一种求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法

1.本发明涉及分数阶甚高频谐振变换器的建模与分析领域，尤其是指一种求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法。


背景技术：

2.分数阶甚高频谐振变换器通常指工作频率在30mhz至300mhz的功率电力电子变换器，在航空航天等领域中具有广阔前景，因此掌握分数阶甚高频谐振变换器的工作特性、可靠性以及参数之间的关系显得愈发重要。然而，超高的工作频率一方面可减小储能元件的体积，提高功率密度与瞬态响应速度，另一方面也使寄生参数对变换器的影响变得不可忽略。
3.近年来，对电感、电容建模的研究结果表明：现实生活中不存在理想的整数阶电感、电容，利用分数阶微积分理论建立的电感、电容模型能在甚高频工作环境下更准确反映元件的特性(谭程,梁志珊.电感电流伪连续模式下boost变换器的分数阶建模与分析[j].物理学报,2014(7):070502
‑1‑
070502
‑
10.)。国内外学者也开发了一系列针对分数阶微积分计算的工具箱(薛定宇.分数阶微积分学与分数阶控制[m].北京:科学出版社,2018.1)，使分数阶系统的建模分析成为可能。因而，利用分数阶元件建立甚高频谐振变换器的等效模型，分析其工作机理，更有助于分析寄生参数的影响，进而优化电路参数与可靠性分析。


技术实现要素：

[0004]
本发明的目的在于填补现有分数阶甚高频谐振变换器理论分析的空缺，提供了一种求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法，能够快速获得分数阶甚高频谐振变换器状态变量瞬态解析解。
[0005]
为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法，包括以下步骤：
[0006]
s1、分析变换器的工作原理，列写变换器稳态微分方程；
[0007]
s2、将变换器状态变量解耦分成瞬态主振荡分量与稳态纹波分量；其中，通过建立瞬态过程变换器的非线性等效电路计算瞬态主振荡分量，利用步骤s1的稳态微分方程计算稳态纹波分量；
[0008]
s3、将瞬态主振荡分量叠加稳态纹波分量后的解作为变换器状态变量的瞬态解。
[0009]
进一步，在步骤s1中，对分数阶甚高频谐振变换器建立稳态微分方程：
[0010]
δ
γ
x＝a(δ
(1)
(t),δ
(2)
(t))x+bu
in
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0011]
式中，为状态变量矩阵，上标t表示求矩阵的转置，i
lmr
、i
lr
分别表示流过电感l
mr
、l
r
的稳态电流值，u
cf
、u
cmr
、u
cr
、分别表示电容c
f
、c
mr
、c
r
和两端的稳态电压值，上标α和β为电感和电容的分数阶次；δ
γ
表示为x的分数阶微分矩阵，上标γ表示分数阶次矩阵，具体形式为
其中n1至n7为状态变量的分数阶次；当n1＝n2＝
…
＝n7＝1时，变换器转化为整数阶电路；b为仅由电路元件组成控制矩阵，u
in
为包含输入直流电压v
in
的输入矩阵；a为含有开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)的系数矩阵，δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)符合下述定义：
[0012][0013]
其中，t为时间变量，t
s
表示工作周期；δ
(1)
(t)＝1和δ
(2)
(t)＝1分别表示占空比为d1、d2的开关管s
t
、二极管s
d
导通，用d3表示s
t
与s
d
同时关断所占时间与周期t
s
的比值；用d4表示s
t
与s
d
同时导通所占时间与周期t
s
的比值；d2与d1、d3、d4有以下关系：d2＝1+d4‑
d1‑
d3；
[0014]
由于二极管s
d
在瞬态过程中恒导通，且电容c
r
的电抗x
