一种具有广义圆柱体几何特性的Waterbomb折纸结构造型方法

一种具有广义圆柱体几何特性的waterbomb折纸结构造型方法
技术领域
1.本发明涉及计算机图形中三维建模领域，是一种具有广义圆柱体几何特性的waterbomb折纸结构造型方法。


背景技术：

2.折纸是一种古老的东方折纸艺术，不仅是折纸爱好者的最爱，还吸引了数学家、科学家和工程师的极大兴趣。折纸提供了通过折叠二维展开图构建三维结构的有效途径。waterbomb是传统的折纸样式之一，有两种类型，分别是六折单元和八折单元。本发明使用的纹理单元是一组基于六折的waterbomb base(水雷单元)。该单元具有镜面对称性，在中心点处包含四个谷折和两个山折。
3.waterbomb也是最广泛研究和应用的折纸样式之一，其具有很大的研究空间和发展前景。该折纸结构的可平坦折叠性使工程师能够制造出可以在工作状态下完全展开，同时可以紧凑地收起以方便存储和运输的结构。得益于展开图的尺寸无关性，构建的3d结构可应用于从纳米级别的dna折叠、微型硅折纸结构到如太阳能电池板和太阳能电池阵列的大型航空航天结构。对于现有的技术，由于内在的几何约束限制了建模过程，交互式设计折纸形状是一项挑战。


技术实现要素：

4.本发明提出具有广义圆柱体几何特性的waterbomb折纸结构造型方法。通过用户指定2d轮廓曲线，沿y轴扫描生成目标曲面，接下来，在该曲面上平铺waterbomb base(水雷单元)以生成基础网格模型。为了满足折纸结构的可平坦折叠性，引入优化算法，以迭代的方式最小化可平坦折叠参差量。然后应用展开图案的调节过程进一步减少可平坦折叠残差量。另外，模拟了折纸结构由一个参数控制的沿y轴的刚性折叠运动。
5.为了实现上述目的，本发明实施提供的技术方案如下：
6.一种具有广义圆柱体几何特性的waterbomb折纸结构造型，所述方法包括：
7.s1、通过交互式的构造模型方法，设计一个二维(2d)轮廓曲线，并利用该曲线沿y轴扫描，生成具有广义圆柱体几何特性的三维(3d)目标曲面；
8.s2、对于生成的目标曲面，将waterbomb base(水雷单元)平铺在该曲面上，生成基础网格模型；
9.s3、采用数值优化算法最小化可平坦折叠残差量；
10.s4、对优化过后模型的展开图进行调整，以显著减少可平坦折叠残差量，从而保证折叠结构的尺度无关性；
11.s5、模拟沿y轴由单一变量控制的刚性折叠运动。
12.进一步说明，所述步骤s1具体为：
13.s11、用户可自行设计二维(2d)轮廓曲线γ。通过用户输入控制点，并采用nurbs曲
线生成轮廓曲线γ。本发明引入三维笛卡尔坐标系，本发明用到的x、y和z轴分别为笛卡尔坐标系的三个坐标轴，x、y和z轴的交点为坐标系原点。轮廓曲线γ在x
‑
z平面内；
14.s12、由于交互式设计方法的特性，用户可通过对控制点执行添加、删除和移动等操作实现对轮廓曲线γ的形状调整；
15.s13、对于同一组控制点，可以计算出开放或闭合两种nurbs曲线，从而构成不同目标曲面；
16.s14、根据以上步骤生成的轮廓曲线γ沿着y轴扫描生成目标曲面。
17.进一步说明，所述步骤s2具体为：
18.s21、在轮廓曲线γ上选取分割点。引入变量n
s
、n
b
，其中n
s
表示基础网格模型中的条带数，n
b
是一个条带中的waterbomb base(水雷单元)的个数。根据用户输入n
b
，在轮廓曲线γ上等距取样n
b
+1个分割点；
19.s22、参见图3示例，在轮廓曲线γ上等距取点b1、b2、b3和b4；
20.s23、将b1、b2、b3和b4向y轴的正向平移距离l，得到位于平面y＝l上的点a1、a2、a3和a4；
21.s24、将b1、b2、b3和b4向y轴的负向平移距离l，得到位于平面y＝
‑
l上的点c1、c2、c3和c4；
22.s25、经过上述步骤。构成平行四边形a1c1c2a2、a2c2c3a3和a3c3c4a4。对于单个四边形，是一个waterbomb base(水雷单元)的基础网格。
23.s26、根据水雷单元的细分几何特性添加辅助折痕使四边形三角化，见图3(a)；
24.s27、对沿着轮廓曲线γ上的顶点b1、b2、b3和b4进行滑动操作。引入参数ξ来控制这种过程。本发明引入参数u，用来表示nurbs曲线中的内部维度，范围为0到1。当b
i
的下标i为奇数时，通过将ξ加到参数u上，使得b
i
沿着γ正向移动。对于下标i为偶数的b
i
，通过从参数u中减去参数ξ，使得b
