一种基于有限增量定理的种群平衡系统及方法

1.本发明属于生物数学领域，涉及一种对被捕食者和捕食者种群数量进行估计的方法，具体是一种基于有限增量定理的种群平衡系统及方法。


背景技术：

2.通过建立数学模型，对生态系统进行研究已经成为研究的重要方向之一。如果受到例如食物、环境、人类活动等因素的影响，生态系统将失去平衡。当捕食者数量过多，食物的减少将导致被捕食者数量下降甚至灭绝。例如，2013年太平洋关岛，由于树蛇太多，导致数十种本地雀鸟大量减少甚至灭绝；当捕食者数量过少，被捕食者数量失去控制将导致生态环境遭到破坏，严重时甚至还会引发经济危机。所以，为了保护生态环境，将种群概念数量化和模型化，研究生态系统中种群平衡具有潜在的应用价值，是本技术领域亟需的。


技术实现要素：

3.基于上述现状，本发明公开了一种基于有限增量定理的种群平衡系统及方法。
4.本发明通过建立数学模型，运用有限增量定理和liapunov定理，对模型分析、优化，推测出被捕食者和捕食者种群趋于生态平衡的区域。本发明的应用场景：在一个包含被捕食者和捕食者种群的生态系统，其关系满足负二项分布：
[0005][0006]
其中，ψ
t
和δ
t
分别是第t代被捕食者和捕食者的种群数量，λ为被捕食者的增值(λ>1)。
[0007]
为了让被捕食者ψ
t
和捕食者δ
t
的种群数量随着世代的增加趋于平衡，即两个种群都达到局部渐进稳定的区域，先求解出平衡点的闭式表达式。然后，根据被捕食者和捕食者的种群数量函数，利用有限增量定理求解增量矩阵，运用liapunov定理得到种群平衡的区域。最后，通过数值模拟验证该方法的正确性。
[0008]
本发明采取如下技术方案：
[0009]
一种基于有限增量定理的种群平衡方法，其具体步骤是：
[0010]
步骤1，选择功能反应函数，建立数学模型；
[0011]
步骤2，根据数学模型，求解捕食者和被捕食者物种模型的平衡点；
[0012]
步骤3，根据平衡点以及有限增量定理，求解增量矩阵；
[0013]
步骤4，通过liapunov定理对增量矩阵进行分析，得到捕食者和被捕食者种群平衡的区域。
[0014]
优选的，步骤1具体如下，根据功能反应函数，建立数学模型：
[0015]
考虑被捕食者和捕食者满足式(1)，设功能反应函数考虑被捕食者和捕食者满足式(1)，设功能反应函数表示被捕食者未被捕食的概率，代入式(1)得到
[0016][0017]
优选的，步骤2，计算平衡点：
[0018]
当被捕食者和捕食者的种群数量不随着世代增长而发生改变时，意味着种群数量趋于稳定。设被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
和δ
e
，有：
[0019][0020]
联立式(2)和(3)，可以分别求解出两个种群的平衡点
[0021][0022]
优选的，步骤3，求解增量矩阵：
[0023]
根据有限增量定理，对于函数t在[z
e
,z
t
]连续，(z
e
,z
t
)可导，那么在(z
e
,z
t
)内存在一点z
e
<ε0<z
t
，
[0024]
t(z
t
)
‑
t(z
e
)＝t
′
(ε0)(z
t
‑
z
e
)
ꢀꢀ
(5)
[0025]
令复合函数由式(3)得，f(ψ
e
,δ
e
)＝ψ
e
，g(ψ
e
,δ
e
)＝δ
e
。令δψ
t+1
＝ψ
t+1
‑
ψ
e
，δδ
t+1
＝δ
t+1
‑
δ
e
，对复合函数求导，有限增量公式为：
[0026][0027]
其中，μ1和μ2为有限增量δψ
t
和δδ
t
的高阶无穷小。化为矩阵形式，
[0028][0029]
从而得到增量矩阵
[0030][0031]
优选的，步骤4，通过liapunov定理，得到种群平衡的区域
[0032]
根据liapunov定理，可以得到局部渐进稳定，即被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件
[0033]
|tra|
‑
1<deta<1
ꢀꢀ
(9)
[0034]
步骤4.1，将增量矩阵a代入不等式(9)左边：
[0035][0036]
式(10)化简，可得
[0037][0038]
因为1
‑
λ<0，b>0，可得所以
[0039][0040]
因为b>0，式(12)两边同时除以b，可得令函数令函数于是有
[0041][0042]
对函数h(x)求导，有h
′
(x)＝ln
λ
λ
‑
x
。因为λ>1，x≥0，h
′
(x)>0，h(x)为单调递增函数。所以，式(13)恒成立的等价条件为因此，
[0043][0044]
步骤4.2，考虑不等式(9)右边：
[0045][0046]
