一种偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的确定方法

1.本发明属于桥梁计算理论领域，特别涉及一种偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的确定方法。


背景技术：

2.悬索桥凭借着跨越能力大、结构形式优美、受力性能优而逐渐称为大跨桥梁的最优选择。并且随着对悬索桥的设计理论研究的深入，通过材料特性的改善，结构尺寸的合理选用，悬索桥的技术难点，例如悬索桥的抗震抗风问题，悬索桥的结构过柔、空间缆索的设计及施工问题等正在逐一被克服。然而随着工业、交通运输业的发展，重载车辆数目增多且重量增大，重载车辆在运输过程中，一般以满载状态固定单向通行，导致桥梁上下游承受荷载不等，并且随着悬索桥向着跨径更长、桥面更宽的方向不断发展，悬索桥将承受较大的偏心活载，在这类活载作用下，悬索桥常见的扁平钢箱梁的竖向弯曲、扭转、畸变等变形问题更加突出，危及桥梁安全。近年来，由偏载引起的桥梁垮塌事故不胜枚举。对于悬索桥而言，在进行桥梁设计时一般为对称设计，桥梁上下游的主缆、吊杆的参数相同，若在长期的偏载作用下，悬索桥两侧的缆索体系受损情况不同，将缩短悬索桥在役寿命。因此，研究悬索桥在偏心活载作用下的全桥响应显得尤为必要。
3.近现代悬索桥的设计理论经历了弹性理论
‑
挠度理论
‑
有限位移理论的变革，目前，挠度理论与有限位移理论应用较多，在悬索桥静力分析的相关研究中，为充分理解活载作用下全桥响应求解方法的物理含义，现常基于挠度理论，采用解析法研究各项参数对全桥的影响。然而，一般的解析法中存在着以下几点共性问题：(1)未考虑活载的横向分布情况。活载对于悬索桥的静力分析中，一般认为荷载直接作用在桥梁纵向中轴线处。但若活载的偏载作用较大时，忽略横向分布导致的主梁扭转及全桥响应的不对称性，将大大削弱方法的精度；(2)考虑不对称活载时，忽略主梁的纵向位移。在实际工程中一般不限制主梁的纵向位移，当活载作用关于桥梁跨中位置不对称时，主梁会产生一定程度的纵向位移，进而带动吊杆发生倾斜，吊杆力不再垂直于桥面。当活载作用较大时，主梁的纵向位移较大，若不考虑将增大最终所得的响应误差；(3)将吊杆力视为均布的薄膜力，与实际不符；(4)由于考虑悬索桥的几何非线性导致最终计算过于繁琐。


技术实现要素：

4.发明目的：针对上述问题，本发明提供了一种考虑活载横向分布、主梁纵向刚体位移及吊杆倾斜等情况，计算简便，可以精确确定偏心活载作用下的全桥响应的确定方法。
5.本发明采用如下技术方案：
6.本发明所述的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，包括如下步骤：
7.(1)确定可表达在偏心活载作用下全桥主要构件的内力及变形情况所需要的基本未知量；
8.该基本未知量包括：各跨主缆的悬链线方程参数、各节段悬链线的水平投影长度、
主缆各节段水平分力、吊杆力、支反力、主梁整体水平向刚体位移；
9.(2)分析各跨的主缆响应，用基本未知量表达：悬索桥上下游各节段主缆两端的高度差、无应力长度及主缆上的吊杆上吊点的坐标；
10.(3)分析主梁响应，用基本未知量表达：偏心活载作用下主梁各截面的挠度、横向扭转角及主梁上的吊杆下吊点的坐标；
11.(4)分析吊杆及桥塔响应，用基本未知量表达出上、下游吊杆倾角及无应力长度、桥塔各肢的偏移量；
12.(5)利用悬索桥上下游各节段主缆的两端的高度差与跨径闭合、主缆和吊杆的无应力长度守恒、主梁端部扭转角为0、主梁所受力与力矩平衡条件建立控制方程组；
13.(6)利用非线性规划方法求解步骤(5)建立的控制方程组，解得同时满足所有控制方程组的基本未知量的值；
14.(7)将基本未知量的值代入分析各跨的主缆响应表达式、分析主梁响应表达式、分析吊杆及桥塔响应表达式中，确定桥梁各构件的内力及变形。
15.本能发明所述的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，
16.所述步骤(1)中的基本未知量表达式如下：
17.左边跨上下游主缆的悬链线方程参数a
u,l
、a
d,l
；主跨上下游左侧第一节段主缆的悬链线方程参数a
u,1
、a
d,1
；右边跨上下游主缆的悬链线方程参数a
u,r
、a
d,r
；
18.左边跨上下游主缆水平投影长度l
u,l
、l
d,l
；主跨上下游n+1个主缆节段水平投影长度l
u,1
～l
u,n+1
、l
d,1
～l
d,n+1
；右边跨上下游主缆水平投影长度l
u,r
、l
d,r
；
19.左边跨上下游主缆的水平分力h
u,l
、h
d,l
；主跨上下游左侧第一节段主缆的水平分力h
u,1
、h
d,1
；右边跨上下游主缆的水平分力h
u,r
、h
d,r
；
20.主跨上下游n根吊杆的吊杆力f
u,1
～f
u,n
、f
d,1
～f
d,n
；
21.主梁左端上下游支反力f
u,l
、f
u,r
；主梁右端上下游支反力f
d,l
、f
d,r
；
22.主梁整体水平向刚体位移v；
23.一共有4n+23个基本未知量(n为主跨一侧索面布置的吊杆数)，下标u和d分别表示桥梁上游一侧和下游一侧的参数。
24.本发明所述的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，
25.所述步骤(2)中表达上下游各节段主缆两端高度差、无应力长度以及主缆上的吊杆上吊点的坐标如下：
26.(2.1)每一段悬链线以其左端点为原点，建立局部坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向下，在该坐标系下，各参数表述如下：
27.主跨上游一侧第i段主缆可视为悬链线，其左右端点的高度差δy
u,i
可以表示为：
[0028][0029]
式中，c
u,i
＝
‑
h
u,i
/q，h
u,i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数；l
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；cosh为数学符号；
[0030]
主跨上游一侧第i段主缆无应力长度s
u,i
表示为：
[0031][0032]
式中，c
u,i
＝
‑
h
u,i
/q，h
u,i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh为数学符号；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数；
[0033]
主跨下游一侧第i段主缆左右端点的高度差δy
d,i
可以表示为：
[0034][0035]
式中，c
d,i
＝
‑
h
d,i
/q，h
d,i
为恒载及活载作用主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；l
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；cosh为数学符号；
[0036]
主跨下游一侧第i段主缆无应力长度s
d,i
可以表示为：
[0037][0038]
式中，c
d,i
＝
‑
h
d,,i
//q，h
d,i
为恒载及活载作用主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；sinh为数学符号；
[0039]
(2.2)在恒载和偏心活载共同作用下，上游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cu,i