i
沿着γ反向运动，见图3(b)；
25.s28、对沿着轮廓曲线γ
a
上的顶点a1、a2、a3和a4进行滑动操作。其中γ
a
是由轮廓曲线γ沿y轴平移l个单位生成的轮廓曲线。当a
i
的下标i为奇数时，通过从参数u中减去ξ，使得a
i
沿着γ
a
反向移动。对于下标i为偶数的a
i
，通过将ξ加到参数u上，使得a
i
沿着γ
a
正向运动，见图3(b)。在上述运动的过程中，a
i
和c
i
仍然保持镜面对称；
26.s29、对waterbomb base(水雷单元)的中心顶点进行操作。记m
i
表示相关四边形的中心顶点，如果m
i
的下标i为奇数，则m
i
为a
i
c
i
c
i+1
a
i+1
的中心顶点。如果m
i
的下标i为偶数，则m
i
为四边形b
i
′
b
i
b
i+1
b
i+1
′
的中心顶点。其中b
i
′
为b
i
所在条带的相邻条带顶点的中间序列。将m
i
沿其相关平行四边形法线移动距离为η，见图3(c)。η是用户指定的距离参数；
27.s210、沿着y轴复制n
s
个这样的条带，来构造具有广义圆柱几何特性的基础网格模型。
28.进一步说明，所述步骤s3具体为：
29.s31、定义满足可展约束条件。参见图2(a)，当α
i,1
+α
i,2
+α
i,3
+α
i,4
+α
i,5
+α
i,6
＝2π时，则该网格模型满足可展约束。其中α
i,k
是第i个顶点的第k个角度；
30.s32、定义满足可平坦折叠性条件。参见图2(a)，根据川崎定理α
i,1
+α
i,3
+α
i,5
＝α
i,2
+α
i,4
+α
i,6
＝π是内部顶点满足可平坦折叠性的必要条件；
31.s33、求解可平坦折叠约束，定义可平坦折叠残差量。本发明引入s
l
来定义一个条
带的左半部分模型。对于s
l
中有四个相邻顶点的顶点来说，满足平坦折叠的条件是α
i,1
+α
i,2
+α
i,3
＝π。为了形式化几何约束，使用p
i
代表第i个顶点(i＝1,2,
…
,n)，其中n表示在s
l
中的顶点个数。p
i
由三个分量构成，即x
i
，y
i
和z
i
。表示p
i
的相邻顶点数，这里可平坦折叠约束用公式(1)求解，其中可平坦折叠残差量由公式(2)定义：
[0032][0033][0034]
角度α
i,k
，k＝1,
…
,是向量和向量的夹角，由公式(3)给出：
[0035][0036]
其中c∈r
n
×4是顶点连通性矩阵，每一个分量c
i,k
指定为与第i个顶点相邻的第k个顶点的下标。这里相邻的顶点按照逆时针顺序排列。注意，当时，时，被设置为空。
[0037]
s34、使用基于梯度优化算法解决这种几何约束。利用公式(4)计算j＝1,2,
···
,n。
[0038][0039]
分四种情况讨论的计算：
[0040]
s35、情况1当i＝j：
[0041][0042]
其中
[0043][0044]
[0045][0046]
s36、情况2当c
i,k
＝j：
[0047][0048][0049][0050][0051]
s37、情况3当c
i,k+1
＝j:
[0052][0053]
其中
[0054][0055][0056]
s38、情况4当i、c
i,k
和c
i,k+1
都不等于j的时候
[0057]
同样的，对和用相似的方法计算。
[0058]
进一步说明，所述步骤s4具体为：
[0059]
s41、在优化过程结束后，可平坦折叠残差量如果仍然相对较高，则执行下面的步骤；
[0060]
s42、得到带有奇数下标的顶点p
i
位于一条直线上，带有偶数下标的顶点p
i
位于另
一条直线上(如图2(b))；
[0061]
s43、应用线性回归计算求得奇数下标的顶点p
i
对应的直线l1；
[0062]
s44、应用线性回归计算求得偶数下标的顶点p
i
对应的直线l2；
[0063]
s45、计算p
i
关于所对应直线的投影点p
i
′
；
[0064]
s46、通过将p
i
移动到p
i
′
对展开图进行调整操作。顶点坐标变化比较细微，但可平坦折叠残差量被显著降低了；
[0065]
s47、基于调整后的展开图，计算得出最终的三维折纸模型。
[0066]
进一步说明，所述步骤s5具体为：
[0067]
s51、通过改变参数l，实现折纸结构沿y轴方向由单一参数控制的刚性折叠运动模拟。
[0068]
本发明的有益效果：
[0069]
1、构建立体折纸结构；
[0070]
2、启发新型可平坦折叠结构；