式(15)化简，可得
[0047][0048]
因为λ>1，式(16)两边同时除以λ，可得
[0049][0050]
令函数于是有
[0051][0052]
对函数r(x)求导，有令有 g
′
(x)＝
‑
ln
λ
ln
λ
λ
‑
x
x。当x＞0时候，g
′
(x)＜0，g(x)为单调递减函数，r
′
(x)也为单调递减函数，即r
′
(x)＜r
′
(0)＝0。由此可得，函数r(x)在x＞0范围内是单调递减的。所以，式(18)恒成立的等价条件为又因为b＞0，故
[0053][0054]
综上所述，根据式(14)和(19)，被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件为：
[0055][0056]
本发明还公开了一种基于有限增量定理的种群平衡系统，其包括：
[0057]
建模模块，用于选择功能反应函数，建立数学模型；
[0058]
求解平衡点模块，根据数学模型，求解捕食者和被捕食者物种模型的平衡点；
[0059]
求解增量矩阵模块，根据平衡点以及有限增量定理，求解增量矩阵；
[0060]
获取种群平衡区域模块，通过liapunov定理对增量矩阵进行分析，得到捕食者和被捕食者种群平衡的区域。
[0061]
优选的，所述的建模模块具体如下：
[0062]
被捕食者和捕食者满足式(1)，
[0063][0064]
其中，ψ
t
和δ
t
分别是第t代被捕食者和捕食者的种群数量，λ为被捕食者的增值，λ＞1：
[0065]
设功能反应函数表示被捕食者未被捕食的概率，代入式(1)得到
[0066][0067]
优选的，所述的求解平衡点模块具体如下：
[0068]
设被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
和δ
e
，有：
[0069][0070]
联立式(2)和(3)，分别求解出两个种群的平衡点
[0071][0072]
优选的，求解增量矩阵模块具体如下：
[0073]
根据有限增量定理，对于函数t在[z
e
，z
t
]连续，(z
e
，z
t
)可导，则在(z
e
，z
t
)内存在一点z
e
＜ε0＜z
t
，
[0074]
t(z
t
)
‑
t(z
e
)＝t
′
(ε0)(z
t
‑
z
e
)
ꢀꢀ
(5)
[0075]
令复合函数由式(3)得，f(ψ
e
，δ
e
)＝ψ
e
，g(ψ
e
，δ
e
)＝δ
e
；令δψ
t+1
＝ψ
t+1
‑
ψ
e
，δδ
t+1
＝δ
t+1
‑
δ
e
，对复合函数求导，有限增量公式为：
[0076][0077]
其中，μ1和μ2为有限增量δψ
t
和δδ
t
的高阶无穷小；化为矩阵形式，
[0078][0079]
从而得到增量矩阵
[0080][0081]
优选的，获取种群平衡区域模块具体如下：
[0082]
根据liapunov定理，得到局部渐进稳定，即被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件
[0083]
|tra|
‑
1＜deta＜1
ꢀꢀ
(9)
[0084]
将增量矩阵a代入不等式(9)左边：
[0085][0086]
式(10)化简，可得
[0087][0088]
因为1
‑
λ＜0，b＞0，可得所以
[0089][0090]
因为b＞0，式(12)两边同时除以b，可得令函数令函数于是有
[0091][0092]
对函数h(x)求导，有h
′
(x)＝ln
λ
λ
‑
x
；因为λ＞1，x≥0，h
′
(x)＞0，h(x)为单调递增函数；所以，式(13)恒成立的等价条件为因此，
[0093][0094]
考虑不等式(9)右边：
[0095][0096]
式(15)化简，可得
[0097][0098]
因为λ＞1，式(16)两边同时除以λ，可得
[0099][0100]
令函数于是有
[0101][0102]
对函数r(x)求导，有令当 g
′
(x)＝
‑
ln
λ
ln
λ
λ
‑
x
x；当x＞0时，g
′
(x)＜0，g(x)为单调递减函数，r
′
(x)也为单调递减函数，即r
′
(x)＜r
′
(0)＝0；由此可得，函数r(x)在x＞0范围内是单调递减的；所以，式(18)恒成立的等价条件为又因为b＞0，故
[0103][0104]
综上，根据式(14)和(19)，被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件为：
[0105][0106]
本发明以被捕食者和捕食者的关系为基础，建立种群数量相关的数学模型，运用有限增量定理和liapunov定理的方法，求解出被捕食者和捕食者种群趋于生态平衡的区域，并通过数值模拟验证该方法的正确性。