cr
远小于电容的电抗设等效电容使其近似有式中分别表示电容c
r
、的电容值。
[0015]
进一步，在步骤s2中，将变换器状态变量解耦分成瞬态主振荡分量与稳态纹波分量的具体过程如下：
[0016]
s21、建立瞬态过程变换器的非线性等效电路，计算得瞬态主振荡分量；
[0017]
变换器的谐振周期远小于瞬态过程持续的时间，利用高频网络平均法的原理，用非时变受控源替换主开关及其并联元件；再依据电源串并联简化规则，将电压源电流源的串联电路简化为电流源，电压源电流源并联电路简化为电压源；经过上述简化，得到变换器的非线性等效电路；
[0018]
在非线性等效电路负载开路时，非线性等效电路的输入阻抗为z(s)，s为复频域的变量，令s＝jω得z(jω)的表达式，其中ω为频域变量，j为虚部单位；根据整数阶电路对串联谐振的定义，阻抗呈纯电阻特性，z(jω)的虚部为零，计算得瞬态过程的谐振频率与瞬态持续时间；
[0019]
列写非线性等效电路的状态方程：
[0020][0021]
式中，p为微分算子，即上标α和β分别为电感和电容的分数阶次，u
c
为非线性等效电路输出瞬时电压值，i
l
为非线性等效电路中流经电感与l
r
的瞬时电流值，a1、a2、a3、a4、b1、b2、b3为与具体电路参数有关的常系数，则分数阶甚高频谐振变换器的瞬态主振荡分量的解析解为：
[0022][0023][0024]
式中，t为时间变量，γ表示伽玛函数，y1和y2为中间变量，开关管s
t
两端电压的瞬态主振荡分量u利用叠加定理计算得：
[0025]
u＝λ1·
v
in
+λ2·
u
c
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0026]
式中，v
in
表示输入直流电压，λ1、λ2为由具体电路元件构成的常系数；
[0027]
s22、求解变换器稳态微分方程，计算得稳态纹波分量；
[0028]
依据卡尔曼滤波技术求解过程，在步骤s1微分方程基础上增加观测方程，即：
[0029][0030]
式中，为状态变量矩阵，上标t表示求矩阵的转置，其中i
lmr
、i
lr
分别表示流过电感l
mr
、l
r
的稳态电流值，u
cf
、u
cmr
、u
cr
、分别表示电容c
f
、c
mr
、c
r
和两端的稳态电压值；上标α和β为电感和电容的分数阶次；δ
γ
表示为x的分数阶微分矩阵，上标γ表示分数阶次矩阵，具体形式为其中n1至n7为状态变量的分数阶次；当n1＝n2＝
…
＝n7＝1时，变换器转化为整数阶电路；b为仅由电路元件组成控制矩阵，u
in
为包含输入直流电压v
in
的输入矩阵；y为x的观测矩阵；v是均值为0，方差为r的观测白噪声；h为7阶单位矩阵，用于状态变量的选择；a为含有开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)的系数矩阵，δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)符合下述定义：
[0031][0032]
其中，t为时间变量，t
s
表示工作周期；δ
(1)
(t)＝1和δ
(2)
(t)＝1分别表示占空比为d1、d2的开关管s
t
、二极管s
d
导通，用d3表示s
t
与s
d
同时关断所占时间与周期t
s
的比值；用d4表示s
t
与s
d
同时导通所占时间与周期t
s
的比值；d2与d1、d3、d4有以下关系:d2＝1+d4‑
d1‑
d3；
[0033]
分别求解在连续状态下流经开关管s
t
、二极管s
d
的电流i
st
(t)、i
sd
(t)的非线性函
数：
[0034][0035]
i
sd
(t)＝δ
(2)
(t)
·
i
lr
(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(7.2)
[0036]
式(6)经离散化过程得：
[0037][0038]
其中，下标k表示第kh时刻对应矩阵的采样值，x
k
、y
k
和v
k
分别表示第kh时刻的状态变量值、状态变量观测值和状态变量观测值的方差，x