[0071]
3、用于各种工程目的，例如可折叠掩体，管状可折叠结构，超材料等。
附图说明
[0072]
图1为本发明的流程示意图。
[0073]
图2waterbomb基础纹理的示例；其中，(a)为waterbomb base(水雷单元)，其内部顶点为六条折痕相交。(b)为由四个条带组成的展开图，每个条带包含三个水雷基础单元。
[0074]
图3构建部分基础网格模型(一个条带)。其中，(a)为圆柱形初始条带的基线构成。(b)为沿曲线对顶点进行滑动操作。(c)为在中心顶点上进行移动操作，移动方向为该四边形的面的法线方向。
具体实施方式
[0075]
下面结合附图对本发明作进一步说明。
[0076]
以下将结合附图所示的各实施方式对本发明进行详细描述。但这些实施方式并不限制本发明，本领域的普通技术人员根据这些实施方式所做出的结构、方法、或功能上的变换均包含在本发明的保护范围内。
[0077]
如图1所示，本发明是一种具有广义圆柱体特性的waterbomb折纸折叠方法，包括以下步骤：
[0078]
s1、通过交互式的构造模型方法，设计一个二维(2d)轮廓曲线，并利用该曲线沿y轴扫描，生成具有广义圆柱体几何特性的三维(3d)目标曲面；
[0079]
s2、对于生成的目标曲面，将waterbomb base(水雷单元)平铺在该曲面上，生成基础网格模型；
[0080]
s3、采用数值优化算法最小化可平坦折叠残差量；
[0081]
s4、对优化过后模型的展开图进行调整，以显著减少可平坦折叠残差量，从而保证折叠结构的尺度无关性；
[0082]
s5、模拟沿y轴由单一变量控制的刚性折叠运动。
[0083]
进一步说明，所述步骤s1具体为：
[0084]
s11、用户可自行设计二维(2d)轮廓曲线γ。通过用户输入控制点，并采用nurbs曲线生成轮廓曲线γ。本发明引入三维笛卡尔坐标系，本发明用到的x、y和z轴分别为笛卡尔坐标系的三个坐标轴，x、y和z轴的交点为坐标系原点。轮廓曲线在x
‑
z平面内；
[0085]
s12、由于交互式设计方法的特性，用户可通过对控制点执行添加、删除和移动等操作实现对轮廓曲线γ的形状调整；
[0086]
s13、对于同一组控制点，可以计算出开放或闭合两种nurbs曲线，从而构成不同目标曲面；
[0087]
s14、根据以上步骤生成的轮廓曲线γ沿着y轴扫描生成目标曲面。
[0088]
进一步说明，所述步骤s2具体为：
[0089]
s21、在轮廓曲线γ上选取分割点。引入变量n
s
、n
b
，其中n
s
表示基础网格模型中的条带数，n
b
是一个条带中的waterbomb base(水雷单元)的个数。根据用户输入n
b
，在轮廓曲线γ上等距取样n
b
+1个分割点；
[0090]
s22、参见图3示例，在轮廓曲线γ上等距取点b1、b2、b3和b4；
[0091]
s23、将b1、b2、b3和b4向y轴的正向平移距离l，得到位于平面y＝l上的点a1、a2、a3和a4；
[0092]
s24、将b1、b2、b3和b4向y轴的负向平移距离l，得到位于平面y＝
‑
l上的点c1、c2、c3和c4；
[0093]
s25、经过上述步骤。构成平行四边形a1c1c2a2、a2c2c3a3和a3c3c4a4。对于单个四边形，是一个waterbomb base(水雷单元)的基础网格。
[0094]
s26、根据水雷单元的细分几何特性添加辅助折痕使四边形三角化，见图3(a)；
[0095]
s27、对沿着轮廓曲线γ上的顶点b1、b2、b3和b4进行滑动操作。引入参数ξ来控制这种过程。本发明引入参数u，用来表示nurbs曲线中的内部维度，范围为0到1。当b
i
的下标i为奇数时，通过将ξ加到参数u上，使得b
i
沿着γ正向移动。对于下标i为偶数的b
i
，通过从参数u中减去参数ξ，使得b
i
沿着γ反向运动，见图3(b)；
[0096]
s28、对沿着轮廓曲线γ
a
上的顶点a1、a2、a3和a4进行滑动操作。其中γ
a
是由轮廓曲线γ沿y轴平移l个单位生成的轮廓曲线。当a
i
的下标i为奇数时，通过从参数u中减去ξ，使得a
i
沿着γ
a
反向移动。对于下标i为偶数的a
i
，通过将ξ加到参数u上，使得a
i
沿着γ
a
正向运动，见图3(b)。在上述运动的过程中，a
i
和c
i
仍然保持镜面对称；
[0097]
s29、对waterbomb base(水雷单元)的中心顶点进行操作。记m
i
表示相关四边形的中心顶点，如果m
i
的下标i为奇数，则m