附图说明
[0107]
通过对以下种群数量变化图的详细描述，本发明的目的和优点更加明显。附图中，参数λ＝2.5，a＝0.1。
[0108]
图1为被捕食者和捕食者的种群处于生态平衡区域内(b＝0.55)的变化图。
[0109]
图2为被捕食者和捕食者的种群处于生态平衡区域外(b＝1.25)的变化图。
[0110]
图3为本发明一种优选实施例基于有限增量定理的种群平衡方法流程图。
[0111]
图4为本发明一种优选实施例基于有限增量定理的种群平衡系统框图。
具体实施方式
[0112]
下面结合附图对本发明优选实施例作详细说明。
[0113]
如图3所示，本发明的应用场景：在一个包含被捕食者和捕食者种群的生态系统，其关系满足负二项分布：
[0114][0115]
其中，ψ
t
和δ
t
分别是第t代被捕食者和捕食者的种群数量，λ为被捕食者的增值(λ
＞1)。
[0116]
本实施例一种基于有限增量定理的种群平衡方法，其具体步骤是：
[0117]
步骤1，选择功能反应函数，建立数学模型：
[0118]
根据功能反应函数，建立数学模型：
[0119]
考虑被捕食者和捕食者满足式(1)，设功能反应函数考虑被捕食者和捕食者满足式(1)，设功能反应函数表示被捕食者未被捕食的概率，代入式(1)得到
[0120][0121]
步骤2，根据数学模型，求解捕食者和被捕食者物种模型的平衡点：
[0122]
当被捕食者和捕食者的种群数量不随着世代增长而发生改变时，意味着种群数量趋于稳定。设被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
和δ
e
，有：
[0123][0124]
联立式(2)和(3)，可以分别求解出两个种群的平衡点
[0125][0126]
步骤3，根据平衡点以及有限增量定理，求解增量矩阵：
[0127]
根据有限增量定理，对于函数t在[z
e
，z
t
]连续，(z
e
，z
t
)可导，那么在(z
e
，z
t
)内存在一点z
e
＜ε0＜z
t
，
[0128]
t(z
t
)
‑
t(z
e
)＝t
′
(ε0)(z
t
‑
z
e
)
ꢀꢀ
(5)
[0129]
令复合函数由式(3)得，f(ψ
e
，δ
e
)＝ψ
e
，g(ψ
e
，δ
e
)＝δ
e
。令δψ
t+1
＝ψ
t+1
‑
ψ
e
，δδ
t+1
＝δ
t+1
‑
δ
e
，对复合函数求导，有限增量公式为：
[0130][0131]
其中，μ1和μ2为有限增量δψ
t
和δδ
t
的高阶无穷小。化为矩阵形式，
[0132][0133]
从而得到增量矩阵
[0134][0135]
步骤4，通过liapunov定理对增量矩阵进行分析，得到捕食者和被捕食者种群平衡的区域：
[0136]
根据liapunov定理，可以得到局部渐进稳定，即被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件
[0137]
|tra|
‑
1＜deta＜1
ꢀꢀ
(9)
[0138]
步骤4.1，将增量矩阵a代入不等式(9)左边：
[0139][0140]
式(10)化简，可得
[0141][0142]
因为1
‑
λ＜0，b＞0，可得所以
[0143][0144]
因为b＞0，式(12)两边同时除以b，可得令函数令函数于是有
[0145][0146]
对函数h(x)求导，有h
′
(x)＝ln
λ
λ
‑
x
。因为λ＞1，x≥0，h
′
(x)＞0，h(x)为单调递增函数。所以，式(13)恒成立的等价条件为因此，
[0147][0148]
步骤4.2，考虑不等式(9)右边：
[0149][0150]
式(15)化简，可得
[0151][0152]
因为λ＞1，式(16)两边同时除以λ，可得
[0153][0154]
令函数于是有
[0155][0156]
对函数r(x)求导，有令有 g
′
(x)＝
‑
ln
λ
ln
λ
λ
‑
x
x。当x＞0时候，g
′
(x)＜0，g(x)为单调递减函数，r
′
(x)也为单调递减函数，即r
′
(x)＜r
′
(0)＝0。由此可得，函数r(x)在x＞0范围内是单调递减的。所以，式(18)恒成立的等价条件为又因为b＞0，故
[0157][0158]
综上所述，根据式(14)和(19)，被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件为：
[0159][0160]