k
‑1、x
k
‑
c
分别表示第(k
‑
1)h和(k
‑
c)h时刻的状态变量值，且h表示步长，c为中间变量；g
d
和c均为离散化后由具体电路参数构成的系数矩阵；γ
k
表示在第kh时刻的分数阶次矩阵，具体表示为为其中n＝(1,2,
…
,7)表示第n个状态向量，n
n
表示第n个状态变量的阶次；分数阶卡尔曼滤波的计算过程如下：
[0039]
1)状态变量x在第kh时刻的估计值x
k|k
‑1由第(k
‑
1)h时刻的预测值x
k
‑
1|k
‑1算得：
[0040][0041]
其中，u
in,k
‑1为第(k
‑
1)h时刻的输入矩阵；
[0042]
2)误差协方差在第kh时刻的估计值p
k|k
‑1由第(k
‑
1)h时刻的预测值p
k
‑
1|k
‑1算得：
[0043][0044]
其中，p
k
‑
c|k
‑
c
表示第(k
‑
c)h时刻的协方差矩阵的预测值，γ1与γ
c
表示第h与第ch时刻的分数阶次矩阵；
[0045]
3)第kh时刻的滤波器增益矩阵k
k
为：
[0046]
其中，r
k
为第kh时刻的方差，上标
‑
1表示求矩阵的逆矩阵；
[0047]
4)状态变量x在第kh时刻采样点的预测值x
k|k
为：
[0048]
x
k|k
＝x
k|k
‑1+k
k
(y
k
‑
hx
k|k
‑1)；
[0049]
5)误差协方差在第kh时刻的预测值p
k|k
为：p
k|k
＝(i
‑
k
k
h)p
k|k
‑1；
[0050]
其中，i表示单位矩阵；
[0051]
经过上述计算得离散状态下半导体开关电流，通过傅里叶级数拟合确定电流i
st
(t)、i
sd
(t)的非线性表达式；进而将i
st
(t)、i
sd
(t)替换步骤s1中稳态微分方程的开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)，并新增开关函数δ
(3)
(t)、δ
(4)
(t)表示开关管s
t
与二极管s
d
的共同状态：
[0052][0053]
其中，δ
(3)
(t)＝1和δ
(4)
(t)＝1分别表示s
t
与s
d
同时关断和同时导通；重新整理变换器稳态微分方程为适用于等效小参量法计算的表达形式，有：
[0054]
g0(p
α
,p
β
,p)x+g1f
(1)
(x，e1)+g2f
(2)
(x，e2)+g3f
(3)
(x，e3)＝u
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0055]
式中，p
α
、p
β
和p分别表示α阶、β阶和整数阶的微分算子，即和p分别表示α阶、β阶和整数阶的微分算子，即输入矩阵u、g0(p
α
,p
β
,p)、g1、g2、g3均为由电路元件组成的系数矩阵；f
(q)
是状态变量x与激励矩阵e相关的非线性矢量函数矩阵，q是与电路工作模态相关系数，q＝1,2,3；
[0056]
将状态变量x、输入矩阵u、激励矩阵e、开关函数δ
(q)
和非线性矢量函数矩阵f
(q)
用主部与各阶余项小量之和的级数形式表示：
[0057][0058][0059][0060]
其中，ε为小量标记，ε
i
表示第i阶小量，在运算过程中小量ε的具体数值为1；x0为x的主部，与ε
i
相乘的x
i
为x的第i阶修正量；n表示小量的计算精度，值越大则计算结果越精确；同理，u0、δ0和为e
(q)
、u、δ和f
(q)
的主部，u
i
、δ
i
和为e
(q)
、u、δ和f
(q)
的第i阶修正量；为中与x
i
具有相同频率分布的项，为的余项，包括与x
i
具有不同频率分布的项；经过整理，用结合了分数阶卡尔曼滤波的等效小参量法描述的超高频变换器的等效数学模型，如下：
[0061][0062]
以指数表示状态变量的周期稳态解的近似表达式如下：
[0063][0064]
式中，ω
s
为分数阶甚高频谐振变换器的角频率；直流分量x
dc
＝m0为变换器状态变量的稳态主振荡分量；x
ac
为稳态纹波分量：m1为基波的幅值向量，m
m
为第m次谐波的幅值向量；re(
·
)与im(
·
