基于Grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法与流程

基于grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法
技术领域
1.本发明涉及一种多项式无约束优化方法，具体的说，涉及了一种基于 grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法。


背景技术：

2.量子计算以量子比特为基本单元，通过量子态的受控演化实现数据的存储计算，具有经典计算无法比拟的巨大信息携带和超强并行处理能力，从而带来指数级的信息表征和计算能力。量子计算依据量子的纠缠和叠加特性，利用量子力学定律，量子计算机为资源密集型问题提供了新颖的解决方案。量子计算机在理论上被证明可以比经典设备更快地解决某些问题，并且可以很好的分解线性方程组、蒙特卡洛模拟和组合优化问题等任务。
3.多目标优化作为运筹优化的一个重要分支，主要研究多个数值目标同时最优化的问题，在计算机科学、人工智能、生物智能、金融分析等领域都具有广泛的应用。无约束二元优化和约束多项式二元优化已被证明是np问题，传统的方法大多基于线性加权法，将多目标问题转化为单目标问题，此类方法只能得到一种情形下的最优解，并且大多是基于局部搜索，每次搜索过程选择最大增益的邻域，通常这种方式容易陷入局部最优解，进而对搜索空间有较大的限制。
4.本发明采用基于grover自适应搜索解决多目标情形下的优劣比较，通过迭代得到的概率幅找出理论最优解，以求解大范围多目标二元二次优化问题。
5.为了解决以上存在的问题，人们一直在寻求一种理想的技术解决方案。