如图1所示为被捕食者和捕食者的种群处于生态平衡区域内(b＝0.55)的变化图。被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
＝39.33和δ
e
＝23.6，种群初始数量分别为ψ0＝50和δ0＝10。随着世代的增加，发现两种种群数量不断趋向于各自平衡点，趋于稳定。
[0161]
如图2所示为被捕食者和捕食者的种群处于生态平衡区域外(b＝1.25)的变化图。被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
＝22.53和δ
e
＝13.52，种群初始数量分别为ψ0＝30和δ0＝10。随着世代的增加，发现两种种群濒临灭绝，意味着该生态系统的平衡被打破。
[0162]
经过上述数值模拟，验证了本发明技术方案的正确性。
[0163]
如图4所示，本发明一种基于有限增量定理的种群平衡系统，其包括：
[0164]
建模模块，用于选择功能反应函数，建立数学模型，具体如下：
[0165]
被捕食者和捕食者满足式(1)，
[0166][0167]
其中，ψ
t
和δ
t
分别是第t代被捕食者和捕食者的种群数量，λ为被捕食者的增值，λ＞1；
[0168]
设功能反应函数表示被捕食者未被捕食的概率，代入式(1)得到
[0169][0170]
求解平衡点模块，根据数学模型，求解捕食者和被捕食者物种模型的平衡点，具体如下：
[0171]
设被捕食者和捕食者的平衡点分别为ψ
e
和δ
e
，有：
[0172][0173]
联立式(2)和(3)，分别求解出两个种群的平衡点
[0174][0175]
求解增量矩阵模块，根据平衡点以及有限增量定理，求解增量矩阵，具体如下：
[0176]
根据有限增量定理，对于函数t在[z
e
，z
t
]连续，(z
e
，z
t
)可导，则在(z
e
，z
t
)内存在一点z
e
＜ε0＜z
t
，
[0177]
t(z
t
)
‑
t(z
e
)＝t
′
(ε0)(z
t
‑
z
e
)
ꢀꢀ
(5)
[0178]
令复合函数由式(3)得，f(ψ
e
，δ
e
)＝ψ
e
，g(ψ
e
，δ
e
)＝δ
e
；令δψ
t+1
＝ψ
t+1
‑
ψ
e
，δδ
t+1
＝δ
t+1
‑
δ
e
，对复合函数求导，有限增量公式为：
[0179][0180]
其中，μ1和μ2为有限增量δψ
t
和δδ
t
的高阶无穷小；化为矩阵形式，
[0181][0182]
从而得到增量矩阵
[0183][0184]
获取种群平衡区域模块，通过liapunov定理对增量矩阵进行分析，得到捕食者和被捕食者种群平衡的区域，具体如下：
[0185]
根据liapunov定理，得到局部渐进稳定，即被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件
[0186]
|tra|
‑
1＜deta＜1#(9)
[0187]
将增量矩阵a代入不等式(9)左边：
[0188][0189]
式(10)化简，可得
[0190][0191]
因为1
‑
λ＜0，b＞0，可得听以
[0192][0193]
因为b＞0，式(12)两边同时除以b，可得令函数令函数于是有
[0194][0195]
对函数h(x)求导，有h
′
(x)＝ln
λ
λ
‑
x
；因为λ＞1，x≥0，h
′
(x)＞0，h(x)为单调递增函数；所以，式(13)恒成立的等价条件为因此，
[0196][0197]
考虑不等式(9)右边：
[0198][0199]
式(15)化简，可得
[0200][0201]
因为λ＞1，式(16)两边同时除以λ，可得
[0202][0203]
令函数于是有
[0204][0205]
对函数r(x)求导，有令当 g
′
(x)＝
‑
ln
λ
ln
λ
λ
‑
x
x；当x＞0时，g
′
(x)＜0，g(x)为单调递减函数，r
′
(x)也为单调递减函数，即r
′
(x)＜r
′
(0)＝0；由此可得，函数r(x)在x＞0范围内是单调递减的；所以，式(18)恒成立的等价条件为又因为b＞0，故
[0206][0207]
综上，根据式(14)和(19)，被捕食者和捕食者种群达到生态平衡的充要条件为：
[0208][0209]
本发明对被捕食者和捕食者种群数量进行估计，通过有限增量定理，运用liapunov 定理，求解出种群平衡的区域，然后通过数值模拟验证该方法的正确性。
[0210]
本发明根据有限增量定理求解增量矩阵，通过liapunov定理对增量矩阵进行分析，找到被捕食者和捕食者种群达到的生态平衡的区域。本发明并不局限于上述特定的数学模型，本领域技术人员可以在权利要求的范围内修改或调整功能反应函数的表达方式，这并不影响本发明的实质内容。