本发明涉及数字几何处理，具体涉及一种power图的无网格计算方法。
背景技术：
：：1、voronoi图是一种用以区域划分的最重要的几何结构之一，在计算几何和计算机图形学等领域应用非常广泛。普通的voronoi图是由一组种子点和欧式距离共同决定的。基于各种应用的需求，种子点可以被替换为其他的几何对象，或使用其他的距离度量函数，这种结构从而被推广为广义的voronoi图。加权voronoi图(也被称为power图)是其中非常重要的一种，它已被应用于采样、自适应重新网格化、网格生成以及仿真等众多领域。power图的计算是一个基础任务，提高其效率对于下游应用而言具有重要的意义。2、由于每个种子点都被额外赋予了一个权重，更多的自由度使得power图的计算比普通voronoi图的计算更加复杂，对其高效计算带来很大的挑战。在现有的参考文献中，绝大部分方法都聚焦于如何快速计算voronoi图，对power图高效计算的研究则相对滞后。3、目前为止，只有少数几种方法能够用于计算精确的power图。4、(1)1987年，aurenhammer[1]在高一维空间中构造凸包结构并映射回原始空间来得到power图。但是该方法的复杂度高，效率低，因而很少被使用。5、(2)2012年，nocaj和brandes[2]将该方法简化成为三个主要步骤，但简化后的方法只能用于二维平面power图的计算，而无法计算高维空间中的power图，因此适用性受限。6、(3)计算任意维度、任意情况下的power图的现有标准方法，是通过构建加权种子点的正则三角网格(regular triangulation)并求解其对偶结构来获得[3]。然而，该方法需要耗费大部分时间用于构建正则三角网格，并且该步骤的时间成本随着种子点数量的增长而急剧上升。因此，对于大规模的种子点集，该方法的耗时将会非常高。此外，构建正则三角网格的复杂度随着空间维度的增长也会快速升高，导致很难实现高维空间中的power图计算。7、在普通voronoi图的众多计算方法中，有一类被称为无网格(meshless)的方法[4-5]。无网格方法基于一种观察，即每一个voronoi胞元都是其种子点与其他所有种子点之间半空间的交集。因此，在计算某个种子点的voronoi胞元时，该方法对与该种子点相关的所有中垂面按照该种子点到它们的距离从小到大进行排序，用这些有序的中垂面依次对空间域进行裁剪，从而获得该种子点的胞元。在上述裁剪过程中，当每次被裁剪后的胞元到其种子点的最远距离小于种子点到下一个中垂面的距离时，后续所有的中垂面都将不会与该胞元产生交集，因此该裁剪过程可以在满足上述条件时提前结束。因此，每个胞元的计算只需要找出其种子点的最近若干个邻居即可，无需构建网格结构。此外，由于每个胞元的裁剪是相互独立的，该方法能够提供非常良好的并行计算能力。8、遗憾的是，上述无网格方法不能直接应用于power图的计算。主要原因是，power图的距离度量仅在空间位置维度上递增，而在权重维度上递减。如果用上述无网格方法计算power图的某个胞元，需要一次性对与其种子点所有相关的加权中垂面进行排序，导致其计算效率大打折扣。如此一来，该方法计算power图的效率低于标准的基于正则三角网格对偶性的方法。9、文献[6]指出，二维power图可以被解释为一个三维的普通voronoi图与二维平面的交集。受此启发，本发明证明了任意维度的power图都等价于一个高一维空间的voronoi图与原始空间的交集，即受限voronoi图(restricted voronoi diagram)。据此性质，本发明公开了一种可用于计算任意power图的无网格方法。10、参考文献：11、[1]f.aurenhammer,power diagrams:properties,algorithms andapplications,12、siam journal on computing 16(1)(1987)78–96.13、[2]a.nocaj,u.brandes,computing voronoi treemaps:faster,simpler,andresolution-independent,computer graphics forum 31(2012)855–864.14、[3]h.edelsbrunner,n.shah,incremental topological flipping works forregular triangulations,algorithmica 15(3)(1996)223–241.15、[4]b.l′evy,n.bonneel,variational anisotropic surface meshing withvoronoi parallel linear enumeration,in:x.jiao,j.