)分别表示复数的实部与虚部。
[0065]
进一步，在步骤s3中，求解分数阶甚高频谐振变换器状态变量瞬态解的具体过程如下：
[0066]
稳态纹波分量x
ac
与瞬态主振荡分量叠加，得分数阶甚高频谐振变换器状态变量的瞬态解如下所示：
[0067][0068]
式中，i
lf
、i
lr
分别为流经电感l
r
的瞬态电流值，u
cout
为电容两端的瞬态电压值；u
c
为非线性等效电路输出瞬时电压值，i
l
为非线性等效电路中流经电感与l
r
的瞬时电流主振荡分量，u为非线性等效电路开关管s
t
两端的瞬时电压主振荡分量；i
lf.ac
、i
lr.ac
分别表示流过电感l
r
的稳态电流纹波分量，u
cout.ac
表示电容两端的稳态电压纹波分量；即在瞬态分析过程中，u
cf
在一个d1t
s
时间内的平均值为零，其中d1表示在开关管s
t
的占空比，t
s
表示工作周期；考虑高频子网的影响，当δ
(1)
(t)＝0时，u的振荡包络线应满足关系x＝σx，其中x表示瞬态包络线，x表示稳态包络线，比例系数σ＝u/|u|，其中|u|表示u的模长；在开关s
t
导通时，电容c
f
两端的电压瞬时值为：
[0069]
u
cf
≈(u+σu
cf.ac
)δ
(1)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0070]
u
cf
为开关管s
t
两端的瞬时电压值，u
cf,ac
为开关管s
t
两端的稳态电压纹波值，δ
(1)
为表示开关管s
t
的开关函数。
[0071]
本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：
[0072]
1、在分数阶甚高频谐振变换器的建模中，可以利用较易求得的稳态解结合非线性等效电路来估算瞬态解，能够大幅度减小计算量。
[0073]
2、通过采用连续的非线性函数拟合开关器件支路的离散函数，实现了变换器的连续统一建模。
[0074]
3、求解了分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解析解，能够定性定量分析变换器的瞬态过程，并描述了分数阶储能元件阶次对瞬态过程的影响。
[0075]
4、利用稳态纹波分量与瞬态主振荡分量的叠加近似获得瞬态过程的解析解，可以从瞬态过程时间尺度与谐振周期时间尺度分析瞬态过程，为分数阶甚高频谐振变换器的研究提供了多个时间尺度视角。
附图说明
[0076]
图1为本发明实施例中分数阶甚高频谐振变换器原理图及其非线性等效电路图。
[0077]
图2a为本发明实施例中变换器流经电感l
f
的瞬态电流波形图。
[0078]
图2b为本发明实施例中变换器流经电感l
r
的瞬态电流波形图。
[0079]
图2c为本发明实施例中变换器c
f
两端瞬态电压波形图。
[0080]
图2d为本发明实施例中变换器瞬态输出电压波形图。
[0081]
图3为本发明求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法的步骤流程图。
具体实施方式
[0082]
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
[0083]
如图3所示，本实施例所提供的求分数阶甚高频谐振变换器瞬态解的解耦方法，包括以下步骤；
[0084]
s1、分析变换器的工作原理，列写变换器稳态微分方程；其中，对分数阶甚高频谐振变换器建立稳态微分方程为：
[0085]
δ
γ
x＝a(δ
(1)
(t),δ
(2)
(t))x+bu
in
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0086]
式中，为状态变量矩阵，上标t表示求矩阵的转置，i
lmr
、i
lr
分别表示流过电感l
mr
、l
r
的稳态电流值，u
cf
、u
cmr
、u
cr
、分别表示电容c
f
、c
mr
、c
r
和两端的稳态电压值，上标α和β为电感和电容的分数阶次；δ
γ
