向量。步骤3.2强非线性多项式测量模型基于扩维状态的线性化表示y(k+1)＝h(k+1)x(k+1)+th(k+1)+v(k+1)(8)步骤(4)多项式形式非线性系统的高阶扩展卡尔曼滤波器设计步骤4.1引入高阶隐变量的非线性动态系统的线性化描述x(k+1)＝a(k+1)x(k)+w(k)(9)y(k+1)＝h(k+1)x(k+1)+th(k+1)+v(k+1)(10)步骤4.2非线性动态系统的初始设置x(0)＝[(x(1)(0))t，(x(2)(0))t，…，(x(l)(0))t,…,(x(r)(0))t]t(11)其均值为其中扩维系统初始状态x(0)协方差矩阵其中步骤4.3递归滤波对应的估计误差协方差为步骤4.4增益阵求取步骤4.5状态估计步骤4.6计算系统误差协方差矩阵本发明针对建模为多项式形式的由强非线性状态模型和非线性测量模型组成的动态随机系统，设计了一种新型的高阶扩展卡尔曼滤波器。首先，将状态模型和测量模型中诸高阶多项式项定义为系统相应阶次的隐性变量；其次，将原系统的状态模型和测量模型改写成相应的伪线性形式；再次，通过对各阶隐变量之间进行动态建模，并联合原始变量与各隐变量，建立起状态与参数相结合的扩维线性状态模型，并将测量模型等价改写成相应的线性模型。通过数字仿真验证新滤波器的有效性。附图说明图1是本发明方法设计流程图。图2是目标x轴位置的估计值。图3是目标y轴位置的估计值。图4是估计误差。具体实施方式为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不限定于本发明。下面结合平面上具有强非线性运动状态的目标位置跟踪对本发明的应用原理进一步描述，如图1所示，本发明具体步骤是：步骤(1)目标的运动方程可写成如下形式：其中，过程噪声和测量噪声有如下特性w1(k)～n(0,0.01)，w2(k)～n(0,0.01)，v(k+1)～n(0，0.01)，x1(k)为目标的x轴位置，x2(k)为目标的y轴位置。步骤(2)基于高阶多项式的强非线性系统伪线性化表示：步骤2.1强非线性状态转移函数fi(x(k))的伪线性化表示其矩阵形式为其中x(l)(k)为相应于原始系统变量x(k)的l阶隐形变量集合。为对应l阶隐形变量向量x(l)(k)的权重向量。式(4)的伪线性形式相对原始状态变量xl(k)＝[x1(k)x2(k)]t,所引入的高阶隐变量xl(k)，l＝1,2,…,r仍是时变的，相对原始模型仅是表示形式上的变化，而并没有本质上的区别，所以被称为伪线性化。步骤2.2强非线性状态转移函数hi(x(k+1))的伪线性化表示其矩阵形式为其中y(l)(k+1)为相应于原始系统变量y(k+1)的l阶隐形变量集合。为对应l阶隐形变量向量y(l)(k+1)的权重向量。式(6)的伪线性形式相对原始状态变量yl(k+1)＝[y1(k+1)y2(k+1)]t,所引入的高阶隐变量yl(k+1)，l＝1，2，…，r仍是时变的，相对原始模型仅是表示形式上的变化，而并没有本质上的区别，所以被称为伪线性化。步骤(3)强非线性多项式动态系统基于扩维状态的线性化表示步骤3.1强非线性多项式状态模型基于扩维状态的线性化表示x(k+1)＝a(k+1，k)x(k)+tf(k)+w(k)(7)其中t(l)(f(r+1)(x(l)(k)))＝0l＝2，3，…，r,且w(l)(k)l＝2，3，…，r是引入高阶隐变量动态模型待确定的建模误差随机向量。步骤3.2强非线性多项式测量模型基于扩维状态的线性化表示y(k+1)＝h(k+1)x(k+1)+th(k+1)+v(k+1)(8)步骤(4)多项式形式非线性系统的高阶扩展卡尔曼滤波器设计步骤4.1引入高阶隐变量的非线性动态系统的线性化描述x(k+1)＝a(k+1)x(k)+w(k)(9)y(k+1)＝h(k+1)x(k+1)+th(k+1)+v(k+1)(10)步骤4.2非线性动态系统的初始设置x(0)＝[(x(1)(0))t，(x(2)(0))t，…，(x(l)(0))t，…，(x(r)(0))t]t(11)其均值为其中扩维系统初始状态x(0)协方差矩阵其中步骤4.3递归滤波对应的估计误差协方差为步骤4.4增益阵求取步骤4.5状态估计步骤4.6计算系统误差协方差矩阵针对同一状态方程和测量方程都为高阶多项式的非线性模型，分别采用hekf和ekf进行仿真，见图2至图4，表1为hekf和ekf的误差比较结果。表1hekf和ekf的误差比较filtermseofx1mseofx2mseekf0.05570.05590.0555hekf0.04130.04270.0398improved25.9％23.6％28.3％当前第1页12