,y
cu,i
,z
cu,i
)表达为：
[0040][0041][0042]
z
cu,i
＝b
[0043]
式中，δx
u,l
表示左端桥塔上游侧的塔肢顶部的偏移量(m)；b为各吊杆至主梁中心的横向距离(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
e
表示主梁左侧截面中心的标高(m)；l
u,i
为主跨上游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；δy
u,j
表示主跨上游侧第j段主缆悬链线两端高度差(m)；
[0044]
下游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cd,i
,y
cd,i
,z
cd,i
)表达为：
[0045][0046][0047]
z
cd,i
＝
‑
b
[0048]
式中，δx
d,l
表示左端桥塔下游侧的塔肢顶部的偏移量(m)；b为各吊杆至主梁中心的横向距离(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
e
表示主梁左侧截面中心的标高(m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；δy
d,j
表示主跨下游侧第j段主缆悬链线
两端高度差(m)；
[0049]
(2.3)恒载和活载共同作用下，主跨上游侧的相邻节段主缆的水平分力h和悬链线方程参数a之间的递推关系式为:
[0050][0051][0052]
式中，f
u,i
为上游侧第i根吊杆的吊杆力(kn)；为上游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数；c
u,i
＝
‑
h
u,,i
/q，h
u,i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
u,i
为主跨上游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；arcsinh为数学符号；
[0053]
主跨下游侧的相邻节段主缆的水平分力h和悬链线方程参数a之间的递推关系式为：
[0054][0055][0056]
式中，f
d,i
为下游侧第i根吊杆的吊杆力(kn)；为下游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；c
d,i
＝
‑
h
d,,i
/q，h
d,i
为恒载及活载作用下主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；arcsinh为数学符号；
[0057]
(2.4)上游侧左边跨的主缆段，以左锚固点为原点，纵桥向为x轴，向右为正方向，竖直向下为y轴，建立局部坐标系；
[0058]
上游左边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
u,l
和无应力长度s
u,l
可表示为：
[0059][0060][0061]
式中，c
u,l
＝
‑
h
u,l
/q，h
u,l
为恒载及活载作用左边跨上游主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,l
为上游左边跨主缆悬链线方程参数；l
u,l
为上游左边跨主缆水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0062]
右边跨段的主缆以右锚固点为原点，纵桥向为x轴，向右为正，竖直向下为y轴建立局部坐标系，则上游右边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
u,r
和无应力长度s
u,r
可表示为:
[0063]
[0064][0065]
式中，c
u,r
＝
‑
h
u,r
/q，h
u,r
为恒载及活载作用上游右边跨主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,r
为上游右边跨悬链线方程参数；l
u,r
为上游右边跨悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号；
[0066]
以下游侧左边跨的主缆段的左锚固点为原点，纵桥向为x轴，向右为正方向，竖直向下为y轴，建立局部坐标系；下游左边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
d,l
和无应力长度s
d,l
可表示为：
[0067][0068][0069]
式中，c
d,l
＝
‑
h
d,l
/q，h
d,l
为恒载及活载作用左边跨下游主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,l
为下游左边跨主缆悬链线方程参数；l
d,l
为下游左边跨主缆水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号；
[0070]
右边跨段的主缆以右锚固点为原点，纵桥向为x轴，向右为正，竖直向下为y轴建立局部坐标系，则下游右边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
d,r
和无应力长度s
d,r
可表示为:
[0071][0072][0073]
式中，c
d,r
＝
‑
h
d,r
/q，h
d,r
为恒载及活载作用下游右边跨主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,r
为下游右边跨悬链线方程参数；l
d,r
为下游右边跨悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0074]
本发明所述偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，所述步骤(3)中分析主梁响应，用基本未知量表达主梁的挠度和横向扭转角以及主梁上的吊杆下吊点的坐标如下：
[0075]
(3.1)以主梁左端截面形心为原点，纵桥向为x轴，竖直向下为y轴，横向为z轴建立局部坐标系；主梁受到两组吊杆力f
u,i
、f
d,i
(1≤i≤n)以及四个支座反力f
u,l
、f
u,r
、f
d,l
、f
d,r
的作用。
[0076]
在偏心活载作用下，主梁可被n根吊杆划分为n+1个区段，每一段主梁的挠度w(x)为：
[0077][0078]
[0079][0080]
δf
u,l
＝f
u,l
‑
f’u,l
[0081]
δf
d,l
＝f
d,l
‑
f’d,l
[0082]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；f'
u,i
、f'
d,i
分别表示上游、下游第i根吊杆在恒载作用下的吊杆力(kn)；f'
u,l
、f'
d,l
分别表示上游、下游左支座在恒载作用下的支座反力(kn)；e
b
i
b
表示主梁抗弯刚度(kn
·
m2)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；p为偏心活载集度(kn/m)；x表示所求截面与该区段主梁最左端的距离(m)；为下游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；t为积分所取微元至主梁左端的距离(m)；dt为积分变量；j为所求截面左侧距离最近的吊杆编号；