技术实现要素：

6.本发明的目的是针对现有技术的不足，从而提供了一种基于grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法。
7.为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案是：一种基于grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法，包括以下步骤：
8.将n个二元变量的整系数多项式f(x)转换为二元整系数矩阵多项式： f(x)＝x
t
qx+b
t
x+c，q∈rn×n为二元整系数矩阵，b∈rn为向量，c∈r 为常数；x为变量向量；
9.将二元整系数矩阵多项式的无约束优化问题转换为量子二次无约束二进制优化问题：其中，x为变量向量的取值范围；q
ij
为矩阵q的第i行第j列的元素；bi为向量b
t
的第i个元素；n为二元变量个数，xi为第i个二元变量；xj为第j 个二元变量；
10.准备一个n位量子输入寄存器|x》n来存储等量叠加态，准备一个m位量子输出寄存器|z》m来存储相应的目标态|f(x)-y》m；
11.使用哈德门变换处理|x》n的等量叠加态，并完成多项式的叠加；
12.确定初始阈值y，构造操作符ay，满足并完成目标态的相位偏移和整数值的编码；
13.构造oracle操作符oy，使得n位量子输入寄存器|x》n和m位量子输出寄存器|z》m满足o|x》n|z》m＝sign(z)|x》n|z》m，其中，sign()是符号函数；
14.构造g迭代，操作符为ay的逆变换；
15.设置迭代条件，通过重复g迭代改变目标态的概率，直至搜索到目标态的概率达到最优。
16.本发明相对现有技术具有突出的实质性特点和显著的进步，具体的说，介绍了一种有效的方法实现使用grover自适应搜索解决约束多项式二元优化问题所需的oracle o操作符，与标准量子算法相比，本方法显著减少了所需的量子比特数和量子门数，降低了实际量子硬件上应用grover量子自适应算法解决实际问题的需求。
17.本发明将θ扩大至θ∈[-π，π)，从而将2m添加到负值k。
[0018]
本发明通过使用最优参数作为阈值来标记所有阈值，以便找到最好的解决方案，进一步提高grover算法的加速效果和多目标组合优化问题。
附图说明
[0019]
图1为实施例中二元优化问题流程示意图。
[0020]
图2为幺正算子的定义。
[0021]
图3为酋算子的电路。
[0022]
图4为整数的几何序列编码。
[0023]
图5为c
{1，3}
(u)示例，其中n＝4个输入量子位和m个输出量子位。
[0024]
图6为状态准备图6为运算符a的输入输出电路。
[0025]
图7投资组合优化三次迭代搜索输出概率。
[0026]
图8附加条件下投资组合优化三次迭代搜索输出概率。
具体实施方式
[0027]
下面通过具体实施方式，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
[0028]
oracle操作符表示为o，使|0》以外的每个计算基态获得-1的相位移动得到并通过反复迭代得到目标态的概率。
[0029]
如图1所示，一种基于grover搜索算法的二元整系数多项式无约束优化方法，包括以下步骤：
[0030]
将n个二元变量的整系数多项式f(x)转换为二元整系数矩阵多项式： f(x)＝x
t
qx+b
t
x+c，q∈rn×n为二元整系数矩阵，b∈rn为向量，c∈r 为常数；x为变量向量；
[0031]
将二元整系数矩阵多项式的无约束优化问题转换为量子二次无约束二进制优化问题：其中，x为变量向量的取值范围；q
ij
为矩阵q的第i行第j列的元素；bi为向量bt的第i个元素；n为二元变量个数，xi为第i个二元变量；xj为第j 个二元变量；
[0032]
准备一个n位量子输入寄存器|x》n来存储等量叠加态，准备一个m位量子输出寄存器|z》m来存储相应的目标态|f(x)-y》m；
[0033]
使用哈德门变换处理|x》n的等量叠加态，并完成多项式的叠加；
[0034]
确定初始阈值y，构造操作符ay，满足并完成目标态的相位偏移和整数值的编码；
[0035]
构造oracle操作符oy，使得n位量子输入寄存器|x》n和m位量子输出寄存器|z》m满足o|x》n|z》m＝sign(z)|x》n|z》m，其中，sign()是符号函数，对于 f(x)＝sign(x)，当x＞0时f(x)＝1，当x＜0时f(x)＝-1；
[0036]
构造g迭代，操作符为ay的逆变换；
[0037]
设置迭代条件，通过重复g迭代改变目标态的概率，直至搜索到目标态的概率达到最优。
[0038]
给定一个m-qubit寄存器用于存放目标态和一个角度θ∈[-π，π)，并对量子态作幺正变换，并得到一个长度为2m的“周期信号”，这一过程可以通过图2定义的幺正算子ug(θ)来实现。其中θ∈[-π，π)应用于等量叠加的 m-qubit寄存器。结果是一个量子状态向量，表示长度为2m的几何序列。
[0039]
如图3所示，将相位门r(2iθ)加到m位量子输出寄存器|z》m中的量子比特m-1-i上，将对应于该量子比特的位置具有1的状态幅度的相位进行旋转，完成目标态的相位偏移。
[0040]
如图4所示，给定一个整数-2
m-1
≤k≤2
m-1
，应用然后将逆qft 应用到m位量子输出寄存器|z》m，完成整数值的编码，得到k(mod 2m)，实现对k的补码，用补码表示负角，其中补码的作用是使一个负数能用其补码代替，可以得到同样的运算结果。图4所示为k的补码，它只是将2m添加到负值k，从而用它们的补码表示负角，例如：等同于其过程编码示例如图5所示。
[0041]
进一步的，将|x》n的一组量子比特控制酉算子u到输出寄存器|z》m的应用表示为n个变量的多项式形式为aj为非零系数，每个子集都有一个对应的单项式，从而完成多项式的叠加。
[0042]
具体的，基于量子编码进行操作符a的构造时，为每个子集应用受控几何序列变换aj为非零系数，最后应用逆qft变换。
[0043]
如图6所示，图6中的状态准备运算符a的电路，应用于输入寄存器|x》n和输出寄存器|z》m。从相等叠加的状态开始，使用酉算子ug的几个受控应用，其角度参数对应于非零系数aj，其中j是{0，...，n-1}的子集。电路末端单次应用逆量子傅里叶变换(qft)对ug编码的周期信号进行解码，产生键值对的叠加。
[0044]
多项式p(x)中角度参数对应于非零系数aj，其中j是{0，...，n-1}的子集。电路末端单次应用逆量子傅里叶变换(qft)对ug编码的周期信号进行解码，产生键值对的叠加。
[0045]
具体的，量子无约束二进制优化多项式只有次数小于或等于2的单项式，即|j|≤2，所以只需要控制单个和成对的量子比特。
[0046]
由表1所示的量子无约束二进制优化问题，需要输入量子位数n和输出量子位数m表示实现a所需的门数。他们大多可以并行实现，因此电路深度缩减为门数的1/m倍。
[0047][0048]
表1
[0049]
表1给出了为量子无约束二进制优化构建a所需的门数的详细汇总。通常门数与要加载的多项式中的单项式数成比例。输入权重和输出使用大致相同的位数表示的情况下，这与问题描述的缩放匹配，因此，本发明的渐近缩放是最佳的。
[0050]
为了验证本发明中构造oracle操作符o和算子a的有效性，将通过一个组合优化问题来加以阐述。
[0051]
一个由n个资产组成的投资领域，用i＝1，...，n表示，它们对应的预期收益为μ∈rn和协方差矩阵∑rn×n。此外，给定的风险因子q≥0，它决定了所考虑的风险偏好，设置q＝0意味着风险中性投资者，而增加q则增加其风险规避。由此产生的目标函数为
[0052]
在此形式下，投资组合优化是一个二次无约束二元优化问题。我们可以通过施加这种形式的开销约束来拓展它其中b∈{0，...，n}表示要选择的资产数量
[0053]
考虑一个由n＝3个资产组成的投资组合，风险因子q＝0.5，回报率描述为：
[0054]
和
[0055]
上述问题将产生如下公式：
[0056][0057]
添加常数-y(其中y是当前阈值)的目标函数具有关联的ay运算符。为了进行实验，需要将7个量子位分成两个寄存器，n＝3个输入量子位和 4个输出量子位。虽然在输出寄存器中只需要3个量子位，但添加了1个额外的量子位以适应阈值偏移。设置初始阈值y1＝0，如果在算法的三个连续迭代中没有发生改变，则停止搜索。
[0058]
对于多变量优化gas的每次迭代，将ay应用于当前阈值，然后将 grover迭代
应用于预定数量的应用程序。如果测量值小于y，更新阈值。重复这个过程，直到看到连续三个迭代搜索值不再变化。通过跟踪总偏移或通过计算最小键的目标函数值来确定原始最小值。该模拟实验的结果如图7所示，其中三次迭代的输出概率，搜索函数的最小值，每个都具有grover算子的阈值y和r应用。
[0059]
对上述问题增加约束条件，使b＜2并且每个字长的价格为1，这样可以实现对更复杂的约束进行建模。通过现有的量子电路，对寄存器中密钥的二进制表示的汉明权进行编码，只需要控制约束寄存器的最高有效量子位来确定是否b＜2，将附加约束条件转化为对应键的二进制表示的汉明权小于2。该模拟实验的结果如图8所示。
[0060]
gas的主要思想是为给定的阈值y构造ay和oy，使得它们标记所有满足f(x)＜y的状态x∈x，这样就可以使用grover搜索找到函数值优于y的解然后设置并重复这一过程直到满足一些正式的终止条件，例如基于y中的迭代次数、时间或进度。
[0061]
最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制；尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者对部分技术特征进行等同替换；而不脱离本发明技术方案的精神，其均应涵盖在本发明请求保护的技术方案范围当中。