表示为x的分数阶微分矩阵，上标γ表示分数阶次矩阵，具体形式为其中n1至n7为状态变量的分数阶次；当n1＝n2＝
…
＝n7＝1时，变换器转化为整数阶电路；b为仅由电路元件组成控制矩阵，u
in
为包含输入直流电压v
in
的输入矩阵；a为含有开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)的系数矩阵，δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)符合下述定义：
[0087][0088]
其中，t为时间变量，t
s
表示工作周期；δ
(1)
(t)＝1和δ
(2)
(t)＝1分别表示占空比为d1、d2的开关管s
t
、二极管s
d
导通，用d3表示s
t
与s
d
同时关断所占时间与周期t
s
的比值；用d4表示s
t
与s
d
同时导通所占时间与周期t
s
的比值；d2与d1、d3、d4有以下关系:d2＝1+d4‑
d1‑
d3；
[0089]
由于二极管s
d
在瞬态过程中恒导通，且电容c
r
的电抗x
c
远小于电容的电抗设等效电容使其近似有式中分别表示电容c
r
、的电容值。
[0090]
s2、将变换器状态变量解耦分成瞬态主振荡分量与稳态纹波分量；其中，通过建立瞬态过程变换器的非线性等效电路计算瞬态主振荡分量，利用步骤s1的稳态微分方程计算
稳态纹波分量；其中，将变换器状态变量解耦分成瞬态主振荡分量与稳态纹波分量的具体过程如下：
[0091]
s21、建立瞬态过程变换器的非线性等效电路，计算得瞬态主振荡分量；
[0092]
变换器的谐振周期远小于瞬态过程持续的时间，利用高频网络平均法的原理，用非时变受控源替换主开关及其并联元件；再依据电源串并联简化规则，将电压源电流源的串联电路简化为电流源，电压源电流源并联电路简化为电压源；经过上述简化，得到变换器的非线性等效电路；
[0093]
在非线性等效电路负载开路时，非线性等效电路的输入阻抗为z(s)，s为复频域的变量，令s＝jω得z(jω)的表达式，其中ω为频域变量，j为虚部单位；根据整数阶电路对串联谐振的定义，阻抗呈纯电阻特性，z(jω)的虚部为零，计算得瞬态过程的谐振频率与瞬态持续时间；
[0094]
列写非线性等效电路的状态方程：
[0095][0096]
式中，p为微分算子，即上标α和β为电感和电容的分数阶次，u
c
为非线性等效电路输出瞬时电压值，i
l
为非线性等效电路中流经电感与l
r
的瞬时电流值，a1、a2、a3、a4、b1、b2、b3为与具体电路参数有关的常系数，则分数阶甚高频谐振变换器的瞬态主振荡分量的解析解为：
[0097][0098][0099]
式中，t为时间变量，γ表示伽玛函数，y1和y2为中间变量，开关管s
t
两端电压的瞬态主振荡分量u利用叠加定理计算得：
[0100]
u＝λ1·
v
in
+λ2·
u
c
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0101]
式中，v
in
表示输入直流电压，λ1、λ2为由具体电路元件构成的常系数；
[0102]
s22、求解变换器稳态微分方程，计算得稳态纹波分量；
[0103]
依据卡尔曼滤波技术求解过程，在步骤s1微分方程基础上增加观测方程，即：
[0104]
[0105]
式中，为状态变量矩阵，上标t表示求矩阵的转置，其中i
lmr
、i
lr
分别表示流过电感l
mr
、l
r
的稳态电流值，u
cf
、u
cmr
、u
cr
、分别表示电容c
f
、c
mr
、c
r
和两端的稳态电压值；上标α和β为电感和电容的分数阶次；δ
γ
表示为x的分数阶微分矩阵，上标γ表示分数阶次矩阵，具体形式为其中n1至n7为状态变量的分数阶次；当n1＝n2＝
…
＝n7＝1时，变换器转化为整数阶电路；b为仅由电路元件组成控制矩阵，u
in
为包含输入直流电压v
in
的输入矩阵；y为x的观测矩阵；v是均值为0，方差为r的观测白噪声；h为7阶单位矩阵，用于状态变量的选择；a为含有开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)的系数矩阵，δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)符合下述定义：