[0083]
(3.2)距离主梁左端距离为x的截面ⅰ对于左侧距该截面最近的吊杆右截面ⅱ的相对转角为：
[0084][0085]
式中，gi
p
为主梁的自由扭转刚度(kn
·
m/rad)；δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；p为偏心活载集度(kn/m)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；b'为支座横桥向间距的一半(m)；e为偏心活载作用位置与桥梁纵轴线的横向距离(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；x表示所求截面与该区段主梁最左端的距离(m)；t为积分所取微元至主梁左端的距离(m)；t为积分所取微元至主梁左端的距离(m)；dt为积分变量；j为所求截面左侧距离最近的吊杆编号；x
j
表示恒载条件下第j根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；
[0086]
当x＝x
m+1
时，可求得相邻两根吊杆截面的相对扭转角，根据θ(0)＝0，通过叠加即可知主梁各截面扭转角的值。
[0087]
(3.3)主梁上游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bu,i
,y
bu,i
,z
bu,i
)可以表示为：
[0088]
x
bu,i
＝x
i
+v
[0089]
y
bu,i
＝
‑
w(x
i
)
‑
bθ(x
i
)
[0090]
z
bu,i
＝b
[0091]
式中，v表示主梁整体水平方向的刚体位移(m)；w表示偏心活载作用下主梁发生的竖向挠度(m)；θ表示主梁发生的扭转角(rad)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0092]
主梁下游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bd,i
,y
bd,i
,z
bd,i
)可以表示为
[0093]
x
bd,i
＝x
i
+v
[0094]
y
bd,i
＝
‑
w(x
i
)+bθ(x
i
)
[0095]
z
bd,i
＝
‑
b
[0096]
式中，v表示主梁整体水平方向的刚体位移(m)；w表示偏心活载作用下主梁发生的竖向挠度(m)；θ表示主梁发生的扭转角(rad)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0097]
本发明所述的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，所述步骤(4)中表达上下游吊杆倾角及无应力长度、桥塔各肢的偏移量的具体步骤如下：
[0098]
(4.1)根据步骤(2.2)中建立的上游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cu,i
,y
cu,i
,z
cu,i
)与步骤(3.3)中建立的上游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bu,i
,y
bu,i
,z
bu,i
)计算，在偏心活载作用下，上游侧第i根吊杆的倾角可以表示为：
[0099][0100]
根据步骤(2.2)中建立的下游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cd,i
,y
cd,i
,z
cd,i
)与步骤(3.3)中建立的下游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bd,i
,y
bd,i
,z
bd,i
)计算，下游侧第i根吊杆的倾角可以表示为：
[0101][0102]
(4.2)上游侧第i根吊杆的无应力长度s
su,i
可以表示为：
[0103][0104]
式中，e
s
a
s
为吊杆抗拉刚度(kn)；s’su,i
为上游一侧第i根吊杆在恒载作用下的无应力长度(m)；f
u,i
为上游侧第i根吊杆的吊杆力；x
cu,i
、x
bu,i
分别为上游第i根吊杆上吊点、下吊点的x坐标；y
cu,i
、y
bu,i
分别为上游第i根吊杆上吊点、下吊点的y坐标。
[0105]
下游侧第i根吊杆的无应力长度s
sd,i
可以表示为：
[0106][0107]
式中，e
s
a
s
为吊杆抗拉刚度(kn)；s’sd,i
为下游一侧第i根吊杆在恒载作用下的无应力长度(m)；f
d,i
为下游侧第i根吊杆的吊杆力；x
cd,i
、x
bd,i
分别为下游第i根吊杆上吊点、下吊点的x坐标；y
cd,i
、y
bd,i
分别为下游第i根吊杆上吊点、下吊点的y坐标。
[0108]
(4.3)左桥塔上游、下游塔肢顶部的偏移量δx
u,l
、δx
d,l
分别为：
[0109][0110][0111]
式中，k为单肢桥塔的刚度系数(kn/m)；k
ξ
为整个桥塔的抗扭刚度系数(kn/rad)；d为每肢桥塔距离桥轴线距离(m)；h
u,l
、h
d,l
分别为上下游左边跨主缆水平分力(kn)；h
u,1
、h
d,1
分别为上下游主跨左侧第一段主缆悬链线水平分力(kn)；
[0112]
右桥塔上游、下游塔肢顶部的偏移量δx
u,r
、δx
d,r
分别为：
[0113]
[0114]
式中，k为单肢桥塔的刚度系数(kn/m)；k
ξ
为整个桥塔的抗扭刚度系数(kn/rad)；d为每肢桥塔距离桥轴线距离(m)；h
u,r
、h
d,r
分别为上下游右边跨主缆水平分力(kn)；h
u,n+1
、h
d,n+1
分别为上下游主跨最右侧节段(第n+1段)主缆悬链线水平分力(kn)。
[0115]
本发明所述的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，所述步骤(5)中建立控制方程组的具体步骤如下：
[0116]
(5.1)在恒载及活载共同作用时悬索桥上游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差闭合的控制方程表达如下：
[0117]
δy
u,l
＝h
a
‑
h
b
[0118][0119]
δy
u,r
＝h
d
‑
h
c
[0120]
式中，h
a
表示主缆左锚固点标高(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
c
表示主跨主缆右侧ip点标高(m)；h
d
表示主缆右锚固点标高(m)；
[0121]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差闭合的控制方程表达如下：
[0122]
δy
d,l
＝h
a
‑
h
b
[0123][0124]
δy
d,r
＝h
d
‑
h
c
[0125]
式中，h
a
表示主缆左锚固点标高(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
c
表示主跨主缆右侧ip点标高(m)；h
d
表示主缆右锚固点标高(m)。
[0126]
在恒载及活载共同作用时悬索桥上游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径闭合的控制方程表达如下：
[0127]
l
u,l
＝l1+δx
u,l