-c.weill(eds.),proceedings ofthe 21st international meshing roundtable,springer berlin heidelberg,berlin,heidelberg,2013,pp.349–366.16、[5]n.ray,d.sokolov,s.lefebvre,b.l′evy,meshless voronoi on the gpu,17、acm transactions on graphics 37(6)(2018).18、[6]p.f.ash,e.d.bolker,generalized dirichlet tessellations,geometriaededicata20(1986)209–243.技术实现思路1、本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种power图的无网格计算方法，通过向power图的距离函数中引入一个参数，该参数大于给定加权种子点的最大权重，并以该参数与权重的差值代替原来的权重维度，由于其必然大于0，能够解决power图的距离函数非递增的问题，新的距离函数实际上可以看作更高一维空间中的欧式距离，如此一来，原来的power图距离度量就可以转化为高一维空间的普通voronoi图的距离度量，按照一般voronoi图的无网格计算方法对原始空间进行裁剪即可获得power图结果。2、为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：3、一种power图的无网格计算方法，其特征在于，包括以下步骤：4、步骤1、输入求解域m和n个加权种子点5、在d维空间rd中，给定任意的n个加权种子点它们对应的power图将空间rd划分成n个较小的胞元每个胞元可由下式定义6、7、其中，d(x,v,w)＝‖x-v‖2-w是power图的距离度量函数；8、步骤2、遍历所有种子点的权重，找出输入的最大权重wmax＝max{w1,…,wn}，并设置合适的参数η≥wmax；9、距离度量函数d(x,v,w)在权重维度上非递增的问题可以通过向其中引入一个大于最大权重的参数η来解决，具体过程如下：10、设给定的加权种子点v的最大权重为wmax＝max{w1,…,wn}，将η≥wmax加入到power距离函数中得到dη(x,v,w)＝‖x-v‖2+η-w，新的距离函数并不会改变式(1)的不等式关系：11、12、上式不等式关系成立表明由新的距离函数所定义的空间划分结果与原power图是一致的；13、步骤3、为每个种子点的位置vi新增一维坐标生成高一维空间中的提升点14、由于新的距离函数可以被进一步改写为下式：15、16、其中，y＝(x,0),p∈rd+1被称为v∈rd的提升点；17、而式(2)实际上是rd+1空间中两个点的欧式距离，因此，power图的每个胞元可以等价定义为下式：18、19、即pi的(d+1)维voronoi胞元与rd空间的交集；所以，为每个种子点的位置vi新增一维坐标可以获得高一维空间中的提升点20、原加权种子点集v的power图等价于提升点集的voronoi图与原始空间的交集。21、步骤4、利用现有的kd树生成算法，构建一棵关于的kd树；22、本发明的方法依赖提升点之间的邻居关系，kd树是现有能够快速实现该任务的、非常成熟的数据结构。它根据将坐标空间及其子空间迭代地划分成两半。23、步骤5、每个胞元ωi初始化为m，利用kd树及现有的最近邻搜索算法，找出ωi对应提升点pi最近的k个邻居，从最近的开始，依次用pi和其邻居之间的中垂面对ωi进行裁剪，当裁剪结束条件未达到时，增大k为原来的两倍，并继续裁剪过程，当达到裁剪结束条件时，输出精确的胞元结果ωi；24、上一步骤获得的kd树结构及现有的最近邻搜索算法可以快速寻找到提升点pi最近的k个邻居。但是过少的邻居数量可能无法达到胞元的裁剪结束条件，因此需要动态地增长k的数值，即k个邻居用尽后还未达到裁剪结束条件，则k自乘2并再次利用kd树获得pi最近的k个邻居，再继续裁剪。25、与现有技术相比本发明的有益效果：26、本发明证明了任意power图都等价于高一维空间的受限voronoi图的性质，并提出可用于计算任意情况下power图的无网格计算方法，计算过程对于每个胞元来说都是相互独立的，可以并行计算，且算法只需构建一棵kd树，其耗时远低于构建正则三角网格，相比现有基于正则三角网格对偶性的标准计算方法具有更高的并行程度，计算效率更高。当前第1页12当前第1页12