i
为a
i
c
i
c
i+1
a
i+1
的中心顶点。如果m
i
的下标i为偶数，则m
i
为四边形b
i
′
b
i
b
i+1
b
i+1
′
的中心顶点。其中b
i
′
为b
i
所在条带的相邻条带顶点的中间序列。将m
i
沿其相关平行四边形法线移动距离为η，见图3(c)。η是用户指定的距离参数；
[0098]
s210、沿着y轴复制n
s
个这样的条带，来构造具有广义圆柱几何特性的基础网格模型。
[0099]
进一步说明，所述步骤s3具体为：
[0100]
s31、定义满足可展约束条件。参见图2(a)，当α
i,1
+α
i,2
+α
i,3
+α
i,4
+α
i,5
+α
i,6
＝2π时，则该网格模型满足可展约束。其中α
i,k
是第i个顶点的第k个角度；
[0101]
s32、定义满足可平坦折叠性条件。参见图2(a)，根据川崎定理α
i,1
+α
i,3
+α
i,5
＝α
i,2
+α
i,4
+α
i,6
＝π是内部顶点满足可平坦折叠性的必要条件；
[0102]
s33、求解可平坦折叠约束，定义可平坦折叠残差量。本发明引入s
l
来定义一个条带的左半部分模型。对于s
l
中有四个相邻顶点的顶点来说，满足平坦折叠的条件是α
i,1
+α
i,2
+α
i,3
＝π。为了形式化几何约束，使用p
i
代表第i个顶点(i＝1,2,
…
,n)，其中n表示在s
l
中的顶点个数。p
i
由三个分量构成，即x
i
，y
i
和z
i
。表示p
i
的相邻顶点数，这里可平坦折叠约束用公式(1)求解，其中可平坦折叠残差量由公式(2)定义：
[0103][0104][0105]
角度α
i,k
，k＝1,
…
,是向量和向量的夹角，由公式(3)给出：
[0106][0107]
其中c∈r
n
×4是顶点连通性矩阵，每一个分量c
i,k
指定为与第i个顶点相邻的第k个顶点的下标。这里相邻的顶点按照逆时针顺序排列。注意，当时，时，被设置为空。
[0108]
s34、使用基于梯度优化算法解决这种几何约束。利用公式(4)计算j＝1,2,
···
,n。
[0109][0110]
分四种情况讨论的计算：
[0111]
s35、情况1当i＝j：
[0112][0113]
其中
[0114][0115]
[0116][0117]
s36、情况2当c
i,k
＝j：
[0118][0119][0120][0121][0122]
s37、情况3当c
i,k+1
＝j:
[0123][0124]
其中
[0125][0126][0127]
s38、情况4当i、c
i,k
和c
i,k+1
都不等于j的时候
[0128]
同样的，对和用相似的方法计算。
[0129]
进一步说明，所述步骤s4具体为：
[0130]
s41、在优化过程结束后，可平坦折叠残差量如果仍然相对较高，则执行下面的步骤；
[0131]
s42、得到带有奇数下标的顶点p
i
位于一条直线上，带有偶数下标的顶点p
i
位于另
一条直线上(如图2(b))；
[0132]
s43、应用线性回归计算求得奇数下标的顶点p
i
对应的直线l1；
[0133]
s44、应用线性回归计算求得偶数下标的顶点p
i
对应的直线l2；
[0134]
s45、计算p
i
关于所对应直线的投影点p
i
′
；
[0135]
s46、通过将p
i
移动到p
i
′
对展开图进行调整操作。顶点坐标变化比较细微，但可平坦折叠残差量被显著降低了；
[0136]
s47、基于调整后的展开图，计算得出最终的三维折纸模型。
[0137]
进一步说明，所述步骤s5具体为：
[0138]
1、通过改变参数l，实现折纸结构沿y轴方向由单一参数控制的刚性折叠运动模拟。
[0139]
该方法可以用于设计折叠结构，以用于各种工程目的，例如可折叠掩体、管状可折叠结构、超材料等。
[0140]
需要说明的是，本说明书按照实施方式加以讲解，但并不是每一个具体执行的步骤都是有独立的技术方案，使用这种讲解模式是为了让读者更加了解本发明的设计步骤以及运用的各种方法。相关领域的，人员需要把整个说明书作为一个整体，各种技术方案可以经适当的组合，构成相关领域人员的可以理解的其他实施方式。
[0141]
上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技术所创的等效方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。