[0128][0129]
l
u,r
＝l3‑
δx
u,r
[0130]
式中，l1、l2、l3分别表示悬索桥左边跨、主跨和右边跨的跨径(m)；δx
u,l
为左桥塔上游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)；δx
u,r
为右桥塔上游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)。
[0131]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径闭合的控制方程表达如下：
[0132]
l
d,l
＝l1+δx
d,l
[0133]
[0134]
l
d,r
＝l3‑
δx
d,r
[0135]
式中，l1、l2、l3分别表示悬索桥左边跨、主跨和右边跨的跨径(m)；δx
d,l
为左桥塔下游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)；δx
d,r
为右桥塔下游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)。
[0136]
(5.2)在恒载及活载共同作用时上游侧左边跨、主跨各节段及右边跨主缆无应力长度(s
cu,l
,s
cu,i
,s
cu,r
)守恒的控制方程表达如下：
[0137]
s
cu,l
＝s’cu,l
[0138]
s
cu,i
＝s’cu,i
,(1≤i≤n+1)
[0139]
s
cu,r
＝s’cu,r
[0140]
式中，s'
cu,i
为主跨上游侧第i节段主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cu,l
为左边跨上游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cu,r
为右边跨上游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)。
[0141]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨各节段及右边跨主缆无应力长度(s
cd,l
,s
cd,i
,s
cd,r
)守恒的控制方程表达如下：
[0142]
s
cd,l
＝s’cd,l
[0143]
s
cd,i
＝s’cd,i
,(1≤i≤n+1)
[0144]
s
cd,r
＝s’cd,r
[0145]
式中，s'
cd,i
为主跨下游侧第i节段主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cd,l
为左边跨下游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cd,r
为右边跨下游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)。
[0146]
在恒载及活载共同作用时上游侧各吊杆无应力长度(s
su,i
)守恒的控制方程表达如下：
[0147]
s
su,i
＝s’su,i
,(1≤i≤n)
[0148]
式中，s
′
su,i
为上游一侧第i根吊杆在恒载作用时的无应力长度(m)。
[0149]
在恒载及活载共同作用时下游侧各吊杆无应力长度(s
sd,i
)守恒的控制方程表达如下：
[0150]
s
sd,i
＝s’sd,i
,(1≤i≤n)
[0151]
式中，s
′
sd,i
为下游一侧第i根吊杆在恒载作用时的无应力长度(m)。
[0152]
(5.3)主梁端部扭转角为0控制方程表达如下：
[0153]
θ(l2)＝0
[0154]
式中，l2为悬索桥主跨跨径(m)。
[0155]
(5.4)主梁y向受力(∑y
i
)平衡控制方程表达如下：
[0156][0157]
δf
u,r
＝f
u,r
‑
f’u,r
[0158]
δf
d,r
＝f
d,r
‑
f’d,r
[0159]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；f
u,r
、f
d,r
分别表示上游、下游右支座在恒载和活载共同作用时的支座反力(kn)；f'
u,r
、f'
d,r
分别
表示上游、下游右支座在恒载作用时的支座反力(kn)。
[0160]
主梁x向受力(∑x
i
)平衡控制方程表达如下：
[0161][0162][0163][0164]
式中δf
xu,i
、δf
xd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的水平分力的改变量(kn)；f
u
,
i
、f
d,i
分别表示上游、下游右支座在恒载和活载共同作用时的吊杆力(kn)；为上游、下游侧吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；
[0165]
主梁绕x轴力矩(∑m
x
)平衡控制方程表达如下：
[0166][0167]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；b'为支座横桥向间距的一半(m)。
[0168]
主梁绕z轴力矩(∑m
z
)平衡控制方程表达如下：
[0169][0170]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；x
i
表示恒载条件下，第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；l2为悬索桥主跨跨径(m)；
[0171]
本发明所述偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，所述的步骤(3.1)中在第j
‑
1根吊杆与第j根吊杆间的第j段主梁挠度表达式中由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
j
,0、c
j
,1以及第j+1段的主梁挠度表达式中由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
j+1,0
、c
j+1,1
的递推关系式如下：
[0172][0173][0174]
式中，δf
yu,j
、δf
yd,j
分别表示上游侧、下游侧第j根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；x
j
表示恒载条件下，第j根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；
[0175]
由主梁左端挠度w
l
＝0，求得第1根吊杆左侧的主梁挠度表达式，即第1段主梁挠度中由于不定积分产生的常数项系数c
1,0
，进而递推出所有段挠度表达式中的常数项系数c
i,0
，包括c
n,0
。
[0176]
主梁右端挠度w
r
＝0,可以求得第n根吊杆右侧的主梁挠度表达式，即第n+1段吊杆挠度表达式由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
n+1,0
、c
n+1,1
的关系式，进而得到c
n+1,1
，则可以反推出所有段挠度表达式中的一次项系数c
i,1
。
[0177]
将所求得的常数项系数及一次项系数代入相对应的主梁区段的挠度表达式，即可推得主梁任一截面的挠度。
[0178]