[0106][0107]
其中，t为时间变量，t
s
表示工作周期；δ
(1)
(t)＝1和δ
(2)
(t)＝1分别表示占空比为d1、d2的开关管s
t
、二极管s
d
导通，用d3表示s
t
与s
d
同时关断所占时间与周期t
s
的比值；用d4表示s
t
与s
d
同时导通所占时间与周期t
s
的比值；d2与d1、d3、d4有以下关系:d2＝1+d4‑
d1‑
d3；
[0108]
分别求解在连续状态下流经开关管s
t
、二极管s
d
的电流i
st
(t)、i
sd
(t)的非线性函数：
[0109][0110]
i
sd
(t)＝δ
(2)
(t)
·
i
lr
(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(7.2)
[0111]
式(6)经离散化过程得：
[0112][0113]
其中，下标k表示第kh时刻对应矩阵的采样值，x
k
、y
k
和v
k
分别表示第kh时刻的状态变量值、状态变量观测值和状态变量观测值的方差，x
k
‑1、x
k
‑
c
分别表示第(k
‑
1)h和(k
‑
c)h时刻的状态变量值，且h表示步长，c为中间变量；g
d
和c均为离散化后由具体电路参数构成的系数矩阵；γ
k
表示在第kh时刻的分数阶次矩阵，具体表示为表示在第kh时刻的分数阶次矩阵，具体表示为其中n＝(1,2,
…
,7)表示第n个状态向量，n
n
表示第n个状态变量的阶次；分数阶卡尔曼滤波的计算过程如下：
[0114]
1)状态变量x在第kh时刻的估计值x
k|k
‑1由第(k
‑
1)h时刻的预测值x
k
‑
1|k
‑1算得：
[0115][0116]
其中，u
in,k
‑1为第(k
‑
1)h时刻的输入矩阵；
[0117]
2)误差协方差在第kh时刻的估计值p
k|k
‑1由第(k
‑
1)h时刻的预测值p
k
‑
1|k
‑1算得：
[0118][0119]
其中，p
k
‑
c|k
‑
c
表示第(k
‑
c)h时刻的协方差矩阵的预测值，γ1与γ
c
表示第h与第ch时刻的分数阶次矩阵；
[0120]
3)第kh时刻的滤波器增益矩阵k
k
为：
[0121]
其中，r
k
为第kh时刻的方差，上标
‑
1表示求矩阵的逆矩阵；
[0122]
4)状态变量x在第kh时刻采样点的预测值x
k|k
为：
[0123]
x
k|k
＝x
k|k
‑1+k
k
(y
k
‑
hx
k|k
‑1)；
[0124]
5)误差协方差在第kh时刻的预测值p
k|k
为：p
k|k
＝(i
‑
k
k
h)p
k|k
‑1；
[0125]
其中，i表示单位矩阵；
[0126]
经过上述计算得离散状态下半导体开关电流，通过傅里叶级数拟合确定电流i
st
(t)、i
sd
(t)的非线性表达式；进而将i
st
(t)、i
sd
(t)替换步骤s1中稳态微分方程的开关函数δ
(1)
(t)、δ
(2)
(t)，并新增开关函数δ
(3)
(t)、δ
(4)
(t)表示开关管s
t
与二极管s
d
的共同状态：
[0127][0128]
其中，δ
(3)
(t)＝1和δ
(4)
(t)＝1分别表示s
t
与s
d
同时关断和同时导通；重新整理式(1)为适用于等效小参量法计算的表达形式，有：
[0129]
g0(p
α
,p
β
,p)x+g1f
(1)
(x，e1)+g2f
(2)
(x，e2)+g3f
(3)
(x，e3)＝u
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0130]
式中，p
α
、p
β
和p分别表示α阶、β阶和整数阶的微分算子，即和p分别表示α阶、β阶和整数阶的微分算子，即输入矩阵u、g0(p
α
,p
β
,p)、g1、g2、g3均为由电路元件组成的系数矩阵；f
(q)
是状态变量x与激励矩阵e相关的非线性矢量函数矩阵，q是与电路工作模态相关系数，q＝1,2,3；