本发明所述偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，步骤(6)中利用非线性规划求解控制方程组，解得同时满足所有控制方程组的基本未知量的值的具体步骤如下：
[0179]
利用步骤(5)中建立的4n+23个控制方程，将步骤(2)至步骤(4)中用基本未知量表示的各项参数代入控制方程组中，通过移项使得等式右边为0，等式左边视为4n+23个函数值w
i
；利用非线性grg方法对下式进行规划求解，即可得出悬索桥在偏心活载作用下的响应；
[0180][0181]
本发明所述偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(2.1)及(2.4)中的各段主缆高度差表达式、(2.2)中吊杆上吊点坐标表达式和(2.3)中主缆水平分力的递推关系式中，确定在恒载和活载作用下主缆的内力和变形响应；
[0182]
将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(3.1)中的挠度表达式、(3.2)中相对转角的表达式和(3.3)中吊杆下吊点坐标表达式，确定在恒载和活载作用下主梁的内力和变形响应；
[0183]
将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(4.1)中的吊杆倾角表达式可确定在恒载和活载作用下吊杆的倾斜角度，代入(4.3)中各塔肢顶部桥塔偏移量的表达式可确定桥塔在恒载和活载作用下的变形响应。
[0184]
有益效果
[0185]
本发明提供的偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的确定方法，将吊杆力视为离散集中力，考虑了主梁的刚体位移及吊杆倾斜，所用的假设条件较少，更贴近工程实际；提出了利用非线性规划求解，可全面求解在不同位置布置偏心荷载时主梁、主缆及吊杆的响应，规避了复杂计算，计算方便，便于应用。
附图说明
[0186]
图1为具体实施例中的恒载和活载共同作用下的主跨主缆示意图；
[0187]
图2为具体实施例中的悬索桥全桥布置图；
[0188]
图3为具体实施例中的恒载和活载共同作用下的主梁受力情况示意图；
[0189]
图4为具体实施例中的吊杆下吊点的受力情况示意图；
[0190]
图5为具体实施例中的恒载和活载共同作用下桥塔塔顶的示意图。
具体实施方式
[0191]
为使本发明实施例的目的和技术方案更加清楚，下面将结合本发明实施例的附图，对本发明实施例的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于所描述的本发明的实施例，本领域普通技术人员在无需创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0192]
如图1至图5所示：本发明所述的一种偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的计算方法，该方法包括以下步骤：
[0193]
(1)确定可表达在偏心活载作用下全桥主要构件的内力及变形情况所需要的基本未知量；
[0194]
(2)分析各跨的主缆响应，用基本未知量表达出悬索桥上下游各节段主缆两端的高度差、无应力长度以及主缆上的吊杆上吊点的坐标；
[0195]
(3)分析主梁响应，用基本未知量表达出偏心活载作用下主梁各截面的挠度和横向扭转角以及主梁上的吊杆下吊点的坐标；
[0196]
(4)分析吊杆及桥塔响应，用基本未知量表达出上下游吊杆倾角及无应力长度、桥塔各肢的偏移量；
[0197]
(5)利用悬索桥主缆的高差和跨径闭合、主缆和吊杆的无应力长度守恒、主梁端部扭转角为0、主梁所受力与力矩平衡等条件建立控制方程组。
[0198]
(6)利用非线性规划方法求解控制方程组，解得同时满足所有控制方程组的基本未知量的值；
[0199]
(7)将基本未知量的值代入上述各响应的表达式，确定桥梁各构件的内力及变形。
[0200]
具体实施方式如下：
[0201]
第一步：确定可表达在偏心活载作用下全桥主要构件的内力及变形情况所需要的基本未知量。所需要的基本未知量包括：
[0202]
左边跨上下游主缆的悬链线方程参数a
u,l
、a
d,l
；主跨上下游左侧第一节段主缆的悬链线方程参数a
u,1
、a
d,1
；右边跨上下游主缆的悬链线方程参数a
u,r
、a
d,r
；
[0203]
左边跨上下游主缆水平投影长度l
u,l
、l
d,l
；主跨上下游n+1个主缆节段水平投影长度l
u,1
～l
u,n+1
、l
d,1
～l
d,n+1
；右边跨上下游主缆水平投影长度l
u,r
、l
d,r
；
[0204]
左边跨上下游主缆的水平分力h
u,l
、h
d,l
；主跨上下游左侧第一节段主缆的水平分力h
u,1
、h
d,1
；右边跨上下游主缆的水平分力h
u,r
、h
d,r
；
[0205]
主跨上下游n根吊杆的吊杆力f
u,1
～f
u,n
、f
d,1
～f
d,n
；
[0206]
主梁左端上下游支反力f
u,l
、f
u,r
；主梁右端上下游支反力f
d,l
、f
d,r
；
[0207]
主梁整体水平向刚体位移v；
[0208]
一共有4n+23个基本未知量(n为主跨一侧索面布置的吊杆数)，下标u和d分别表示桥梁上游一侧和下游一侧的参数。
[0209]
第二步：分析各跨的主缆响应，用基本未知量表达出悬索桥上下游各节段主缆两端的高度差、无应力长度以及主缆上的吊杆上吊点的坐标。
[0210]
(1)分析恒载及活载共同作用下的主跨主缆(如图1所示)，主跨上游一侧第i段主缆悬链线左右端点的高差δy
u,i
可以表示为：
[0211][0212]
式中，c
u,i
＝
‑
h
u,i
/q，h
u,i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数；l
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；cosh为数学符号。
[0213]
主跨上游一侧第i段主缆无应力长度s
u,i
可以表示为：
[0214][0215]
式中，c
u,i
＝
‑
h
u,i
/q，h
u,i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh为数学符号；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数。
[0216]
主跨下游一侧第i段主缆左右端点的高差δy
d,i
可以表示为：
[0217][0218]
式中，c
d,i
＝
‑
h
d,i
/q，h
d,i
为恒载及活载作用主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；l
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；cosh为数学符号。
[0219]
主跨下游一侧第i段主缆无应力长度s
d,i
可以表示为：
[0220][0221]
式中，c
d,i
＝
‑
h
d,i
/q，h
d,i
为恒载及活载作用主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；sinh为数学符号。
[0222]
(2)在恒载和偏心活载共同作用下，上游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cu,i
,y
cu,i
,z
cu,i
)可以表达为
[0223][0224][0225]
z
cu,i
＝b
[0226]
式中，δx
u,l
表示左端桥塔上游侧的塔肢顶部的偏移量(m)；b为各吊杆至主梁中心的横向距离(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
e
表示主梁左侧截面中心的标高(m)；l
u,i
为主跨上游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；δy
u,j
表示主跨上游侧第j段主缆悬链线两端高度差(m)。
[0227]
下游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cd,i
,y
cd,i
,z
cd,i
)可以表达为
[0228][0229][0230]
z
cd,i
＝
‑
b
[0231]
式中，δx
d,l
表示左端桥塔下游侧的塔肢顶部的偏移量(m)；b为各吊杆至主梁中心的横向距离(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
e
表示主梁左侧截面中心的标高(m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；δy
d,j
表示主跨下游侧第j段主缆悬链线
两端高度差(m)。
[0232]
(3)恒载和活载共同作用下，主跨上游侧的相邻节段主缆的水平分力h和悬链线方程参数a之间的递推关系式为
[0233][0234][0235]
式中，f
u,i
为上游侧第i根吊杆的吊杆力(kn)；为上游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；a
u,i
为主跨上游侧第i段悬链线方程参数；c
u,i
＝
‑
h
u,i
/q，h
u
,
i
为恒载及活载作用下主跨上游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
u,i
为主跨上游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；arcsinh为数学符号。
[0236]
主跨下游侧的相邻节段主缆的水平分力h和悬链线方程参数a之间的递推关系式为
[0237][0238][0239]
式中，f
d,i
为下游侧第i根吊杆的吊杆力(kn)；为下游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；a
d,i
为主跨下游侧第i段悬链线方程参数；c
d,i
＝
‑
h
d,i
/q，h
d,i
为恒载及活载作用下主跨下游侧第i段主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；l
d,i
为主跨下游侧第i段主缆的水平投影长度(m)；arcsinh为数学符号。
[0240]
(4)边跨段主缆不受吊杆力作用，仅在自重作用下成悬链线形(如图2所示)。上游左边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
u,l
和无应力长度s
u,l
可表示为
[0241][0242][0243]
式中，c
u,l
＝
‑
h
u,,l
/q，h
u,l
为恒载及活载作用左边跨上游主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,l
为上游左边跨主缆悬链线方程参数；l
u,l
为上游左边跨主缆水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0244]
上游右边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
u,r
和无应力长度s
u,r
可表示为：
[0245][0246][0247]
式中，c
u,r
＝
‑
h
u,r
/q，h
u,r
为恒载及活载作用上游右边跨主缆的水平分力(kn)；q为
主缆单位长度自重(kn/m)；a
u,r
为上游右边跨悬链线方程参数；l
u,r
为上游右边跨悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0248]
下游左边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
d,l
和无应力长度s
d,l
可表示为：
[0249][0250][0251]
式中，c
d,l
＝
‑
h
d,l
/q，h
d,l
为恒载及活载作用左边跨下游主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,l
为下游左边跨主缆悬链线方程参数；l
d,l
为下游左边跨主缆水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0252]
下游右边跨主缆的端点，即锚固点与散索鞍ip点在偏心活载作用下的高度差δy
d,r
和无应力长度s
d,r
可表示为:
[0253][0254][0255]
式中，c
d,r
＝
‑
h
d,r
/q，h
d,r
为恒载及活载作用下游右边跨主缆的水平分力(kn)；q为主缆单位长度自重(kn/m)；a
d,r
为下游右边跨悬链线方程参数；l
d,r
为下游右边跨悬链线水平投影长度(m)；e
c
a
c
表示主缆轴向抗拉刚度(kn)；sinh、cosh为数学符号。
[0256]
第三步：分析主梁响应，用基本未知量表达主梁的挠度和横向扭转角以及主梁上的吊杆下吊点的坐标。
[0257]
(1)分析主梁受力情况(如图3所示)，主梁受到两组吊杆力f
u,i
、f
d,i
(1≤i≤n)以及四个支座反力f
u,l
、f
u,r
、f
d,l
、f
d,r
的作用。在仅受恒载作用下，全桥处于初始静力平衡阶段，并且主梁上各点位于设计标高，在本发明在分析主梁响应部分不考虑由于恒载以及该状态下的吊杆力等作用，所涉及到的作用与响应都是在恒载作用基础上的变化量。在偏心活载作用下，主梁可被n根吊杆划分为n+1个区段，每一段主梁的挠度表达式为
[0258][0259][0260][0261]
δf
u,l
＝f
u,l
‑
f’u,l
[0262]
δf
d,l
＝f
d,l
‑
f’d,l
[0263]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；f'
u,i
、f'
d,i
分别表示上游、下游第i根吊杆在恒载作用下的吊杆力(kn)；f'
u,l
、f'
d,l
分别表示上游、下游左支座在恒载作用下的支座反力(kn)；e
b
i
b
表示主梁抗弯刚
度(kn
·
m2)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；p为偏心活载集度(kn/m)；x表示所求截面与该区段主梁最左端的距离(m)；为下游侧第i根吊杆力与竖直平面的夹角(rad)；t为积分所取微元至主梁左端的距离(m)；dt为积分变量；j为所求截面左侧距离最近的吊杆编号。
[0264]
在第j
‑
1根吊杆与第j根吊杆间的第j段主梁挠度表达式中由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
j
,0、c
j
,1以及第j+1段的主梁挠度表达式中由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
j+1,0
、c
j+1,1
的递推关系式如下：
[0265][0266][0267]
式中，δf
yu,j
、δf