[0131]
将状态变量x、输入矩阵u、激励矩阵e、开关函数δ
(q)
和非线性矢量函数矩阵f
(q)
用主部与各阶余项小量之和的级数形式表示：
[0132][0133]
[0134][0135]
其中，ε为小量标记，ε
i
表示第i阶小量，在运算过程中小量ε的具体数值为1；x0为x的主部，与ε
i
相乘的x
i
为x的第i阶修正量；n表示小量的计算精度，值越大则计算结果越精确；同理，u0、δ0和为e
(q)
、u、δ和f
(q)
的主部，u
i
、δ
i
和为e
(q)
、u、δ和f
(q)
的第i阶修正量；为中与x
i
具有相同频率分布的项，为f
i(q)
的余项，包括中与x
i
具有不同频率分布的项；经过整理，用结合了分数阶卡尔曼滤波的等效小参量法描述的超高频变换器的等效数学模型，如下：
[0136][0137]
以指数表示状态变量的周期稳态解的近似表达式如下：
[0138][0139]
式中，ω
s
为分数阶甚高频谐振变换器的角频率；直流分量x
dc
＝m0为变换器状态变量的稳态主振荡分量；x
ac
为稳态纹波分量：m1为基波的幅值向量，m
m
为第m次谐波的幅值向量；re(
·
)与im(
·
)分别表示复数的实部与虚部。
[0140]
s3、将瞬态主振荡分量叠加稳态纹波分量后的解作为变换器状态变量的瞬态解；其中，求解分数阶甚高频谐振变换器状态变量瞬态解的具体过程如下；
[0141]
稳态纹波分量x
ac
与瞬态主振荡分量叠加，得分数阶甚高频谐振变换器状态变量的瞬态解如下所示：
[0142][0143]
式中，i
lf
、i
lr
分别为流经电感l
r
的瞬态电流值，u
cout
为电容两端的瞬态电压值；u
c
为非线性等效电路输出瞬时电压值，i
l
为非线性等效电路中流经电感与l
r
的瞬时电流主振荡分量，u为非线性等效电路开关管s
t
两端的瞬时电压主振荡分量；i
lf.ac
、i
lr.ac
分别表示流过电感l
r
的稳态电流纹波分量，u
cout.ac
表示电容两端的稳态电压纹波分量；即在瞬态分析过程中，u
cf
在一个d1t
s
时间内的平均值为零，其中d1表示在开关管s
t
的占空比，t
s
表示工作周期；考虑高频子网的影响，当δ
(1)
(t)＝0时，u的振荡包络线应满足关
系x＝σx，其中x表示瞬态包络线，x表示稳态包络线，比例系数σ＝u/|u|，其中|u|表示u的模长；在开关s
t
导通时，电容c
f
两端的电压瞬时值为：
[0144]
u
cf
≈(u+σu
cf.ac
)δ
(1)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0145]
u
cf
为开关管s
t
两端的瞬时电压值，u
cf,ac
为开关管s
t
两端的稳态电压纹波值，δ
(1)
为表示开关管s
t
的开关函数。
[0146]
本实施例中，工作频率f
s
为30mhz，输入直流电压v
in
为15v的分数阶甚高频谐振boost变换器如图1所示，其中s
t
表示主开关，s
d
表示二极管，各元件参数l
mr
＝75nh，l
r
＝111nh，c
f
＝100pf，c
mr
＝95pf，c
r
＝220pf，r＝33.3ω，其中α、β为电感电容的阶数，开关管s
t
与二极管s
d
均为理想元件。
[0147]
根据步骤s21得到分数阶甚高频谐振变换器简化等效电路的解，即变换器瞬态主振荡分量：
[0148][0149]
根据步骤s22得到分数阶甚高频谐振变换器的稳态纹波分量：
[0150][0151]
其中τ＝ω
s
t，最终根据步骤s3得到分数阶甚高频谐振变换器的瞬时解：
[0152][0153]
通过将本发明方法得到的电压电流曲线分别与psim电路仿真所得对应比较，如图2a、图2b、图2c、图2d所示。图中实线为本发明所得的波形，虚线为psim电路仿真得到的波形
图。从图中可以发现，本发明方法能够体现电压变化，且电流波形的拟合误差小，因此，说明本发明所提方法是有效的。
[0154]
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。