yd,j
分别表示上游侧、下游侧第j根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；x
j
表示恒载条件下，第j根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0268]
由主梁左端挠度w
l
＝0，求得第1根吊杆左侧的主梁挠度表达式，即第1段主梁挠度中由于不定积分产生的常数项系数c
1,0
，进而递推出所有段挠度表达式中的常数项系数c
i,0
，包括c
n,0
。此外，主梁右端挠度w
r
＝0,可以求得第n根吊杆右侧的主梁挠度表达式，即第n+1段吊杆挠度表达式由于不定积分产生的常数项系数与一次项系数c
n+1,0
、c
n+1,1
的关系式，进而得到c
n+1,1
，则可以反推出所有段挠度表达式中的一次项系数c
i,1
。
[0269]
将所求得的常数项系数及一次项系数代入相对应的主梁区段的挠度表达式，即可推得主梁任一截面的挠度。
[0270]
(2)距离主梁左端距离为x的截面ⅰ对于左侧距该截面最近的吊杆右截面ⅱ的相对扭转角为
[0271][0272]
式中，gi
p
为主梁的自由扭转刚度(kn
·
m/rad)；δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；p为偏心活载集度(kn/m)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；b'为支座横桥向间距的一半(m)；e为偏心活载作用位置与桥梁纵轴线的横向距离(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；x表示所求截面与该区段主梁最左端的距离(m)；t为积分所取微元至主梁左端的距离(m)；dt为积分变量；j为所求截面左侧距离最近的吊杆编号；x
j
表示恒载条件下第j根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0273]
当x＝x
m+1
时，可求得相邻两根吊杆截面的相对扭转角，根据θ(0)＝0，通过叠加即可知主梁各截面扭转角的值。
[0274]
(3)主梁上游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bu,i
,y
bu,i
,z
bu,i
)可以表示为
[0275]
x
bu,i
＝x
i
+v
[0276]
y
bu,i
＝
‑
w(x
i
)
‑
bθ(x
i
)
[0277]
z
bu,i
＝b
[0278]
式中，v表示主梁整体水平方向的刚体位移(m)；w表示偏心活载作用下主梁发生的
竖向挠度(m)；θ表示主梁发生的扭转角(rad)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0279]
主梁下游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bd,i
,y
bd,i
,z
bd,i
)可以表示为
[0280]
x
bd,i
＝x
i
+v
[0281]
y
bd,i
＝
‑
w(x
i
)+bθ(x
i
)
[0282]
z
bd,i
＝
‑
b
[0283]
式中，v表示主梁整体水平方向的刚体位移(m)；w表示偏心活载作用下主梁发生的竖向挠度(m)；θ表示主梁发生的扭转角(rad)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；x
i
表示恒载条件下第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)。
[0284]
第四步：分析吊杆及桥塔响应，用基本未知量表达出上下游吊杆倾角及无应力长度、桥塔各肢的偏移量。
[0285]
(1)在偏心活载作用下，分析第i根吊杆下吊点(如图4所示)，根据步骤(2.2)中建立的上游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cu,i
,y
cu,i
,z
cu,i
)与步骤(3.3)中建立的上游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bu,i
,y
bu,i
,z
bu,i
)计算，在偏心活载作用下，上游侧第i根吊杆的倾角可以表示为
[0286][0287]
根据步骤(2.2)中建立的下游侧第i根吊杆的上吊点坐标(x
cd,i
,y
cd,i
,z
cd,i
)与步骤(3.3)中建立的下游侧第i根吊杆的下吊点坐标(x
bd,i
,y
bd,i
,z
bd,i
)计算，下游侧第i根吊杆的倾角可以表示为
[0288][0289]
(2)上游侧第i根吊杆的无应力长度s
su,i
可以表示为
[0290][0291]
式中，e
s
a
s
为吊杆抗拉刚度(kn)；s’su,i
为上游一侧第i根吊杆在恒载作用下的无应力长度(m)；f
u,i
为上游侧第i根吊杆的吊杆力；x
cu,i
、x
bu,i
分别为上游第i根吊杆上吊点、下吊点的x坐标；y
cu,i
、y
bu,i
分别为上游第i根吊杆上吊点、下吊点的y坐标。
[0292]
下游侧第i根吊杆的无应力长度s
sd,i
可以表示为
[0293][0294]
式中，e
s
a
s
为吊杆抗拉刚度(kn)；s’sd,i
为下游一侧第i根吊杆在恒载作用下的无应力长度(m)；f
d,i
为下游侧第i根吊杆的吊杆力；x
cd,i
、x
bd,i
分别为下游第i根吊杆上吊点、下吊点的x坐标；y
cd,i
、y
bd,i
分别为下游第i根吊杆上吊点、下吊点的y坐标。
[0295]
(3)左桥塔上游、下游塔肢顶部的偏移量δx
u,l
、δx
d,l
(如图5所示)分别为
[0296]
[0297][0298]
式中，k为单肢桥塔的刚度系数(kn/m)；k
ξ
为整个桥塔的抗扭刚度系数(kn/rad)；d为每肢桥塔距离桥轴线距离(m)；h
u,l
、h
d,l
分别为上下游左边跨主缆水平分力(kn)；h
u,1
、h
d,1
分别为上下游主跨左侧第一段主缆悬链线水平分力(kn)。
[0299]
右桥塔上游、下游塔肢顶部的偏移量的偏移量δx
u,r
、δx
d,r
分别为
[0300][0301][0302]
式中，k为单肢桥塔的刚度系数(kn/m)；k
ξ
为整个桥塔的抗扭刚度系数(kn/rad)；d为每肢桥塔距离桥轴线距离(m)；h
u,r
、h
d,r
分别为上下游右边跨主缆水平分力(kn)；h
u,n+1
、h
d,n+1
分别为上下游主跨最右侧节段(第n+1段)主缆悬链线水平分力(kn)。
[0303]
第五步：建立控制方程组。
[0304]
(1)在恒载及活载共同作用时悬索桥上游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差闭合的控制方程表达如下：
[0305]
δy
u,l
＝h
a
‑
h
b
[0306][0307]
δy
u,r
＝h
d
‑
h
c
[0308]
式中，h
a
表示主缆左锚固点标高(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
c
表示主跨主缆右侧ip点标高(m)；h
d
表示主缆右锚固点标高(m)。
[0309]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的高度差闭合的控制方程表达如下：
[0310]
δy
d,l
＝h
a
‑
h
b
[0311][0312]
δy
d,r
＝h
d
‑
h
c
[0313]
式中，h
a
表示主缆左锚固点标高(m)；h
b
表示主跨主缆左侧ip点标高(m)；h
c
表示主跨主缆右侧ip点标高(m)；h
d
表示主缆右锚固点标高(m)。
[0314]
在恒载及活载共同作用时悬索桥上游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径闭合的控制方程表达如下：
[0315]
l
u,l
＝l1+δx
u,l
[0316]
[0317]
l
u,r
＝l3‑
δx
u,r
[0318]
式中，l1、l2、l3分别表示悬索桥左边跨、主跨和右边跨的跨径(m)；δx
u,l
为左桥塔上游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)；δx
u,r
为右桥塔上游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)。
[0319]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨及右边跨主缆的跨径闭合的控制方程表达如下：
[0320]
l
d,l
＝l1+δx
d,l
[0321][0322]
l
d,r
＝l3‑
δx
d,r
[0323]
式中，l1、l2、l3分别表示悬索桥左边跨、主跨和右边跨的跨径(m)；δx
d,l
为左桥塔下游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)；δx
d,r
为右桥塔下游侧塔肢顶部纵桥向位移(m)。
[0324]
(2)在恒载及活载共同作用时上游侧左边跨、主跨各节段及右边跨主缆无应力长度(s
cu,l
,s
cu,i
,s
cu,r
)守恒的控制方程表达如下：
[0325]
s
cu,l
＝s’cu,l
[0326]
s
cu,i
＝s’cu,i
,(1≤i≤n+1)
[0327]
s
cu,r
＝s’cu,r
[0328]
式中，s'
cu,i
为主跨上游侧第i节段主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cu,l
为左边跨上游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cu,r
为右边跨上游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)。
[0329]
在恒载及活载共同作用时下游侧左边跨、主跨各节段及右边跨主缆无应力长度(s
cd,l
,s
cd,i
,s
cd,r
)守恒的控制方程表达如下：
[0330]
s
cd,l
＝s'
cd,l
[0331][0332]
s
cd,r
＝s
c
'
d,r
[0333]
式中，s'
cd,i
为主跨下游侧第i节段主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cd,l
为左边跨下游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)；s'
cd,r
为右边跨下游侧主缆在恒载作用下的无应力长度(m)。
[0334]
在恒载及活载共同作用时上游侧各吊杆无应力长度(s
su,i
)守恒的控制方程表达如下：
[0335]
s
su,i
＝s’su,i
,(1≤i≤n)
[0336]
式中，s
′
su,i
为上游一侧第i根吊杆在恒载作用时的无应力长度(m)。
[0337]
在恒载及活载共同作用时下游侧各吊杆无应力长度(s
sd,i
)守恒的控制方程表达如下：
[0338]
s
sd,i
＝s’sd,i
,(1≤i≤n)
[0339]
式中，s
′
sd,i
为下游一侧第i根吊杆在恒载作用时的无应力长度(m)。
[0340]
(3)主梁端部扭转角为0控制方程表达如下：
[0341]
θ(l2)＝0
[0342]
式中，l2为悬索桥主跨跨径(m)。
[0343]
(4)主梁y向受力(∑y
i
)平衡控制方程表达如下：
[0344][0345]
δf
u,r
＝f
u,r
‑
f’u,r
[0346]
δf
d,r
＝f
d,r
‑
f’d,r
[0347]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,l
、δf
d,l
分别表示上下游左支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；f
u,r
、f
d,r
分别表示上游、下游右支座在恒载和活载共同作用时的支座反力(kn)；f'
u,r
、f'
d,r
分别表示上游、下游右支座在恒载作用时的支座反力(kn)。
[0348]
主梁x向受力(∑x
i
)平衡控制方程表达如下:
[0349][0350][0351][0352]
式中δf
xu,i
、δf
xd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的水平分力的改变量(kn)；f
u
,
i
、f
d,i
分别表示上游、下游右支座在恒载和活载共同作用时的吊杆力(kn)；为上游、下游侧吊杆力与竖直平面的夹角(rad)。
[0353]
主梁绕x轴力矩(∑m
x
)平衡控制方程表达如下：
[0354][0355]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；b为吊杆横桥向间距的一半(m)；b'为支座横桥向间距的一半(m)。
[0356]
主梁绕z轴力矩(∑m
z
)平衡控制方程表达如下：
[0357][0358]
式中，δf
yu,i
、δf
yd,i
分别表示上游侧、下游侧第i根吊杆力的竖向分力的改变量(kn)；δf
u,r
、δf
d,r
分别表示上下游右支座的支座反力在受到活载作用前后的变化量(kn)；x
i
表示恒载条件下，第i根吊杆下吊点至原点的纵桥向距离(m)；l2为悬索桥主跨跨径(m)。
[0359]
第六步：利用非线性规划求解控制方程组，解得同时满足所有控制方程组的基本未知量的值。
[0360]
将第二步至第四步中所得到的用基本未知量表示的各项参数代入第五步中建立的控制方程组中，通过移项使得等式右边为0，等式左边视为4n+23个函数值w
i
。利用非线性grg方法对下式进行规划求解，即可得出悬索桥在偏心活载作用下的响应。
[0361]
[0362]
第七步：将基本未知量的值代入上述各响应的表达式，确定桥梁各构件的内力及变形
[0363]
将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(2.1)及(2.4)中的各段主缆高度差表达式、(2.2)中吊杆上吊点坐标表达式和(2.3)中主缆水平分力的递推关系式中，可确定在恒载和活载作用下主缆的内力和变形响应；
[0364]
将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(3.1)中的挠度表达式、(3.2)中相对转角的表达式和(3.3)中吊杆下吊点坐标表达式，可确定在恒载和活载作用下主梁的内力和变形响应；
[0365]
将步骤(6)中所获得的基本未知量的值代入(4.1)中的吊杆倾角表达式可确定在恒载和活载作用下吊杆的倾斜角度，代入(4.3)中各塔肢顶部桥塔偏移量的表达式可确定桥塔在恒载和活载作用下的变形响应。
[0366]
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。